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河南省三门峡市陕州中学2016届高三数学上学期第二次月考试题 文


2015-2016 学年上期高三第二次月考 数学试卷(文科)
试卷满分:150 分 考试时间:120 分 一、选择题:(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.设集合 U ? ?0,1,2,3,4,5?, 集合A ? ?1,2?, B ? ?2,4?则? u ( A ? B) ? A. ?1,2,4? 2.若复数 Z ? B. ?0,3,5? C. ?

0,1,3,4,5? D. ?

a ? 3i (a ? R , i 是虚数单位)是纯虚数,则在复平面内 Z 对应点的坐标为 1 ? 2i
B. (0,3i ) C. (0,3) D. (0, 2i )

A. (0,2)

3.有一段演绎推理是这样的:“若对数函数 y=logax 是增函数,已知 y= log 1 x 是对数函数,
4

则 y= log 1 x 是增函数”
4

以上推理的错误是 A.大前提错误导致结论错误 C.推理形式错误导致结论错误
?

B.小前提错误导致结论错误 D.大前提和小前提错误导致结论错误
?

4.已知向量 a ? ( x ? 1,2) , b ? ?2,1? ,则“ x ? 0 ”是“ a 与 b 夹角为锐角”的 A.必要而不充分条件 不必要条件 5.把函数 y ? sin( x ? 右平移 B.充分而不必要条件 C.充分必要条件 D.既不充分也

?

?

?
6

) 图象上各点的横坐标缩短到原来的

? 个单位, 3
?
8

1 倍(纵坐标不变) ,再将图象向 2

那么所得图象的一条对称轴方程为 A. x ? B. x ? ?

?
4

C. x ?

?
4

D. x ? ?

?
2

6.我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮, 有人送来米 1534 石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得 254 粒内 夹谷 28 粒,则这批米内夹谷约为 A.134 石 B.169 石 C.338 石 D.1365 石 D. 12
2

7.执行如图所示的程序框图,输出 S 的值为 A.3 B. -6 C. 10

8.正项等比数列 ?a n ?满足: a3 ? a2 ? 2a1 ,若存在 a m ,a n ,使得 am ? an ? 16a1 ,则 最小值为

1 9 ? 的 m n

-1-

A.2

B.16

C.
2

8 3
D.

D.

3 2

9.若点(4,tanθ )在函数 y=log2x 的图像上,则 2cos θ = A.

2 5


B.

1 5

C.

1 2

3 5

10.已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x+2)=﹣f(x) ,若 f(﹣1)>﹣2,f(﹣7)=

则实数 a 的取值范围为 A. D. 11.已知 x 与 y 之间的几组数据如下表: B. (﹣2,1) C.

x y

1 0

2 2

3 1

4 3

5 3

6 4

?x ? a ? ?b ? .若某同学根据上表中前两组数据 假设根据上表数据所得线性回归直线方程为 y
(1,0) 和 (2,2) 求得的
直线方程为 y ? b?x ? a? ,则以下结论正确的是

? ? b?, a ? ? a? A. b
12.若曲线 y= A.﹣2

? ? b?, a ? ? a? B. b

? ? b?, a ? ? a? C. b

? ? b?, a ? ? a? D. b

与曲线 y=alnx 在它们的公共点 P(s,t)处具有公共切线,则实数 a= B.2 C. D. 1

二、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.) 13.已知点 A ?1,3? , B ? 4, ?1? , 则与向量 AB 同方向的单位向量 的坐标为

??? ?

.

14.若 x,y 满足约束条件

,则 z=3x﹣y 的最小值是

.

15.函数 f ?x ? ? x ? 1 ? 2 sin ?x 的所有零点之和等于

.

