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江苏高三数学导数复习资料


导数复习资料
一、切线问题 例 1. (1)曲线 y ? 4 x ? x 3 在点 ?? 1,?3? 处的切线方程是_____________. (2)若曲线 y ? x 4 的一条切线 l 与直线 x ? 4 y ? 8 ? 0 垂直,则 l 的方程是_____________. (3)过点 ?? 1,0? 且与抛物线 y ? x 2 ? x ? 1相切的一条切线是____________. (4)在函数 y ? x 3 ? 8x 的图象上,切线的倾斜角小于

? 的点中,坐标为整数的点的个数_____个. 4

( 5 ) 过 点 P?? 1,2? 且 与 抛 物 线 y ? 3x 2 ? 4x ? 2 在 点 M ?1,1? 处 的 切 线 平 行 的 直 线 方 程 是 .

(6)若曲线 y ? x 3 ? 3 ? 3 x 在点 P 处的切线的倾斜角为
2

?

?

? ,则切点 P 的横坐标为 3
.



(7) 若曲线 f ? x ? ? ax ? Inx 存在垂直于 y 轴的切线,则实数 a 的取值范围是 7. 【答案】 ? ??,0? 解析:由题意该函数的定义域 x ? 0 ,由 f
?

1 。因为存在垂直于 y x 1 ? 轴的切线,故此时斜率为 0 ,问题转化为 x ? 0 范围内导函数 f ? x ? ? 2ax ? 存在零点。 x 1 解法 1 (图像法) 再将之转化为 g ? x ? ? ?2ax 与 h ? x ? ? 存在交点。 当 a ? 0 不符合题意, 当a ? 0 x 时,如图 1,数形结合可得显然没有交点,当 a ? 0 如图 2,此时正好有一个交点,故有 a ? 0 应填

? x ? ? 2ax ?

? ??,0? 或 ?a | a ? 0? .

解法 2(分离变量法) 上述也可等价于方程 2ax ?

1 1 ? 0 在 ? 0, ??? 内有解, ?0 显然可得 a ? ? x 2x 2

例 2. (1)已知直线 l1 、 l 2 分别是抛物线 y ? x 2 ? x ? 2 在点 A?1,0? 、 B 处的切线,且 l1 ? l 2 ,求 直线 l 2 的方程.
3 2 (2)已知函数 f ?x ? ? x ? 3ax ? 3bx 在点 ?1,?11? 处的切线为 12x ? y ? 1 ? 0 ,求函数 f ?x ? 的解

析式. (3)求曲线 y ? 2 ?

1 2 1 x 与 y ? x 3 ? 2 在交点处的切线的两切线方程. 4 2

说明:1。考查导数的几何意义.利用导数求曲线的切线斜率,切点坐标,曲线方程中的待定系数. 2.已知曲线上一点的坐标,求曲线在这点处的切线方程的一般步骤: (1)根据导数的几何意义,求出曲线在一点处的切线斜率;
1

(2)利用直线的点斜式方程,写出切线方程. 3.已知曲线在一点处切线的斜率,求切点坐标的一般步骤: (1)设切点坐标; (2)根据导数的几何意义,求出曲线在这点处切线斜率关于切点坐标的表达式; (2)列关于切点坐标的方程,求出切点坐标. 二、单调性 例 3. (1)若在区间 ?? ?,1? 上 f A. f ?0? ? f ?? 1?
/

?x? ? 0 ,在区间 ?1,??? 上 f / ?x? ? 0 ,则有
C. f ?? 1? ? f ?2? D. f ?2? ? f ?1?

B. f ?0? ? f ?1?

(2)函数 f ?x? ? ? x 3 ? 3x 2 ? 1是增函数的区间为___________. (3) a ? 0 是函数 f ?x ? ? a x 3 ? x 2 ? x 在区间 ?? ?,??? 上为减函数的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件

?

?



D.不充分且不必要条件

(4)若函数 f ?x? ? x 3 ? ax 在区间 ?1,??? 上是增函数,则实数 a 的取值范围是__________. (5)若函数 y ? 为 . 上是增函数,在区间
2

1 3 x ? x 2 ? ax 在 ?1,2? 上 是 减 函 数 , 在 ?2,??? 上 是 增 函 数 , 则 a 的 取 值 3
上是减函数.

