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湖北省部分重点中学2014届高三2月联考试题数学(理)试题


湖北省部分重点中学2014 届高三二月联考

高三数学试卷(理科)
命题学校:江夏一中
考试时间:2014 年 2 月 6 日下午 15:00—17:00 试卷满分 :150 分

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1.已知 x , y ? R , i 为虚数单位,且 ( x ? 2)i ? y ? ?1 ? i ,则 (1 ? i ) A.4 B.4+4 i C. ?4 D.2 i
x? y

的值为 (



2.设集合 A={4,5,7,9},B={3,4,7,8,9},全集 U = A ? B,则集合 CU ( A ? B) 的真子集共有 A.3 个 B.6 个 C.7 个 D.8 个 3.要得到函数 y ? sin( 2 x ?
4

) 的图象,只要将函数 y ? cos 2 x 的图象( ) 4 A.向左平移 ? 单位 B.向右平移 ? 单位 C.向右平移 ? 单位 D.向左平移 ? 单位
4 8 8

?

4.半径为 R 的球的内接正三棱柱的三个侧面积之和的最大值 为( A、 3 3R 2 B、 3 R 2 C、 2 2 R 2 D、 2 R 2



n ? N * ) 个普通职工的 2013 年的年收入,设这 5. 已知数据 x1, x2, x3, ?, xn 是武汉市 n ( n ? 3, n 个数据的中位数为 x ,平均数为 y ,方差为 z ,如果再加上比尔.盖茨的 2013 年的年收 入 xn ?1 (约 900 亿元) ,则这 n ? 1 个数据中,下列说法正确的是( )
A.年收入平均数大大增大,中位数一定变大,方差可能不变 B.年收入平均数大大增大,中位数可能不变,方差变大 C.年收入平均数大大增大,中位数可能不变,方差也不变 D.年收入平均数可能不变,中位数可能不变,方差可能不变。 2 6.在各项均为正数的等比数列 {a n } 中, (a1 ? a3 )(a5 ? a 7 ) ? 4a 4 ,则下列结论中正确的是 ( ) A.数列 {a n } 是递增数列; B.数列 {a n } 是递减数列; C.数列 {a n } 既不是递增数列也不是递减数列; D.数列 {a n } 有可能是递增数列也有可能是递减数列. 7.已知实数 a ? 0, b ? 0 ,对于定义在 R 上的函数 f ( x) ,有下述命题: ①“ f ( x) 是奇函数”的充要条件是“函数 f ( x ? a ) 的图像关于点 A(a, 0) 对称”; ②“ f ( x) 是偶函数”的充要条件是“函数 f ( x ? a ) 的图像关于直线 x ? a 对称”; ③“ 2a 是 f ( x) 的一个周期”的充要条 件是“对任意的 x ? R ,都有 f ( x ? a ) ? ? f ( x) ”; ④ “函数 y ? f ( x ? a ) 与 y ? f (b ? x) 的图像关于 y 轴对称”的充要条件是“ a ? b ” 其中正确命题的序号是( )

A.①②

B.②③

C.①④

D.③④

→ → → → 8.在边长为 1 的正三角形 ABC 中,BD=xBA,CE=yCA,x>0,y>0,且 x+y=1, → → 则CD·BE的最大值为 A.- 5 8 B.- 3 4 C.- 3 2 ( D.- 3 8 )

9.设 F1 , F2 是双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的两个焦点, P 是 C 上一点, a 2 b2


若 PF1 ? PF2 ? 6a ,且 ?PF1 F2 的最小内角为 30? ,则 C 的渐近线方程为(

2 D. y ? ? 2 x x 2 10.已知函数 f ( x) ? log a x ? 1 (a ? 0, a ? 1) ,若 x1 ? x2 ? x3 ? x4 ,
A. y ? ? x B. y ? ?2 x C. y ? ? 且 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x3 ) ? f ( x4 ) ,则 A. 2 B. 4 C.8

1 1 1 1 ? ? ? ?( x1 x2 x3 x4



D. 随 a 值变化

二.填空题:本大题共 6 小题,考生共需作答 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,请将答案填 在答题卡的 对应题号的位置上,答错位置,书写不清,模棱两可均不得分. ..... (一)必考题(11—14 题) 11.执行如图所示的程序框图,输出的 = .

?y ? 0 ? 12.若不等式组 ? y ? 2 x 表示的平面区域是 ? y ? a ( x ? 1) ? 1 ?
一个三角形,则 a 的取值范围是 13.已知椭圆 则? 14.
2

n ? 10 ?

