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2013最新题库大全2005-2007年高考数学(理)试题分项 专题04 数列


2007 年高考数学试题分类汇编—数列
一、选择题 1、 (全国 1 理 15) 等比数列 {an } 的前 n 项和为 S n , 已知 S1 ,2S 2 ,3S3 成等差数列, {an } 则 的公比为______。 解.等比数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,已知 S1 , 2S 2 , 3S3 成等差数列, an ? a1q n ?1 ,又


1 4 S 2 ? S1 ? 3S3 ,即 4(a1 ? a1q ) ? a1 ? 3(a1 ? a1q ? a1q 2 ) ,解得 {an } 的公比 q ? 。 3
2、 (广东理 5)已知数列{ an }的前 n 项和 Sn ? n 2 ? 9n ,第 k 项满足5< ak <8,则 k= (A)9 (B)8 (C)7 (D)6 答案:B; 解析:此数列为等差数列, an ? Sn ? Sn ?1 ? 2n ? 10 ,由 5<2k-10<8 得到 k=8。 3、 (天津文理 8)设等差数列 ?an ? 的公差 d 不为 0 , a1 ? 9d .若 ak 是 a1 与 a2k 的等比中项, 则k ? A.2 ( B.4 ) C.6 D.8

6、 (福建理 2)数列{ }的前 n 项和为 ,若 a n ?

1 ,则 s5 等于 n(n ? 1)

A1

B

5 6

C

1 6

D

1 30

解析: a n ?

1 1 1 = ? , n(n ? 1) n n ? 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 5 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ,选 B 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6

所以 S 5 ? a1 ? a 2 ? a3 ? a 4 ? a5 ? 1 ?

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1? ? ?1 ? ? ? 1 ( 9、 (湖北理 5)已知 p 和 q 是两个不相等的正整数,且 q ≥ 2 ,则 n? lim ? ? q n→? 1? ? 1? ? ?1 ? n? ?

p



A.0

B.1

C.

p q

D.

p ?1 q ?1

10、 (湖北理 8)已知两个等差数列 {an } 和 {bn } 的前 n 项和分别为 A n 和 Bn , 且

An 7 n ? 45 a ,则使得 n 为整数的正整数 n 的个数是( ? Bn n?3 bn
A.2 B.3 C.4

) D.5

答案:选 D 解析: 由等差数列的前 n 项和及等差中项, 可得 an
1 1 ? a1 ? a2 n ?1 ? ? 2n ? 1?? a1 ? a2 n ?1 ? 2 ? ? 2 1 1 bn ? b1 ? b2 n ?1 ? ? 2n ? 1?? b1 ? b2 n ?1 ? 2 2

?

7 ? 2n ? 1? ? 45 14n ? 38 7 n ? 19 A2 n ?1 12 ? ? ? ? 7? B2 n ?1 2n ? 2 n ?1 n ?1 ? 2n ? 1? ? 3

?n ? N ? ,
?

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故 n ? 1, 2,3,5,11 时,

an 为整数。故选 D bn

11、 (海、宁理 4)已知 ?an ? 是等差数列, a10 ? 10 ,其前 10 项和 S10 ? 70 , 则其公差 d ? ( A. ? )

2 3

B. ?

1 3

C.

1 3

D.

2 3

12、 (海、宁理 7)已知 x ? 0 , y ? 0 , x,a,b,y 成等差数列, x,c,d,y 成等比数列,



( a ? b) 2 的最小值是( cd

) D. 4

A. 0 B. 1 【答案】 D :

C. 2

【分析】 ? a ? b ? x ? y , cd ? xy , :

(a ? b) 2 ( x ? y ) 2 (2 xy ) 2 ? ? ? ? 4. cd xy xy
14、 (重庆理 1)若等差数列{ a n }的前三项和 S 3 ? 9 且 a1 ? 1 ,则 a 2 等于( ) A.3 B.4 C. 5 D. 6

a n ?1 ? ab n ?1 15、 (重庆理 8)设正数 a,b 满足 lim ( x ? ax ? b) ? 4 , 则 lim n ?1 ?( ) ? 2b n x?2 n ?? a
2

A.0

B.

1 4

C.

1 2

D.1

【答案】 B : 【分析】 ? :

lim( x
x?2

2

a 1 ? ax ? b) ? 4 ? 4 ? 2a ? b ? 4 ? 2a ? b ? ? . b 2

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a a 1 1 a( )n ? a( )n ? a n ?1 ? ab n ?1 1 b ? ? lim n ?1 ? lim b lim 1 2 n 2 ? 4 . n 1 ? 2b n ?? a n ?? 1 a n ( ) ? 2 n?? ( ) ? 2 a b a 2
18、 辽宁理 4 文 5) ( 设等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n , S3 ? 9 , 6 ? 36 , a7 ? a8 ? a9 ? 若 则 S ( ) A.63 B.45 C.36 D.27 解析:由等差数列性质知 S3、S6-S3、S9-S6 成等差数列,即 9,27,S 成等差,所以 S=45, 选B 20、 (陕西理 5)各项均为正数的等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn,若 Sn=2,S30=14,则 S40 等于 (A)80 (B)30 (C)26 (D)16ZX

21、 (陕西理 9)给出如下三个命题: ①四个非零实数 a、b、c、d 依次成等比数列的充要条件是 ad=bc; ②设 a,b∈R,则 ab≠0 若

a b <1,则 >1; b a

③若 f(x)=log 2 2x=x,则 f(|x|)是偶函数. 其中不正确命题的序号是 A.①②③ B.①② C.②③ D.①③ 解析:①ad=bc 不一定使 a、b、c、d 依次成等比数列,如取 a=d=-1,b=c=1;②a、b 异号 时不正确,选 B 二、填空题 1、 (天津 13) 设等差数列 ?an ? 的公差 d 是 2,前 n 项的和为 S n , 则
2 an ? n 2 lim ? __________ . n ?? Sn

3、 (广东文13)已知数列{an}的前n项和Sn=n -9n,则其通项an= 5<ak<8,则k=

2

;若它的第k项满足

【解析】{an}等差,易得 an ? 2n ? 10 ,解不等式 5 ? 2k ? 10 ? 8 ,可得 k ? 8

Sn = 。 n ?? n 2 S n(?5n ? 1) 5 解、已知数列的通项 an=-5n+2,其前 n 项和为 Sn ,则 lim n =- 。 2 n ?? n 2 2
4、 (全国 2 理 16)已知数列的通项 an=-5n+2,其前 n 项和为 Sn, 则 lim
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6、 (安徽理 14)如图,抛物线 y=-x2+1 与 x 轴的正半轴交于点 A,将线段 OA 的 n 等分点 从左至右依次记为 P1,P2,…,Pn-1,过这些分点分别作 x 轴的垂线, 与抛物线的交点依次为 Q1, Q2,…,Qn-1,从而得到 n-1 个直角三角形△Q1OP1, △Q2P1P2,…, △Qn-1Pn-1Pn-1,当 n→∞ 时,这些三角形的面积之和的极限为
2

.

解析:如图,抛物线 y=-x +1 与 x 轴的正半轴交于点 A(1,0),将线段 OA 的 n 等分点从左 至右依次记为 P1,P2,…,Pn-1,过这些分点分别作 x 轴的垂线,与抛物线的交点依次为 Q1, Q2,…,Qn-1,从而得到 n-1 个直角三角形△Q1OP1, △Q2P1P2,…, △Qn-1Pn-2Pn-1, ∴

Pk ?1 (

k ?1 (k ? 1) 2 k ?1 1 ,1 ? ) ,| Pn ? 2 Pn ?1 |? ,当 , 0) , Qk ?1 ( 2 n n n n

n→∞ 时 , 这 些 三 角 形 的 面 积 之 和 的 极 限 为

1 1 1 22 ( n ? 1) 2 lim ? [(1 ? 2 ) ? (1 ? 2 ) ? ? (1 ? )] . n ?? 2 n n n n2 1 (n ? 1)n 2 ? (n ? 1)(n ? 2)(2n ? 3) 1 1 6 整理得 lim [ ]= 。 2 n ?? 2n 3 n
8 、( 北 京 理 10 ) 若 数 列

?an ?

的 前 n 项 和

S n ? n2 ? 10n( n ? 1 2, ?) ,则此数列的通项公式为 , 3,
;数列 ?nan ? 中数值最小的项是第 项.

解析:数列 ?an ? 的前 n 项和 S n ? n 2 ? 10n(n ? 1, 3, ) ,数列为等差数列,数列的通项公 2, ? 式为 an ? S n ? S n ?1 = 2n ? 11 ,数列 ?nan ? 的通项公式为 nan ? 2n 2 ? 11n ,其中数值最小的

11 的项,即 n=3,第 3 项是数列 ?nan ? 中数值最小的项。 4 1 * 9、 (江西理 14) 已知数列 ?an ? 对于任意 p,q ? N , a p ? aq ? a p ?q , a1 ? , a36 ? 有 若 则 9
项应是最靠近对称轴 n ? .

12、 (重庆理 14)设{ a n }为公比 q>1 的等比数列,若 a 2004 和 a 2005 是方程 4 x 2 ? 8 x ? 3 ? 0 的 两根, 则 a 2006 ? a 2007 ? __________. 【答案】 :18 【分析】 ? a2004 和 a 2005 是方程 4 x 2 ? 8 x ? 3 ? 0 的两根,故有: :

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1 ? 3 ? ?a2004 ? 2 ?a2004 ? 2 ? ? 或? (舍) ? q ? 3. 。 ? ?a ? 3 ?a ? 1 ? 2005 2 ? 2005 2 ? ?
3 a2006 ? a2007 ? a2005 (q ? q 2 ) ? ? (3 ? 32 ) ? 18. 2
三、解答题

1、 (重庆理 21)已知各项均为正数的数列{ a n }的前 n 项和满足 S n ? 1 ,且
6 S n ? (a n ? 1)(a n ? 2), n ? N *

(1)求{ a n }的通项公式; (2)设数列{ bn }满足 a n (2 bn ? 1) ? 1 ,并记 Tn 为{ bn }的前 n 项和,求证:

(Ⅱ)证法一:由 a n (2 b ? 1) ? 1 可解得
? 1 ? 3n ? ? log z ; b z ? log z ?1 ? ? ? an ? 3n ? 1 ?

从而 Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ? log z ? · ·?· ?
3 6 ?2 5

3n ? ?。 3n ? 1 ?
3

3 6 3n ? 2 因此 3Tn ? 1 ? log z (a n ? 3) ? log z ? · ·?· 。 ? ? · 3n ? 1 ? 3n ? 2 ?2 5

令 f ( x) ? ? · ·?· ?
3 6 ?2 5

3n ? 2 ,则 ? · 3n ? 1 ? 3n ? 2

3

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f (n ? 1) 3n ? 2 ? 3n ? 3 ? (3n ? 3) 3 ? ·? 。 ? ? f ( n) 3n ? 5 ? 3n ? 2 ? (3n ? 5)(3n ? 2) 2

3

因 (3n ? 3) 2 ? (3n ? 5)(3n ? 2) 2 ? 9n ? 7>0 ,故
f (n ? 1)>f (n) .