16. 从甲、乙两品种的棉花中各抽测了 25 根棉花的纤维长度(单位:mm) ,结果如下: 甲品种:271 273 280 285 285 287 292 294 295 301 303 303 307 308 310 314 319 323 325 325 328 331 334 337 352 乙品种:284 292 295 304 306 307 312 313 315 315 316 318 318 320 322 322 324 327 329 331 333 336 337 343 356 由以上数据设计了如下茎叶图

-2-

甲 7 5 5 8 7 3 9 8 5 7 3 5 4 3 4 5 4 1 0 2 1 0 3 1 2 27 28 29 30 31 32 33 34 35 4 2 4 2 0 1 3 6



5 6 3 2 3

7 5 5 6 8 8 2 4 7 9 6 7

根据以上茎叶图,对甲、乙两品种棉花的纤维长度作比较,写出两个统计结论: ① ; ② .

三、解答题:(本大题共 6 小题,共 70 分. ) 17. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? (Ⅰ)当 x ? ? ?

3 1 sin 2 x ? cos2 x ? ( x ? R) 2 2

? ? 5? ? , ? 时,求函数 f ( x ) 的最小值和最大值; ? 12 12 ?

(Ⅱ)设 ? ABC 的内角 A, B, C 的对应边分别为 a, b, c ,且 c ? 若 向 量 m ? (1, sinA) 与 向 量 n ? (2, sinB) 共 线 , 求

3 , f (C ) ? 0 ,

a , b 的值.

18.(本小题满分 12 分) 某校 100 名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图 4 所
-3-

示,其中成绩分组区间是: [50,60) , [60,70) , [70,80) , [80,90) , [90,100] . (Ⅰ)求图中 a 的值; (Ⅱ)根据频率分布直方图,估计这 100 名学生语文成绩的平均分; (Ⅲ)若这 100 名学生语文成绩某些分数段的人数( x )与数学成 绩相应分数段的人数( y )之比如下表所示,求数学成绩在

[50,90) 之外的人数.
分数段

[50,60)
1 :1

[60,70)
2 :1

[70,80)

[80,90)

x  :y

3:4

4 :5

19. (本小题满分 12 分) 设 数 列 ?an ? 的 各 项 均 为 正 数 , 它 的 前 n 项 的 和 为 Sn , 点 (an ,Sn )在 函 数

y?

1 2 1 1 x ? x ? 的图像上;数列 ?bn ? 满足 b1 ? a1 , bn?1 (an?1 ? an ) ? bn .其中 n ? N ? . 8 2 2

(Ⅰ)求数列 ?an ? 和 ?bn ? 的通项公式; (Ⅱ)设 cn ?

an ,求证:数列 ?cn ? 的前 n 项的和 bn

Tn ?

5 ? (n? N ) 9

20. (本小题满分 12 分) 对某市工薪阶层关于“楼市限购政策”的态度进行调查,随机抽查了 50 人,他们月收入 (单位:百元)的频数分布及对“楼市限购政策”赞成人数如下表:

(Ⅰ)根据以上统计数据填写下面 2×2 列联表,并回答是否有 99%的把握认为月收入以 5500 元为分界点对“楼市限购政策”的态度有差异?

(Ⅱ)若从月收入在[55,65)的被调查对象中随机选取两人进行调查,求至少有一人赞 成“楼市限购政策”的概率.

-4-

21.(本小题 12 分) 已知函数: f ( x ) ? ln x ? ax ? 3(a ? 0) . (Ⅰ)讨论函数 f ( x ) 的单调性; (Ⅱ)若对于任意的 a ? [1, 2] ,若函数 g ( x ) ? x ?
3

x2 [m ? 2 f ?( x )] 在区间 ?a,3? 上有最值, 2

求实数 m 的取值范围.

请考生在第 22、23 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题 号. 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,已知 AB 为⊙O 的直径,CE⊥AB 于点 H,与⊙O 交于点 C、D, 且 AB=10,CD=8,DE=4,EF 与⊙O 切于点 F,BF 与 HD 交于点 G. (Ⅰ)证明:EF=EG; (Ⅱ)求 GH 的长.