3 (6)函数 f ? x ? ? x ? 3 x 在区间

例 4. (1)已知函数 f ?x ? ? ax ? 3x ? x ? 1 在 R 上是增函数,求 a 的取值范围.
3

(2)已知函数 f ? x ? ? 4 x ? ax ?
2

2 3 x 在区间 ?? 1,1? 上是增函数,求实数 a 的取值范围. 3

(3)若函数 f ? x ? ?

1 3 1 2 x ? ax ? ?a ? 1?x ? 1 在区间 ?1,4? 上是减函数,在区间 ?6,??? 上是增函 3 2

数,求实数 a 的取值范围. 说明:1。考查利用导数研究函数的单调性的方法,已知函数的单调性求参数的取值或取值范围. 2.多项式函数 f ?x ? 在一个区间上是增函数的充要条件是: f 区间上是减函数的充要条件是: f
/ /

?x? ? 0 ;多项式函数 f / ?x? 在一个

?x ? ? 0 .

3.已知函数解析式求函数单调区间的一般步骤: (1)求导数 f
/

?x ? ;
/

(2)解不等式 f

?x? ? 0 ,求出 f ?x ? 的单调递增区间,解不等式 f / ?x? ? 0 ,求出 f ?x ? 的单调

递减区间. 注:根据教材利用导数求函数的单调区间,所求单调区间一般是开区间. 4.已知三次函数的单调性求参数的取值范围一般步骤: (1)求二次导函数 f
/

?x ? ;
2

(2)根据多项式函数单调性的充要条件,利用二次导函数的特征列出关于参数的方程或不等式; (3)解方程或不等式得所求. 三、最值与极值 例 5. (1)函数 f ?x ? ? ? x 3 ? 3x 2 ? 7 的极小值是________. (2)已知函数 f ?x? ? x 3 ? ax2 ? 3x ? 9 ,且 f
/

?? 3? ? 0 ,则 f ?x ? 的极大值为_________.

(3)函数 f ?x ? ? ? x 3 ? 12x 在 ?0,3? 上的最大值、最小值分别是__________. (4)函数 f ?x? ? x 3 ? 3x ? a 在闭区间 ?? 3,0? 上的最大值 3 ,则 a =_________. (5)若函数 f ?x ? ? x 3 ? ax2 ? bx ? a 在 x ? 1 处的极值为 10 ,则 a ? (6)函数 y ? ? x 4 ? 32x ? 9 的最大值为 11.当 0 ? x ? . .? ,b ? .

1 1 3 时, | ax ? 2 x |? 恒成立,则实数 a 的取值范围是 2 2

1 3 ?a? 2 2

例 6. (1) 已知 R 上的奇函数 f ?x ? ? ax3 ? cx ? d ?a ? 0? , 在 x ? 1 时 f ?x ? 取得极值 ? 2 , 求 f ?x ? 的极大值. (2)已知函数 f ?x? ? ax3 ? 3x 2 ? 1 ?a ? 0? ,若 f ?x ? 的图象与 x 轴有且只有一个公共点,求 a 的 取值范围. (3)已知函数 f ? x ? ? x ?
3

1 2 x ? 2 x ? c ,若对任意 x ? ?? 1,2? 都有 f ?x? ? c 2 ,求 c 的取值范围. 2

说明:1。考查利用导数研究函数的极大值、极小值,最大值、最小值的方法,已知函数的极值求 参数的值或参数的取值范围 2.多项式函数函数 f ?x ? 在点 x0 处取极值的必要条件是 f
/

?x ? ? 0 ;

3.多项式函数函数 f ?x ? 在点 x0 处取极值的充分条件是:存在以 x0 为端点的两个相邻开区间,使 得f
/

?x? 在这两个区间上的符号不同.
/

4.已知函数解析式求函数极值的一般步骤: (1)求导数 f (3)考察 f
/

(2)求出 f / ?x? 的零点; ?x ? ;

?x? 在以零点为端点的相邻开区间上的符号,若左正右负,则 f ?x ? 在公共端点处有

极大值,若左负右正,则 f ?x ? 在公共端点处有极小值,若左右相同,则 f ?x ? 在公共端点处没有 极值. 5.求函数在闭区间 ?a, b? 上最值的一般步骤: (1)求 f ?x ? 在开区间 ?a, b ? 上极值;
3

(2)比较极值与 f ?a ? 、 f ?b ? 的大小,最大的一个为最大值,最小的一个为最小值.

