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2015高考题基本不等式


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考点 26 基本不等式
一、选择题
? 2 x ? y ? 10 ? 1. (2015·四川高考文科·T9)设实数 x , y 满足 ? x ? 2 y ? 14 ,则 xy 的最大值为( ?x ? y ? 6 ?
(A) )

25 2

(B)

49 2

(C) 12

(D)14

【解题指南】利用基本不等式解题 【解析】选 A 由条件得: y ? 2 ? 5 ? x ? 。于是, xy ? 2 x ? 5 ? x ? ? 2?

25 ? x ?5? x ? 。 xy 当且仅当 ? ? 2 2 ? ?

2

5 25 5 , y ? 5 时取到最大值 。经验证, x ? , y ? 5 在可行域内。故选 A 。 2 2 2 1 1 2 2. .(2015· 四川高考理科· T9)如果函数 f(x)= (m-2)x +(n-8)x+1(m≥0,n≥0)在区间[ ,2]上单调递减, 2 2 x?
那么 mn 的最大值为 ( A.16 B.18 ) C.25 D.

81 2

【解析】选 B. f ?( x ) =(m-2) x +n-8=0 得 x ? ? 意, ?

n ?8 n ?8 . 当 m>2 时 , 抛物线的对称轴为 x ? ? , 据题 m?2 m?2

n ?8 ≥2,即 2m+n≤12. m?2 2m ? n ? 6 ,所以 m· 因为 2mn ? n≤18,由 2m+n=12 且 2m=n 得 m=3,n=6.当 m<2 时,抛物线开口向下,根据 2 n ?8 1 81 2n ? m ? , 即 2n+m ≤18,因为 2mn ? ? 9 , 所以 m· n≤ , 由 2n+m=18 且 2n=m 得 题意得 :2 m?2 2 2
m=9(舍).要使得 mn 取最大值,应有 2n+m=18(m<2,n>8),所以 m·n=(18-2n)·n<(18-2×8)×8=16,所以最大 值为 18.

3.(2015 ·福建高考文科· T5) 若直线 + =1(a>0,b>0) 过点 (1,1), 则 a+b 的最小值等 于 A.2 ( ) B.3 C.4 D.5

【解题指南】利用基本不等式及“ 1 ”的代换求解 .

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【解析】选 C. 因为直线过点 (1,1), 所以

1 1 ? ? 1 ,所以 a b 1 1 b a b a a ? b ? (a ? b)( ? ) ? 1 ? 1 ? ? ? 2 ? ? , 因为 a ? 0, b ? 0 ,所以 a b a b a b

2?

b a b a ? ? 2 ? 2 ? ? 4 ,当且仅当“ a=b=2 ”时等号成立 . a b a b
a?b ), 2

4. (2015 ·陕西高考理科· T9) 设 f ( x) ? ln x,0 ? a ? b ,若 p ? f ( ab ) , q ? f (
r? 1 ( f (a ) ? f (b)) ,则下列关系式中正确的是 2

(

)

A.q=r<p C.p=r<q

B.q=r>p D.p=r>q

【解题指南】根据对数的运算性质和不等式的基本性质代入求解即可 . 【解析】选 C. 由条件可得 p ? f ( ab ) ? ln(ab) ?
r?
1 2

1 1 ln ab ? (ln a ? ln b), 2 2

1 1 ( f (a ) ? f (b)) ? (ln a ? ln b) ? p, 2 2 a?b ? ab ,且函数 f(x)=lnx 是增函数, 由不等式的性质在 0<a<b 的条件下, 2 a?b ) ,故选项 C 正确 . 所以 p ? f ( ab ) < q ? f ( 2

5. (2015 ·陕西高考文科· T10) 设 f ( x) ? ln x,0 ? a ? b ,若 p ? f ( ab ) , q ? f (
r? 1 ( f (a ) ? f (b)) ,则下列关系式中正确的是 2

a?b ), 2

(

)

A.q=r<p C.p=r<q

B.q=r>p D.p=r>q

【解题指南】根据对数的运算性质和不等式的基本性质代入求解即可 .
1

【解析】选 C. 由条件可得 p ? f ( ab ) ? ln(ab) 2 ?
r?

1 1 ln ab ? (ln a ? ln b), 2 2

1 1 ( f (a ) ? f (b)) ? (ln a ? ln b) ? p, 2 2 a?b ? ab ,且函数 f(x)=lnx 是增函数, 由不等式的性质在 0<a<b 的条件下, 2 a?b ) ,故选项 C 正确 . 所以 p ? f ( ab ) < q ? f ( 2

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二、填空题
? x 2 , x ? 1, ? 6.(2015 ·浙江高考文科· T12) 已知函数 f(x)= ? 则 f(f(-2))= 6 ? x ? ? 6, x ? 1, x ?
的最小值是 . ,f(x)

【解题指南】利用分段函数求值 , 利用基本不等式求最值 . 【解析】 f(-2)=(-2) 2 =4, 所以 f(f(-2))=f(4)=4+ -6=- . 当 x ≤ 1 时 ,f(x) ≥ 0, 当 x>1 时 ,f(x) ≥

2

-6, 当 x= , 即 x=

时取到等号 , 因为 2

-6<0, 所以函数的最小值为 2

-6.

答案 : ?

1 2

2 6 ?6
时 ,log 2 a · log 2 (2b)

7.(2015 ·天津高考文科· T12) 已知 a>0,b>0,ab=8, 则当 a 的值为 取得最大值 . 【解析】 log 2 a ? log 2 ? 2b ? ? ?

? log 2 a ? log 2 ? 2b ? ? 1 1 2 2 ? ? ? log 2 2ab ? ? ? log 2 16 ? ? 4, 2 4 ? ? 4

当 a=2b 时取等号 , 结合 a>0,b>0,ab=8, 可得 a=4,b=2. 答案 :4

8.(2015 · 山东高考文科· T14) 定义运算 “ ? ”x ? y ? 时 ,x ?y+(2y) ?x 的最小值为 .

x2 ? y 2 : ( x,y ∈ R,xy ≠ 0), 当 x>0,y>0 xy

【解题指南】本题以新定义形式考查用基本不等式求最值的基本方法 . 【解析】 x>0,y>0 时 , x ? y ? (2 y) ? x ?

x2 ? y 2 4 y 2 ? x2 x2 ? 2 y 2 ? ? xy 2 yx 2 xy

?

2 2 xy ? 2 .所以所求的最小值为 2 . 2 xy

答案: 2 .
9 . ( 2015 ·重庆高考文科·T 14 )设 a, b ? 0, a ? b ? 5, 则 a ? 1 ? b ? 3 的最大值为

_________.

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【解题指南】因为 ? a ?1? ? ?b ? 3? 为定值,利用不等式 【解析】因为 a, b ? 0, a ? b ? 5,所以 ? a ?1? ? ?b ? 3? ? 9 由不等式

x? y ? 2

x2 ? y 2 求解即可 . 2

x? y ? 2

x2 ? y 2 可知, 2

a ?1 ? b ? 3 a ?1? b ? 3 3 2 , ? ? 2 2 2
所以 a ? 1 ? b ? 3 的最大值为 3 2 答案: 3 2

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