23. (本小题满分 10 分)选修 4-5: 不等式选讲已知函数 f ( x) ? 2x ? a ? 2x ? 3 , g ( x) ? x ?1 ? 2 . (Ⅰ)解不等式: g ( x) ? 5 ; (Ⅱ)若对任意的 x1 ? R ,都有 x2 ? R ,使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) 成立,求实数 a 的取值范围.

-5-

2015-2016 高三第二次月考文科数学参考答案 1—5 BCAAD 6—10 BCCAD 11—12 CD 13. ? ,-

?3 ?5

4? ? 5?

14.﹣4

15. 5

16. (1)乙品种棉花的纤维平均长度大于甲品种棉花的纤维平均长度(或:乙品种棉花的纤 维长度普遍大于甲品种棉花的纤维长度) . (2)甲品种棉花的纤维长度较乙品种棉花的纤维长度更分散. (或:乙品种棉花的纤维长度 较甲品种棉花的纤维长度更集中(稳定) .甲品种棉花的纤维长度的分散程度比乙品种 棉花的纤维长度的分散程度更大) . (3)甲品种棉花的纤维长度的中位数为 307mm,乙品种棉花的纤维长度的中位数为 318mm. (4)乙品种棉花的纤维长度基本上是对称的,而且大多集中在中间(均值附近) .甲品种棉 花的纤维长度除一个特殊值(352)外,也大致对称,其分布较均匀.注:上面给出了四个结 论.如果考生写出其他正确答案,同样给分. 17. 解 :( 1 ) f ( x) ?

3 1 ? sin 2 x ? cos2 x ? 1 ? sin(2 x ? ) ? 1 ( 3 分 ) 由 已 知 得 2 2 6

?

?
3

? 2x ?

?
6

?

2? 3

? f ( x) 最大值为 0,最小值为 ?
(2)由 f (C ) ? 0 得 C=

3 ? 1 (6 分) 2

? 2 2 (8 分)由余弦定理的 a ? b ? ab ? 3 (9 分) 3

由 m , n 共线得 2 sin A ? sin B ,即 b ? 2a (10 分) ? a ? 1, b ? 2 (12 分) 18.【解析】 (1)依题意得, 10(2a ? 0.02 ? 0.03 ? 0.04) ? 1,解得 a ? 0.005 。 ( 2 ) 这 100 名 学 生 语 文 成 绩 的 平 均 分 为 :

55 ? 0.05 ? 65 ? 0.4 ? 75 ? 0.3 ? 85 ? 0.2 ? 95 ? 0.05 ? 73 (分) 。
? ( 3 ) 数 学 成 绩 在 [50, 60) 的 人 数 为 : 100? 0.05
1 0 0? 0 . 4 ? 1 ? 2, 0 2 4 ? 40 ,数学成绩在 [80,90) 的人数为: 3

5 , 数 学 成 绩 在 [60, 70) 的人数为:

数学成绩在 [70,80) 的人数为: 100 ? 0.3 ?

100 ? 0.2 ?

5 ? 25 4

所以数学成绩在 [50,90) 之外的人数为: 100 ? 5 ? 20 ? 40 ? 25 ? 10 。 19.解: ⑴由已知条件得 S n ? ② ①-②得: an ?

1 2 1 1 an ? an ? , 8 2 2

① 当 n ? 2 时,S n ?1 ?

1 1 1 an ?12 ? an ?1 ? , 8 2 2

1 2 1 1 (an ? an ?12 ) ? (an ? an ?1 ) ,即 an ? an ?1 ? (an ? an ?1 )(an ? an ?1 ) , 8 2 4
-6-

∵数列 ?an ? 的各项均为正数,∴ an ? an?1 ? 4 ( n ? 2 ) , (3 分) 又 a1 ? 2 ,∴ an ? 4n ? 2 ; (4 分)∵ b1 ? a1 , bn?1 (an?1 ? an ) ? bn ,∴ b1 ? 2, ∴ bn ? 2 ? ( ) ⑵∵ cn ?

bn?1 1 ? , bn 4

1 4

n ?1

; (6 分)

an (7 分) ? (2n ? 1)4n?1 , bn

∴ Tn ? 1 ? 3 ? 4 ? 5 ? 42 ? ?? (2n ? 3) ? 4n?2 ? (2n ?1) ? 4n?1 ,

4Tn ?