特别的 f (n) ? f (1) ?

27 > 。从而 3Tn ? 1 ? log(a n ? 3) ? log f (n)>0 , 1 20

即 3Tn ? 1 log 2 (a n ? 3) 。 > 证法二:同证法一求得 bn 及 Tn。 由二项式定理知当 c>0 时,不等式
(1 ? c) 3> ? 3c 成立。 1

由此不等式有

3n ? ?2 6 3 3Tn ? 1 ? log 2 2? · ·?· ? ? log 2 2 Ax 3 5 3n ? 1 ? ?

3

> log 2 2 An Bn C n ? log 2 (3n ? 2) ? log 2 (a n ? 3) 。

2 、 浙 江 理 21 ) 已 知 数 列 ?an ? 中 的 相 邻 两 项 a2 k ?1,a2 k 是 关 于 x 的 方 程 (

2,? x 2 ? (3k ? 2k ) x ? 3k ?2k ? 0 的两个根,且 a2 k ?1 ≤ a2 k (k ? 1, 3, ) .
(I)求 a1 , a2 , a3 , a7 ;

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本题主要考查等差、等比数列的基本知识,考查运算及推理能力.满分 15 分. (I)解:方程 x 2 ? (3k ? 2k ) x ? 3k ?2k ? 0 的两个根为 x1 ? 3k , x2 ? 2k , 当 k ? 1 时, x1 ? 3,x2 ? 2 , 所以 a1 ? 2 ; 当 k ? 2 时, x1 ? 6 , x2 ? 4 , 所以 a3 ? 4 ; 当 k ? 3 时, x1 ? 9 , x2 ? 8 , 所以 a5 ? 8 时; 当 k ? 4 时, x1 ? 12 , x2 ? 16 , 所以 a7 ? 12 . (II)解: S 2 n ? a1 ? a2 ? ? ? a2 n

? (3 ? 6 ? ? ? 3n) ? (2 ? 22 ? ? ? 2n )
? 3n 2 ? 3n ? 2n ?1 ? 2 . 2
1 1 1 (?1) f ( n ?1) ? ? ?? ? , a1a2 a3a4 a5 a6 a2 n ?1a2 n

(III)证明: Tn ? 所以 T1 ?

1 1 ? , a1a2 6

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T2 ?

1 1 5 . ? ? a1a2 a3a4 24

当 n ≥ 3 时,

1 1 1 (?1) f ( n ?1) , Tn ? ? ? ?? ? 6 a3 a4 a5 a6 a2 n ?1a2 n

? 1 1 1 1 ? ≥ ? ?? ?? ? ? 6 a3a4 ? a5 a6 a2 n ?1a2 n ?
1 1 1? 1 1 ? ≥ ? ? ? 3 ?? ? n ? 2 6 6?2 6 ? 2 2 ?
? 1 1 1 ? ? , n 6 6?2 6

5 1 1 (?1) f ( n ?1) 同时, Tn ? ? ? ?? ? 24 a5 a6 a7 a8 a2 n ?1a2 n



? 1 5 1 1 ? ? ?? ?? ? ? 24 a5 a6 ? a1a2 a2 n ?1a2 n ?
5 1 1? 1 1 ? ? ? ? 1 ?? ? n ? 3 24 9?2 9 ? 2 2 ?


?

5 1 5 . ? ? n 24 9?2 24

1 5 综上,当 n ? N * 时, ≤ Tn ≤ . 6 24

3、 (浙江文 19 )已 知数列 { an } 中的相邻两 项 a2 k ?1 、 a2k 是关于 x 的方 程

x 2 ? (3k ? 2k ) x ? 3k ? 2k ? 0 的两个根,且 a2 k ?1 ≤ a2k
(I)求 a1 , a3 , a5 , a7 及 a2n (n≥4)(不必证明); (Ⅱ)求数列{ an }的前 2n 项和 S2n.

(k =1,2,3,?).

本题主要考查等差、等比数列的基本知识,考查运算及推理能力.满分 14 分. (I)解:方程 x 2 ? (3k ? 2k ) x ? 3k ? 2k ? 0 的两个根为 x1 ? 3k , x2 ? 2k . 当 k=1 时, x1 ? 3, x2 ? 2 ,所以 a1 ? 2 ; 当 k=2 时, x1 ? 6, x2 ? 4 ,所以 a3 ? 4 ;

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4、 (天津理 21)在数列 ?an ? 中, a1 ? 2,an ?1 ? ? an ? ? n ?1 ? (2 ? ? )2n (n ? N? ) ,其中

? ? 0.
(Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)求数列 ?an ? 的前 n 项和 S n ; (Ⅲ)证明存在 k ? N? ,使得
an ?1 a ≤ k ?1 对任意 n ? N? 均成立. an ak

本小题以数列的递推关系式为载体,主要考查等比数列的前 n 项和公式、数列求 和、不等式的证明等基础知识与基本方法,考查归纳、推理、运算及灵活运用数 学知识分析问题和解决问题的能力.满分 14 分. (Ⅰ)解法一: a2 ? 2? ? ? 2 ? (2 ? ? )2 ? ? 2 ? 22 ,
a3 ? ? (? 2 ? 22 ) ? ? 3 ? (2 ? ? )22 ? 2? 3 ? 23 , a4 ? ? (2? 3 ? 23 ) ? ? 4 ? (2 ? ? )23 ? 3? 4 ? 24 .

由此可猜想出数列 ?an ? 的通项公式为 an ? (n ? 1)? n ? 2n . 以下用数学归纳法证明. (1)当 n ? 1 时, a1 ? 2 ,等式成立. (2)假设当 n ? k 时等式成立,即 ak ? (k ? 1)? k ? 2k , 那么 ak ?1 ? ? a1 ? ? k ?1 ? (2 ? ? )2k ? ? (k ? 1)? k ? ? 2k ? ? k ?1 ? 2k ?1 ? ? 2k

? [(k ? 1) ? 1]? k ?1 ? 2k ?1 .

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这就是说, n ? k ? 1 时等式也成立. (1) (2) 当 根据 和 可知, 等式 an ? (n ? 1)? n ? 2n 对任何 n ? N? 都成立.

(n ? 1)? n ? 2 ? n? n ?1 ? ? 2 ? 2n ?1 ? 2 . 这时数列 ?an ? 的前 n 项和 S n ? 2 (1 ? ? )
当 ? ? 1 时, Tn ?
n(n ? 1) n(n ? 1) .这时数列 ?an ? 的前 n 项和 S n ? ? 2n ?1 ? 2 . 2 2

?a ? a (Ⅲ)证明:通过分析,推测数列 ? n ?1 ? 的第一项 2 最大,下面证明: a1 ? an ?
an ?1 a2 ? 2 ? 4 ? ? , n≥ 2 . an a1 2


由 ? ? 0 知 an ? 0 ,要使③ 式成立,只要 2an ?1 ? (? 2 ? 4)an (n ≥ 2) , 因为 (? 2 ? 4)an ? (? 2 ? 4)( n ? 1)? n ? (? 2 ? 1)2 n

? 4? (n ? 1)? n ? 4 ? 2n ? 4(n ? 1)? n ?1 ? 2n ? 2 ·

≥ 2n? n ?1 ? 2n ? 2 ? 2an ?1,n ≥ 2 .
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所以③式成立. 因此,存在 k ? 1 ,使得
an ?1 a a ≤ k ?1 ? 2 对任意 n ? N? 均成立. an ak a1

7、 (上海理 20) 若有穷数列 a1 , a2 ...an( n 是正整数) 满足 a1 ? an , a2 ? an ?1 ....an ? a1 , 即 ai ? an ?i ?1 ( i 是正整数,且 1 ? i ? n ) ,就称该数列为“对称数列” 。 ( 1 ) 已 知 数 列 ?bn ? 是 项 数 为 7 的 对 称 数 列 , 且 b1 , b2 , b3 , b4 成 等 差 数 列 ,

b1 ? 2, b4 ? 11 ,试写出 ?bn ? 的每一项
(2)已知 ?cn ? 是项数为 2k ? 1? k ? 1? 的对称数列,且 ck , ck ?1 ...c2 k ?1 构成首项为 50, 公差为 ?4 的等差数列,数列 ?cn ? 的前 2k ? 1 项和为 S 2 k ?1 ,则当 k 为何值时, S 2 k ?1 取到最大值?最大值为多少? (3)对于给定的正整数 m ? 1 ,试写出所有项数不超过 2m 的对称数列,使得

1, 2, 22...2m?1 成为数列中的连续项;当 m ? 1500 时,试求其中一个数列的前 2008
项和 S 2008

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③ 2m ?1, m ? 2, , 2,,,, 2 , , m ? 2 ,m ?1 ; 2 ? 2 212 2 ? 2 2 ④ 2m ?1, m ? 2, , 2,,,,, 2 , , m ? 2 , m ?1 . 2 ? 2 211 2 2 ? 2 2 对于①,当 m ≥ 2008 时, S 2008 ? 1 ? 2 ? 2 2 ? ? ? 2 2007 ? 2 2008 ? 1 . 当 1500 ? m ≤ 2007 时, S 2008 ? 1 ? 2 ? ? ? 2 m ? 2 ? 2 m ?1 ? 2 m ? 2 ? ? ? 2 2 m ? 2009

? 2 m ? 1 ? 2 m ?1 ? 2 2 m ? 2009 ? 2 m ? 2 m ?1 ? 2 2 m ? 2009 ? 1 .
对于②,当 m ≥ 2008 时, S 2008 ? 2 2008 ? 1 . 当 1500 ? m ≤ 2007 时, S 2008 ? 2 m ?1 ? 2 2 m ? 2008 ? 1 . 对于③,当 m ≥ 2008 时, S 2008 ? 2 m ? 2 m ? 2008 . 当 1500 ? m ≤ 2007 时, S 2008 ? 2 m ? 2 2009?m ? 3 . 对于④,当 m ≥ 2008 时, S 2008 ? 2 m ? 2 m ? 2008 . 当 1500 ? m ≤ 2007 时, S 2008 ? 2 m ? 2 2008?m ? 2 . 9、 (陕 西 理 22 )已知 各 项全 不 为零 的数列 {ak}的 前 k 项 和为 Sk,且 Sk =
1 ak ak ?1 (k ? N*),其中 a1=1. 2

(Ⅰ)求数列{ak}的通项公式; (Ⅱ)对任意给定的正整数 n(n≥2),数列{bk}满足 求 b1+b2+?+bn.
bk ?1 k ? n (k=1,2,?, n-1) 1=1. ,b ? bk ab ?1

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所以 bk ?

bk bk ?1 b (n ? k ? 1)(n ? k ? 2)? (n ? 1) ? ? ?? 2 ? 1 ? (?1) k ?1 ? b ? 1 bk ?1 bk ? 2 b1 k ?(k ? 1)? 2? ?? 1

1 k ? (?1) k ?1 ? Cn (k ? 1, ?,n) . 2, n 1 1 2 3 n 故 b1 ? b2 ? b3 ? ? ? bn ? ?Cn ? Cn ? Cn ? ? ? (?1) n ?1 Cn ? ? ? n 1 1 0 1 2 ? 1 ? ?Cn ? Cn ? Cn ? ? ? (?1) n ? n ? ? . Cn ? ? n n

?

