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2015专题五:函数与导数(含近年高考试题)


2015 年高考专题系列:函数与导数
函数导数的内容在历年高考中主要集中在切线方程、导数的计算,利用导数判断函数的单调性、极值、最 值等问题,以及与不等式、三角函数、数列、立体几何、解析几何等知识相联系的综合题目,类型有交点个数、 恒成立等问题,其中渗透并充分利用构造函数、分类讨论、转化与划归、数形结合等重要的思想方法,主要考察 导数的工具性作用.

在解题中常用的有关结论(需要熟记) :

(1)曲线 y ? f ( x) 在 x ? x0 处的切线的斜率等于___,切线方程为 y ? f ?( x0 )( x ? x0 ) ? f ( x0 ) (2)若可导函数 y ? f ( x) 在 x ? x0 处取得极值,则 f ?( x0 ) ? 0 。反之,不成立。 (3)对于可导函数 f ( x) ,不等式 f ?( x) ? 0( ? 0) 的解集决定函数 f ( x) 的递增(减)区间。 (4)函数 f ( x) 在区间 I 上递增(减)的充要条件是: ?x ? I ,_________恒成立 (5)函数 f ( x) 在区间 I 上不单调等价于 f ( x) 在区间 I 上有极值,则可等价转化为方程
f ?( x) ? 0 在区间 I 上有实根且为非二重根。 (若 f ?( x) 为二次函数且 I=R, 则有 ? ? 0 ) 。

(6) f ( x) 在区间 I 上无极值等价于 f ( x) 在区间在上是单调函数,进而得到 f ?( x) ? 0 或
f ?( x ) ? 0 在 I 上恒成立

(7)若 ?x ? I , f ( x) ? 0 恒成立,则_____ ? 0 ; 若 ?x ? I , f ( x) ? 0 恒成立,则_______ ? 0 (8)若 ? x0 ? I ,使得 f ( x0 ) ? 0 ,则_____- ? 0 ;若 ? x0 ? I ,使得 f ( x0 ) ? 0 ,则______ ? 0 . (9) 设 f ( x) 与 g ( x) 的 定 义 域 的 交 集 为 D 若 ? x ? D , f ( x) ? g ( x) 恒 成 立 则 有
? f ( x) ? g( x)?min ? 0

(10)若对 ? x1 ? I1 、 x2 ? I 2 , f ( x1 ) ? g ( x2 ) 恒成立,则 f ( x)min ? g ( x)max . 若对 ? x1 ? I1 , ? x2 ? I 2 ,使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) ,则 f ( x)min ? g ( x)min . 若对 ? x1 ? I1 , ? x2 ? I 2 ,使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) ,则 f ( x)max ? g ( x)max . (11)已知 f ( x) 在区间 I1 上的值域为 A,, g ( x) 在区间 I 2 上值域为 B, 若对 ? x1 ? I1 , ? x2 ? I 2 ,使得 f ( x1 ) = g ( x2 ) 成立,则 A ? B 。 (12)若三次函数 f(x)有三个零点,则方程 f ?( x) ? 0 有两个不等实根 x1 、 x2 ,且极大值 大于 0,极小值小于 0.

考点一:导数几何意义:
例 1: (2014 新课标全国Ⅰ卷) 设函数 f ( x) ? ae ln x ?
x

be x ?1 ,曲线 y ? f ( x) 在点(1, f (1) 处的切线为 x

y ? e( x ? 1) ? 2 . (1)求 a , b 的值

考点二:判断函数单调性,求函数的单调区间。
ex 2 例 2、 (2014 新课标山东卷)设函数 f ( x) ? 2 ? k ( ? ln x) ( k 为常数, e ? 2.71828 ??? 是自然对数的底数). x x
(Ⅰ)当 k ? 0 时,求函数 f ( x ) 的单调区间;

考点三:用导数解决函数的极值问题
1、 (2014 新课标江西卷)已知函数 .

(1) 当

时,求

的极值; a

(A,B 组同学做)2013· 福建高考节选)已知函数 f(x)=x-1+ x(a∈R,e 为自然对数的底数). e
(1)若曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线平行于 x 轴,求 a 的值;(2)求函数 f(x)的极值. (分类讨论)

a a (13 福建)[解] (1)由 f(x)=x-1+ x,得 f′(x)=1- x. e e

又曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线平行于 x 轴,

a a 得 f′(1)=0,即 1- =0,解得 a=e. (2)f′(x)=1- x, e e ①当 a≤0 时,f′(x)>0,f(x)为(-∞,+∞)上的增函数,所以函数 f(x)无极值. ②当 a>0 时,令 f′(x)=0,得 ex=a,即 x=ln a. x∈(-∞,ln a),f′(x)<0;x∈(ln a,+∞),f′(x)>0, 所以 f(x)在(-∞,ln a)上单调递减,在(ln a,+∞)上单调递增, 故 f(x)在 x=ln a 处取得极小值, 且极小值为 f(ln a)=ln a,无极大值. 综上,当 a ≤0 时,函数 f(x)无极值; 当 a>0 时,f(x)在 x=ln a 处取得极小值 ln a,无极大值.

考点四:已知函数的单调性求参数的范围
[典例] 已知函数 f(x)=ln x-a2x2+ax(a∈R).若函数 f(x)在区间(1,+∞)上是减函数, 求实数 a 的取值范围. (分类讨论)

考点五: 运用导数解决函数的最值问题
1 例 5:设函数 f(x)=aln x-bx2(x>0),若函数 f(x)在 x=1 处与直线 y=- 相切, 2 1 ? (1)求实数 a,b 的值;(2)求函数 f(x)在? ?e,e?上的最大值.

