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江西省白鹭洲中学2012届上学期高三年级第一次月考数学试卷(理科)


届上学期高三年级第一次月考数学试卷(理科) 江西省白鹭洲中学 2012 届上学期高三年级第一次月考数学试卷(理科)
时间 120 分钟 满分 150 分 第Ⅰ卷(选择题 50 分) 卷 选择题(本题共有 10 小题,在每小题给出的四个选项中,只有一个是正确的.本题每小 一、选择题 题 5 分,满分 50 分) 1.已知集合 A = {x | ( ) > }, B = {x | log 2 ( x ? 1) < 2}, 则A ∩ B = (
x

1 2

1 4



A. ( ?∞, 2)

B. (1, 2)

C. (2,5)

D. (?∞,5)

2.已知 A 是 ?ABC 内角,命题 p :

sin A =

3 1 cos A = 2 ;命题 q : 2 ,则 q 是 p 的(
C.充要条件



A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 3.下列说法中,正确的是( )

D.既不充分也不必要条件

2 2 A.命题“若 am < bm ,则 a < b ”的逆命题是真命题

B.命题“ ?x ∈ R , x ? x > 0 ”的否定是:“ ?x ∈ R , x ? x ≤ 0 ”
2 2

C.命题“ p 或 q ”为真命题,则命题“ p ”和命题“ q ”均为真命题 D.已知 x ∈ R ,则“ x > 1 ”是“ x > 2 ”的充分不必要条件 4.设函数 f(x)=g(x)+x ,曲线 y=g(x)在点(1,g(1))处的切线方程为 y=2x+1,则曲线
2

y=f(x)在点(1,f(1))处切线的斜率为 (
A.2 1 B.- 4 C.4

) 1 D.- 2

5.已知命题 p :抛物线 y = 2x 2 的准线方程为 y = ?

1 ;命题 q :若函数 f ( x + 1) 为偶函 2
) D. p ∨ q

数,则 f (x) 关于 x = 1 对称.则下列命题是真命题的是( A. p ∧ q B. p ∨ ( ?q ) C. (?p ) ∧ (?q )

6.已知函数 f ( x ) = ( x ? a )( x ? b) (其中 a > b )的图象如下面右图所示,则函数

g ( x) = a x + b 的图象是(

) f (x)

A

B

C
2

D

7.若关于 x 的不等式 x + 1 ? x ? 2 < a ? 4a 有实数解, 则实数 a 的取值范围为( )
1

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A. (1,3)

B. ( ?∞,1) U (3, +∞ )

C. ( ?∞, ?3) U ( ?1, +∞)

D. (?3, ?1)

8.若 f ( x ) = 2sin(ω x + ? ) + m ,对任意实数 t 都有 则实数 m 的值等于( A.—1 B.±5 ) C.—5 或—1

f(

π
8

+ t) = f (

π

? t ), 且f ( ) = ?3 8 8 ,

π

D.5 或 1 )

?1, x ≤ 0 ? 9. 已知函数 f ( x ) = ? 1 , 则使方程 x + f ( x ) = m 有解的实数 m 的取值范围是 ( ,x > 0 ?x ?
A. (1,2) B. ( ?∞, ?2] C. (?∞,1) ∪ (2, +∞ ) D. ( ?∞,1] ∪ [2, +∞)

10. 已知 α , β 是三次函数 f ( x ) =

1 3 1 2 x + ax + 2bx 的两个极值点, α ∈ (0,1), β ∈ (1,2) , 且 3 2




b?2 的取值范围是( a ?1 1 ( ,1) 4
B.

A.

1 ( ,1) 2

C . (?

1 1 , ) 2 4

D. (?

1 1 , ) 2 2

第Ⅱ卷(非选择题 100 分) 卷 二、填空题(本题共有 5 小题,每题填对得 5 分,本题满分 25 分.) 填空题 11.已知集合 M = {x |
x

x < 0}, N = { y | y = 3 x 2 + 1, x ∈ R}, 则M I N 等于 x?2




12.若曲线 y = 2 + 1 与直线 y = b 没有公共点,则实数 b 的取值范围是

13.已知函数 y=f(x)的图像是开口向下的抛物线,且对任意 x∈R,都有 f(1-x)=f(1+x), 若向量 a = (log 1 m, ? 1), b = (1,?2) ,则满足不等式 f ( a ? b) < f ( ?1) 的实数 m 的取值范
2

围是


x y

2 1 + x、y ∈ R, a > 1, b > 1 14.设 ,若 a = b = 2 ,a + b = 4 ,则 x y 的最大值为
15.下列命题:
2



?x ∈ [ ?1,1] x + x0 + 1 > a ①命题 p : 0 ,满足 0 ,使命题 p 为真的实数 a 的取值范围为
a < 3;

?2 ? ?4 ? sin α + sin ? π + α ? + sin ? π + α ? ?3 ? ?3 ? 的值与角 α 有关; ②代数式
f ( x) = 3 sin(2 x ?