4 ? 3 ? 42 ? ?? (2n ? 5) ? 4n?2 ? (2n ? 3) ? 4n?1 ? (2n ?1) ? 4n ,
2 n ?1

两式相减得 ?3Tn ? 1 ? 2(4 ? 4 ? ? ? 4 分)∴ Tn ? 20.

5 5 5 ) ? (2n ? 1)4n ? ? ? (2n ? ) ? 4n ? ? , ( 10 3 3 3

5 . (12 分) 9

解: (Ⅰ)由已知得 f ( x ) 的定义域为 (0, ?? ) , 且 f ?( x ) ?

1 ? a ,?2 分 x 1 1 当 a ? 0 时, f ( x ) 的单调增区间为 (0, ) ,减区间为 ( , ?? ) ; a a 当 a ? 0 时, f ( x ) 的单调增区间为 (0, ?? ) ,无减区间; ??6 分

2





g ( x) ? x3 ?

x m [m ? 2 f ?( x )] ? x 3 ? ( ? a ) x 2 ? x, ? g?( x) ? 3x 2 ? (m ? 2a) x ? 1, 2 2 ? g ( x ) 在区间 ( a ,3) 上有最值,? g ( x ) 在区间 ( a ,3) 上总不是单调函数, ? g ?(a ) ? 0 又 g ?(0) ? ?1? ? ? ? 9 由 题 意 知 : 对 ? g ?(3) ? 0

任 立

意 ,
-7-

a ?[1,2], g?(a) ? 3a2 ? (m ? 2a) ? a ? 1 ? 5a 2 ? ma ? 1 ? 0





?m ?

19 对 任 意 a ? ?1,2? , 2 ? 6a ? 26 26 ?? ? 2a ∵ a ? ?1,2? ∴ g / ?3? ? 26 ? 3m ? 6a ? 0 恒成立 ∴ m ? 3 3 32 32 19 m?? ?? ? m ? ? ?????12 分 3 2 3
因 为 a ?[ 1 , 2 ]

1 ? 5a 2 1 ? ? 5a, a a

?m ? ?

22. (Ⅰ) 证明: 连接 AF、 OE、 OF, 则 A, F, G, H 四点共圆 ,由 EF 是切线知 OF⊥EF, ∠BAF=∠EFG ∵CE⊥AB 于点 H,AF⊥BF,∴∠FGE=∠BAF ∴∠FGE=∠EFG, ∴EF=EG???5 分 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (Ⅱ)解:∵OE =OH +HE =OF +EF ,∴EF =OH +HE ﹣OF =48,∴EF=EG=4 , ∴GH=EH﹣EG=8﹣4 ??????10 分 解:(Ⅰ)由 x ? 1 ? 2 ? 5 得 ?5 ? x ?1 ? 2 ? 5 ??7 ? x ?1 ? 3 得不等式的解集为 ? ?2, 4 ? ????????5 分 (Ⅱ)因为任意 x1 ? R ,都有 x2 ? R ,使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) 成立, 所 以

{y

?

|y

?

f(

x) , ?



}

y

f(

?

x)

?

2x

?

a , 2 ?

x 3?

|

x?

(

a

g ( x) ?| x ? 1| ?2 ? 2 ,所以 | a ? 3 |? 2 ,解得 a ? ?1 或 a ? ?5 ,
所以实数 a 的取值范围为 a ? ?1 或 a ? ?5 .????????10 分

-8-


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