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(含答案)立体几何2014(理)全国各地试题 (2)


立体几何高考试题
1.(2014 全国新课标 I,19,12 分)如图三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,侧面 BB1C1C 为菱形,

AB ? B1C .
(Ⅰ)证明: AC ? AB1 ; (Ⅱ)若 AC ? AB1 , ?CBB1 ? 60o ,AB=BC 求二面角 A ? A1B1 ? C1 的余弦值.

2

.( 2014 全国新课标Ⅱ,18,12 分) 如图, 四棱锥 P ? ABCD 中, 底面 ABCD 为矩形,
PA ? 平面 ABCD , E 为 PD 的中点.

(Ⅰ)证明: PB ? 平面 AEC ; (Ⅱ)设二面角 D ? AE ? C 为 60? , AP ? 1 , AD ? 3 ,求三棱锥 E ? ACD 的 体积.

1

3.( 2014 全国大纲,19,12 分) 如图,三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,点 A1 在平面 ABC 内 的射影 D 在 AC 上, ?ACB ? 900 , BC ? 1, AC ? CC1 ? 2 . (I)证明: AC1 ? A1B ; (II)设直线 AA1 与平面 BCC1B1 的距离为 3 ,求二面角 A1 ? AB ? C 的大小.

C1 A1

B1

D A

C

B

4.( 2014 北京,17,14 分) 如图,正方形 AMDE 的边长为 2 , B, C 分别为 AM , MD 的中点,在五棱锥
P ? ABCDE 中, F 为棱 PE 的中点,平面 ABF 与棱 PD, PC 分别交于点 G , H .

(1)求证: AB // FG ; (2)若 PA ? 底面 ABCDE ,且 AF ? PE ,求直线 BC 与平面 ABF 所成角的大 小,并求线段 PH 的长.

2

5.( 2014 山东,17,12分) 如图,在四棱柱 ABCD ? A1B1C1D1 中,底面 ABCD 是等腰 梯形, ?DAB ? 60? , AB ? 2CD ? 2 , M 是线段 AB 的中点.

(I)求证: C1M / / 平面A1 ADD1 ; (II)若 CD1 垂直于平面 ABCD 且 CD1 = 3 ,求平面 C1 D1M 和平面 ABCD 所成的 角(锐角)的余弦值.

D1 A1

C1 B1

D A M

C B

6.( 2014 江苏,16,14 分)如图, 在三棱锥 P ? ABC 中,D , E, F 分别为棱 PC, AC, AB 的中点.已知 PA ? AC , PA ? 6,
BC ? 8, DF ? 5.

3

求证: (1)直线 PA // 平面 DEF ; (2)平面 BDE ? 平面 ABC .

P

D

A F

E B (第 16题)

C

7.( 2014 浙 江 ,20,15 分 )

如 图 ,在 四 棱锥 A ? BCDE 中 , 平 面 ABC ? 平 面

BCDE, ?CDE ? ?BED ? 900 , AB ? CD ? 2, DE ? BE ? 1, AC ? 2 .
(1)证明: DE ? 平面 ACD ; (2)求二面角 B ? AD ? E 的大小

A

D

C B (第 20题图 )

E

8.( 2014 福建,17,12 分) 在平行四边形 ABCD 中, AB ? BD ? CD ? 1 ,
AB ? BD, CD ? BD .将 ?ABD 沿 BD 折起,使得平面 ABD ? 平面 BCD ,如图.

4

(1)求证:AB ? CD; (2)若 M 为 AD 中点,求直线 AD 与平面 MBC 所成角的正弦值.

9.( 2014 安徽,20,13分)如图,四棱柱 ABCD ? A1B1C1D1 中, A1 A ? 底面 ABCD .四 边形 ABCD 为梯形,AD // BC ,且 AD ? 2 BC .过 A1 , C, D 三点的平面记为 ? ,BB1 与 (Ⅰ)证明: Q 为 BB1 的中点; ? 的交点为 Q 。 (Ⅱ)求此四棱柱被平面 ? 所分成上下两部分的体积之比; (Ⅲ)若 A1 A ? 4 , CD ? 2 ,梯形 ABCD 的面积为 6,求 平面 ? 与底面 ABCD 所成二面角大小。

10.( 2014 辽宁,19,12 分)如图, ?ABC 和 ?BCD 所在平面互相垂直,且
AB ? BC ? BD ? 2 , ?ABC ? ?DBC ? 1200 ,E、F 分别为 AC、DC 的中点.
5

(1)求证: EF ? BC ; (2)求二面角 E ? BF ? C 的正弦值.