.

S ? S?n?2n

x2 y2 ? ? 1 的面积计算公式是 S ? ?ab , a2 b2

?2

1 1 ? x 2 dx ? ________; 4 1 1 2 1 2 3 1 2 k 设数列 , , , , , , ? , , , ? , , ?. 这个数列第 2010 项的值是________; 1 2 1 3 2 1 k k ?1 1
.

这个数列中,第 2010 个值为 1 的项的序号是

(二)选考题(请考生在第 15、16 两题中任选一题作答,如果全选,则按第 15 题作答

结 果计分.) 15.(选修 4-1:几何证明选讲) 如图,AB 为半径为 2 的圆 O 的直径,CD 为垂直于 AB 的一条弦, 垂足为 E,弦 BM 与 CD 交于点 F.则 AC 2 +BF·BM=

16.(选修 4-4:坐标系与参数方程) 在极坐标系中,直线 ρ(cosθ -sinθ) + 2 = 0 被曲线 C : ρ = 2 所截得弦的中点的极坐标为 ________. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 已知锐角 ?ABC 的三个内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c 。 已知 (a ? c)(sinA ? sinC) ? (a ? b) sin B 。 (1) 求角 C 的大小。 (2) 求 cos 2 A ? cos 2 B 的取值范围。

18.(本小题满分 12 分) 某班甲、乙两名学同参加 100 米达标训练,在相同条件下两人 10 次训练的成绩(单 位:秒)如下: 1 甲 乙 11.6 12.3 2 12.2 13.3 3 13.2 14.3 4 13.9 11.7 5 14.0 12.0 6 11.5 12.8 7 13.1 13.2 8 14.5 13.8 9 11.7
§xx§k.Com] 学科网]

10
[来源:Z

14.3 12.5

14.1

[来源:

(1)请作出样本数据的茎叶图;如果从甲、乙两名同学中选一名参加学校的 100 米比 赛,从成绩的稳定性方面考虑,选派谁参加比赛更好,并说明理由(不用计算,可通过统 计图直接回答结论). (2)从甲、乙两人的 10 次训练成绩中各随机抽取一次,求抽取的成绩中至少有一个比 12.8 秒差的概率. (3)经过对甲、乙两位同学的多次成绩的统计,甲、乙的成绩都均匀分布在[11.5,14.5] 之间,现甲、乙比赛一次,求甲、乙成绩之差的绝对值小于 0.8 秒的概率.

19. (本小题满分 12 分) 如图,四边形 ABCD 中(图 1) , E 是 BC 的中点, DB ? 2 , DC ? 1, BC ? 5 ,
AB ? AD ? 2.

将(图 1)沿直线 BD 折起,使二面角 A ? BD ? C 为 600 (如图 2) (1)求证: AE ? 平面 BDC ; (2)求直线 AE 与平面 ADC 所成角的正弦值。

20.(本小题满分 12 分)

6 已知数列?a n ?满足 a1 ? ? ,1 ? a1 ? a 2 ? ? ? ? ? a n ? ? a n ?1 ? 0(? ? 0, ? ? ?1, n ? N *) 7
(1) 求数列 ?a n ?的通项公式 a n ; 1 (2) 当 ? ? 时,数列中是否存在含有 a1 在内的三项构成等差数列,若存在 ,请求出 3 来;若不存在,请说明理由。

21. (本小题满分 13 分) x2 y2 3 已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率 e= ,椭圆 C 的上、下顶点分别为 A1, a b 2 2 5 A2,左、右顶点分别为 B1,B2,左、右焦点分别为 F1,F2.原点到直线 A2B2 的距离为 . 5 (1)求椭圆 C 的方程; 1 (2)过原点且斜率为 的直线 l,与椭圆交于 E,F 点,试判断∠EF2F 是锐角、直角 2 还是钝角,并写出理由; (3)P 是椭圆上异于 A1,A2 的任一点,直线 PA1,PA2 ,分别交 x 轴于点 N,M,若直线 OT 与过点 M,N 的圆 G 相切,切点为 T.证明:线段 OT 的长为定值,并求出该定值.

22. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ?

x(1 ? a ln x) ( x ? 1) x ?1

(1) 当 a ? 0 时,讨论 g ( x) ? ( x ? 1) 2 f ?? x ? 的单调性; (2) 当 a ? 1 时,若 f ( x) ? n 恒成立,求满足条件的正整数 n 的值; (3) 求证: ?1 ? 1 ? 2 ? ? ?1 ? 2 ? 3? ? ? ? ?1 ? n?n ? 1?? ? e
2n? 5 2

湖北省部分重点中学 2014 届高三二月联考高三理数参考答案
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分. 题号 1 2 3 4 5 6 答案 C C C A B C 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11. 8194 12. ( ?? ,0) 13. 7 A 8 D 15. 16 9 D 16. ? 2 , 10 A

?

14.

57 7

,8076181

? ?

3? ? ? 4 ?

[来源:学科网]

三、 本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.解: (1)由正弦定理可知 ( a ? c)(a ? c) ? ( a ? b)b ……………………2 分 即 a ? b ? c ? ab 。
2 2 2

由余弦定理得 所以 C ?

cos C ?

?
3

a2 ? b2 ? c2 1 ? 2ab 2

……………………4 分 …………………5 分

2? 2? ,故 B ? ?A 3 3 1 1 4? 2 2 所以 cos A ? cos B ? 1 ? cos 2 A ? cos( ? 2 A) 2 2 3 3 1 1 5? sin 2 A ? cos 2 A = 1 ? sin( 2 A ? ) =1 ? 4 4 2 6
(2)? A ? B ? 因 ?ABC 为锐角三角形,所以

…………………8 分

?

7? 5? 11? ? 2A ? ? 6 6 6 5? 1 ? - 1 ? sin( 2 A ? ) ? ? 6 2 ?

6

? A?

?

2
…………………10 分

1 3 ? cos 2 A ? cos 2 B 的取值范围为 [ , ) 2 4
18. 解 (1)茎叶图

…………………12 分

………………3 分 从统计图中可以看出,乙的成绩较为集中,差异程度较小, 应选派乙同学代表班级参加比赛较好. ………………4 分 (2)设事件 A 为:甲的成绩低于 12.8,事件 B 为:乙的成绩低于 12.8, 则甲、乙两人成绩至少有一个低于 12.8 秒的概率为 4 5 4 P=1-P( A )( B )=1- × = . 10 10 5 (3)设甲同学的成绩为 x,乙同学的成绩为 y, 则|x-y|<0.8, 得-0.8+x<y<0.8+x. ………………7 分 ………………8 分

如图阴影部分面积即为 3×3-2.2×2.2=4.16, ………………10 分 4.16 104 则 P(|x-y|<0.8)=P(-0.8+x<y<0.8+x)= = .…………12 分 3×3 225

19.解:如图取 BD 中点 M,连接 AM,ME。∵ AB ? AD ? ∵ DB ? 2 , DC ? 1, BC ?
2 2 2

2. ? AM ? BD

5 ? DB ? DC ? BC , 所以 ?BCD 是 BC 为斜边的直角三角形, BD ? DC , 1 ∵ E 是 BC 的中点,∴ME 为 ?BCD 的中位线 ME // CD , 2 1 ? ME ? BD , ME ? 2 ? ?AME 是二面角 A ? BD ? C 的平面角 …………………3 分 ? ?AME = 600 ? AM ? BD , ME ? BD 且 AM、ME 是平面 AME 内两相交于 M 的直线 ? BD ? 平面 AEM ? AE ? 平面 AEM? BD ? AE 1 ∵ AB ? AD ? 2. , DB ? 2 ? ?ABD 为等腰直角三角形? AM ? BD ? 1 , 2
AE 2 ? AM 2 ? ME 2 ? 2 AM ? ME ? cos ?AME ? 1 ? 1 1 3 3 ? 2 ? 1 ? ? cos 60? ? ? AE ? 4 2 4 2
………………6 分
[来源:Zxxk.Com]

? AE 2 ? ME 2 ? 1 ? AM 2 ? AE ? ME ? BD ? ME , BD ? 平面 BDC , ME ? 面BDC ? AE ? 平面 BDC
则由(1)及已知条件 可知 B(1,0,0), E (0,

( 2)如图,以 M 为原点 MB 为 x 轴,ME 为 y 轴,建立空间直角坐标系 M ? xyz ,

1 3 1 ) ,D ( ?1,0,0) ,C ( ?1,1,0) , ,0) , A(0, , 2 2 2 1 3 3 DA ? (1, , ), DC ? (0,1,0), AE ? (0,0,? ) ………8 分 2 2 2 设平面 ACD 的法向量为 n ? ( x, y, z )

? ?n ? DA ? 0 则? ? ? ?n ? DC ? 0

? 1 3 z?0 ?x ? y ? ? 2 2 ?y ? 0 ?