四、最优化问题 例 7.为赢得 2010 年上海世博会的制高点,某公司最近进行了世博特许产品的市场分析,调查显 示,该产品每件成本 9 元,售价为 30 元,每天能卖出 432 件,该公司可以根据情况可变化价格 x ( ?30 ? x ? 54 )元出售产品;若降低价格,则销售量增加,且每天多卖出的产品件数与商品单价 的降低值 | x | 的平方成正比,已知商品单价降低 2 元时,每天多卖出 24 件;若提高价格,则销售减 少,减少的件数与提高价格 x 成正比,每提价 1 元则每天少卖 8 件,且仅在提价销售时每件产品被 世博管委会加收 1 元的管理费. (Ⅰ)试将每天的销售利润 y 表示为价格变化值 x 的函数; (Ⅱ)试问如何定价才能使产品销售利 润最大? 解: (1)当降价 | x | 时,则多卖产品 kx ,由已知得: 24 ? kx ? 4k ? k ? 6 ,
2 2

所以 f ( x) ? (30 ? x ? 9)(432 ? 6 x2 ) ? 6( x3 ? 21x2 ? 72 x ? 1512)

(3 分)

当提价 x 时, f ( x) ? (30 ? x ?10) (432 ? 8x) ? ?8x2 ? 272 x ? 8640 , (2 分) 所以 f ( x) ? ?

?6( x3 ? 21x 2 ? 72 x ? 1512) (?30 ≤ x ≤ 0) ? 2 (0 ? x ≤ 54) ? ??8 x ? 272 x ? 8640

(6 分)

(2)当降价销售时, f ( x) ? 6( x3 ? 21x2 ? 72 x ? 1512) ,

f '( x) ? 18( x2 ? 14x ? 24) ? 18( x ? 12)( x ? 2) ? 0 ? x1 ? ?12, x2 ? ?2 ,
所以有

x
f '( x) f ( x)

[?30, ?12)
+ ↗

-12

(?12, ?2)

-2 0 极小值

(?2, 0]
+ ↗

0
极大值

?


即 f ( x ) 在 x ? ?12 处取得唯一极大值 f (?12) ? 11664 , ∴ f ( x)max ? 11664 , (9 分) 当 提
2











f( ?

x) ?

2 ? ?8( x8 x ? 34 ? x) ? 8640 ? ? 28[(x ? ?17)2 ] ?7 10952 ≤10952 2 ? 11664

8

6

4

所以当定价 18 元时,销售额最大. 例 8.要制作一个由同底圆锥和圆柱组 成的储油罐(如图) ,设计要求:圆 锥和圆柱的总高度和圆 柱底面半径相等,都为 r 米.市场上,圆柱侧面用料单价为每平方米 a 元,圆锥侧面用料单价分别是 圆柱侧面用料单价和圆柱底面用料单价的 4 倍和 2 倍.设圆锥母线和底面所成角为 ? (弧度) ,总费 用为 y (元).
4

(1)写出 ? 的取值范围; (2)将 y 表示成 ? 的函数关系式; (3)当 ? 为何值时,总费用 y 最小?

解:设圆锥的高为 h1 米,母线长为 l 米,圆柱的高为 h2 米;圆柱的侧面用料单价为每平方米 2 a 元, 圆锥的侧面用料单价为每平方米 4 a 元. (1) ? ? (0, ). ……………………..1 分 ……………………..3 分

?

4

(2)圆锥的侧面用料费用为 4a? rl ,圆柱的侧面费用为 2a? rh2 ,圆柱的地面费用为 2a? r 2 , 则 y ? 4a? rl ? 2a? rh2 ? 2a? r 2 = 2a? r (2l ? h2 ? r ) = 2a? r[ = 2a? r[

2r ? 2(r ? h1 ) ? r ] , cos?