11.( 2014 天津,17,13 分)如图, 在四棱锥 P ? ABCD 中,PA ? 底面 ABCD ,AD ? AB ,
AB ∥ DC , AD ? DC ? AP ? 2 , AB ? 1 ,点 E 为棱 PC 的中点.

(1)证明 BE ? DC ; (2)求直线 BE 与平面 PBD 所成角的正弦值; (3)若 F 为棱 PC 上一点,满足 BF ? AC ,求二面角 F ? AB ? P 的余弦值.

P E D C A B

12.( 2014 湖南,19,12 分) 如图 6,四棱柱 ABCD ? A1B1C1D1 的所有棱长都相等,

AC ? BD ? O, AC 1 1?B 1D 1 ?O 1 , 四边形 ACC1 A 1和四边形BDD 1B 1 均为矩形.
6

(I) (II)

证明: O1O ? 底面ABCD; 若 ?CBA ? 60? , 求二面角C1 ? OB1 ? D 的余弦值.

13.( 2014 湖北,19,12 分) 如图,在棱长为 2 的正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,
E, F , M , N 分别是棱 AB, AD, A1B1 , A1D1 的中点,点 P, Q 分别在棱 DD1 , BB1 上移

动,且 DP ? BQ ? ? ?0 ? ? ? 2? . (1)当 ? ? 1 时,证明:直线 BC1 平面 EFPQ; (2)是否存在 ? ,使平面 EFPQ与面 PQMN 所成的二面角?若存在,求出 ? 的 值;若不存在,说明理由.

7

14.( 2014 江西,19,12分)如图,四棱锥 P ? ABCD 中, ABCD 为矩形,平面 PAD ? 平面 ABCD . (1)求证: AB ? PD; (2)若 ?BPC ? 90? , PB ? 2, PC ? 2, 问 AB 为何值时,四棱锥 P ? ABCD 的体积 最大?并求此时平面 PBC 与平面 DPC 夹角的余弦值.

15.( 2014 陕西,17,12 分) 四面体 ABCD 及其三视图如图所示,过棱 AB 的中点 E 作平行于 AD , BC 的平面分
DC, CA 于点 F , G, H. 别交四面体的棱 BD,

(I)证明:四边形 EFGH 是矩形; (II)求直线 AB 与平面 EFGH 夹角 ? 的正弦值.

8

16.( 2014 重庆,19,12 分) 如图(19) ,四棱锥 P ? ABCD ,底面是以 O 为中心的菱 形 , PO ? 底 面 A B C D , AB ? 2, ?BAD ?
BM ? 1 , MP ? AP . 2

?
3

, M 为 BC 上 一 点 , 且

(1)求 PO 的长; (2)求二面角 A ? PM ? C 的正弦值。

17.( 2014 四川,18,12 分) 三棱锥 A ? BCD 及其侧视图、俯视图如图所示.设 M ,N 分别为线段 AD, AB 的中点, P 为线段 BC 上的点,且
MN ? NP .

(Ⅰ)证明: P 是线段 BC 的中点; (Ⅱ)求二面角 A ? NP ? M 的余弦值.
A M D P

N

9

C

18.( 2014 广东 ,18,13 分)如图 4,四边形 ABCD 为正方形, PD ? 平面 ABCD ,
?DPC ? 300 , AF ? PC 于点 F , FE / / CD ,交 PD 于点 E .

(1)证明: CF ? 平面ADF (2)求二面角 D ? AF ? E 的余弦值。
A B

D E P F

C

参考答案:
【1】(2014 全国新课标 I,19,12 分) 解: (I) 连接 BC1 ,则 O 为 B1C 与 BC1 的交点 . 因为侧面 BB1C1C 为菱形,所以

B1C ? BC1.
又 AO ? 平面 BB1C1C ,所以 B1C ? AO ,故 B1C ? 平 面 ABO. 由于 AB ? 平面 ABO, 故 BC ? A B . 1 ……6 分

(II) 作 OD ? BC ,垂足为 D,连接 AD.作 OH ? AD , 垂足为 H. 由于 BC ? AO , BC ? OD ,故 BC ? 平面 AOD ,所以
10

OH ? BC .又 OH ? AD ,所以 OH ? 平面 ABC.

