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高三数学第二章 极限复习(理)人教版知识精讲.doc


高三数学第二章 极限复习(理)人教版
【本讲教育信息】
一. 教学内容: 第二章 极限复习 二. 教学重、难点: ? ?证明恒等式 ? ? ? ?证明整除性问题 ?教学归纳法___?证明几何问题 ? ? ? ?证明数列问题 ? ?证明不等式 ? ? ___ ? 数列极限的四则运算 ?数列极限 ? ? ___ ?极限 ?函数极限 ___函数极限的四则运算___?求函数极限 ? ? ? 最值 ? ?连续; 连续函数在闭区间上的 ? ?

【典型例题】 [例 1] 已知 {an } 、 {bn } 的极限存在且满足: lim( 2a n ? 5bn ) ? 8 , lim(a n ? bn ) ? 2 ,求
n ?? n ??

lim(3a n ? 2bn ) 。
n ??

解:设 3an ? 2bn ? x(2an ? 5bn ) ? y(an ? bn ) ? (2x ? y)an ? (5x ? y)bn

5 11 ,y? 7 7 5 11 62 ∴ lim(3a n ? 2bn ) ? ? 8 ? ? 2 ? n ?? 7 7 7
∴ ? 解得 x ? [例 2] 设 f ( x) 是一个三次函数, lim

?2 x ? y ? 3 ?5 x ? y ? 2

f ( x) f ( x) 3 f ( x) ? 6 , lim ? ? ,求 lim 的值。 x ? 2 x ? 3 x ?1 x?2 2 x?3 解:由题意知: f ( x) ? m( x ? 1)(x ? 2)(x ? a) f ( x) ? 6 ,得 ? 3(?1 ? a)m ? 6 ① 由 lim x ? ?1 x ? 1 f ( x) 3 3 ? ? ,得 3m( 2 ? a ) ? ? ② 由 lim x?2 x ? 2 2 2 1 1 ①②联立得 a ? 3 , m ? ∴ f ( x) ? ( x ? 1)( x ? 2)( x ? 3) 2 2 f ( x) 1 lim ? lim ( x ? 1)( x ? 2) ? 2 x ?3 x ? 3 x ?3 2
x ? ?1

[例 3] 设 f ( x) ? 存在吗? 解:

x 2 ? x ? 1 ? x 2 ? x ? 1 分别求 lim f ( x) , lim f ( x) 的值。lim f ( x )
x ? ?? x ? ?? x??

∵ f ( x) ?

x2 ? x ?1 ? x2 ? x ?1 ?

x2 ? x ?1 ? x2 ? x ?1 x2 ? x ?1 ? x2 ? x ?1

?

? 2x x ? x ?1 ? x2 ? x ?1
2

∴ lim f ( x) ? lim
x ???

? 2x

x 2 ? x ? 1 ? x 2 ? x ? 1 x??? x 2 ? x ? 1 ? x 2 ? x ? 1 ?2 ?2 ? lim ? ? ?1 x ? ?? 1?1 1 1 1 1 1? ? 2 ? 1? ? 2 x x x x
x ???

? lim

? 2 x2

∴ lim f ( x) ? lim
x ? ??

2 x2 x ? x ?1 ? x ? x ?1
2 2

x ? ??

? lim

2 1? 1 1 1 1 ? 2 ? 1? ? 2 x x x x

x ???

2 ?1 1?1 ∵ lim f ( x) ? lim f ( x) ?
x ? ?? x ? ??

∴ lim f ( x ) 不存在
x??

[例 4] 设 f ( x) ? ?

?x 3 ?? x ( x ? 1) ( x ? 1) , g ( x) ? ? ,讨论 f [ g ( x)] 的连续区间。 ?3 ? x ( x ? 1) ?2 x ? 1 ( x ? 1)
∴ f [ g ( x)] ? ? x 3 ∴ f [ g ( x)] ? 3 ? (2 x ? 1) ? 2 x ? 2

3 解:当 x ? 1 时, x ? 1

当 x ? 1 时, 2 x ? 1 ? 1 ∴ 解析式为 f [ g ( x )] ? ?

?? x 3

( x ? 1) f [ g ( x)] ? ?1 , lim f [ g ( x )] ? 4 且 lim ? x ?1? ?2 x ? 2 ( x ? 1) x ?1
∴ 连续区间为 (??,1) ? (1,??)

lim f [ g ( x)] 不存在
x ?1

[例 5] 用数学归纳法证明 (3n ? 1) ? 7 n ? 1 能够被 9 整除 (n ? N * ) 。 解: (1)当 n ? 1 时, 4 ? 7 ? 1 ? 27 被 9 整除 (2)假设 n ? k (k ? 1) 时, (3k ? 1) ? 7 k ? 1 能被 9 整除,则当 n ? k ? 1 时,

[3(k ? 1) ? 1] ? 7 k ?1 ? 1 ? 7 ? (3k ? 4) ? 7 k ? 1 ? (3k ? 1) ? 7 k ? 18k ? 7 k ? 27 ? 7 k ? 1 ? [(3k ? 1) ? 7 k ? 1] ? 9 ? 7 k (2k ? 3) 以上两项均能被 9 整除,故当 n ? k ? 1 时命题也成立 * 由(1)和(2)知,对任意 n ? N 命题成立
[例 6] 已知数列 {an } 中, a1 ?

