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【名师一号】2017届高考数学大一轮总复习 大题规范练6 概率与统计 理 北师大版


高考大题规范练(六)
放红包,每次发放 1 个。

概率与统计

1.(2015·河北唐山一模)小王在某社交网络的朋友圈中,向在线的甲、乙、丙随机发

(1)若小王发放 5 元的红包 2 个,求甲恰得 1 个的概率; (2)若小王发放 3 个红包,其中 5 元的 2 个,10 元的 1 个。记乙所得红包的总钱数为 X, 求 X 的分布列和期望。 解 1 2 4 1 (1)设“甲恰得一个红包”为事件 A,则 P(A)=C2× × = 。 3 3 9

(2)X 的所有可能值为 0,5,10,15,20。

P(X=0)=? ?2× = , 3
2 P(X=5)=C1 , 2× ×? ? = 3

?2? ? ?

2 8 3 27

1 3

?2? ? ?

8 27

P(X=10)=? ?2× +? ?2× = , ?3? 3 ?3? 3 27
2 P(X=15)=C1 , 2×? ? × = 3

?1?

2 ?2?

1

6

?1? ? ?

2 4 3 27

P(X=20)=? ?3= 。 3 X 的分布列: X P
8 27 8 27 0 8 27 6 27 5 8 27 4 27 10 6 27 15 4 27 20 1 27

?1? ? ?

1 27

EX=0× +5× +10× +15× +20× = 。
2.(2015·湖南卷)某商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金额的商品后即可抽奖, 每次抽奖都是从装有 4 个红球、6 个白球的甲箱和装有 5 个红球、5 个白球的乙箱中,各随 机摸出 1 个球,在摸出的 2 个球中,若都是红球,则获一等奖;若只有 1 个红球,则获二等 奖;若没有红球,则不获奖。 (1)求顾客抽奖 1 次能获奖的概率; (2)若某顾客有 3 次抽奖机会,记该顾客在 3 次抽奖中获一等奖的次数为 X,求 X 的分 布列和数学期望。 解 (1)记事件 A1={从甲箱中摸出的 1 个球是红球}, A2={从乙箱中摸出的 1 个球是红

1 20 27 3

球},B1={顾客抽奖 1 次获一等奖},B2={顾客抽奖 1 次获二等奖},C={顾客抽奖 1 次能获 奖}。

1

- - - - 由题意,A1 与 A2 相互独立,A1 A 2 与 A 1A2 互斥,B1 与 B2 互斥,且 B1=A1A2,B2=A1 A 2+ A
1 2

A ,C=B1+B2,
4 2 5 1 因为 P(A1)= = ,P(A2)= = , 10 5 10 2 2 1 1 所以 P(B1)=P(A1A2)=P(A1)P(A2)= × = , 5 2 5

P(B2)=P(A1 A 2+ A 1A2)=P(A1 A 2)+P( A 1A2)
- - =P(A1)P( A 2)+P( A 1)P(A2) =P(A1)(1-P(A2))+(1-P(A1))P(A2) 2 ? 1? ? 2? 1 1 = ×?1- ?+?1- ?× = 。 5 ? 2? ? 5? 2 2 1 1 7 故所求概率为 P(C)=P(B1+B2)=P(B1)+P(B2)= + = 。 5 2 10 (2)顾客抽奖 3 次可视为 3 次独立重复试验, 由(1)知, 顾客抽奖 1 次获一等奖的概率为 1 ? 1? ,所以 X~B?3, ?。 5 ? 5? 64 0?1?0?4? 3 于是 P(X=0)=C3? ? ? ? = , ?5? ?5? 125
1 2 P(X=1)=C1 , 3? ? ? ? = ?5? ?5? 125









?1? ?4? ?1? ?4? ?1? 4 ? ?5

48 12

2 1 P(X=2)=C2 , 3? ? ? ? = ?5? ?5? 125

3 0 P(X=3)=C3 = 3? ? 5

1 。 125

故 X 的分布列为

X P

0 64 125 1 3 5 5

1 48 125

2 12 125

3 1 125

X 的数学期望为 EX=3× = 。
3.一款击鼓小游戏的规则如下:每盘游戏都需击鼓三次,每次击鼓要么出现一次音乐, 要么不出现音乐;每盘游戏击鼓三次后,出现一次音乐获得 10 分,出现两次音乐获得 20 分,出现三次音乐获得 100 分,没有出现音乐则扣除 200 分(即获得-200 分)。设每次击鼓 1 出现音乐的概率为 ,且各次击鼓出现音乐相互独立。 2 (1)设每盘游戏获得的分数为 X,求 X 的分布列;

2

(2)玩三盘游戏,至少有一盘出现音乐的概率是多少? (3)玩过这款游戏的许多人都发现,若干盘游戏后,与最初的分数相比,分数没有增加 反而减少了。请运用概率与统计的相关知识分析分数减少的原因。 解 (1)X 可能的取值为:10,20,100,-200。根据题意,有

1 2 P(X=10)=C1 3×? ? ×?1- ? = , 2 2

?1? ? ? ?1? ? ?

? ? ? ?

1?

? ?