2r 2 ? 2(r ? r tan ? ) ? r ] = 2a? r 2 [( ? tan ? ) ? 3] . cos? cos? 2 ? (3)设 f (? ) ? ? tan ? ,其中 ? ? (0, ). cos? 4 2sin? ? 1 ? 2sin ? ? 1 则 f ?(? ) ? , 当 ? ? 时, f ?(? ) ? ? 0; 2 cos ? 6 cos2 ? 2sin ? ? 1 2sin ? ? 1 ? ? ? 当 ? ? (0, ) 时, f ?(? ) ? ? 0; 当 ? ? ( , ) 时, f ?(? ) ? ? 0; 2 cos ? cos2 ? 6 6 4
则当 ? ?

?
6

时, f (? ) 取得最小值,则当 ? ?

?
6

时,费用 y 最小.

例 9.某地建一座桥,两端的桥墩已建好,这两墩相距 m 米,余下工程只需要建两端桥墩之间的桥 面和桥墩,经预测,一个桥墩的工程费用为 256 万元,距离为 x 米的相邻两墩之间的桥面工程费用 为 (2 ? x ) x 万元。假设桥墩等距离分布,所有桥墩都视为点,且不考虑其他因素,记余下工程的 费用为 y 万元。 (Ⅰ)试写出 y 关于 x 的函数关系式; (Ⅱ)当 m =640 米时,需新建多少个桥墩才 能使 y 最小?(16 分) 解: (Ⅰ)设需要新建 n 个桥墩, ( n ? 1) x ? m,即n= 所以

m ?1 x m m 256 x y=f(x)=256n+(n+1)(2+ x )x=256( -1)+ (2 ? x ) x ? ? m x ? 2m ? 256. x x x

(Ⅱ) 由(Ⅰ)知, f '( x) ? ?
3 2

256m x
2

1 3 m 3 2 ? mx ? 2 ( x 2 ? 512). 2 2x

令 f '( x) ? 0 ,得 x ? 512 ,所以 x =64 当 0< x <64 时 f '( x) <0,

f ( x) 在区间(0,64)内为减函数;

w.w.w. k.s.5.u .c.o.m

5

当 64 ? x ? 640 时, f '( x) >0. f ( x ) 在区间(64,640)内为增函数,

n? 所以 f ( x ) 在 x =64 处取得最小值, 此时,
五、综合题选讲

m 640 ?1 ? ? 1 ? 9. 故需新建 9 个桥墩才能使 y 最小。 x 64

例 10.已知函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? (b ? a) x ( a , b 不同时为零的常数) ,导函数为 f ?( x ) .

1 b 的取值范围; (1)当 a ? 时,若存在 x ? [?3 , ? 1] 使得 f ?( x) ? 0 成立,求 3
(2)求证:函数 y ? f ?( x) 在 (?1 , 0) 内至少有一个零点; (3)若函数 f ( x ) 为奇函数,且在 x ? 1 处的切线垂直于直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 ,关于 x 的方程

1 f ( x) ? ? t 在 [?1, t ] (t ? ?1) 上有且只有一个实数根,求实数 t 的取值范围. 4 1 1 1 2 2 2 解: (1)当 a ? 时, f ?( x ) = x ? 2bx ? b ? = ( x ? b) ? b ? b ? ,其对称轴为直线 x ? ?b , 3 3 3

当?

??b ? ?2, ??b ? ?2, 26 ,解得 b ? ,当 ? , b 无解, 15 ? f ?(?3) ? 0 ? f ?(?1) ? 0
26 ) .………………………………………………4 分 15

所以 b 的的取值范围为 (?? ,

(2)因为 f ?( x) ? 3ax2 ? 2bx ? (b ? a) ,

1 适合题意………………………………………6 分 2 b b b 2 2 当 a ? 0 时, 3 x ? 2 x ? ( ? 1) ? 0 ,令 t ? ,则 3x ? 2tx ? (t ? 1) ? 0 , a a a 1 1 2 令 h( x) ? 3x ? 2tx ? (t ?1) ,因为 h( ? ) ? ? ? 0 , 2 4
法一:当 a ? 0 时, x ? ?