1 * , S n ? n 2 ? an ( n ? N ) , (1)求 a 2 , a3 , a 4 的值; (2) 2
∴ a2 ?

推测 {an } 的通项公式,并用数学归纳法证明所得结论。 解: (1) a1 ?

1 , S 2 ? a1 ? a2 ? 4a2 2
∴ 8a 3 ?

1 6 1 12

S3 ? a1 ? a2 ? a3 ? 9a3

1 1 ? 2 6

∴ a3 ?

S4 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? 16a4
(2)由 a1 ?

∴ 15 a 4 ?

9 12

∴ a4 ?

1 20

1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? , a2 ? ? , a3 ? , a4 ? 2 1? 2 6 2?3 12 3 ? 4 20 4 ? 5 1 猜想 a n ? ,下面用数学归纳法证明 n(n ? 1) ① 当 n ? 1 时,结论成立 ② 假设 n ? k (k ? 1) 时,结论成立 1 即 ak ? 且有 a1 ? ? ? ak ? k 2 ak k (k ? 1) 当 n ? k ? 1 时, a1 ? a2 ? ? ? ak ? ak ?1 ? (k ? 1) 2 ak ?1

k 2 ak ? ak ?1 ? (k ? 1) 2 ak ?1
∴ ak ?1 ?

k2 k2 1 a ? ? k 2 2 (k ? 1) ? 1 (k ? 1) ? 1 k (k ? 1)

1 k2 ? k (k ? 2) ? k (k ? 1) (k ? 1)(k ? 2) ∴ n ? k ? 1 时,结论成立 * 由①②知,结论对 n ? N 都成立

?

[例 7] 求 lim(1 ? a)(1 ? a )(1 ? a ) ?(1 ? a ) (0 ? a ? 1)
2 4 n??

2n

解:方法一:∵ (1 ? a)(1 ? a 2 )(1 ? a 4 )?(1 ? a 2 ) ? 1 ? a ? a 2 ? ? ? a 2
n ?1

n

n ?1

?1

1? a2 (0 ? a ? 1) ? 1? a n ?1 1? a2 1 2 4 2n ∴ lim(1 ? a)(1 ? a )(1 ? a ) ?(1 ? a ) ? lim ? n?? n?? 1 ? a 1? a 2 4 2n 方法二: lim(1 ? a)(1 ? a )(1 ? a ) ?(1 ? a )
n??

(1 ? a)(1 ? a)(1 ? a 2 )(1 ? a 4 ) ?(1 ? a 2 ) ? lim n?? 1? a 2 n ?1 1? a 1 ? lim ? n?? 1 ? a 1? a
[例 8] 设数列 {an } 满足 a1 ? 2 , a n ?1 ? a n ? (1)证明: an ? (2)令 bn ?

n

1 (n ? 1,2,3,?) an

2n ? 1 对一切正整数 n 成立;

(n ? 1,2,3,?) 判断 bn 与 bn ?1 的大小,并说明理由。 n 证: (1)① 当 n ? 1 时, a1 ? 2 ? 2 ?1 ? 1 ∴ 成立

an

② 假设 n ? k 时, ak ?

2k ? 1 成立

2 2 当 n ? k ? 1 时, a k ?1 ? a k ?

1 1 ? 2 ? 2k ? 3 ? 2 ? 2(k ? 1) ? 1 2 ak ak

∴ n ? k ? 1 时, ak ?1 ? ∴ 由①②知, an ? (2)

2(k ? 1) ? 1 成立

2n ? 1 对一切正整数成立

bn ?1 a n 1 n 1 n 2(n ? 1) n ? n ?1 ? (1 ? 2 ) ? (1 ? ) ? bn 2n ? 1 n ? 1 (2n ? 1) n ? 1 an an n ? 1 n ?1

?

2 n(n ? 1) ? 2n ? 1

1 1 (n ? ) 2 ? 2 4 ?1 1 n? 2

∴ bn?1 ? bn

【模拟试题】 (答题时间:20 分钟)
一. 选择题

1?
1. lim
n ??

A. 1

1 ?1 n ?( ) 1 n 1 B. C. 0 2


D. ? 1

2. 下列极限为 1 的是( A. lim0 .? 999 9 ?? ? ? n?? ?
n个9

B. lim(?1) (0.9999 )
n n ??

n

1 1 ? 2 ? e ?n ) n n 1 1 1 x 9 3. 若 (1 ? 2 ) 展开式的第 3 项为 288,则 lim( ? 2 ? ? ? n ) 的值是( n ?? x x x 1 2 A. 2 B. 1 C. D. 2 5 2 ? 3x ? 2 ? x?2 ? 2 4. 设 f ( x) ? ? x ? 4 x ? 2 在 x ? 2 处连续,则 a 的值为( ) ? x?2 ?a
C. lim
n ??