?

11、 (山东理 17)设数列 ?an ? 满足 a1 ? 3a2 ? 32 a3 ? … ? 3n ?1 an ? (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项; (Ⅱ)设 bn ?
n ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 S n . an

n , a ? N* . 3

n , 3 n ?1 a1 ? 3a2 ? 32 a3 ? ...3n ? 2 an ?1 ? (n ? 2), 3 n n ?1 1 3n ?1 an ? ? ? (n ? 2). 3 3 3 1 an ? n (n ? 2). 3 1 验证 n ? 1 时也满足上式, an ? n (n ? N * ). 3

(I) a1 ? 3a2 ? 32 a3 ? ...3n ?1 an ?

(II) bn ? n ? 3n ,

13、 (全国 2 理 21)设数列 {an } 的首项 a1 ? (0,,an ? 1) (1)求 {an } 的通项公式;
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3 ? an ?1 ,n ? 2,4,… . 3, 2

(2)设 bn ? an 3 ? 2an ,证明 bn ? bn ?1 ,其中 n 为正整数.

2 2 那么, bn ?1 ? bn

2 2 ? an ?1 (3 ? 2an ?1 ) ? an (3 ? 2an )

3 ? an ? 2 ? 3 ? an ? ? ?? ? ?3 ? 2? ? ? an (3 ? 2an ) 2 ? ? 2 ? ? 9a ? n (an ? 1) 2 . 4
2
2 2 又由(1)知 an ? 0 且 an ? 1 ,故 bn ?1 ? bn ? 0 ,

因此 方法二:

bn ? bn ?1,n 为正整数.

3 由(1)可知 0 ? an ? ,an ? 1 , 2 3 ? an 因为 an ?1 ? , 2

所以

bn ?1 ? an ?1 3 ? 2an ?1 ?

(3 ? an ) an . 2
3

? 3 ? an ? 由 an ? 1 可得 an (3 ? 2an ) ? ? ? , ? 2 ? ? 3 ? an ? 即 a (3 ? 2an ) ? ? ? ?an ? 2 ?
2 2 n

两边开平方得

an 3 ? 2an ?

3 ? an ? an . 2

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即 bn ? bn ?1,n 为正整数.

15、 (全国 1 理 22)已知数列 ?an ? 中 a1 ? 2 , an ?1 ? ( 2 ? 1)(an ? 2) , n ? 1, 3, . 2, … (Ⅰ)求 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)若数列 ?bn ? 中 b1 ? 2 , bn ?1 ?
3bn ? 4 , n ? 1, 3, , 2, … 2bn ? 3

2, … 证明: 2 ? bn ≤ a4 n ?3 , n ? 1, 3, .

2, … 即 an 的通项公式为 an ? 2 ?( 2 ? 1) n ? 1? , n ? 1, 3, . ? ?
(Ⅱ)用数学归纳法证明. (ⅰ)当 n ? 1 时,因 2 ? 2 , b1 ? a1 ? 2 ,所以

2 ? b1 ≤ a1 ,结论成立.
(ⅱ)假设当 n ? k 时,结论成立,即 2 ? bk ≤ a4 k ?3 , 也即 0 ? bk ? 2 ≤ a4 k ?3 ? 3 . 当 n ? k ? 1 时,
bk ?1 ? 2 ? 3bk ? 4 ? 2 2bk ? 3

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?

(3 ? 2 2)bk ? (4 ? 3 2) 2bk ? 3 (3 ? 2 2)(bk ? 2) ? 0, 2bk ? 3

?

17、 (辽宁理 21)已知数列 {an } , {bn } 与函数 f ( x) , g ( x) , x ? R 满足条件:

an ? bn , f (bn ) ? g (bn ?1 )(n ? N*) .
(I)若 f ( x) ≥ tx ? 1,t ? 0,t ? 2 , g ( x) ? 2 x , f (b) ? g (b) , lim an 存在,求 x 的
n ??

取值范围; (II)若函数 y ? f ( x) 为 R 上的增函数, g ( x) ? f ?1 ( x) , b ? 1 , f (1) ? 1 ,证明对 任意 n ? N * , lim an (用 t 表示) .
n ??

18、 (江西理 22)设正整数数列 ?an ? 满足: a2 ? 4 ,且对于任何 n ? N* ,有

1 1 ? a an ?1 1 1 2? ? n ? 2? . an ?1 1 ? 1 an n n ?1
(1)求 a1 , a3 ;

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(3)求数列 ?an ? 的通项 an . 解: (1)据条件得 2 ?

?1 1 1 ? 1 ? n(n ? 1) ? ? ? ? 2? an ?1 an ? an an ?1 ?



当 n ? 1 时,由 2 ? 解得

?1 1? 1 1 1 2 2 1 ? 2 ? ? ? ? 2 ? ,即有 2 ? ? ? ? 2 ? , a2 a1 4 a1 4 a1 ? a1 a2 ?

2 8 ? a1 ? .因为 a1 为正整数,故 a1 ? 1 . 3 7

当 n ? 2 时,由 2 ?

?1 1 ? 1 1 ? 6? ? ? ? 2 ? , a3 4 ? 4 a3 ?

解得 8 ? a3 ? 10 ,所以 a3 ? 9 .

(k ? 1) 2 1 ? (k ? 1) ? 2 ? ak ?1 ? (k ? 1) 2 ? k ?1 k ?1
2

因为 k ≥ 2 时, (k 2 ? 1) ? (k ? 1) 2 ? k (k ? 1)(k ? 2) ≥ 0 ,所以

(k ? 1) 2 ? ? 0, . 1? k 2 ?1

k ? 1≥ 1 ,所以

1 ? ? 0, . 1? k ?1

又 ak ?1 ? N* ,所以 (k ? 1) 2 ≤ ak ?1 ≤ (k ? 1) 2 . 故 ak ?1 ? (k ? 1) 2 ,即 n ? k ? 1 时, an ? n 2 成立. 由 1 ? ,2 ? 知,对任意 n ? N* , an ? n 2 . (2)方法二:
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由 a1 ? 1 , a2 ? 4 , a3 ? 9 ,猜想: an ? n 2 . 下面用数学归纳法证明.

则 (k ? 1)ak ?1 ≤ k 3 ? k 2 ? k ? 1 ? (k ? 1) 2 (k ? 1) .于是 ak ?1 ≤ (k ? 1) 2 又由②右式,



k (k ? 1) 2k 2 ? 1 ? k (k ? 1) k 2 ? k ? 1 . ? ? ak ?1 k2 k2

则 (k 2 ? k ? 1)ak ?1 ? k 3 (k ? 1) . 因为两端为正整数,则 (k 2 ? k ? 1)ak ?1 ≥ k 4 ? k 3 ? 1 , 所以 ak ?1 ≥

k 4 ? k3 ?1 k . ? (k ? 1) 2 ? 2 2 k ? k ?1 k ? k ?1


又因 k ≥ 2 时, ak ?1 为正整数,则 ak ?1 ≥ (k ? 1) 2 据③④ ak ?1 ? (k ? 1) 2 ,即 n ? k ? 1 时, an ? n 2 成立. 由 1 ? ,2 ? 知,对任意 n ? N* , an ? n 2 .

19 、 江 苏 理 20 ) 已 知 {an } 是 等 差 数 列 , {bn } 是 公 比 为 q 的 等 比 数 列 , (

a1 ? b1 , a2 ? b2 ? a1 ,记 S n 为数列 {bn } 的前 n 项和,
(1)若 bk ? am (m, k 是大于 2 的正整数 ) ,求证: S k ?1 ? (m ? 1)a1 ; 分) (4

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(2)若 b3 ? ai (i 是某一正整数 ) ,求证: q 是整数,且数列 {bn } 中每一项都是数 列 {an } 中的项; 分) (8 (3)是否存在这样的正数 q ,使等比数列 {bn } 中有三项成等差数列?若存在, 写出一个 q 的值,并加以说明;若不存在,请说明理由; 分) (4 解 : 设 {an } 的公 差为 d ,由 a1 ? b1 , a2 ? b2 ? a1 ,知 d ? 0, q ? 1 , d ? a 1 ? q ? 1? ( a1 ? 0 ) (1)因为 bk ? am ,所以 a1 q k ?1 ? a1 ? ? m ? 1? a1 ? q ? 1? ,

bn ? a1 q n ?1 ? n ? N ? ? ,设数列 {an } 中的某一项 am ? m ? N ? ? = a1 ? ? m ? 1? a1 ? q ? 1?

现在只要证明存在正整数 m , 使得 bn ? am , 即在方程 a1 q n ?1 ? a1 ? ? m ? 1? a1 ? q ? 1? 中 m 有正整数解即可,q n ?1 ? 1 ? ? m ? 1?? q ? 1? , m ? 1 ? 所以 若 则 那么 b2 n ?1 ? b1 ? a1, b2 n ? b2 ? a2 , i ? 3 当 m ? 2 ? q ? q 2 ? ? q n ? 2 , i ? 1 , q ? ?1 , 时,因为 a1 ? b1 , a2 ? b2 ,只要考虑 n ? 3 的情况,因为 b3 ? ai ,所以 i ? 3 ,因此 q 是正整数,所以 m 是正整数,因此数列 {bn } 中任意一项为
bn ? a1 q n ?1 ? n ? N ? ? 与数列 {an } 的第 2 ? q ? q 2 ? ? q n ? 2 项相等,从而结论成立。

q n ?1 ? 1 ? 1 ? q ? q 2 ? ? q n?2 , q ?1

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(3)设数列 {bn } 中有三项 bm , bn , bp ? m ? n ? p, m, n, p ? N ? ? 成等差数列,则有 2 a1 q n ?1 ? a1 q m ?1 ? a1 q p ?1 , 设 n ? m ? x, p ? n ? y, ? x, y ? N ? ? ,所以 2 ?
x ? 1, y ? 2 , 则 q 3 ? 2q ? 1 ? 0,

1 ? q y ,令 x q

? q ? 1? ? q 2 ? q ? 1? ? 0

, 因 为 q ?1 , 所 以

q 2 ? q ? 1 ? 0 ,所以 q ?