因为 ?CBB1 ? 60? ,所以 ?CBB1 为等边三角形,又 BC=1, 可得 OD ?
1 1 3 .由于 AC ? AB1 ,所以 OA ? B1C ? . 2 2 4

由 OH ? AD ? OD ? OA ,且 AD ? OD2 ? OA2 ?

21 7 ,得 OH ? . 14 4 21 故三棱柱 7

又 O 为 B1C 的中点,所以点 B1 到平面 ABC 的距离为

ABC? A 1 B 1 C 1的距离为

21 . 7

【2】(2014 全国新课标Ⅱ,18,12 分) 解: (I)设 BD 与 AC 的交点为 O,连结 EO. 因为 ABCD 为矩形,所以 O 为 BD 的中点,又 E 为 PD 的中点,所以 EO∥PB. EO ? 平面 AEC,PB ? 平面 AEC, 所以 PB∥平面 AEC.

(Ⅱ)V ?

1 3 PA ? AB ? AD ? AB . 6 6

由V ?

3 3 ,可得 AB ? . 2 4

作 AH ? PB 交 PB 于 H 。 由题设知 BC ? 平面 PAB ,所以 BC ? AH ,故 AH ? 平面 PBC 。 又 AH ?
PA ? AB 3 13 ? . PB 13
11

所以 A 到平面 PBC 的距离为

3 13 . 13

【3】(2014 全国大纲,19,12 分) 解法一: (1) ∵A1D⊥平面 ABC, A1D ? 平面 AA1C1C,故平面 AA1C1C⊥平面 ABC, 又 BC⊥AC,所以 BC⊥平面 AA1C1C,连结 A1C,因为侧面 AA1C1C 是棱形, 所以 AC1⊥A1C,由三垂线定理的 AC1⊥A1B.

(2) BC⊥平面 AA1C1C,BC ? 平面 BCC1B1,故平面 AA1C1C⊥平面 BCC1B1, 作 A1E⊥C1C,E 为垂足,则 A1E⊥平面 BCC1B1,又直线 A A1∥平面 BCC1B1,因 而 A1E 为直线 A A1 与平面 BCC1B1 间的距离,A1E= 3 ,因为 A1C 为∠ACC1 的 平分线,故 A1D=A1E= 3 , 作 DF⊥AB,F 为垂足,连结 A1F,由三垂线定理得 A1F⊥AB,故∠A1FD 为二面 角 A1-AB-C 的 平 面 角 , 由 AD=
AA12 ? A1 D 2 ? 1 , 得 D 为 AC 的 中 点 ,

AD 1 AC ? BC 5 DF= ? ,tan ∠ A1FD= 1 ? 15 , 所以二面角 A1-AB-C 的大小为 ? DF 2 AB 5

arctan 15 . 解法二:以 C 为坐标原点,射线 CA 为 x 轴的正半轴,以 CB 的长为单位长,建 立如图所示的空间直角坐标系 C-xyz,由题设知 A1D 与 z 轴平行,z 轴在平面 AA1C1C 内.
??? ? (1)设 A1(a,0,c) ,由题设有 a≤2,A(2,0,0)B(0,1,0) ,则 AF ? (-2,1,

12

0),

??? ? ???? ???? ? ??? ? ???? ???? AC ? (?2,0,0), AA1 ? (a ? 2,0, c) , AC1 ? AC ? AA1 ? (a ? 4,0, c), BA1 ? (a, ?1, c) ,由
???? ???? ? ???? AA1 ? 2 得 ( a ? 2) 2 ? c 2 ? 2 , 即 a 2 ? 4a ? c 2 ? 0 , 于是 AC1 ? BA1 ? a 2 ? 4a ? c 2 ? 0 ①,