3 8 3 8

2 1 P(X=20)=C2 3×? ? ×?1- ? = , 2 2

1?

3 0 P(X=100)=C3 3×? ? ×?1- ? = , 2 2

?1? ? ?

? ?

1?

?

1 8

0 3 P(X=-200)=C0 3×? ? ×?1- ? = 。 2 2

?1? ? ?

? ?

1?

?

1 8

所以 X 的分布列为

X P

10 3 8

20 3 8

100 1 8

-200 1 8

(2)设“第 i 盘游戏没有出现音乐”为事件 Ai(i=1,2,3), 则 P(A1)=P(A2)=P(A3)=P(X 1 =-200)= 。 8 所以,“三盘游戏中至少有一次出现音乐”的概率为 1 511 ?1?3 1-P(A1A2A3)=1-? ? =1- = 。 512 512 ?8? 511 因此,玩三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率是 。 512 3 3 1 1 5 (3)X 的数学期望为 EX=10× +20× +100× -200× =- 。 8 8 8 8 4 这表明,获得分数 X 的均值为负, 因此,多次游戏之后分数减少的可能性更大。 4.经销商经销某种农产品,在一个销售季度内,每售出 1 t 该产品获利润 500 元,未 售出的产品,每 1 t 亏损 300 元。根据历史资料,得到销售季度内市场需求量的频率分布直 方图, 如图所示。 经销商为下一个销售季度购进了 130 t 该农产品。 以 X(单位: t,100≤X≤150) 表示下一个销售季度内的市场需求量,T(单位:元)表示下一个销售季度内经销该农产品的 利润。

3

(1)将 T 表示为 X 的函数; (2)根据直方图估计利润 T 不少于 57 000 元的概率; (3)在直方图的需求量分组中,以各组的区间中点值代表该组的各个值,需求量落入该 区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如: 若需求量 X∈[100,110), 则取 X=105, 且 X=105 的概率等于需求量落入[100,110)的频率)。求 T 的均值。 解 (1)当 X∈[100,130)时,

T=500X-300(130-X)=800X-39 000。
当 X∈[130,150]时,T=500×130=65 000。
?800X-39 000,100≤X<130, ? 所以 T=? ?65 000,130≤X≤150。 ?

(2)由(1)知利润 T 不少于 57 000 元。当且仅当 120≤X≤150。 由直方图知需求量 X∈[120,150]的频率为 0.7,所以下一个销售季度的利润 T 不少于 57 000 元的概率的估计值为 0.7。 (3)依题意可得 T 的分布列为

T P

45 000 0.1

53 000 0.2

61 000 0.3

65 000 0.4

所以 ET=45 000×0.1+53 000×0.2+61 000×0.3+65 000×0.4=59 400。 5.低碳生活,从“衣食住行”开始。在国内一些网站中出现了“碳足迹”的应用,人 们可以由此计算出自己每天的碳排放量,如家居用电的二氧化碳排放量 (kg) =耗电度数 ×0.785,家用天然气的二氧化碳排放量(kg)=天然气使用立方数×0.19 等。某校开展“节 能减排,保护环境,从我做起!”的活动,该校高一(六)班同学利用假期在东城、西城两个 小区进行了逐户的关于“生活习惯是否符合低碳排放标准”的调查。 生活习惯符合低碳观念 的称为“低碳家庭”,否则称为“非低碳家庭”。经统计,这两类家庭占各自小区总户数的 比例 P 数据如下: 东城小区 比例 P 低碳家庭 1 2 非低碳家庭 1 2

西城小区

低碳家庭

非低碳家庭

4

比例 P

4 5

1 5

(1)如果在东城、西城两个小区内各随机选择 2 个家庭,求这 4 个家庭中恰好有两个家 庭是“低碳家庭”的概率; (2)该班同学在东城小区经过大力宣传节能减排的重要意义,每周“非低碳家庭”中有 20%的家庭能加入到“低碳家庭”的行列中。 宣传两周后随机地从东城小区中任选 5 个家庭, 记 ξ 表示 5 个家庭中“低碳家庭”的个数,求 Eξ 和 Dξ 。 解 (1)设事件“4 个家庭中恰好有两个家庭是‘低碳家庭’”为 A,

则有以下三种情况:“低碳家庭”均来自东城小区,“低碳家庭”分别来自东城、西城 两个小区,“低碳家庭”均来自西城小区。 1 1 1 1 1 1 4 1 1 1 4 4 33 所以 P(A)= × × × +4× × × × + × × × = 。 2 2 5 5 2 2 5 5 2 2 5 5 100 (2)因为东城小区每周“非低碳家庭”中有 20%的家庭加入“低碳家庭”行列,经过两 周后,两类家庭占东城小区总家庭数的比例如下: 东城小区 比例 P 低碳家庭 17 25 非低碳家庭 8 25

由题意,两周后东城小区 5 个家庭中的“低碳家庭”的个数 ξ 服从二项分布,

? 17? 即 ξ ~B?5, ?。 ? 25?
17 17 17 8 136 所以 Eξ =5× = ,Dξ =5× × = 。 25 5 25 25 125

5


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