5 ?1 5 ?1 ? 舍去负值 ? ,即存在 q ? 2 使得 {bn } 中有三项 2

bm , bm ?1 , bm ?3 ? m ? N ? ? 成等差数列。

20、 (湖南理 21) 已知 An (an,bn )( n ? N * ) 是曲线 y ? e 上的点,a1 ? a ,S n 是数列 {an }
x
2 2 3, ?. 的前 n 项和,且满足 S n ? 3n 2 an ? S n ?1 , an ? 0 , n ? 2, 4,

?b ? (I)证明:数列 ? n ? 2 ? ( n ≤ 2 )是常数数列; ? bn ?
(II)确定 a 的取值集合 M ,使 a ? M 时,数列 {an } 是单调递增数列; (III)证明:当 a ? M 时,弦 An An ?1 ( n ? N * )的斜率随 n 单调递增

?b ? bn ? 2 e an?2 ? an ? e an?2 ? an ? e6 ,即数列 ? n ? 2 ? (n ≥ 2) 是常数数列. 所以 bn e ? bn ?
(II)由①有 S 2 ? S1 ? 12 ,所以 a2 ? 12 ? 2a .由③有 a3 ? a2 ? 15 , a4 ? a3 ? 21 , 所以 a3 ? 3 ? 2a , a4 ? 18 ? 2a .

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而 ⑤表明:数列 {a2 k } 和 {a2 k ?1} 分别是以 a2 , a3 为首项,6 为公差的等差数列, 所以 a2 k ? a2 ? 6(k ? 1) , a2 k ?1 ? a3 ? 6(k ? 1) , a2 k ? 2 ? a4 ? 6(k ? 1)(k ? N*) , 数列 {an } 是单调递增数列 ? a1 ? a2 且 a2 k ? a2 k ?1 ? a2 k ? 2 对任意的 k ? N * 成立.

? a1 ? a2 且 a2 ? 6(k ? 1) ? a3 ? 6(k ? 1) ? a4 ? 6(k ? 1) ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a ? 12 ? 2a ? 3 ? 2a ? 18 ? 2a ?
? 9 15 ? 即所求 a 的取值集合是 M ? ?a ? a ? ? . 4? ? 4
(III)解法一:弦 An An ?1 的斜率为 kn ?
9 15 ?a? . 4 4

bn ?1 ? bn e an?1 ? e an ? an ?1 ? an an ?1 ? an

e x ( x ? x0 ) ? (e x ? e x0 ) e x ? e x0 任取 x0 ,设函数 f ( x) ? ,则 f ( x) ? x ? x0 ( x ? x0 ) 2
记 g ( x) ? e x ( x ? x0 ) ? (e x ? e x0 ) ,则 g ?( x) ? e x ( x ? x0 ) ? e x ? e x ? e x ( x ? x0 ) , 当 x ? x0 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 在 ( x0, ?) 上为增函数, ? 当 x ? x0 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 在 (??,x0 ) 上为减函数, 所以 x ? x0 时,g ( x) ? g ( x0 ) ? 0 , 从而 f ?`( x) ? 0 , 所以 f ( x) 在 (??,x0 ) 和 ( x0, ?) ? 上都是增函数. 由(II)知, a ? M 时,数列 {an } 单调递增, 取 x0 ? an ,因为 an ? an ?1 ? an ? 2 ,所以 kn ?

e an?1 ? e an e an?2 ? e an . ? an ?1 ? an an ? 2 ? an

e an?1 ? e an?2 e an ? e an?2 取 x0 ? an ? 2 ,因为 an ? an ?1 ? an ? 2 ,所以 kn ?1 ? . ? an ?1 ? an ? 2 an ? an ? 2
所以 kn ? kn ?1 ,即弦 An An ?1 (n ? N*) 的斜率随 n 单调递增. 解法二:设函数 f ( x) ? 都是增函数,

e x ? e an?1 ? ,同解法一得, f ( x) 在 (??,an ?1 ) 和 (an ?1, ?) 上 x ? an ?1

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所以 kn ?

e an ? e an?1 e x ? e an?1 e an?2 ? e an?1 e x ? e an?1 ? lim ? e an?1 , kn ?1 ? ? lim ? e an?1 . an ? an ?1 n→a??1 x ? an ?1 an ? 2 ? an ?1 n→an??1 x ? an ?1 n

故 kn ? kn ?1 ,即弦 An An ?1 (n ? N*) 的斜率随 n 单调递增.

21 、 湖 南 文 20 ) 设 S n 是 数 列 {an } ( n ? N * ) 的 前 n 项 和 , a1 ? a , 且 (
2 2 3, ? S n ? 3n 2 an ? Sn?1 , an ? 0 , n ? 2,4, .

(I)证明:数列 {an ? 2 ? an } ( n ≥ 2 )是常数数列; (II)试找出一个奇数 a ,使以 18 为首项,7 为公比的等比数列 {bn } ( n ? N * ) 中的所有项都是数列 {an } 中的项,并指出 bn 是数列 {an } 中的第几项.
2 2 解: (I)当 n ≥ 2 时,由已知得 S n ? S n ?1 ? 3n 2 an .

因为 an ? S n ? S n ?1 ? 0 ,所以 S n ? S n ?1 ? 3n 2 . ??????????① 于是 S n ?1 ? S n ? 3(n ? 1) 2 . ???????????????????② 由②-①得: an ?1 ? an ? 6n ? 3 .?????????????????③ 于是 an ? 2 ? an ?1 ? 6n ? 9 .????????????????????④ 由④-③得: an ? 2 ? an ? 6 .???????????????????⑤ 即数列 {an ? 2 ? an } ( n ≥ 2 )是常数数列. (II)由①有 S 2 ? S1 ? 12 ,所以 a2 ? 12 ? 2a . 由③有 a1 ? a2 ? 15 ,所以 a3 ? 3 ? 2a , 而⑤表明:数列 {a2 k } 和 {a2 k ?1} 分别是以 a2 , a3 为首项,6 为公差的等差数列. 所以 a2 k ? a2 ? (k ? 1) ? 6 ? 6k ? 2a ? 6 , a2 k ?1 ? a3 ? (k ? 1) ? 6 ? 6k ? 2a ? 3 , k ? N * . 由题设知, bn ? 18 ? 7 n ?1 .当 a 为奇数时, a2 k ?1 为奇数,而 bn 为偶数,所以 bn 不 是数列 {a2 k ?1} 中的项, bn 只可能是数列 {a2 k } 中的项. 若 b1 ? 18 是数列 {a2 k } 中的第 kn 项,由 18 ? 6k ? 2a ? 6 得 a ? 3k0 ? 6 ,取 k0 ? 3 ,得
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a ? 3 ,此时 a2 k ? 6k ,由 bn ? a2 k ,得 18 ? 7 n ?1 ? 6k , k ? 3 ? 7 n ?1 ? N * ,从而 bn 是
数列 {an } 中的第 6 ? 7 n?1 项. (注:考生取满足 a ? 3kn ? 6 , kn ? N * 的任一奇数,说明 bn 是数列 {an } 中的第
6 ? 7 n ?1 ? 2a ? 2 项即可) 3

22、 (湖北理 21)已知 m,n 为正整数, (I)用数学归纳法证明:当 x ? ?1 时, (1 ? x) m ≥ 1 ? mx ;
1 ? 1 m ? 1 ? ? (II)对于 n ≥ 6 ,已知 ?1 ? ? ? ,求证 ?1 ? ? ? , 2 2 ? n?3? ? m?3? m ? ? ?1? 2, 求证 ?1 ? ? ? ? ? , m ? 1, ?,n ; ? n?3? ?2?
m m m m

(III)求出满足等式 3n ? 4n ? ? ? (n ? 2) n ? (n ? 3) m 的所有正整数 n . 本小题主要考查数学归纳法、数列求和、不等式等基础知识和基本的运算技能, 考查分析问题能力和推理能力. 解法 1: (Ⅰ)证:用数学归纳法证明: (ⅰ)当 m ? 1 时,原不等式成立;当 m ? 2 时,左边 ? 1 ? 2x ? x 2 ,右边 ? 1 ? 2x ,

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(Ⅲ)解:由(Ⅱ)知,当 n ≥ 6 时,

1 ? ? 2 ? n ? 1 ?1? 1 ? ? ?1? ?1 ? ? ? ?1 ? ? ? ? ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1? n ? 1, 2 ? n?3? ? n?3? ? n?3? 2 ? 2? ?2?
? n ? 2 ? ? n ?1 ? ? 3 ? ∴? ? ?? ? ?? ? ? ? ? 1. ? n?3? ? n?3? ? n?3?
n n n

n

n

n

2

n

即 3n ? 4n ? ? ? (n ? 2) n ? (n ? 3) n .即当 n ≥ 6 时,不存在满足该等式的正整数 n .

, 3, 5 故只需要讨论 n ? 1 2, 4,的情形:
当 n ? 1 时, 3 ? 4 ,等式不成立; 当 n ? 2 时, 32 ? 42 ? 52 ,等式成立; 当 n ? 3 时, 33 ? 43 ? 53 ? 63 ,等式成立; 当 n ? 4 时, 34 ? 44 ? 54 ? 64 为偶数,而 7 4 为奇数,故 34 ? 44 ? 54 ? 64 ? 7 4 ,等式 不成立; 当 n ? 5 时,同 n ? 4 的情形可分析出,等式不成立.

3 综上,所求的 n 只有 n ? 2,.