???? ? ???? 所以 AC1 ? BA1 .
?? ??? ? ?? ??? ? ?? ???? ?? ( 2 )设平面 BCC1B1 的法向量 m ? ( x, y, z),则 m ? CB , m ? CB, m ? BB1 , 即

?? ??? ? ?? ???? ??? ? ???? ???? 因 CB(0,1,0), BB1 ? AA1 ? (a ? 2,0, c) , 故 y=0, 且 (a-2) x-cz=0, m ? CB ? 0, m ? BB1 ? 0 ,
?? 令 x=c , 则 z=2-a , m ? (c,0, 2 ? a) , 点 A 到 平 面 BCC1B1 的 距 离 为 ??? ? ?? CA ? m ??? ? ?? ??? ? 2c CA ? cos ? m, CA ? ? ?? ? ? c ,又依题设,点 A 到平面 BCC1B1 2 m c ? (2 ? a)2 ???? 的距离为 3 ,所以 c= 3 .代入①得 a=3(舍去)或 a=1.于是 AA1 ? (?1,0, 3) ,
设 平 面 ABA1

? ???? ? ??? ? ? 的 法 向 量 n ? ( p, q, , 即B r) 则 n ? A ? n ,A 1, A

? ???? ? ??? ? n ? AA1 ? 0, n ? AB ? 0 . ? p ? 3r ? 0 且 -2p+q=0 , 令 p= 3 , 则 q=2 3 , r=1 , ? ? ? ? ? ? ? ? ? n? p 1 n ? ( 3, 2 3,1) ,又 p ? (0,0,1) 为平面 ABC 的法向量,故 cos ? n, p ?? ? ? ? ? , n p 4
所以二面角 A1-AB-C 的大小为 arccos 【4】(2014 北京,17,14 分) 解: (I)在三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, BB1 ? 底面 ABC,所以 BB1 ? AB, 又因为 AB⊥BC,所以 AB⊥平面 B1BCC1 ,所以平面 ABE ? 平面 B1BCC1 . (II)取 AB 中点 G,连结 EG,FG,
13

1 4

BC 的中点,所以 FG∥AC,且 FG= 因为 E,F 分别是 AC 1 1、

1 AC, 2

因为 AC∥ AC 1 1 ,且 AC= AC 1 1 ,所以 FG∥ EC1 ,且 FG= EC1 , 所以四边形 FGEC1 为平行四边形,所以 C1F // EG, 又因为 EG ? 平面 ABE, C1F ? 平面 ABE, 所以 C1F // 平面 ABE . (III)因为 AA1 =AC=2,BC=1,AB⊥BC,所以 AB= AC 2 ? BC 2 ? 3 ,
1 1 1 3 所以三棱锥 E ? ABC 的体积为: V ? S?ABC ? AA1 = ? ? 3 ?1? 2 = . 3 3 2 3

【5】(2014 山东,18,12 分) 解: (I)设 AC ? BE ? O ,连结 OF,EC,

由于 E 为 AD 的中点,
AB ? BC ? 1 AD, AD / / BC , 2

所以 AE / / BC, AE ? AB ? BC , 因此四边形 ABCE 为菱形, 所以 O 为 AC 的中点, 又 F 为 PC 的中点, 因此在 ?PAC 中,可得 AP / /OF . 又 OF ? 平面 BEF, AP ? 平面 BEF, 所以 AP ∥平面 BEF .

14

(I)由题意知, ED / / BC, ED ? BC , 所以四边形 BCDE 为平行四边形, 因此 BE / /CD . 又 AP ? 平面 PCD, 所以 AP ? CD ,因此 AP ? BE . 因为四边形 ABCE 为菱形, 所以 BE ? AC . 又 AP ? AC ? A ,AP,AC ? 平面 PAC, 所以 BE ⊥平面 PAC . 【6】(2014 江苏,16,14 分) 【解析】 (1)∵D,E,分别为 PC,AC,的中点 ∴DE∥PA 又∵DE

? 平面 PAC,PA ? 平面 PAC

∴直线 PA∥平面 DEF (2)∵E,F 分别为棱 AC,AB 的中点,且 BC=8,由中位线知 EF=4 ∵D,E,分别为 PC,AC,的中点,且 PA=6,由中位线知 DE=3,又∵DF=5 ∴DF? =EF? +DE? =25 ,∴DE⊥EF,又∵DE∥PA,∴PA⊥EF,又∵PA⊥AC,又 ∵AC ? EF=E, AC 平面 ABC,∵DE