π

③将函数

3 的图象向左平移 3 个单位长度后得到的图象所对应的

)

π

函数是奇函数;
2

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④ 已 知 数 列

{an }

满 足 : ,则

a1 = m, a2 = n, an + 2 = an +1 ? an (n ∈ N ? )


, 记

S n = a1 + a 2 + a3 + … + a n

S 2011 = m

其中正确的命题的序号是 (请把正确命题的序号全部写出来) 三、解答题(本题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 解答题( 16. (本题满分 12 分) 设定函数 f ( x ) =

a 3 x + bx 2 + cx + d ( a f 0) ,且方程 f ' ( x ) ? 9 x = 0 的 3

两个根分别为 1,4。 (Ⅰ)当 a=3 且曲线 y = f ( x ) 过原点时,求 f ( x ) 的解析式; (Ⅱ)若 f ( x ) 在 ( ?∞, +∞ ) 无极值点,求 a 的取值范围.

17. (本题满分 12 分)

设集合

? x?4? ? ? x2 + x + 1 A = ?x y = ? B = {k f ( x) = 2 2? x? kx + kx + 1 ? ? ?
f :x→ y =

的定义域为 R }

(Ⅰ) f 是 A 到 B 的函数,使得 若 实数 a 的取值范围; (Ⅱ)若命题

2 x ? 1 ,若 a ∈ B ,且 a ? { y y = f ( x ), x ∈ A} ,试求

p : m ∈ A ,命题 q : m ∈ B ,且“ p 且 q ”为假,“ p 或 q ”为真,试求

实数 m 的取值范围.

18. (本题满分 12 分) 经市场调查,某超市的一种小商品在过去的近 20 天内的销售量(件)与价格(元)均 为时间 t(天)的函数,且销售量近似满足 g(t)=80-2t(件) , 1 价格近似满足 f (t ) = 20 ? | t ? 10 | (元) . 2 (Ⅰ)试写出该种商品的日销售额 y 与时间 t(0≤t≤20)的函数表达式; (Ⅱ)求该种商品的日销售额 y 的最大值与最小值. 19. (本题满分 12 分) 在△ABC 中,内角 A,B,C 所对边长分别为 a , b , c AB ? AC = 8 , ∠BAC = θ , a = 4 . (Ⅰ)求 b ? c 的最大值及 θ 的取值范围;

f (θ ) = 2 3 sin 2 ( + θ ) + 2 cos 2 θ ? 3 4 的最值. (Ⅱ)求函数
3

π

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20. (本题满分 13 分) 设函数 f(x)=e -1-x-ax . (Ⅰ)若 a=0,求 f(x)的单调区间; (Ⅱ)若当 x≥0 时 f(x)≥0,求 a 的取值范围.
x
2

21(本题满分 14 分) 己知函数 f ( x) =

1 . ( x + 1) ln( x + 1)

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的定义域; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 的增区间;
1 x +1

(III) 是否存在实数 m ,使不等式 2

> ( x + 1) m 在 ?1 <

x < 0 时恒成立?

若存在,求出实数 m 的取值范围;若不存在,请说明理由.

4

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理科) 高三数学暑期月考数学答案 (理科) 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

答案 二、填空题 11. [1,2)

B

A

B

C

D

A

B

C

D

A

12、 (-1,1)

13、

1 (0, ) ∪ (8,+∞) 2

14、4

15、

①④

5

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17 解(1)A= (2,4] ……2 分; B= [0,4) ……4 分;

2 2 y ∈ [ , 2) a ∈ [0, ) U [2, 4) 3 3 ……6 分, ……6 分

(2)当 P 真 Q 假时, m = 4 ……8 分;当 P 假 Q 真时, 0 ≤ m ≤ 2 , … …10 分 所以 m ∈ [0,2] ∪ {4} … 18、 本小题满分 12 分) ( (Ⅰ) y = g (t ) ? f (t ) = (80 ? 2t ) ? (20 ?
?(30 + t )(40 ? t ), (0≤t < 10), =? ?(40 ? t )(50 ? t ), (10≤t ≤ 20).
1 | t ? 10 |) = (40 ? t )(40? | t ? 10 |) …… 4 分 2