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因为 x ? ?1 ,所以 1 ? x ? 0 .又因为 x ? 0,k ≥ 2 ,所以 kx 2 ? 0 . 于是在不等式 (1 ? x) k ? 1 ? kx 两边同乘以 1 ? x 得

(1 ? x) k· (1 ? x) ? (1 ? kx)(1 ? x) ? 1 ? (k ? 1) x ? kx 2 ? 1 ? (k ? 1) x ,
所以 (1 ? x) k ?1 ? 1 ? (k ? 1) x .即当 m ? k ? 1 时,不等式①也成立. 综上所述,所证不等式成立.
m m n ?? 1 ? ? ?1? 1 ? 1 ? (Ⅱ)证:当 n ≥ 6 , m ≤ n 时,∵ ?1 ? ? ,∴ ??1 ? ?? ? , ? ? ? 2 ? n?3? ?? n ? 3 ? ? ? 2 ? ? ? n

1 ? m ? 而由(Ⅰ) ?1 ? , ?0, ? ≥1 ? n?3 ? n?3?
n m m ?? m ? 1 ? ? ?1? ? ∴ ?1 ? ? ≤ ?? 1 ? ? ? ?? ? . ? n?3? ?? n ? 3 ? ? ? 2 ? ? ? n

m

(Ⅲ)解:假设存在正整数 n0 ≥ 6 使等式 3n0 ? 4n0 ? ? ? (n0 ? 2) n0 ? (n0 ? 3) n0 成立,
? 3 ? ? 4 ? ? n0 ? 2 ? 即有 ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? 1. ? n0 ? 3 ? ? n0 ? 3 ? ? n0 ? 3 ? ? 3 ? ? 4 ? ? n0 ? 2 ? 又由(Ⅱ)可得 ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? n0 ? 3 ? ? n0 ? 3 ? ? n0 ? 3 ? ? ? n ?1 ? ? n ? 1 ? ? ?1 ? 0 ? ? ?1 ? 0 ? ? ? ? ?1 ? ? ? n0 ? 3 ? ? n0 ? 3 ? ? n0 ? 3 ?
n0 n0 n0 n0 n0 n0 n0 n0 n0



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0 ?1? ?1? ? ? ? ?? ? ?2? ?2?

n

n0 ?1

?? ?

1 1 ? 1 ? n0 ? 1 ,与②式矛盾. 2 2

故当 n ≥ 6 时,不存在满足该等式的正整数 n . 下同解法 1.

24、 广东理 21) ( 已知函数 f ( x) ? x 2 ? x ? 1 , , ? 是方程 f(x)=0 的两个根 (? ? ? ) ,f '( x) ? 是 f(x)的导数;设 a1 ? 1 , an ?1 ? an ? (1)求 ? , ? 的值; (2)证明:对任意的正整数 n,都有 an >a; (3)记 bn ? ln
an ? ? (n=1,2,??) ,求数列{bn}的前 n 项和 Sn。 an ? a f (an ) (n=1,2,??) f '(an )

解析: (1)∵ f ( x) ? x 2 ? x ? 1 , ? , ? 是方程 f(x)=0 的两个根 (? ? ? ) , ∴? ?
?1 ? 5 ?1 ? 5 ,? ? ; 2 2
1 1 5 an (2an ? 1) ? (2an ? 1) ? 2 an ? an ? 1 2 4 4 ? an ? ? an ? 2an ? 1 2an ? 1

(2) f '( x) ? 2 x ? 1 , an ?1

5 5 ?1 1 1 ? 0 (当且仅当 = (2an ? 1) ? 4 ? ,∵ a1 ? 1 ,∴有基本不等式可知 a2 ? 4 2an ? 1 2 2

a1 ?

5 ?1 5 ?1 5 ?1 5 ?1 ? 0 同 , 样 a3 ? ?? 时 取 等 号 ) ∴ a2 ? , , ? ? , an ? 2 2 2 2
(an ? ? )(an ? ? ) an ? ? ? (an ? 1 ? ? ) ,而 ? ? ? ? ?1 ,即 ? ? 1 ? ? ? , 2an ? 1 2an ? 1
(an ? ? ) 2 2an ? 1

(n=1,2,??) , (3) an ?1 ? ? ? an ? ? ?
an ?1 ? ? ? (an ? ? ) 2 2an ? 1

, 同理 an ?1 ? ? ?

, n ?1 ? 2bn , b1 ? ln 又 b

1? ? 3? 5 3? 5 ? ln ? 2ln 1?? 2 3? 5

Sn ? 2(2n ? 1) ln

3? 5 2

26、 (福建理 21)等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n,a1 ? 1 ? 2,S3 ? 9 ? 3 2 . (Ⅰ)求数列 {an } 的通项 an 与前 n 项和 S n ;

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(Ⅱ)设 bn ? 数列.

Sn (n ? N? ) ,求证:数列 {bn } 中任意不同的三项都不可能成为等比 n

本小题考查数列的基本知识,考查等差数列的概念、通项公式与前 n 项和公式, 考查等比数列的概念与性质, 考查化归的数学思想方法以及推理和运算能力.满 分 12 分

?a ? 2 ? 1, ? 解: (Ⅰ)由已知得 ? 1 ,? d ? 2 , 3a1 ? 3d ? 9 ? 3 2 ? ?
故 an ? 2n ? 1 ? 2,S n ? n(n ? 2) . (Ⅱ)由(Ⅰ)得 bn ?
Sn ? n? 2 . n

假设数列 {bn } 中存在三项 bp,bq,br ( p,q,r 互不相等)成等比数列,则

bq2 ? bp br .
即 (q ? 2) 2 ? ( p ? 2)(r ? 2) .
? (q 2 ? pr ) ? (2q ? p ? r ) 2 ? 0

? p,q,r ? N? ,
2 ?q 2 ? pr ? 0, ? p?r? 2 ?? ?? ( ? ? ? pr,p ? r ) ? 0, p ? r . ? 2 ? ?2q ? p ? r ? 0,

与 p ? r 矛盾. 所以数列 {bn } 中任意不同的三项都不可能成等比数列. 28、 (北京理 15,文科 16)数列 ?an ? 中, a1 ? 2 , an ?1 ? an ? cn ( c 是常数,

n ? 1, 3, ) 2,? ,且 a1,a2,a3 成公比不为 1 的等比数列.
(I)求 c 的值; (II)求 ?an ? 的通项公式.

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an ? an ?1 ? (n ? 1)c ,
所以 an ? a1 ? [1 ? 2 ? ? ? (n ? 1)]c ?
n(n ? 1) c. 2

又 a1 ? 2 , c ? 2 ,故 an ? 2 ? n(n ? 1) ? n 2 ? n ? 2(n ? 2,?) . 3, 当 n ? 1 时,上式也成立, 所以 an ? n 2 ? n ? 2(n ? 1, ?) . 2,

29、 (安徽理 21) 某国采用养老储备金制度.公民在就业的第一年就交纳养老储备 金,数目为 a1,以后每年交纳的数目均比上一年增加 d(d>0) ,因此,历年所交 纳的储务金数目 a1,a2,?是一个公差为 d 的等差数列,与此同时,国家给予优 惠的计息政策,不仅采用固定利率,而且计算复利.这就是说,如果固定年利率 为 r(r>0) ,那么,在第 n 年末,第一年所交纳的储备金就变为 a1(1+r)n-1, 第二年所交纳的储备金就变为 a2(1+r)n 2,??,以 Tn 表示到第 n 年末所累 计的储备金总额. (Ⅰ)写出 Tn 与 Tn-1(n≥2)的递推关系式; (Ⅱ)求证:Tn=An+Bn,其中{An}是一个等比数列, n}是一个等差数列. {B 本小题主要考查等差数列、 等比数列的基本概念和基本方法, 考查学生阅读资料、 提取信息、建立数学模型的能力、考查应用所学知识分析和解决实际问题的能


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力.本小题满分 14 分.

d [(1 ? r ) n ? 1 ? r ] ? a1 (1 ? r ) n ? an . r ar?d ar?d d 即 Tn ? 1 2 (1 ? r ) n ? n ? 1 2 . r r r a1r ? d ar?d d 如果记 An ? (1 ? r ) n , Bn ? ? 1 2 ? n , 2 r r r ?

则 Tn ? An ? Bn . 其中 ? An ? 是以
a1r ? d (1 ? r ) 为首项,以 1 ? r (r ? 0) 为公比的等比数列; ? Bn ? 是以 r2 ar?d d d ? 1 2 ? 为首项, ? 为公差的等差数列. r r r

2006 年高考数学试题分类汇编—数列 1. (2006 年福建卷) 在等差数列 ?an ? 中, 已知 a1 ? 2, a2 ? a3 ? 13, 则 a4 ? a5 ? a6 等于

(B)

(A)40 (B)42 (C)43 (D)45 2. (2006 年广东卷)已知等差数列共有 10 项,其中奇数项之和 15,偶数项之和为 30,则 其公差是 A.5 B.4 C. 3 D.2 2. ?

?5a1 ? 20d ? 15 ? d ? 3 ,故选 C. ?5a1 ? 25d ? 30

3. (2006 年广东卷)在德国不莱梅举行的第 48 届世乒赛期间,某商场橱窗里用同样的乒乓 球堆成若干准“正三棱锥”形的展品,其中第一堆只有一层,就一个乒乓球;第 2、3、4、? 堆最底层(第一层)分别按图 4 所示方式固定摆放. 从第一层开始, 每层的小球自然垒放在下一层之上, 第 n 堆第 n 层就放一个乒乓球, f (n) 表示第 n 堆 以 的乒乓球总数, f (3) ? 则 ;f (n) ? (答
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案用 n 表示)

.

5. (2006 年广东卷) f (3) ? 10, f (n) ?

n(n ? 1)(n ? 2) 6

6. ( 2006 年重庆卷)在等差数列{an}中,若 aa+ab=12,SN 是数列{an}的前 n 项和,则 SN 的值为 (B) (A)48 (B)54 (C)60 (D)66 (14) ( 2006 年 重 庆 卷 ) 在 数 列 { an } 中 , 若 a1=1,an+1=2an+3 (n ≥ 1), 则 该 数 列 的 通 项 an=__ 2n?1 ? 3 ___. S3 1 S6 7. (2006 年全国卷 II)设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,若 = ,则 = (A) S6 3 S12 3 1 1 1 (A) (B) (C) (D) 10 3 8 9 19 8. (2006 年全国卷 II)函数 f(x)= ?|x-n|的最小值为 ( C ) i=1 (A)190 (B)171 (C)90 (D)45 9. (2006 年天津卷) 已知数列 {a n } 、{bn } 都是公差为 1 的等差数列, 其首项分别为 a1 、b1 , 且 a1 ? b1 ? 5 ,a1 , b1 ? N . c n ? abn ( n ? N * ) 则数列 {c n } 的前 10 项和等于 设 , ( C )
*

A.55 B.70 C.85 D.100 10. (2006 年湖北卷)若互不相等的实数 a 、 b 、 c 成等差数列, c 、 a 、 b 成等比数列, 且 a ? 3b ? c ? 10 ,则 a =(D) A.4 B.2 C.-2 D.-4

11. (2006 年全国卷 I) ?an ? 是公差为正数的等差数列, a1 ? a2 ? a3 ? 15 , 1a2 a3 ? 80 , 设 若 a 则 a11 ? a12 ? a13 ? A. 120 B. 105 C. 90 D. 75 11. a1 ? a2 ? a3 ? 15 ? 3a2 ? 15 ? a2 ? 5 , a1a2 a3 ? 80 ? ? a2 ? d ? a2 ? a2 ? d ? ? 80 ,将

?a ? c ? 2b, ? 10.解选 D:依题意有 ?bc ? a 2 , ?a ? 3b ? c ? 10. ?