4n ? 3n ? 2 3n 2 ? 2n ? 1
2

D. lim(
n ??



1 1 1 1 B. ? C. D. 3 2 4 4 0 1 2n C ? C2n ? ? ? C2n 5. lim 2 n 的值是( ) n ?? 1 ? 4n 1 1 A. 0 B. ? C. ? D. ? 1 4 2 2 sin 2 x 6. lim 的值是( ) n ?? 1 ? cos3 x 4 A. ? 1 B. 3 C. D. 2 3
A. ?

) ?( n2 ? 1 ? n2 ?1 1 1 1 A. B. 3 C. D. 3 2 4 8. 下列各函数中,在 x ? 1 处不连续的是( ) 7. lim
n ??

1 ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? (2n ? 1)

1 ? cos x A. f ( x) ? x2
C. f ( x) ? ?

?( x ? 1) 0 ? 1 ?1

x ?1 x ?1

? x3 ?1 x ?1 ? B. f ( x) ? ? x ? 1 ?3 x ?1 ? ? D. f ( x ) ? cot( ?x ? ) 2

二. 解答题: 1. 已知等差数列前三项为 a,4,3a , 前 n 项和为 S n ,S k ? 2550, (1) 求 a 及 k 的值; ( 2) 求 lim (
n ???

1 1 1 ? ??? ) 。 S1 S 2 Sn

? 2 x ( x ? 0) ? 2. 设函数 f ( x ) ? ?0( x ? 0) ; f ( x) 在 x ? 0 处是否有极限? ?lg x( x ? 0) ? 3. 已知数列 {an } 满足 a0 ? 1 , an ? P ? an?1 ? 1(n ? N * ,0 ? P ? 1) 。
1 ? an ? 0 ( n ? N * ) P (2)求 a1、a2、a3 ,猜想通项公式 an ,并用数学归纳法证明。
(1)求证: ?

试题答案
一. 1. B 2. A 3. A 4. C 5. D 6. C 7. A 8. C

二. 1. 解: (1)由已知: a1 ? a , a 2 ? 4 , a3 ? 3a 及 a1 ? a3 ? 2a2 ,所以 a ? 3a ? 2 ? 4 ,所 以 a ? 2 ,公差 d ? a2 ? a1 ? 4 ? 2 ? 2 。 由 S k ? k ? a1 ?

k (k ? 1) k (k ? 1) d ,得 k ? 2 ? ? 2 ? 2550 ,所以 k 2 ? k ? 2550 ? 0 , 2 2 解得 k ? 50 或 k ? ?51 (舍去) ,所以 a ? 2, k ? 50 。 n(n ? 1) d ,得 S n ? n(n ? 1) , (2)由 S n ? na1 ? 2 1 1 1 1 1 1 所以 ? ??? ? ? ??? S1 S 2 S n 1? 2 2 ? 3 n(n ? 1) 1 1 1 1 1 1 ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? ) ? 1? 2 2 3 n n ?1 n ?1 1 1 1 1 所以 lim ( ? ? ? ? ) ? lim (1 ? ) ?1 n ??? S n ??? S2 Sn n ?1 1

f ( x) ? lim 2x ? 1 ; 2. 解: 当 x ? 0 时, f ( x) ? 2 x , 所以 lim 当 x ? 0 时, f ( x) ? lg x , ? ?
x ?0 x ?0

f ( x) ? lim lg x 不存在,所以 f ( x) 在 x ? 0 处没有极限。 所以 lim ? ?
x ?0 x ?0

3. (1)证明:① 因为 a0 ? 1 ,所以 a1 ? P a0 ? 1 ? P ? 1 ,又因为 0 ? P ? 1 ,所以

1 1 ? ?1 ,所以 ? ? ?1 ? a1 ? 0 ,故 n ? 1 时不等式成立 P P 1 1 ② 假设 n ? k 时, 不等式成立, 即 ? ? ak ? 0 , 则 0 ? ak ? , 所以 0 ? P ? ak ? 1 , P P 1 ? 1 ? P ak ? 1 ? 0 ,所以 ? ? ?1 ? a k ?1 ? 0 ,所以 n ? k ? 1 时不等式也成立,由①、② P 1 * 知对一切 n ? N , ? ? a n ? 0 成立。 P (2)解:由(1)知 an ? 0 , an?1 ? ? Pan ? 1 计算得 a1 ? P ? 1 , a2 ? ?P 2 ? P ? 1 ,
? 1 ? P ? 1 ? 0 ,且 ?

? 1 ? (? P) n?1 * ( n ? N )下面用数学归纳法证明,① 1? P P2 ?1 (? P) k ?1 ? 1 n ? 1 时,a1 ? ? P ? 1 等式成立; ② 假设 n ? k 时, 等式成立, 即 ak ? , P ?1 P ?1 (? P) k ?1 ? 1 (? P) n ? 2 ? 1 ? 1 n ? k ?1 ? 即 时, a k ?1 ? ? Pak ? 1 ? ? P ,所以 n ? k ? 1 时等 P ?1 P ?1 * 式也成立,由①、②知,对于一切 n ? N ,等式都成立。

a3 ? P 3 ? P 2 ? P ? 1,猜想: a n ?


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