? 平面 ABC,EF ? 平面 ABC,∴PA⊥平面 ABC,∴DE⊥

? 平面 BDE,∴平面 BDE⊥平面 ABC

【7】(2014 浙江,20,12 分)
CD ? 2 得 BD ? BC ? 2 , 解: (1) 连结 BD , 在直角梯形 BCDE 中, 由 DE ? BE ? 1 ,

由 AC ? 2 , AB ? 2 得 AB2 ? AC 2 ? BC 2 ,即 AC ? BC ,

15

又平面 ABC ? 平面 BCDE ,从而 AC ? 平面 BCDE . (2)在直角梯形 BCDE 中,由 BD ? BC ? 2 , DC ? 2 得 BD ? BC , 又平面 ABC ? 平面 BCDE ,所以 BD ? 平面 ABC . 作 EF // BD 于 CB 的延长线交于 F ,连结 AF ,则 EF ? 平面 ABC , 所以 ?EAF 是直线 AE 与平面 ABC 所成的角. 在 Rt ?BEF 中,由 EB ? 1, ?EBF ?

?
4

,得 EF ?

2 2 , BF ? , 2 2

在 RT ?ACF 中, AC ? 2 , CF ?

3 2 26 ,得 AF ? , 2 2

在 Rt ?AEF 中,由 EF ?

2 26 13 , AF ? 得 tan?EAF ? , 2 2 13
13 . 13

所以直线 AE 与平面 ABC 所成的角的正切值是 【8】(2014 福建,19,12 分)

解: (1)∵ AB ? 平面 BCD, CD ? 平面 BCD, ∴ AB ? CD . 又∵ CD ? BD , AB ? BD ? B ,
AB ? 平面 ABD, BD ? 平面 ABD,

∴ CD ? 平面 ABD . (2)由 AB ? 平面 BCD,得 AB ? BD . ∵ AB ? BD ? 1 ,∴ S ?ABD ? ∵M 是 AD 的中点, ∴ S?ABM ?
1 1 S?ABD ? . 2 4 1 . 2

由(1)知, CD ? 平面 ABD,

16

∴三棱锥 C-ABM 的高 h ? CD ? 1, 因此三棱锥 A ? MBC 的体积
1 1 VA? MBC ? VC ? ABM ? S?ABM ? h ? . 3 12

解法二: (1)同解法一. (2)由 AB ? 平面 BCD 知,平面 ABD ? 平面 BCD, 又平面 ABD ? 平面 BCD=BD, 如图,过点 M 作 MN ? BD 交 BD 于点 N.

则 MN ? 平面 BCD,且 MN ? 又 CD ? BD, BD ? CD ? 1 , ∴ S ?BCD ?
1 . 2

1 1 AB ? , 2 2

∴三棱锥 A ? MBC 的体积
VA? MBC ? VA? BCD ? VM ? BCD ? 1 1 1 AB ? S ?BCD ? MN ? S ?BCD ? . 3 3 12

【9】(2014 安徽,19,13 分)
17

解: (Ⅰ)证:因为 BC∥平面 GEFH, BC ? 平面PBC ,且
平面PBC ? 平面GEFH ? GH ,

所以 GH∥BC。同理可证 EF∥BC,因此 GH∥EF。

(Ⅱ)解:连接 AC,BD 交于点 O,BD 交 EF 于点 K,连接 OP,GK 因为 PA=PC,O 是 AC 的中点,所以 PO ? AC ,同理可得 PO ? BD 又 BD ? AC=O ,且 AC、BD 都在底面内,所以 PO ? 平面ABCD 又因为 平面GEFH ? 平面ABCD 且 PO ? 平面GEFH ,所以 PO //平面GEFH , 因为 平面PBD ? 平面GEFH ? GK 所以 PO ∥GK,且 GK ? 平面ABCD ,从而 GK ? EF 。 所以 GK 是梯形 GEFH 的高 由 AB ? 8, EB ? 2 得 EB : AB ? KB : DB ? 1: 4
1 1 DB ? OB ,即 K 为 OB 的中点。 4 2 1 1 再由 PO∥GK 得, GK ? PO ,即 G 为 PB 的中点,且 GH ? BC ? 4 2 2

从而 KB ?

