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2.4.1


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回忆向量夹角概念
? ? ? ? ??? ? ? ??? 已知两个非零向量 a 和 b ,作 OA ? a , OB ? b , ? ? 则∠AOB= θ(0?≤θ≤180?)叫做向量 a 与 b 的夹角.
B

? b
θ
O

? a

A

? ? a 与 b 同向; 当 θ= 0 ? 时, ? ? 当θ= 180? 时, a 与 b 反向;

? ? ? ? a 与 b 垂直,记作 a ? b 当θ= 90? 时, .
? a ? b ? a ? b

? a

? b

2.4.1 平面向量数量积的物 理背景及其含义
B

? b
θ
O

? a

A

F θ s

?? ? ?? ? 其中力F和位移S是向量,? 是F和S 的夹角, W是标量.
从力所做的功出发,我们引入向量“数 量积”的概念.

? ? ?? 移 S ,那么力 F 所做的功为: ?? ? W ?| F || s | cos?

?? 如果一个物体在力 F 的作用下产生位

向量的数量积概念:

? ? ? ? 叫作a 与 b 的数量积(或内积),记作 a ? b,即规
定:

? ? ? ? 已知非零向量 a与 b,我们把数量 | a || b | cos?

? ? ? ? a ? b ?| a || b | cos? .
? ? θ为 a 与 b的夹角.

研究数量积的物理意义
问题(1)功的数学本质是什么? (2)尝试练习. 一物体质量是10千克,分别做以下运动,求重 力做功 的大小。 ①、在水平面上位移为10米; ②、竖直下降10米; ③、竖直向上提升10米; ④、沿倾角为30度的斜面向上运动10米.

①、在水平面上位移为10米; ?? ②、竖直下降10米;

? s

W ?0

G
?? ? ? W ? G S

③、竖直向上提升10米;

? s ?? G ? s
?? G

?? ? ? W ??G S

④、沿倾角为? 30°的斜面向上运动10米.
?

?? G

s

?? ? ? W ? G S cos(180? ? 60?)

向量的数量积是一个数量,那么它 什么时候为正,什么时候为负?

? ? ? ? a ? b ?| a || b | cos ?

? ? 当0°≤θ < 90°时 a ? b 为正; ? ? 当90°<θ ≤180°时 a ? b为负。 ? ? 当θ =90°时a ? b 为零。 ? ? a?0 ? 0

投影:

? ? ? ? a ? b ?| a || b | cos?

? ? ? ? 其中θ 是 a 与 b 的夹角,| b | cos? (| a | cos? ) ? ? ? ? 叫做向量 b 在 a 方向上( a 在 b 方向上)的投影.
B

???? ? ? | OB1 |?| b | cos?

? b
O θ B1

? a

A

投影也是一个数量,不是向量;
当?为锐角时投影为正值; 当?为钝角时投影为负值;

? 当? = 0?时投影为 | b |; ? 当? = 180?时投影为 ?| b|.

当?为直角时投影为0;

数量积的几何意义:

? ? ? ? ? ? 数量积 a ? b 等于 a的长度 | a |与 b 在 a ? 的方向上的投影 | b | cos ? 的乘积。
B

? b
O θ

? a
B1

A

由向量数量积的定义,试完成下面问题:

? ? ? ? 0 (1)a ? b ? a ? b ? _______ . ? ? ? ? ? ? | a || b | ; (2)若 a 与 b 同向,a ? b ? _______ ? ? ? ? ? ? ? | a || b | ; 若 a 与 b 反向,a ? b ? _______ ?2 ? ? ? ? ? | a | . | a |? a ? a a ? a ? _____ ? ? ? ? (3) | a ? b | ____ ≤ | a || b | .( 填 ? 或 ?)

证明向量 垂直的依据

? ? ?2 ? 2 ? 2 注:常记 a ? a为 a . (a ) ?| a |

? ? ? ? 例1:已知 | a |? 8,| b |? 6 ,a 与 b 的夹角θ =120? , ? ? 求 a ?b 。

? ? ? ? 解: a ? b ?| a || b | cos ?
= 8 ? 6 ? cos 120?