最值突破题: 1.已知函数 f(x)=ln x-ax(a∈R).求函数 f(x)的单调区间; (2)当 a>0 时,求函数 f(x)在[1,2]上的最小值.
2.(2013· 全国卷Ⅰ)设函数 f(x)=x2+ax+b,g(x)=ex(cx+d).若曲线 y=f(x)和曲线 y=g(x)都过点 P(0,2),且在点 P 处有相同的切线 y=4x+2. (1)求 a,b,c,d 的值;(2)若 x≥-2 时,f(x)≤kg(x),求 k 的取值范围

针对训练 1、 (2014 新课标重庆卷)已知函数

f ( x) ? ae2 x ? be?2 x ? cx(a, b, c ? R) 的导函数 f '( x) 为偶函数,且曲线

y ? f ( x) 在点 (0, f (0)) 处的切线的斜率为 4 ? c .
(1)确定 a , b 的值; (2)若 c

? 3 ,判断 f ( x) 的单调性;

2、 (2014 新课标福建卷)已知函数 f ?x ? ? e x ? ax( a 为常数)的图像与 y 轴交于点 A ,曲线 y ? f ?x ? 在点 A 处 的切线斜率为-1.(I)求 a 的值及函数 f ?x ? 的极值; 3、 (2014 新课标安徽卷)设函数 f ( x)=1+(1+a)x ? x2 ? x3 ,其中 a > 0 . ( I )讨论 f ( x ) 在其定义域上的单调性; 4、 (2014 新课标湖南卷)已知常数 a ? 0, 函数f ( x) ? ln(1 ? ax) ? (1)讨论 f ( x ) 在区间 (0, ??) 上的单调性;

2x . x?2

总结:

最值拔高题: 已知函数 f(x)=ln x-ax(a∈R). (1)求函数 f(x)的单调区间; (2)当 a>0 时,求函数 f(x)在[1,2]上的最小值.

1 1 [解] (1)f′(x)= -a(x>0),①当 a≤0 时,f′(x)= -a>0,即函数 f(x)的单调增区间为(0,+∞). x x 1-ax 1 1 1 ②当 a>0 时,令 f′(x)= -a=0,可得 x= ,当 0<x< 时,f′(x)= >0; x a a x 1-ax 1? 1 ?1 ? 当 x> 时,f′(x)= <0,故函数 f(x)的单调递增区间为? ?0,a?,单调递减区间为?a,+∞?. a x 1 (2)①当 ≤1,即 a≥1 时,函数 f(x)在区间[1,2]上是减函数,∴f(x)的最小值是 f(2)=ln 2-2a. a 1 1 ②当 ≥2,即 0<a≤ 时,函数 f(x)在区间[1,2]上是增函数,∴f(x)的最小值是 f(1)=-a. a 2 1? 1 1 ?1 ? ③当 1< <2,即 <a<1 时,函数 f(x)在? ?1,a?上是增函数,在?a,2?上是减函数.又 f(2)-f(1)=ln 2-a, a 2 1 ∴ 当 <a<ln 2 时,最小值是 f(1)=-a;当 ln 2≤a<1 时,最小值为 f(2)=ln 2-2a. 2 综上可知,当 0<a<ln 2 时,函数 f(x)的最小值是-a;当 a≥ln 2 时,函数 f(x)的最小值是 ln 2-2a. [.(2013· 全国卷Ⅰ)设函数 f(x)=x2+ax+b,g(x)=ex(cx+d).若曲线 y=f(x)和曲线 y=g(x)都过点 P(0,2),且在点 P 处有相同的切线 y=4x+2. (1)求 a,b,c,d 的值;(2)若 x≥-2 时,f(x)≤kg(x),求 k 的取值范围

解] (1)由已知得 f(0)=2,g(0)=2, f′(0)=4,g′(0)=4. 而 f′(x)=2x+a,g′(x)=ex(cx+d+c),故 b=2,d=2,a=4,d+c=4. 从而 a=4,b=2,c=2,d=2. (2)由(1)知,f(x)=x2+4x+2,g(x)=2ex(x+1). 设函数 F(x)=kg(x)-f(x)=2kex(x+1)-x2-4x-2, 则 F′(x)=2kex(x+2)-2x-4=2(x+2)(kex-1). 由题设可得 F(0)≥0,即 k≥1. 令 F′(x)=0 得 x1=-ln k,x2=-2. (ⅰ)若 1≤k<e2,则-2<x1≤0.从而当 x∈(-2,x1)时,F′(x)<0;当 x∈(x1,+∞)时,F′(x)>0,即 F(x) 在(-2,x1)上单调递减,在(x1,+∞)上单调递增,故 F(x)在[-2,+∞)上的最小值为 F(x1).而 F(x1)=2x1+2
2 -x1 -4x1-2=-x1(x1+2)≥0.

故当 x≥-2 时,F(x)≥0,即 f(x)≤kg(x)恒成立. (ⅱ)若 k=e2,则 F′(x)=2e2(x+2)(ex-e 2).从而当 x>-2 时,F′(x)>0,即 F(x)在(-2,+∞)上单调递


增, 而 F(-2)=0,故当 x≥-2 时,F(x)≥0,即 f(x)≤kg(x)恒成立. (ⅲ)若 k>e2,则 F(-2)=-2ke 2+2=-2e 2〃(k-e2)<0.从而当 x≥-2 时,f(x)≤kg(x)不可能恒成立.
- -

综上,k 的取值范围是[1,e2].


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