?a ? ?4, ? ?b ? 2, ?c ? 8. ?

a2 ? 5 代入,得 d ? 3 ,从而 a11 ? a12 ? a13 ? 3a12 ? 3 ? a2 ? 10d ? ? 3 ? ? 5 ? 30 ? ? 105 。选 B。 这个题主要反映一个“元”的概念:确定一个等差数列,需要且只要两个独立的“元” 。 在这个解法中,我选择的是 a2 和 d。
12. (2006 年江西卷)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 OB=a1 OA+a 200 OC ,且 A、B、C 三点共线(该直线不过原点 O) ,则 S200=( A ) A.100 B. 101 C.200 D.201 解:依题意,a1+a200=1,故选 A 列,则 S n 等于

??? ?

????

??? ?

13. (2006 年辽宁卷)在等比数列 ?an ? 中, a1 ? 2 ,前 n 项和为 S n ,若数列 ?an ? 1? 也是等比数

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14. (2006 年北京卷)设 f (n) ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2
4 7 10

3 n ?10

( n ? N ) ,则 f (n) 等于 (D)

2 n (8 ? 1) 7 2 (C) (8n?3 ? 1) 7
(A) 数字作答).

(B) (D)

2 n?1 (8 ? 1) 7

2 n? 4 (8 ? 1) 7
(用

15. 2006 年浙江卷) S n 为等差数列 a,的前 n 项和, S n -10, S n =-5,则公差为 -1 ( 设 若

16. 2006 年浙江卷)已知函数 f(x)=x + x ,数列|x n |(x n >0)的第一项 x n =1,以后 ( 各项按如下方式取定:曲线 x=f(x)在 ( x n ?1 , f ( x n ?1 )) 处的切线与经过(0,0)和(x n ,f (x n )) 两点的直线平行(如图)

3

3

. 求证:当 n ? N * 时,
2 (Ⅰ)x 2 ? x n ? 3 x n ?1 ? 2 x n ?1 ; n

(Ⅱ) ( ) n ?1 ? x n ? ( ) n ? 2 16.略。 17.(2006 年山东卷)已知 a1=2,点(an,an+1)在函数 f(x)=x2+2x 的图象上,其中=1,2,3,? (1) 证明数列{lg(1+an)}是等比数列; (2) 设 Tn=(1+a1) (1+a2) …(1+an),求 Tn 及数列{an}的通项; (3) 记 bn= 17.(2) Tn ? 3

1 2

1 2

1 1 2 ,求{bn}数列的前项和 Sn,并证明 Sn+ =1. ? an an ? 2 3Tn ? 1
, an ? 3
2n ?1

?1 ; 18. (2006 年北京卷) 在数列 {an } 中, a1 , a2 是正整数, an ?| an ?1 ? an ? 2 |, n ? 3, 4,5,? , 若 且 则称 {an } 为“绝对差数列”.
(Ⅰ)举出一个前五项不为零的“绝对差数列” (只要求写出前十项) ;
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2n ?1

(Ⅱ) 若“绝对差数列”{an } 中,a20 ? 3, a21 ? 0 ,数列 {bn } 满足 bn ? an ? an ?1 ? an ? 2 ,

n ? 1, 2,3,? ,分别判断当 n ? ? 时, an 与 bn 的极限是否存在,如果存在,求
出其极限值; (Ⅲ)证明:任何“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项. 18. (Ⅰ) a1 ? 3, a2 ? 1, a3 ? 2 , a4 ? 1, a5 ? 1, a6 ? 0 , a7 ? 1, a8 ? 1, a9 ? 0 , a10 ? 1 。 (Ⅱ)略;

?an ?3k ? 0, ? (Ⅲ) ? an ?3k ?1 ? A, k ? 0,1, 2,3,? 。 ?a ? n ?3k ? 2 ? A,
19. 0 0 6 年 上海卷)已知有穷数列 { a n } 共有 2 k 项(整数 k ≥2) (2 ,首项 a1 =2.设该 数列的前 n 项和为 S n ,且 a n ?1 = (a ? 1) S n +2( n =1,2,┅,2 k -1) ,其中常数 a >1. (1)求证:数列 { a n } 是等比数列;
2

(2)若 a =2 2 k ?1 ,数列 { bn } 满足 bn = 列 { bn } 的通项公式;

1 ,求数 log 2 (a1 a 2 ? ? ? a n ) ( n =1,2,┅,2 k ) n
3 3 3 3 |+| b2 - |+┅+| b2 k ?1 - |+| b2 k - | 2 2 2 2

(3)若(2)中的数列 { bn } 满足不等式| b1 - ≤4,求 k 的值. [解](1) (2) 20. (2006 年辽宁卷)已知 f 0 ( x) ? x n , f k ( x) ?

0 1 k n 设 F ( x) ? Cn f 0 ( x 2 ) ? Cn f1 ( x 2 ) ? ... ? Cn f k ( x 2 ) ? ... ? Cn f n ( x 2 ) , x ? ? ?1,1? .

f k'?1 ( x) ,其中 k ? n(n, k ? N ? ) , f k ?1 (1)

(I) 写出 f k (1) ;

(II) 证明:对任意的 x1 , x2 ? ? ?1,1? ,恒有 F ( x1 ) ? F ( x2 ) ? 2 【解析】(I)由已知推得 f k ( x) ? (n ? k ? 1) x (II) 证法 1:当 ?1 ? x ? 1 时,
n?k

n ?1

(n ? 2) ? n ? 1 .

,从而有 f k (1) ? n ? k ? 1

1 2 k n F ( x) ? x 2 n ? nCn x 2( n ?1) ? (n ? 1)Cn x 2( n ? 2) ... ? (n ? k ? 1)Cn x 2( n ? k ) ? ... ? 2Cn ?1 x 2 ? 1 当 x>0 时, F ?( x) ? 0 ,所以 F ( x) 在[0,1]上为增函数 因函数 F ( x) 为偶函数所以 F ( x) 在[-1,0]上为减函数

所以对任意的 x1 , x2 ? ? ?1,1? F ( x1 ) ? F ( x2 ) ? F (1) ? F (0)
n n n 1 0 ? nCn ?1 ? (n ? 1)Cn ? 2 ... ? (n ? k ? 1)Cn ? k ? ... ? 2Cn ? Cn
n n n ? (n ? k ? 1)Cn ? k ? (n ? k )Cn ? k ? Cn ? k k k ? nCn ?1 ? Cn (k ? 1, 2,3? n ? 1)

0 1 2 F (1) ? F (0) ? Cn ? nCn ? (n ? 1)Cn ... ? (n ? k ? 1)Cnk ? ... ? 2Cnn ?1

1 2 k? 1 2 0 F (1) ? F (0) ? n(Cn ?1 ? Cn ?1... ? Cn ?11 ) ? (Cn ? Cn ... ? Cnn ?1 ) ? Cn

? n(2n ?1 ? 1) ? 2n ? 1 ? 2n ?1 ( n ? 2) ? n ? 1
因此结论成立. 证法 2: 当 ?1 ? x ? 1 时,
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1 2 k n F ( x) ? x 2 n ? nCn x 2( n ?1) ? (n ? 1)Cn x 2( n ? 2) ... ? (n ? k ? 1)Cn x 2( n ? k ) ? ... ? 2Cn ?1 x 2 ? 1 当 x>0 时, F ?( x) ? 0 ,所以 F ( x) 在[0,1]上为增函数 因函数 F ( x) 为偶函数所以 F ( x) 在[-1,0]上为减函数

所以对任意的 x1 , x2 ? ? ?1,1? F ( x1 ) ? F ( x2 ) ? F (1) ? F (0)
0 1 2 k n F (1) ? F (0) ? Cn ? nCn ? (n ? 1)Cn ... ? (n ? k ? 1)Cn ? ... ? 2Cn ?1
1 2 k n 0 又因 F (1) ? F (0) ? 2Cn ? 3Cn ? ... ? kCn ?1 ? ... ? nCn ?1 ? Cn 1 2 k n 0 所以 2[ F (1) ? F (0)] ? ( n ? 2)[Cn ? Cn ? ... ? Cn ?1 ? ... ? Cn ?1 ] ? 2Cn

F (1) ? F (0) ? ?

n?2 1 2 k n 0 [Cn ? Cn ? ... ? Cn ?1 ? ... ? Cn ?1 ] ? Cn 2

n?2 n (2 ? 2) ? 1 ? 2n ?1 ( n ? 2) ? n ? 1 2

因此结论成立. 证法 3: 当 ?1 ? x ? 1 时,
1 2 k n F ( x) ? x 2 n ? nCn x 2( n ?1) ? (n ? 1)Cn x 2( n ? 2) ... ? (n ? k ? 1)Cn x 2( n ? k ) ? ... ? 2Cn ?1 x 2 ? 1 当 x>0 时, F ?( x) ? 0 ,所以 F ( x) 在[0,1]上为增函数 因函数 F ( x) 为偶函数所以 F ( x) 在[-1,0]上为减函数

所以对任意的 x1 , x2 ? ? ?1,1? F ( x1 ) ? F ( x2 ) ? F (1) ? F (0)

0 1 2 k n F (1) ? F (0) ? Cn ? nCn ? (n ? 1)Cn ... ? (n ? k ? 1)Cn ? ... ? 2Cn ?1



1 2 k n x[(1 ? x) n ? x n ] ? x[Cn x n ?1 ? Cn x n ? 2 ? ...Cn x n ? k ? .. ? Cn ?1 x ? 1] 1 2 k n ? Cn x n ? Cn x n ?1 ? ...Cn x n ? k ?1 ? .. ? Cn ?1 x 2 ? x

对上式两边求导得
1 2 k n (1 ? x) n ? x n ? nx(1 ? x) n ?1 ? nx n ? nCn x n ?1 ? (n ? 1)Cn x n ? 2 ? ...(n ? k ? 1)Cn x n ? k ? .. ? 2Cn ?1 x ? 1

F ( x) ? (1 ? x 2 ) n ? nx 2 (1 ? x 2 ) n ?1 ? nx 2 n ? F (1) ? F (0) ? 2n ? n2n ?1 ? n ? 1 ? (n ? 2)2n ?1 ? n ? 1
因此结论成立. 【点评】本小题考查导数的基本计算,函数的性质,绝对值不等式及组合数性质等基础知识, 考查归纳推理能力以及综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力. 22. (2006 年江苏卷) 设数列 {a n } 、{bn } 、{c n } 满足:bn ? a n ? a n ? 2 ,c n ? a n ? 2a n ?1 ? 3a n ? 2 (n=1,2,3,?) , 证明: {a n } 为等差数列的充分必要条件是 {c n } 为等差数列且 bn ? bn ?1 (n=1,2,3,?)