1 当 t ? 1 时, h(0) ? t ? 1 ? 0 ,所以 y ? h( x) 在 (? ,0) 内有零点. 2
当 t ? 1 时, h(?1) ? 2 ? t ? 1 ? 0 ,所以 y ? h( x) 在( ? 1,? ) 内有零点. 因此,当 a ? 0 时, y ? h( x) 在 (?1 , 0) 内至少有一个零点. 综上可知,函数 y ? f ?( x) 在 (?1 , 0) 内至少有一个零点.……………………10 分 法二: f ?(0) ? b ? a , f ?(?1) ? 2a ? b , f ?(? 1 ) ? b ? 2a . 3 3 由于 a , b 不同时为零,所以 f ?(? ) ? f ?( ?1) ? 0 ,故结论成立.
3 2 (3)因为 f ( x ) = ax ? bx ? (b ? a) x 为奇函数,所以 b ? 0 , 所以 f ( x) ? ax ? ax ,
3

1 2

1 3

3 又 f ( x ) 在 x ? 1 处的切线垂直于直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 ,所以 a ? 1 ,即 f ( x) ? x ? x .

6

因为 f ?( x) ? 3( x ?

3 3 3 3 )( x ? ) 所以 f ( x) 在 (??, ? ) , ( , ??) 上是増函数, 3 3 3 3

在 [?

3 3 , ] 上是减函数,由 f ( x) ? 0 解得 x ? ?1, x ? 0 ,如图所示, 3 3
1 t 3 3 3 3 时, f (t ) ? ? t ? 0 ,即 t ? t ? ? ,解得 ? ; ?t ?? 4 4 2 3 3

当 ?1 ? t ? ?

当?

1 3 3 ? t ? 0 时, f (t ) ? ? t ? 0 ,解得 ? ?t ?0; 4 3 3

y

当 t ? 0 时,显然不成立; 当0 ? t ?

1 t 3 3 3 时, f (t ) ? ? t ? 0 ,即 t ? t ? ? ,解得 0 ? t ? ; 4 4 3 3
-1 O 1 x

当t ?

1 3 3 3 时, f (t ) ? ? t ? 0 ,故 . ?t ? 4 3 3 2

所以所求 t 的取值范围是 ?

3 3 . ? t ? 0 或0 ? t ? 2 2

例 11.已知函数 f ( x) ? | ax ? 2 | ?b ln x (x>0) . (1)若 a=1,f(x)在(0,+∞)上是单调增函数,求 b 的取值范围; (2)若 a≥2,b=1,求方程 f ( x) ?

1 在(0,1]上解的个数. x

?? x ? 2 ? b ln x, (0 ? x ? 2), 解: (1) f ( x) ? | x ? 2 | ?b ln x ? ? ? x ? 2 ? b ln x, ( x ≥ 2).

① 当 0<x<2 时, f ( x) ? ? x ? 2 ? b ln x , f ?( x) ? ?1 ?

b . x

b 由条件,得 ?1 ? ≥ 0 恒成立,即 b≥x 恒成立.∴b≥2. x
② 当 x≥2 时, f ( x) ? x ? 2 ? b ln x , f ?( x) ? 1 ?

b . x

b 由条件,得 1 ? ≥ 0 恒成立,即 b≥-x 恒成立. x ∴b≥-2. 综合①,②得 b 的取值范围是 b≥2.
1 2 ? ?ax ? 2 ? ln x ? , (0 ? x ? ), ? 1 ? x a (2)令 g ( x) ? | ax ? 2 | ? ln x ? ,即 g ( x) ? ? 1 2 x ?ax ? 2 ? ln x ? , ( x ≥ ). ? x a ?

当0? x ? ∵0? x ?