令x ? 3 , 则z ? ?2 ? n ? ( 3, 0,?2) 设AE与平面ADC所成的角为?,

则sin ? ?

n ? AE n ? AE

?

3 3 7? 2

?

2 7 7

…………………………10 分

2 7 …………………………12 分 7 20.解:由题意 1 ? a1 ? a 2 ? ? ? ? ? a n ? ? a n ?1 ? 0 ① ② 1 ? a1 ? a 2 ? ? ? ? ? a n ? a n?1 ? ? a n ? 2 ? 0 由②-①得 (1 ? ? ) a n ?1 ? ?a n ? 2 ? 0 ,又 ? ? 0, ? ? ?1, n ? N * 1? ? ∴ an?2 ? a n ?1 ,故数列 ?a n ?从第二项开始为等比数列…………………………3 分
所以直线 AE 与平面 ADC 所成角的正弦值为

?

将 n ? 1 代入①式, 1 ? a1 ? ?a 2 ? 0, a 2 ?

1 ? a1

?

?

1 1 1 ? ? n?2 ,∴ n ? 2 时, a n ? ( ) 7? 7? ?

? 6 ? ,n ?1 ? ? 7 ∴数列 ?a n ?的通项 a n ? ? ? 1 (1 ? ? ) n? 2 , n ? 2 ? ? 7? ?
1 (2)? ? ? 3

…………………………6 分

? 6 ? ,n ?1 ? ? 7 ∴ an ? ? ? 3 ? 4 n?2 , n ? 2 ? ?7
? 当n ? 2时, a n ? a1

…………………………8 分

假设存在包含 a1 的三项成 等差数列 不妨设 k ? p ? 2 且 a k ? a p

? a k ? a p ? a1

? 2a p ? a1 ? a k
3 6 3 ? 2 ? ( ) ? 4 p ? 2 ? ? ? ( ) ? 4 k ? 2 ? 2 ? 4 p ? 2 ? ?2 ? 4 k ? 2 ? 2( 2 p ?3) ? 2 2 ( k ? 2 ) ? 2 ……10 分 7 7 7 ?k ? p ? 2 ? 当且仅当k ? 3, p ? 2时成立 ? 数列?a n ?存在a1 , a 2 , a3 或a3 , a 2 , a1成等差数列
21 解: (1)因为椭圆 C 的离心率 e= ………………………12 分 3 , y 2 A1 T 故设 a=2m,c= 3m,则 b=m. P G 直线 A2B2 方程为 bx-ay-ab=0, 2 F 1 F2 M 即 mx-2my-2m =0. N B1 B2 x O 2 m2 2 5 所以 = ,解得 m=1. 5 m2+4m2 A2 x2 所以 a=2,b=1,椭圆方程为 +y2=1. …………………4 分 4 x2 2 +y =1, 4 2 2 1 (2)由 得 E( 2, ),F(- 2,- ). ………………….6 分 y= x, 2 2 2 → → 2 2 又 F2( 3,0),所以F2E=( 2- 3, ),F2F=(- 2- 3,- ), 2 2 → → 2 2 1 所以F2E·F2F=( 2- 3)×(- 2- 3)+ ×(- )= >0. 2 2 2 所以∠EF2F 是锐角. ……………… 8 分 (3)由(1)可知 A1(0,1) A2(0,-1),设 P(x0,y0), y0-1 x0 直线 PA1:y-1= x,令 y=0,得 xN=- ; x0 y0-1 y0+1 x0 直线 PA2:y+1= x,令 y=0,得 xM= ;……………………………………10 分 y0+1 x0 x0 1 x0 解法一:设圆 G 的圆心为( ( - ),h), 2 y0+1 y0-1 x0 x0 2 x0 2 1 x0 1 x0 则 r2=[ ( - )- ] +h2= ( + ) +h2. 2 y0+1 y0-1 y0+1 4 y0+1 y0-1 x0 2 2 1 x0 OG2= ( - ) +h . 4 y0+1 y0-1 x0 2 x0 2 2 x02 1 x0 1 x0 OT2=OG2-r2= ( - ) +h2- ( + ) -h = .………….12 分 4 y0+1 y0-1 4 y0+1 y0-1 1-y02
[来源:学科网 ZXXK]

x02 +y02=1,所以 x02=4(1-y02),所以 OT2=4, 4 所以 OT=2,即线段 OT 的长度为定值 2. x0 x0 x02 解法二:OM·ON=|(- )· |= , y0-1 y0+1 1-y02 x02 而 +y02=1,所以 x02=4(1-y02),所以 OM·ON=4. 4 由切割线定理得 OT2=OM·ON=4. 所以 OT=2,即线段 OT 的长度为定值 2. 而