1 ? 8 ? 6 ? (? ) 2 ? ?24

数量积的运算规律:
? ? ? ? (1)a ? b ? b ? a;
证明: ∵

? ? ? ? a ? b ? a b cos ?
? ? ? ? b ? a ? a b cos ?



? ? ? ? a?b ? b ?a

? ? ? ? ? ? (2)(?a) ? b ? ?(a ? b) ? a ? (?b);

? ? ? ? ? ? ? (3)(a ? b) ? c ? a ? c ? b ? c.
A
?2

B2

a
?1

b
?

B

O

A1 c B1 C

数量积的运算规律: ? ? ? ? (1) a ? b ? b ? a;

? ? ? ? ? ? (2)(?a) ? b ? ?(a ? b) ? a ? (?b); ? ? ? ? ? ? ? (3)(a ? b) ? c ? a ? c ? b ? c.
? ? ? ? ? ? 思考:等式 (a ? b)c ? a(b ? c) 是否成立?

不成立

探究:两个向量的数量积与数的乘法有很大区别 (1)两个向量的数量积是一个实数,不是向量, 符号由cos?的符号所决定.

(2)两个向量的数量积称为内积,写


? ? 成 a ? b ;符号“ ”在向量运算中不是乘号,
既不能省略,也不能用“×”代替.

(3)在实数中,若a?0,且a?b=0,则b=0;在数

? ? ? 量积中,若a ? 0 ,且 a ? b ? 0 ,不能推

? ? ? ? 出 b ? 0 .因为任一与 a 的非零向量都有a ? b ? 0
(4)与实数中 ab ? bc(b ? 0) ? a ? c 不同,

? ? ? ? ? ? 由 a ? b ? b ? c 不能否推出 a ? c ,由图很容易 ? ? ? ? ? ? 看出虽然 a ? b ? b ? c,但是 a ? c. ? a ? c? ? ? b

(a ? b)c ? a(b ? c),但是对于 ? ?? ? ? ? 向量来说 (a ? b)c ? a(b ? c)显然,这是因为左端 ? ? 是与 a 共线的向量,而右端是与 c 共线的向量, ? ? 而一般 a 与 c 不共线.
(5)在实数中,有

例2:我们知道,对任意 a, b ? R ,恒有

? ? 对任意向量 a, b,是否也有下面类似的结论? ? ? 2 ?2 ? ? ?2 (1)(a ? b) ? a ? 2a ? b ? b ; ? ? ? ? ?2 ?2 (2)(a ? b)(a ? b) ? a ? b .

(a ? b)2 ? a2 ? 2ab ? b2 ,(a ? b)(a ? b) ? a2 ? b2 .

? ? 2 ? ? ? ? 解: (1) (a ? b) ? (a ? b)(a ? b) ? ? ? ? ? ? ? ? ? a ?a ? a ?b ? b ?a ? b ?b ?2 ? ? ? ? a ? 2a ? b ? b

? ? ? ? (2) (a ? b)(a ? b) ? ? ? ? ? ? ? ? ? a?a ? a?b ? b?a ? b?b ?2 ?2 ? a ?b

? ? ? ? 例3:已知 | a |? 5,| b |? 12 ,a 与 b 的夹角60? , ? ? ? ? ? ? 求 (a ? 2b) ? (a ? 3b),| a ? b |。

? ? ? ? 解: (a ? 2b) ? (a ? 3b) ( 1) ? ? ? ? ? ? ? a ? a ? a ? b ? 6b ? b ?2 ? ? ? ? a ? a b cos 60° ? 6 b ? 52 ? 5 ? 12 ? cos 60? ? 6 ? 12 ? ?869.

? ? ? ? ? ? (2) | a ? b |? (a ? b)(a ? b) ? ? ?2 ? ? ?2 a ? 2a ? b ? b 5 ? 2 ? 5 ? 12 ? cos 60??12
2 2

? 229

? ? ? ? 例4:已知| a |? 5,| b |? 12,且 a 与 b 不共线,k为何 ? ? ? ? 值时,向量 a ? kb 与 a ? kb 互相垂直.
? ? ? ? 解: a ? kb 与 a ? kb 互相垂直的条件是 ? ? ? ? (a ? kb) ? (a ? kb) ? 0 ?2 2 ? 2 即 a -k b ? 0 ?2 ?2 2 ∵ a ? 5 ? 25,b ? 12 2 ? 144,

∴ ∴

25 ? 144k ? 0
2

5 k?? 12

? ? ? ? 5 也就是说,当 k ? ? 时, a ? kb 与 a ? kb 12
互相垂直.