2 1 1 1 时, g ( x) ? ?ax ? 2 ? ln x ? , g ?( x) ? ?a ? ? 2 . a x x x

a a2 a(a ? 2) 2 1 a ,∴ ? .则 g ?( x) ? ?a ? ? ≥0. ? a x 2 2 4 4
7

即 g ?( x) ? 0 ,∴ g ( x) 在(0, 当 x≥

2 )上是递增函数. a

………………… 7 分

2 1 时, g ( x) ? ax ? 2 ? ln x ? , a x

1 1 2 ? 2 >0.∴ g ( x) 在( ,+∞)上是递增函数.……… 9 分 x x a ∵g(x)的图象在(0,+∞)上不间断,∴ g ( x) 在(0,+∞)上是递增函数. g ?( x) ? a ? 2 2 a 2 2 ∵ g ( ) ? ln ? ,而 a≥2,∴ ln ≤ 0 ,则 g ( ) <0. a a 2 a a
∵a≥2,∴ g (1) ? a ? 3 当 a≥3 时, g (1) ? a ? 3 ≥0,∴g(x)=0 在 (0,1] 上有惟一解. 当 2 ? a ? 3 时, g (1) ? a ? 3 <0,∴g(x)=0 在 (0,1] 上无解. 例 12.已知函数 f ( x) ? x2 ? 2a cos kπ ? ln x(k ? N* , a ? R ,且 a ? 0 ) . (1)讨论函数 f ( x) 的单调性; (2)若 k ? 2010 ,关于 x 的方程 f ( x) ? 2ax 有唯一解,求 a 的值. 解: (1)由已知得 x>0 且 f ?( x) ? 2 x ? (?1)k ? 2a . x 当 k 是奇数时, f ?( x) ? 0 ,则 f(x)在(0,+ ? )上是增函数; 当 k 是偶数时,则 f ?( x) ? 2x ? 2a ? x …………………3 分 ………………………5 分 …………… 12 分

2( x ? a )( x ? a ) . x

所以当 x ? 0, a 时, f ?( x) ? 0 ,当 x ? ? a, ?? ? 时, f ?( x) ? 0 . 故当 k 是偶数时,f (x)在 0, a 上是减函数,在 ? a, ?? ? 上是增函数.………………7 分 (2)若 k ? 2010 ,则 f ( x) ? x2 ? 2a ln x(k ? N* ) . 记 g (x) = f (x) – 2ax = x 2 – 2 a xlnx – 2ax, g ?( x) ? 2 x ? 2a ? 2a ? 2 ( x 2 ? ax ? a) , x x 若方程 f(x)=2ax 有唯一解,即 g(x)=0 有唯一解; 令 g ?( x) ? 0 ,得 x 2 ? ax ? a ? 0 .因为 a ? 0, x ? 0 ,
2 2 所以 x 1 ? a ? a ? 4a ? 0 (舍去) , x 2 ? a ? a ? 4a . 2 2

?

?

?

?

………………………………9 分

…………………11 分

当 x ? (0, x2 ) 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 在 (0, x2 ) 是单调递减函数; 当 x ? ( x2 , ??) 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 在 ( x2 , ??) 上是单调递增函数. 当 x=x2 时, g ?( x2 ) ? 0 , g ( x)min ? g ( x2 ) . 因为 g ( x) ? 0 有唯一解,所以 g ( x2 ) ? 0 . ……………………………12 分

? x 2 ? 2a ln x2 ? 2ax2 ? 0, ? g ( x ) ? 0, ? 则? 2 即 ? 22 ? g ?( x2 ) ? 0, ? ? x2 ? ax 2 ?a ? 0,

……………………………13 分
8

两式相减得 a ln x2 ? ax2 ? a ? 0, 因为 a>0,所以 2ln x2 ? x2 ? 1 ? 0

(*) . …………14 分

设函数 h( x) ? 2ln x ? x ? 1 ,因为在 x>0 时,h (x)是增函数,所以 h (x) = 0 至多有一解. 例 13.已知函数 f ? x ? ? x ?

a ? b?x ? 0? ,其中 a, b ? R . x

(Ⅰ)若曲线 y ? f ?x ?在点 P?2, f ?2?? 处的切线方程为 y ? 3x ? 1 ,求函数 f ?x ? 的解析式; (Ⅱ)若 a>0,求函数 f ?x ? 的单调区间; (Ⅲ)若对于任意的 a ? ? ,2? ,不等式 f ?x ? ? 10 在 ? ,1? 上恒成立,求 b 的取值范围. 2 4 解: (Ⅰ ) f ?( x ) ? 1 ?

?1 ? ? ?