由已知可得 OB ? 4 2, PO ? PB 2 ? OB 2 ? 68 ? 32 ? 6 所以 GK ? 3 故四边形 GEFH 的面积 S ?
GH ? EF 4?8 ? GK ? ? 3 ? 18 。 2 2

【10】(2014 辽宁,19,12 分) 解: (Ⅰ)证明:由已知得 ?ABC ? ?DBC .因此 AC ? DC .又 G 为 AD 中点, 所以 CG ? AD ;同理 BG ? AD ;因此 AD ? 平面 BGC .又 EF / / AD .所以 EF ? 平面 BCG. (Ⅱ)在平面 ABC 内.作 AO ? CB .交 CB 延长线于 O .由平面 ABC ? 平面

18

BCD .知 AO ? 平面 BDC .

又 G 为 AD 中点,因此 G 到平面 BCD 距离 h 是 AO 长度的一半.在 ?AOB 中,

AO ? AB ? sin 600 ? 3.
1 1 1 3 1 所以 VD ? BCG ? VG ? BCD ? ? S?DBC ? h ? ? ? BD ? BC ? sin1200 ? ? . 3 3 2 2 2

A E G O B F D C

【11】(2014 天津,17,13 分) 解: (I))证明:如图取 PB 中点 M,连接 MF,AM.因为 F 为 PC 中点,故 MF//BC
1 且 MF= 2 BC.由已知有 BC//AD,BC=AD.又由于 E 为 AD 中点,因而 MF//AE 且

MF=AE, 故四边形 AMFE 为平行四边形, 所以 EF//AM,又 AM ? 平面 PAB,而 EF ? 平面 PAB,所以 EF//平面 PAB. ( II ) ( i )证 明: 连 接 PE,BE. 因为 PA=PD,BA=BD, 而 E 为 AD 中 点,故 PE ? AD,BE ? AD,所以 ? PEB 为二面角 P-AD-B 的平面角.在三角形 PAD 中,由 ,可解得 PE=2. 在三角形 ABD 中,由 ,可解得

? BE=1. 在三角形 PEB 中,PE=2, BE=1, ?PEB ? 60 ,由余弦定理,可解得 PB= 3 ,

从而 ?PBE ? 90 ,即 BE ? PB,又 BC//AD,BE ? AD,从而 BE ? BC,因此 BE ? 平面
?

PBC.又 BE ? 平面 ABCD,所以平面 PBC ? 平面 ABCD,
19

(ii)连接 BF,由(i)知 BE ? 平面 PBC.所以 ? EFB 为直线 EF 与平面 PBC 所 成的角,由 PB= 3 ,PA= 5 ,AB= 2 得 ? ABP 为直角,而 MB= PB= AM=
1 2
3 ,可得 2

11 11 BE 2 11 ? .所 ,故 EF= ,又 BE=1, 故在直角三角形 EBF 中,sin ?EFB ? 2 2 EF 11 2 11 11

以,直线 EF 与平面 PBC 所成角的正弦值为 【12】(2014 湖南,18,12 分)

解:(I)如图,因为 DO ? ? , AB ? ? ,所以 DO ? AB ,连接 BD ,由题可知 ?ABD 是正 三角形,又 E 是 AB 的中点,所以 DE ? AB ,而 DO ? DE ? D ,故 AB ? 平面 ODE .

(II)因为 BC / / AD ,所以 BC 与 OD 所成的角等于 AD 与 OD 所成的角,即 ?ADO 是
BC 与 OD 所成的角 , 由 (I)可知 , AB ? 平面 ODE , 所以 AB ? OE , 又 DE ? AB , 于是 ?DEO 是 二 面 角 ? ? MN ? ? 的 平 面 角 , 从 而 ?DEO ? 600 , 不 妨 设 AB ? 2 , 则
AD ? 2 , 易知 DE ? 3 , 在 Rt ?DOE 中 , DO ? DE ? sin 600 ?

