kl800.com省心范文网

第2讲 函数的单调性与最值 3


第2讲
教学重点:

函数的单调性与最值

1.考查求函数单调性和最值的基本方法. 2.利用函数的单调性求单调区间. 3.利用函数的单调性求最值和参数的取值范围.

复习指导:
本讲复习首先回扣课本, 从“数”与“形”两个角度来把握函数的单调性和最值的概念, 复 习中重点掌握:(1)函数单调性的判断及

其应用;(2)求函数最值的各种基本方法;对常见题 型的解法要熟练掌握.

基础梳理 1.函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数

一般地, 设函数 f(x)的定义域为 I.如果对于定义域 I 内某个区间 D 上 的任意两个自变量的值 x1,x2 定义 当 x1<x2 时,都有 f(x1)<f(x2),那么就说 函数 f(x)在区间 D 上是增函数 当 x1<x2 时,都有 f(x1)> f(x2),那么就说函数 f (x ) 在区间 D 上是减函数

图象 描述 自左向右图象是上升的 (2)单调区间的定义 若函数 f(x)在区间 D 上是增函数或减函数, 则称函数 f(x)在这一区间上具有(严格 的)单调性,区间 D 叫做 f(x)的单调区间. 自左向右图象是下降的

2.函数的最值

一个防范 1 函数的单调性是对某个区间而言的,所以要受到区间的限制.例如函数 y= x 分 别在(-∞,0),(0,+∞)内都是单调递减的,但不能说它在整个定义域即(-∞, 0)∪(0,+∞)内单调递减,只能分开写,即函数的单调减区间为(-∞,0)和(0, +∞),不能用“∪”连接. 两种形式 设任意 x1,x2∈[a,b]且 x1<x2,那么 f?x1?-f?x2? f?x1?-f?x2? ① >0?f(x)在[a,b]上是增函数; <0?f(x)在[a,b]上是减函 x1-x2 x1-x2 数. ②(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0?f(x)在[a, b]上是增函数; (x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0?f(x) 在[a,b]上是减函数. 两条结论 (1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值.当函数在闭区间上单调时最 值一定在端点取到. (2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值. 四种方法 函数单调性的判断 (1)定义法:取值、作差、变形、定号、下结论. (2)复合法:同增异减,即内外函数的单调性相同时,为增函数,不同时为减函 数. (3)图象法:利用图象研究函数的单调性. 双基自测
1.设 f(x)为奇函数,且在(-∞,0)内是减函数,f(-2)=0,则 xf(x)<0 的解集为 ( A.(-2,0)∪(2,+∞) C.(-∞,-2)∪(2,+∞) B.(-∞,-2)∪(0,2) D.(-2,0)∪(0,2) ).

2.(2011· 湖南)已知函数 f(x)=ex-1,g(x)=-x2+4x-3.若有 f(a)=g(b),则 b 的取值范围为

(

). B.(2- 2,2+ 2) D.(1,3)

A.[2- 2,2+ 2] C.[1,3]

?1??<f(1)的实数 x 的取值范围 3.(2012· 保定一中质检)已知 f(x)为 R 上的减函数,则满足 f? ??x ??
是( ). B.(0,1) D.(-∞,-1)∪(1,+∞) A.(-1,1) C.(-1,0)∪(0,1)

4.(2011· 江苏)函数 f(x)=log5(2x+1)的单调增区间是______. 2 5.若 x>0,则 x+ 的最小值为________. x

考向一

函数的单调性的判断

x 例 1、试讨论函数 f(x)= 2 的单调性. x +1

判断(或证明)函数单调性的主要方法有:(1)函数单调性的定义;(2)观察函数的图 象;(3)利用函数和、差、积、商和复合函数单调性的判断法则; 训练 1、 讨论函数 f(x)= ax (a≠0)在(-1,1)上的单调性. x-1

考向二

利用已知函数的单调区间求参数的值(或范围)

例 2、如果函数 f (x)=x +2(a-1)x+2 在区间(-∞,4]上是减函数,则实数 a 的取值 范围是( ) B.(-∞,-3] C.(-∞,5] D.[3,+∞)

2

A.[-3,+∞)

已知函数的解析式,能够判断函数的单调性,确定函数的单调区间, 反之已知函数的单调区间可确定函数解析式中参数的值或范围, 可通过列不等式 或解决不等式恒成立问题进行求解.
训练 2、已知函数 f ( x) ? x ? 2ax ? 2, x ? [?5,5] 。
2

(1)当 a ? ?1 时,求函数的最大值和最小值; (2)求实数 a 的取值范围,使 y ? f ( x) 在区间 ?? 5,5? 上是单调函数。

考向三

与单调性有关的解不等式

例 3、解不等式 log 2

( x 2 ?2 x )

?3

例 4、 f ( x ) 为偶函数且当 x ? (0,??) 时, f ( x ) 为增函数求满足 f ( 2 m ?1) ? f ( 2 ) 的 m 的取值范围。

课后练习:
1、下列函数中既是奇函数又是增函数的是( A. y ? x ? 1 B. y ? ? x
3



C. y ?

1 x


D. y ? x x

2、函数 f ? x ? ? log 2 4 x ? x 2 的单调递减区间是( A. (0, 4) ; B. (0, 2) ; C. (2, 4) ; D. (2, ??)