?1 ? ? ?

a ,由导数的几何意义得 f ?(2) ? 3 ,于是 a ? ?8 . x2

2分

由切点 P(2, f (2)) 在直线 y ? 3x ? 1 上可得 ?2 ? b ? 7 ,解得 b ? 9 . 所以函数 f ( x ) 的解析式为 f ( x ) ? x ? (Ⅱ ) f ?( x ) ? 1 ?

8 ?9. x

4分

a .当 a ? 0 时,令 f ?( x) ? 0 ,解得 x ? ? a . x2

当 x 变化时, f ?( x ) , f ( x ) 的变化情况如下表:

x
f ?( x ) f ( x)

(??, ? a )
+ ↗

? a
0 极大值
科.网]

(? a ,0)


(0, a )
- ↘

a
0 极小值

( a , ??)
+ ↗

[来源:学.



所以 f ( x ) 在 (??, ? a ) , ( a , ??) 是增函数,在 (? a ,0) , (0, ??) 内是减函数. 9 分 (Ⅲ )由(Ⅱ )知, f ( x ) 在 [ ,1] 上的最大值为 f ( ) 与 f (1) 的较大者, 对于任意的 a ? [ , 2] ,不等式 f ( x) ? 10 在 [ ,1] 上恒成立,

1 4

1 4

1 2

1 4

39 ? 1 ? 1 ? f ( ) ? 10 ?b ? ? 4a 当且仅当 ? 4 ,即 ? ,对任意的 a ? [ , 2] 成立. 4 2 ? ? ? f (1) ? 10 ?b ? 9 ? a
从而得 b ?

[来源:Z#xx#k.Com]

7 7 ,所以满足条件的 b 的取值范围是 (??, ] . 4 4 ax 例 14.已知函数 f ( x ) ? 2 在 x ? 1 处取得极值 2. x ?b

16 分

(1)求函数 f ( x) 的表达式; (2)当 m 满足什么条件时,函数 f ( x) 在区间 (m , 2m ? 1) 上单调递增?
9

(3)若 P( x0 , y0 ) 为 f ( x ) ?

ax ax 图象上任意一点,直线 l 与 f ( x ) ? 2 的图象切于点 P , x ?b x ?b
2

求直线 l 的斜率 k 的取值范围。 解: 因 f / ( x) ? 而函数 f ( x ) ?

a( x 2 ? b) ? ax(2 x) ( x 2 ? b) 2
2

… 2分

ax 在 x ? 1 处取得极值 2 x ?b

? f / (1) ? 0 所以 ? ? f (1) ? 2
所以 f ( x ) ?

?

?a(1 ? b) ? 2a ? 0 ? ? a ?2 ? ?1 ? b

?a ? 4 ? ? ?b ? 1
……………… 4 分

4x 1? x2

为所求

(2)由(1)知 f / ( x) ?

4( x 2 ? 1) ? 8x 2 ? 4( x ? 1)(x ? 1) ? ( x 2 ? 1) 2 (1 ? x 2 ) 2

? 1?

? 1
正 负

可知, f ( x) 的单调增区间是 [ ?1 , 1 ]

f / ( x)
f ( x)



? m ? ?1 ? 所以, ?2 m ? 1 ? 1 ?m ? 2 m ? 1 ?

?

?1 ? m ? 0

所以当 m ? (?1 , 1 ] 时,函数 f ( x) 在区间 (m , 2m ? 1) 上单调递增 (3)由条件知,过 f ( x) 的图形上一点 P 的切线 l 的斜率 k 为:

………… 9 分

k ? f ( x0 ) ?
/

4(1 ? x0 ) (1 ? x0 )
2 2

2

? 4?

? 1 ? x0 ? 2 (1 ? x0 )
2 2

2

? 4[

2 (1 ? x0 )
2 2

?

1 1 ? x0
2

]

令t ?

1 1 ? x0
2

,则 t ? (0 , 1] ,

此时 , k ? 8(t ?
2

1 1 1 t ) ? 8(t ? ) 2 ? 2 4 2

根据二次函数 k ? 8(t ? ) ?
2

1 4

1 的图象性质知: 2
当 t ? 1 时, t max ? 4

当t ?

1 1 时, t min ? ? 2 4 1 ,4] 2

所以,直线 l 的斜率 k 的取值范围是 [ ?

……………… 14 分

10


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