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∴数列 {a n } 为等差数列。 综上所述: {a n } 为等差数列的充分必要条件是 {c n } 为等差数列且 bn ? bn ?1 (n=1,2,3,?) 。

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点评:本题主要考查等差数列、充要条件等基础知识,考查综合运用数学知识分析问题和 解决问题的能力 23. (2006 年全国卷 II)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,且方程 x2-anx-an=0 有一根为 Sn -1,n=1,2,3,?. (Ⅰ)求 a1,a2; (Ⅱ) n}的通项公式. {a 22.解:(Ⅰ)当 n=1 时,x2-a1x-a1=0 有一根为 S1-1=a1-1, 1 于是(a1-1)2-a1(a1-1)-a1=0,解得 a1= . 2 1 当 n=2 时,x2-a2x-a2=0 有一根为 S2-1=a2- , 2 1 1 1 于是(a2- )2-a2(a2- )-a2=0,解得 a1= . 2 2 6 (Ⅱ)由题设(Sn-1)2-an(Sn-1)-an=0, 即 Sn2-2Sn+1-anSn=0. 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1,代入上式得 Sn-1Sn-2Sn+1=0 ① 1 1 1 2 由(Ⅰ)知 S1=a1= ,S2=a1+a2= + = . 2 2 6 3 3 由①可得 S3= . 4 n 由此猜想 Sn= ,n=1,2,3,?. ??8 分 n+1 下面用数学归纳法证明这个结论. (i)n=1 时已知结论成立.

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24. (2006 年四川卷)已知数列 ?an ? ,其中 a1 ? 1, a2 ? 3, 2an ? an ?1 ? an ?1 ? n ? 2 ? ,记数列

k (ii)假设 n=k 时结论成立,即 Sk= , k+1 k+1 1 当 n=k+1 时,由①得 Sk+1= ,即 Sk+1= , 2-Sk k+2 故 n=k+1 时结论也成立. n 综上,由(i)、(ii)可知 Sn= 对所有正整数 n 都成立. ??10 分 n+1 n-1 n 1 于是当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1= - = , n n+1 n(n+1) 1 1 又 n=1 时,a1= = ,所以 2 1×2 n {an}的通项公式 an= ,n=1,2,3,?. ??12 分 n+1

?an ? 的前 n 项和为 Sn ,数列 ?ln Sn ? 的前 n 项和为 U n
(Ⅰ)求 U n ; (Ⅱ) Fn ? x ? ? 设 数) ,计算 lim

eU n 2n ? n !?
2

' (其中 Fk ? x ? 为 Fk ? x ? 的导函 x 2 n ? x ? 0 ? , Tn ? x ? ? ? Fk' ? x ? ,
k ?1

n

Tn ? x ? n ?? T n ?1 ? x ?

本小题主要考察等差数列、等比数列的基础知识,以及对数运算、导数运算和极限运 算的能力,同时考查分类讨论的思想方法,满分 12 分。

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25. (2006 年上海春卷)已知数列 a1 , a 2 , ? , a 30 ,其中 a1 , a 2 , ? , a10 是首项为 1,公差为 1 的等差数列;a10 , a11 , ? , a 20 是公差为 d 的等差数列;a 20 , a 21 , ? , a 30 是公差为 d 2 的等差数 列( d ? 0 ). (1)若 a 20 ? 40 ,求 d ; (2)试写出 a 30 关于 d 的关系式,并求 a 30 的取值范围; (3)续写已知数列,使得 a 30 , a 31 , ? , a 40 是公差为 d 3 的等差数列,??,依次类推,把已 知数列推广为无穷数列. 提出同(2)类似的问题( (2)应当作为特例) ,并进行研究,你能 得到什么样的结论?

26. (2006 年陕西卷)已知正项数列 ?an ? ,其前 n 项和 S n 满足 10 S n ? an 2 ? 5an ? 6, 且

a1 , a2 , a15 成等比数列,求数列 ?an ? 的通项 an .
26.解: ∵10Sn=an2+5an+6, ① ∴10a1=a12+5a1+6,解之得 a1=2 或 a1=3. 又 10Sn-1=an-12+5an-1+6(n≥2),② 由①-②得 10an=(an2-an-12)+6(an-an-1),即(an+an-1)(an-an-1-5)=0 ∵an+an-1>0 , ∴an-an-1=5 (n≥2). 当 a1=3 时,a3=13,a15=73. a1, a3,a15 不成等比数列∴a1≠3; 当 a1=2 时, a3=12, a15=72, 有 a32=a1a15 , ∴a1=2, ∴an=5n-3. 27. (2006 年广东卷)已知公比为 q (0 ? q ? 1) 的无穷等比数列 {a n } 各项的和为 9,无穷等 比数列 {a 2 n } 各项的和为

81 . 5

(Ⅰ)求数列 {a n } 的首项 a1 和公比 q ; (Ⅱ)对给定的 k (k ? 1,2,3,? ? ?, n) ,设 T (k ) 是首项为 a k ,公差为 2a k ? 1 的等差数列.求数列

T (k ) 的前 10 项之和; (Ⅲ)设 bi 为数列 T (i ) 的第 i 项, S n ? b1 ? b2 ? ? ? ? ? bn ,求 S n ,并求正整数 m(m ? 1) ,使


(注:无穷等比数列各项的和即当 n ? ? 时该无穷数列前 n 项和的极限)

Sn 存在且不等于零. n ?? m lim

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? a1 ?a1 ? 3 ?1 ? q ? 9 ? ? ?? 27.解: (Ⅰ)依题意可知, ? 2 2 ? a 1 ? 81 ?q ? 3 ? ?1 ? q 2 5 ?
?2? (Ⅱ)由(Ⅰ)知, a n ? 3 ? ? ? ,所以数列 T ( 2) 的的首项为 t1 ? a 2 ? 2 ,公差 d ? 2a 2 ? 1 ? 3 , ?3? 1 S10 ? 10 ? 2 ? ? 10 ? 9 ? 3 ? 155 ,即数列 T ( 2) 的前 10 项之和为 155. 2
n ?1

?2? (Ⅲ) bi = ai ? ?i ? 1??2ai ? 1? = ?2i ? 1?ai ? ?i ? 1? = 3?2i ? 1?? ? ? ?i ? 1? , ?3? n n Sn 45 18n ? 27 ? 2 ? n?n ? 1? ? 2 ? n?n ? 1? , lim m = lim m ? S n ? 45 ? ?18n ? 27 ?? ? ? ? ? ? m n ?? n n ?? n 2 n 2n m ?3? ?3? Sn Sn 1 当 m=2 时, lim m =- ,当 m>2 时, lim m =0,所以 m=2 n ?? n n ?? n 2
28. (2006 年福建卷)已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, an ?1 ? 2an ? 1(n ? N * ). (I)求数列 ?an ? 的通项公式; (II)证明:

i ?1

a n 1 a1 a2 n ? ? ? ? ... ? n ? (n ? N * ). 2 3 a2 a3 an ?1 2

28.本小题主要考查数列、不等式等基本知识,考查化归的数学思想方法,考查综合解题能 力。满分 14 分。 (I)解:? an ?1 ? 2an ? 1(n ? N * ),

??an ? 1? 是以 a1 ? 1 ? 2 为首项,2 为公比的等比数列。
? an ? 1 ? 2n.


? an ?1 ? 1 ? 2(an ? 1),

an ? 22 ? 1(n ? N * ).
k ?1 k2 ?1

(II)证法一:? 4 1 4

...4kn ?1 ? (an ? 1) kn .
① ②

? 4( k1 ? k2 ?...? kn ) ? n ? 2nkn . ? 2[(b1 ? b2 ? ... ? bn ) ? n] ? nbn ,

2[(b1 ? b2 ? ... ? bn ? bn ?1 ) ? (n ? 1)] ? (n ? 1)bn ?1. ②-①,得 2(bn ?1 ? 1) ? ( n ? 1)bn ?1 ? nbn , 即 (n ? 1)bn ?1 ? nbn ? 2 ? 0, nbn ? 2 ? (n ? 1)bn ?1 ? 2 ? 0. ③-④,得 nbn ? 2 ? 2nbn ?1 ? nbn ? 0, 即 bn ? 2 ? 2bn ?1 ? bn ? 0,

??bn ? 是等差数列。

? bn ? 2 ? bn ?1 ? bn ?1 ? bn (n ? N * ),
证法二:同证法一,得

(n ? 1)bn ?1 ? nbn ? 2 ? 0
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令 n ? 1, 得 b1 ? 2. 设 b2 ? 2 ? d (d ? R ), 下面用数学归纳法证明 (1)当 n ? 1, 2 时,等式成立。 (2)假设当 n ? k (k ? 2) 时, bk ? 2 ? (k ? 1)d , 那么

bn ? 2 ? (n ? 1)d .

? bn ?1 ? bn ? d ,??bn ? 是等差数列。
(III)证明:?

k 2 k 2 bk ? ? [2 ? (k ? 1)d ] ? ? 2 ? [(k ? 1) ? 1]d . k ?1 k ?1 k ?1 k ?1 这就是说,当 n ? k ? 1 时,等式也成立。 根据(1)和(2) ,可知 bn ? 2 ? (n ? 1) d 对任何 n ? N * 都成立。 bk ?1 ?

ak 2k ? 1 2k ? 1 1 ? k ?1 ? ? , k ? 1, 2,..., n, ak ?1 2 ? 1 2(2k ? 1 ) 2 2 a a a n ? 1 ? 2 ? ... ? n ? . a2 a3 an ?1 2

29. (2006 年安徽卷)数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,已知

ak 2k ? 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? k ?1 ? ? ? ? k ? ? . k , k ? 1, 2,..., n, k ?1 k ak ?1 2 ? 1 2 2(2 ? 1) 2 3.2 ? 2 ? 2 2 3 2 a a a n 1 1 1 1 n 1 1 n 1 ? 1 ? 2 ? ... ? n ? ? ( ? 2 ? ... ? n ) ? ? (1 ? n ) ? ? , a2 a3 an ?1 2 3 2 2 2 2 3 2 2 3 a n 1 a a n ? ? ? 1 ? 2 ? ... ? n ? (n ? N * ). 2 3 a2 a3 an ?1 2

1 a1 ? , S n ? n 2 an ? n ? n ? 1? , n ? 1, 2, ??? 2 (Ⅰ)写出 S n 与 S n ?1 的递推关系式 ? n ? 2 ? ,并求 S n 关于 n 的表达式; S n n ?1 x , bn ? f n/ ? p ?? p ? R ? ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn 。 n 2 2 解:由 S n ? n an ? n ? n ? 1? ? n ? 2 ? 得: S n ? n ( S n ? S n ?1 ) ? n ? n ? 1? ,即
(Ⅱ)设 f n ? x ? ?