课堂小结
1、数量积的概念

? ? ? ? 叫作a 与 b 的数量积(或内积),记作 a ? b,即规
定:

? ? ? ? 已知非零向量 a与 b,我们把数量 | a || b | cos?

? ? ? ? a ? b ?| a || b | cos ?

2、数量积几何意义

? ? ? ? ? ? 数量积 a ? b 等于 a的长度 | a |与 b 在 a ? 的方向上的投影 | b | cos ? 的乘积。

3、重要性质 ? ? ? ? (1)a ? b ? a ? b ? 0. ? ? ? ? ? ? (2)若 a 与 b 同向,a ? b ? a b ; ? ? ? ? ? ? 若 a 与 b 反向,a ? b ? ? a b ; ? ? ?2 a ?a ? a . ? ? ? ? (3) | a ? b |?| a || b | .

4、运算律

? ? ? ? (1) a ? b ? b ? a; ? ? ? ? ? ? (2)(?a) ? b ? ?(a ? b) ? a ? (?b); ? ? ? ? ? ? ? (3)(a ? b) ? c ? a ? c ? b ? c.

课堂练习
1、判断下列各题正确与否:

? ? ? ? ? ? (1)若 a ? 0 ,则对任一向量 b ,有a ? b ? 0. (√ ) ? ? ? ? ? ? (2)若a ? 0,则对任一非零向量 b ,有 a ? b ? 0. (×) ? ? ? ? ? ? ? (3)若a ? 0 , (× ) a ? b ? 0 ,则 b ? 0 . ? ? ? ?? (4)若a ? b ? 0 ,则 a、 ( ×) b 至少有一个为零.

? ? ? ? ? ? ? ? (5)若a ? 0 , ,则b ? c. ( ×) a ? b ? a ? c ? ? ? ? ? ? ? ? (6)若 a ? b ? a ? c ,则b ? c当且仅当a ? 0 时成立. (×) ??? ? ? ? ? ? ? (7)对任意向量 a、、 b c ,有 (a ? b)? c ? a ? (b ? c). ( ×) ?2 ? 2 ? (8)对任意向量 a ,有 a ? a . (√ )

? ? ? ? 2、已知a ? 3, b ? 5,且a ? b=12 ,则向量
? ? a在b方向上的投影为
12 5
.

? ? 3、已知 a ∥ b ,且

? ? a ? 2, b ? 5 ,则

? ? ? 18或-2 (2a ? b· ) a ? ___________.

4、下面给出的关系式中正确的个数是( D ) ? ? ? ? ? ? ? ② a ① 0 ·b ? b ·a ·a ? 0 ?2 ? 2 ?? ? ? ?? · b)c ? a(b · c) ③ a ? a ④ (a

?? ? ? ⑤ a ·b ≤ a b
A.0 B.1 C.2 D.3

? 则 a 向量的模( (a ? 2b) ? (a ? 3b) ? ?72 ,
A.2 B.4 C.6

? ? 5、若向量 与 b a ? ? ? ?

? 的夹角为60°,b ? 4 ,
C )

D.12

? ? ? ? a ? b ? 0或a ? b ? 0 时,试判断 △ABC 的形状.
? ? ? ? ? ? 解:当a ? b ? 0 时, a ? b ? a b cos ?C ? 0
即 cos ?C ? 0 即∠C表示第二象限角

??? ? ? ???? ? 6、已知 △ABC 中, AB ? a, AC ? b ,当

?? 同理,当a? b ? 0 时, △ABC为直角三角形;

∴△ABC为钝角三角形;

教材习题答案
? ? 1、p ? q ? 24.
? ? a ? b ? 0 时,△ABC为钝角三角形; 2、 ? ? a ? b ? 0 时,△ABC为直角三角形;

3. 投影分别为 3 3 ,0,- 3 3. 投影如图.
? a
O

? a
O A

? a ? e
(2)
B O

? e
(1)

? e

(3)


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