………………… 13 分 ………………….12 分

………………… 13 分

? ? a ?? ?1? ?1? a ln x? ? x ? 0 ? x ?? ? x ?1? ? x ?1? a ln x? ?1 ax ? a ln x ? a ?1 ? ?? ? ' ? 22.解:(Ⅰ) f ? x? ? , …………2 分 2 2 ? x ?1? ? x ?1?
令 g ? x ? ? ax ? a ln x ? a ? 1 ,

a ? 0 时 g ? x ? ? ?1 为常函数,不具有单调性。

………………3 分 ………………4 分

a a ? x ? 1? ? ? 0 , g ? x ? 在 ?1, ?? ? 上单调递增; x x (Ⅱ) a ? 1 时 g ? x ? ? x ? ln x ? 2 ,
a ? 0 时 g' ? x? ? a ?

e e2 g ? 3? ? 3 ? ln 3 ? 2 ? ln ? 0 , g ? 4 ? ? 4 ? ln 4 ? 2 ? ln ? 0 , 3 4 设 g ? b ? ? 0 ,则 b ? ? 3, 4 ? 。
所以当 x ? ?1, b ? 时, f

………………5 分

因为此时 g ? x ? 在 ?1, ?? ? 上单调递增可知当 x ? ?1, b ? 时, g ? x ? ? 0 ;当 x ? ? b, ?? ? 时, g ( x) ? 0 ,

b ?1 ? g ? b ? ? 0 ,? b ? ln b ? 2 ? 0 ,即 ln b ? b ? 2 ,
所以 f ? b ? ? b , ? b ? ? 3, 4 ? ,? f ? b ? ? ? 3, 4 ? ,

? x ? ? 0 ;当 x ? ? b, ?? ? 时, f ' ? x ? ? 0 , b ?1 ? ln b ? 当 x ? b 时, f ? x ? min ? f ? b ? ? ,
'

………………7 分

? n ? 3 ,故正整数 n 的值为 1、2 或 3。

x ?1 ? ln x ? ? 3, x ?1 3 ? x ? 1? 3 ? x ? 1? 2x ? 3 3 , ln x ? 1 ? ln x ? ?1 ? ? 2 ? ? x ? 1? , x x x x 3 3 1 ? ?1 令 x ? 1 ? n ? n ? 1? 得 ln ? ?1 ? n ? n ? 1? ? ? ? 2 ? n n ? 1 ? 1 ? 2 ? n n ? 1 ? 2 ? 3 ? n ? n ? 1 ? …12 分 , ? ? ? ? ? ?
(Ⅲ)由(Ⅱ)知,当 a ? 1 时, f ? x ? ? 3 恒成立,即 则 ln ?1 ? 1? 2 ? ? ln 3 ( n ? 1 暂时不放缩)

………………9 分

1 ? ?1 ln ? ?1 ? n ? n ? 1? ? ? ? 2 ? 3? n ? n ?1 ? . ? ? 1 ? ?1 以上 n 个式子相加得: ln ?1 ? 1? 2 ? ? ln ?1 ? 2 ? 3? ? ... ? ln ? ?1 ? n ? n ? 1?? ? ? ln 3 ? 2 ? n ? 1? ? 3 ? 2 ? n ? 1 ? ? ? 7 3 5 3 5 ? ln e ? 2n ? ? ? 2n ? ? ? 2n ? 2 n ?1 2 n ?1 2
. . . . . . . . . . , 所以 ln ?1 ? 1 ? 2 ? ? ?1 ? 2 ? 3? ? ... ? ? ?1 ? n ? n ? 1? ? ? ? 2n ?

?1 1? ln ?1 ? 2 ? 3? ? 2 ? 3 ? ? ? , ? 2 3?

?

?

5 , 2

即 ?1 ? 1 ? 2 ? ? ?1 ? 2 ? 3? ? ... ? ? ?1 ? n ? n ? 1? ? ??e

2n?

5 2



………………14 分


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