…12 分

…………………… 6 分

(Ⅱ)当 0≤t<10 时,y 的取值范围是[1200,1225], …………………… 8 分 在 t=5 时,y 取得最大值为 1225; 当 10≤t≤20 时,y 的取值范围是[600,1200], 在 t=20 时,y 取得最小值为 600. …………………… 10 分 (答)总之,第 5 天,日销售额 y 取得最大为 1225 元; 第 20 天,日销售额 y 取得最小为 600 元. …………………… 12 19. 本小题满分 12 分) (

20、 本小题满分 13 分) ( x x 解:(1)a=0 时,f(x)=e -1-x,f′(x)=e -1, 当 x∈(-∞,0)时,f′(x)<0;当 x∈(0,+∞)时,f′(x)>0.故 f(x)在(-∞, 0)单调 减少,在(0,+∞)单调增加. (2)f′(x)=e -1-2ax. 由(1)知 e ≥1+x,当且仅当 x=0 时等号成立. 故 f′(x)≥x-2ax=(1-2a)x,
6
x x

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1 从而当 1-2a≥0,即 a≤ 时,f′(x)≥0(x≥0),而 f(0)=0,于是当 x≥0 时, 2

f(x)≥0.
由 e >1+x(x≠0)可得 e >1-x(x≠0). 1 x -x -x x x 从而当 a> 时,f′(x)<e -1+2a(e -1)=e ·(e -1) (e -2a), 2 故当 x∈(0,ln 2a)时,f′(x)<0,而 f(0)=0,于是当 x∈(0,ln 2a)时,f(x)<0. 1? ? 综合得 a 的取值范围为?-∞, ?. 2? ? 21、 本小题满分 14 分) ( (1)根据函数解析式得 ?
x
-x

?x +1 > 0 , ?x +1 ≠ 1

解得 x > ?1 且 x ≠ 0 .

∴ 函数 f ( x) 的定义域是 { x x ∈ R, x > ?1且x ≠ 0} . …………3 分
(2)Q f ( x ) =

1 , ( x + 1) ln( x + 1)

∴ f ′( x) = ?

ln( x + 1) + 1 ……………………5 分 ( x + 1) 2 ln 2 ( x + 1)

由 f ′( x ) > 0 得 ln( x + 1) + 1 < 0.

∴?1 < x < e ?1 ? 1. ∴ 函数 f ( x) 的增区间为 (?1, e ?1 ? 1) .
(3)Q e ?1 ? 1 < x < 0, …………………………8 分

∴ e ?1 < x + 1 < 1. ∴?1 < ln( x + 1) < 0. ∴ ln( x + 1) + 1 > 0 ∴ 当 e?1 ? 1 < x < 0 时,

f ′( x) = ?

ln( x + 1) + 1 < 0. ( x + 1) 2 ln 2 ( x + 1)

∴ 在区间 ( ?1, 0 ) 上,
当 x = e ? 1 时, f ( x ) 取得最大值∴ [ f ( x) ]最大 = f (e ?1 ? 1) = ?e .……………10 分
?1

7

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Q 2 x +1 > ( x + 1) m 在 ?1 < x < 0 时恒成立.
∴ 1 ln 2 > m ln( x + 1) 在 ?1 < x < 0 时恒成立. x +1

1

∴m >

ln 2 在 ?1 < x < 0 时恒成立. ( x + 1) ln( x + 1)

Q

ln 2 在 ?1 < x < 0 时的最大值等于 ?e ln 2 . ( x + 1) ln( x + 1)
1

∴ m > ?e ln 2.
∴ 当 m > ?e ln 2 时,不等式 2 x +1 > ( x + 1) m 在 ?1 < x < 0
时恒成立.………14 分 年级 内容标题 分类索引号 主题词 供稿老师 录入 一校 二校 高三 版) G.622.475 数学试卷(理科) (通用版) 审稿老师 审核 分类索引描述 统考试题与题解 江西省白鹭洲中学 2012 届上学期高三年级第一次月考 栏目名称 高考题库 学科 数学 版本 期数 江西省白鹭洲中学 2012 届上学期高三年级第一次月考数学试卷(理科) (通用

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