3 , 连接 AO , 在 Rt ?AOD 2

3 3 DO 2 3 中, cos ?ADO ? ? ? ,所以异面直线 BC 与 OD 所成角的余弦值为 . 4 AD 2 4

【13】(2014 湖北,20,12 分) 证明:(1)连接 AD1,由 ABCD -A1B1C1D1 是正方体,知 AD1∥BC1.

20

因为 F,P 分别是 AD,DD1 的中点,所以 FP∥AD1. 从而 BC1∥FP. 而 FP? 平面 EFPQ,且 BC1?平面 EFPQ,故直线 BC1∥平面 EFPQ.

(2)如图,连接 AC,BD,A1C1,则 AC⊥BD. 由 CC1⊥平面 ABCD,BD? 平面 ABCD, 可得 CC1⊥BD. 又 AC∩CC1=C,所以 BD⊥平面 ACC1A1. 而 AC1? 平面 ACC1A1,所以 BD⊥AC1. 因为 M,N 分别是 A1B1,A1D1 的中点,所以 MN∥BD,从而 MN⊥AC1. 同理可证 PN⊥AC1. 又 PN∩MN=N,所以直线 AC1⊥平面 PQMN.

21

【14】(2014 江西,19,12 分) (1)证明:由 AA1 ? BC 知 BB1 ? BC ,又 BB1 ? A1B ,故 BB1 ? 平面 BCA1 , 即 BB1 ? A1C , 又 BB1 / /CC1 ,所以 A1C ? CC1. (2)解法一:设 AA1 ? x, 在 Rt ?A1 BB1 中 BA1 ? A1B12 ? BB12 ? 4 ? x2 , 同理
2 2 2 ?A1 BC 中, AC ? AC 1 1 1 ? CC 1 ? 3? x , 在

cos ?BAC ? 1

2 A1 B2 ? AC ? BC 2 x2 12 ? 7 x2 1 ?? ,sin ?BAC ? ,所以 1 2 A1 B ? AC (4 ? x2 )(3 ? x2 ) (4 ? x2 )(3 ? x2 ) 1

S?A1BC ?

1 12 ? 7 x 2 A1 B ? A1C sin ?BA1C ? . 从而三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的体积为 2 2

6 36 1 x 12 ? 7 x 2 因 x 12 ? 7 x 2 ? 12 x 2 ? 7 x 4 ? ?7( x 2 ? )2 ? , 故当 V ? 3 ? BB1 ? S?A1BC ? 7 7 3 2 x? 6 42 42 3 7 ? . 时,即 AA1 ? 时,体积 V 取到最大值 7 7 7 7

解法二:过 A1 作 BC 的垂线,垂足为 D,连接 AD,由 AA1 ? BC ,A1D ? BC ,故 BC ? 平面 AA1 D, BC ? AD 又 ?BAC ? 90? ,所以 S?ABC ? AD ? BC ? AB ? AC得AD ?
A1 D = AD 2 ? AA12 ? 12 2 -x , 7 12 ? 7 x 2 . 2 x 12 ? 7 x 2 2
1 2 1 2 2 21 ,设 AA1 =x,在 7

Rt ?AA1 D中 , S?A BC = A1 D ? BC ?
1

1 2

从而三棱柱ABC -A1 B1C1的体积V ? S直 ? l=S?A1BC ? AA1 =

【15】(2014 陕西,17,12 分) 解:(1)由该四面体的三视图可知:
BD ? DC, BD ? AD, AD ? DC, BD ? DC ? 2, AD ? 1 ? AD ? 平面BDC ?四面体体积V ? 1 1 2 ? ? 2 ? 2 ?1 ? 3 2 3

22

(2) ? BC//平面EFGH,平面EFGH ? 平面BDC ? FG,平面EFGH ? 平面ABC ? EH ? BC//FG, BC//EH ? FG // EH 同理EF // AD, HG // AD ? EF // HG ?四边形EFGH是平行四边形 又 ? AD ? 平面BDC ? AD ? BC, EF ? FG ?四边形EFGH是矩形。

【16】(2014 重庆,20,12 分) 解:

(Ⅰ)如答(20)图,因 ABCD 为菱形,O 为菱形中心,连结 OB ,则 AO ?OB , 因 ?BAD ?

?
3

,故 OB ? AB ? sin ?OAB ? 2sin

?
6

?1

又因为 BM ?