?

?

3、下列函数中,满足“对任意的 x1 , x2?( 0, ?? ) ,当 x2 ? x2 时, f ( x1 ) ? f ( x2 ) ”的是( A. f ( x ) ? x



1

B. f ( x ) ? ( x ? 1 )
2

C. f ( x ) ? e

x

D. f ( x ) ? ln

( x ?1)

?(3a ? 1) x ? 4 a, x ? 1 4、已知 f ( x) ? ? 是 (??, ??) 上的减函数,那么 a 的取值范围是 ?log a x, x ? 1

5、 f ( x ) 为定义在 R 上的奇函数, 且当 x ? (0,??) 时, f ( x ) 为增函数若 f ( x 2 ?3 x ) ? f ( 2 x ? 2 ? a ) ? 0 对任意的 x ? R 恒成立,求 a 的取值范围。


第二章第3讲函数的单调性与最值

第二章第3讲函数的单调性与最值_数学_高中教育_教育专区。第 3 讲 函数的...(2) 都有 f(x)≥M;(2) 存在 x0∈I,使得 f(x0)=M 存在 x0∈I,...

第二章第2讲函数的单调性与最值

第二章第2讲函数的单调性与最值_数学_高中教育_教育专区。第 2 讲 函数的...(3)图象法:如果 f(x)是以图象形式给出的,或者 f(x)的图象易作出,可由...

2016届 数学 (文科)一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数 第2讲 函数的单调性与最值

(文科)一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数 第2讲 函数的单调性与最值_...函数. ∴a+1>1,∴a>0.②由①②知,0<a≤1. 答案 (0,1] ??1?? 3...

【创新设计】2015年高考数学(四川专用,理)一轮复习考点突破:第2篇 第2讲 函数的单调性与最值(学生版)

(四川专用,理)一轮复习考点突破:第2篇 第2讲 函数的单调性与最值(学生版)...(2)函数 f(x)=2x+1 在(-∞,+∞)上是增函数.(√) 1 (3)(教材改编)...

2013高考数学理(人教A)总复习教案:第二篇 函数与基本初等函数Ⅰ 第2讲 函数的单调性与最值

2013高考数学理(人教A)总复习教案:第二篇 函数与基本初等函数Ⅰ 第2讲 函数的单调性与最值_数学_高中教育_教育专区。函数的单调性与最值时间段 一二三四 ...

2016届 数学 (理科)一轮复习 第二章 函数与基本初等函数 第2讲 函数的单调性与最值

(理科)一轮复习 第二章 函数与基本初等函数 第2讲 函数的单调性与最值_数学...3? x - log2(x + 2) 在区间 [ - 1,1] 上的最大值为 ? ? ___....

山东2016高考数学理科二轮复习讲义:专题一+第3讲+导数与函数的单调性、极值、最值问题

理科二轮复习讲义:专题一+第3讲+导数与函数的单调性、极值、最值问题_经管营销...所以,f(x)在(-∞,0)单调递减,在(0,+∞)上单调递增. (2)解由(1)知,...

第2讲:单调性与最值

示范教案(1.3.1单调性与最... 13页 免费如要投诉违规内容,请到百度文库投诉...第2 讲:函数的单调性与最值 【考纲要求】 1.理解函数的单调性,会讨论和证明...

【走向高考】(新课标)2017高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 第2讲 函数的单调性与最值习题

第二章 函数、导数及其应用 第2讲 函数的单调性与最值习题_数学_高中教育_...(-∞,3)上是减函数,则 a 的取值范围 是 导学号 25400203 ( 3 A.(0, ...

2015《创新大课堂》高三人教版数学(理)一轮复习课时作业:第2章 第3节 函数的单调性与最值

2015《创新大课堂》高三人教版数学(理)一轮复习课时作业:第2章 第3函数的单调性与最值_高三数学_数学_高中教育_教育专区。课时作业一、选择题 1.(2013· ...

函数的单调性与最值 | 三角函数单调性与最值 | 函数的单调性与极值 | 函数单调性与最值 | 函数单调性与最值教案 | 函数单调性与最值ppt | 函数的单调性和最值 | 利用函数单调性求最值 |