1 ? ,且 ?OBM ? ,在 ?OBM 中 3 2

OM 2 ? OB2 ? BM 2 ? 2OB ? BM ? cos ?OBM

23

1 ? 3 ?1? ? 1 ? ? ? ? 2 ?1? ? cos ? 2 3 4 ?2?
2

2

所以 OB 2 ? OM 2 ? BM 2 ,故 OM ? BM 又 PO ? 底面 ABCD ,所以 PO ? BC ,从而 BC 与平面 POM 内两条相交直线
OM , PO 都垂直,所以 BC ? 平面 POM .

(Ⅱ)解:由(Ⅰ)可知, OA ? AB ? cos ?OAB ? 2 ? cos

?
6

? 3

设 PO ? a ,由 PO ? 底面 ABCD 知, ?POA 为直角三角形,故
PA2 ? PO2 ? OA2 ? a 2 ? 3

由 ?POM 也是直角三角形,故 PM 2 ? PO 2 ? OM 2 ? a 2 ?

3 4

连结 AM ,在 ?ABM 中, AM 2 ? AB2 ? BM 2 ? 2 AB ? BM ? cos ?ABM

1 2? 21 ?1? ? 2 ? ? ? ? 2 ? 2 ? ? cos ? 2 3 4 ?2?
2

2

由已知 MP ? AP ,故 ?APM 为直角三角形,则
PA2 ? PM 2 ? AM 2

即 a2 ? 3 ? a2 ?

3 21 3 3 3 ? ,得 a ? ,a ? ? (舍去) ,即 PO ? 4 4 2 2 2

1 1 此时 S ABMO ? S?AOB ? S?OMB ? ? AO ? OB ? ? BM ? OM 2 2

1 1 1 3 5 3 ? ? 3 ?1 ? ? ? ? 2 2 2 2 8

所以四棱锥 P ? ABMO 的体积
1 1 5 3 3 5 VP ? ABMO ? ? S ABMO ? PO ? ? ? ? 3 3 8 2 16

【17】(2014 四川,18,12 分) 【解析】 (Ⅰ)
24

?四边形A1 ABB1为矩形∴ A1 A ⊥ AB ? A1 A // CC1 ∴ CC1 ⊥ AB ?四边形A1 ACC1为矩形∴ CC1 ⊥ AC ? CC1 ⊥ AB,CC1 ⊥ AC,AB ∩AC = A∴ CC1 ⊥ 面ABC ∴ CC1 ⊥ BC ? CC1 ⊥ BC, AC ⊥ BC,CC1 ∩AC = C ∴ BC ⊥ 面A1 ACC1

(Ⅱ)
设F , G分别为A1C,AB中点,连接FE, GD, 则 1 1 AC, FE = A1C1 2 2 ∴ FEDG为平行四边形,即 ED//FG ∴ED//面A1GCF GD // AC, FE // A1C1 , 且GD = ∴ , 当点M与点G重合时,ED//面A1MC 所以, 存在点M,当M为AB中点时,ED//面A1MC

【18】(2014 广东,18,13 分)
解 : (1)证明 : PD ? 平面ABCD, PD ? PCD,? 平面PCD ? 平面ABCD, 平面PCD ? 平面ABCD ? CD, MD ? 平面ABCD, MD ? CD, ? MD ? 平面PCD, CF ? 平面PCD,? CF ? MD, 又CF ? MF , MD, MF ? 平面MDF , MD ? MF ? M , ? CF ? 平面MDF . 1 1 (2) ? CF ? 平面MDF ,? CF ? DF , 又易知?PCD ? 600 ,??CDF ? 300 , 从而CF = CD = , 2 2 1 DE CF DE 2 3 3 3 1 3 ? EF∥DC ,? ? ,即 = ,? DE ? ,? PE ? , S ?CDE ? CD ? DE ? , DP CP 4 4 2 8 3 2 MD ? ME 2 ? DE 2 ? PE 2 ? DE 2 ? ( 3 3 2 3 6 ) ? ( )2 ? , 4 4 2

1 1 3 6 2 ?VM ?CDE ? S ?CDE ? MD ? ? ? ? . 3 3 8 2 16

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