(n 2 ? 1) S n ? n 2 S n ?1 ? n ? n ? 1? ,所以

n ?1 n Sn ? S n ?1 ? 1 ,对 n ? 2 成立。 n n ?1 n ?1 n n n ?1 3 2 由 Sn ? S n ?1 ? 1 , S n ?1 ? S n ? 2 ? 1 ,?, S 2 ? S1 ? 1 相加得: n n ?1 n ?1 n?2 2 1 2 n n ?1 1 ,当 n ? 1 时,也成立。 S n ? 2S1 ? n ? 1 ,又 S1 ? a1 ? ,所以 S n ? n ?1 n 2 S n n ?1 (Ⅱ)由 f n ? x ? ? n x n ?1 ? x ,得 bn ? f n/ ? p ? ? np n 。 n n ?1 而 Tn ? p ? 2 p 2 ? 3 p 3 ? ? ? (n ? 1) p n ?1 ? np n ,
pTn ? p 2 ? 2 p 3 ? 3 p 4 ? ? ? (n ? 1) p n ? np n ?1 ,

(1 ? P)Tn ? p ? p 2 ? p 3 ? ? ? p n ?1 ? p n ? np n ?1 ?
30. (2006 年全国卷 I)设数列 ?an ? 的前 n 项的和

p (1 ? p n ) ? np n ?1 1? p

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31. (2006 年江西卷)已知数列{an}满足:a1=

3na n-1 3 ,且 an= (n ? 2,n ? N?) 2 2a n-1+n-1

(1) 求数列{an}的通项公式; (2) 证明:对于一切正整数 n,不等式 a1?a2???an?2?n! 31.解: (1) 将条件变为:1-

n 1 n-1 n =(- ,因此{1- }为一个等比数列,其首项为 1 ) an 3 a n-1 an

n ? 3n 1 1 1 1 n = ,公比 ,从而 1- = n ,据此得 an= n (n?1)????1? 3 -1 3 a1 3 an 3 n! (2) 证:据 1?得,a1?a2??an= 1 1 1 ( - ) 1- 2 )?( - n ) 1 ? ( 1 3 3 3
1- 为证 a1?a2???an?2?n! 只要证 n?N?时有 1- ) 1- ( ? (

显然,左端每个因式都是正数,先证明,对每个 n?N?,有

1 3

1 1 1 ? )?( - n ) ????2? 1 2 3 3 2

1 1 1 1 1 1 ?1-( + 2 +?+ n )????3? ( - ) 1- 2 )?( - n ) 1 ? ( 1 3 3 3 3 3 3
用数学归纳法证明 3?式: (i) n=1 时,3?式显然成立, (ii) 设 n=k 时,3?式成立, 即 1- ) 1- ( ? (

1 3

1 1 1 1 1 ?1-( + 2 +?+ k ) )?( - k ) 1 2 3 3 3 3 3

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则当 n=k+1 时,

1 1 1 1 1 1 1 1 ?〔1-( + 2 +?+ k ) 〕?( 1- k+1 ) ( - ) 1- 2 ) ?( - k ) 1- k+1 ) 1 ? ( ? 1 ? ( 3 3 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1 1 1 1 =1-( + 2 +?+ k )- k+1 + k+1 ( + 2 +?+ k ) 3 3 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 ?1-( + 2 +?+ k + k+1 )即当 n=k+1 时,3?式也成立。 3 3 3 3
故对一切 n?N?,3?式都成立。

1 1 n 〔 -( ) 1 〕 1 1 1 1 1 1 3 3 利用 3?得, 1- ) 1- 2 )?( - n ) ( + 2 +?+ n ) ?1- =1- ( ? ( 1 1 3 3 3 3 3 3 1- 3 1 1 n 1 1 1 n 1 =1- 〔 -( ) 1 〕= + ( ) ? 2 3 2 2 3 2
故 2?式成立,从而结论成立。

2005 年高考数学试题分类汇编—数列
选择题 1. (2005 广东卷)已知数列 ? xn ? 满足 x2 ?

x1 1 , xn ? ? xn ?1 ? xn ? 2 ? , n ? 3, 4, ?.若 2 2

lim xn ? 2 ,则(B)
n ??

(A)

3 (B)3(C)4(D)5 2

2. (2005 福建卷)3.已知等差数列 {a n } 中, a 7 ? a9 ? 16, a 4 ? 1, 则a12 的值是 ( A ) B.30

A.15

C.31

D.64

3. (2005 湖南卷)已知数列 {a n } 满足 a1 ? 0, a n ?1 ? (B ) B. ? 3 C. 3

an ? 3 3a n ? 1

(n ? N * ) ,则 a 20 =

A.0

D.

3 2

4. (2005 湖南卷)已知数列{log2(an-1)}(n∈N*)为等差数列,且 a1=3,a2=5,则
lim n ??

(

1 1 1 = ? ? ?? ? a 2 ? a1 a3 ? a 2 a n ?1 ? a n
B.

(C)

A.2

3 2

C.1

D.

1 2

5. (2005 湖南卷)设 f0(x)=sinx,f1(x)=f0′(x),f2(x)=f1′(x),…,fn+1(x)=fn′(x),n∈N,

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则 f2005(x)=(C) A.sinx B.-sinx C.cosx D.-cosx

6. (2005 江苏卷)在各项都为正数的等比数列{an}中,首项 a1=3 ,前三项和为 21,则 a3+ a4+ a5=(C ) ( A ) 33 ( B ) 72 ( C ) 84 ( D )189 7. (2005 全国卷 II) 如果数列 ?an ? 是等差数列,则(B ) (A) a1 ? a8 ? a4 ? a5 (B) a1 ? a8 ? a4 ? a5 (C) a1 ? a8 ? a4 ? a5 (D) a1a8 ? a4 a5 8. (2005 全国卷 II) 11 如果 a1 , a2 ,? , a8 为各项都大于零的等差数列,公差 d ? 0 ,则(B) (A) a1a8 ? a4 a5 (B) a1a8 ? a4 a5 (C) a1 ? a8 ? a4 ? a5 (D) a1a8 ? a4 a5 9. (2005 山东卷)?an ? 是首项 a1 =1,公差为 d =3 的等差数列,如果 an =2005,则序号 n 等 于(C ) (A)667 (B)668 (C)669 (D)670 10. (2005 上海)16.用 n 个不同的实数 a1,a2,┄an 可得 n!个不同的排列,每个排列为一行写 成 1 2 3 一个 n!行的数阵.对第 i 行 ai1,ai2,┄ain,记 bi=- ai1+2ai2-3 ai3+┄+(-1)nnain, 1 3 2 i=1,2,3, ┄,n!.用 1,2,3 可你数阵如右,由于此数阵中每一列各数之和都 2 1 3 是 12,所以,b1+b2+┄+b6=-12+2 ? 12-3 ? 12=-24.那么,在用 1,2,3,4,5 形成 2 3 1 的数阵中, b1+b2+┄+b120 等于 3 1 2 3 2 1 [答]( C (A)-3600 (B) 1800 (C)-1080 (D)-720 )

1? 2 ? 3 ??? n =( C ) n?? n2 1 (A) 2 (B) 4 (C) (D)0 2 12. (2005 重庆卷) 有一塔形几何体由若干个正方体构成,构成方式如图所示,上层 正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点。 已知最底层正方体的 棱长为 2,且改塔形的表面积(含最底层正方体的底面面积)超过 39,则该塔形中 正方体的个数至少是( C) (A) 4; (B) 5; (C) 6; (D) 7。 13. (江西卷)
11. (2005 浙江卷) lim

填空题 1. (2005 广东卷) 设平面内有n条直线 (n ? 3) , 其中有且仅有两条直线互相平行, 任意三角形不过同一点. 若

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用 f (n) 表示这n条直线交点的个数,则 f (4) _____5________;当n>4时, f ( n ) = __

1 (n ? 2)(n ? 1) ___________. 2

2. (2005 北京卷)已知 n 次多项式 Pn ( x) ? a0 x n ? a1 x n ?1 ? ? ? an ?1 x ? an , 如果在一种算法中,计算 x0 k (k=2,3,4,?,n)的值需要 k-1 次乘法,计算 P ( x0 ) 3 的值共需要 9 次运算(6 次乘法,3 次加法) ,那么计算 Pn ( x0 ) 的值共需要 次运算. 下面给出一种减少运算次数的算法: P0 ( x) ? a0 , Pk ?1 ( x) ? xPk ( x) ? ak ?1 (k=0, 1, 2,?,n-1) .利用该算法,计算 P ( x0 ) 的值共需要 6 次运算,计算 Pn ( x0 ) 的 3 值共需要 2n 次运算.

1 n(n+3) 2

3. (2005 湖北卷)设等比数列 {a n } 的公比为 q,前 n 项和为 Sn,若 Sn+1,Sn,Sn+2 成等差数 -2 . 8 27 4. (2005 全国卷 II) 在 和 之间插入三个数, 使这五个数成等比数列, 则插入的三个数的 3 2 乘积为_______216 __.
2 n Cn ? 2Cn ? 2 3 ? _ _________ 5. (2005 山东卷) lim 2 n ?? (n ? 1) 2

列,则 q 的值为

6. (2005 上海)12、用 n 个不同的实数 a1 , a 2 , ? , a n 可得到 n! 个不同的排列,每个排列为 一 行 写 成 一 个

n! 行 的 数 阵 。 对 第 i 行 ai1 , ai 2 , ?, ain , 记

bi ? ?ai1 ? 2ai 2 ? 3ai 3 ? ?(?1) n nain , i ? 1,2,3, ? , n! 。例如:用 1,2,3 可得数阵如图,
由 于 此 数 阵 中 每 一 列 各 数 之 和 都 是 12 , 所 以 ,

b1 ? b2 ? ? ? b6 ? ?12 ? 2 ? 12 ? 3 ? 12 ? ?24 ,那么,在用 1,2,3,4,5 形成的数阵中, b1 ? b2 ? ? ? b120 =_-1080_________。
7、计算: lim

3 n ?1 ? 2 n =_3 _________。 n ?? 3 n ? 2 n ?1
1 n (7 ? 1) 6

1 2 3 n 8. (2005 天津卷)设 n ? N ? ,则 C n ? C n 6 ? C n 6 2 ? ? ? C n 6 n ?1 ?

9. (2005 天津卷)在数列{an}中, a1=1, a2=2,且 a n ? 2 ? a n ? 1 ? (?1) n (n ? N ? ) ,
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则 S100 =_2600_

___.

10. (2005 重庆卷) lim

23n ? 32 n ?1 = -3 n ?? 23 n ? 32 n

.

解答题 1.(2005 北京卷)

? 1 ? 2 an 1 ? 设数列{an}的首项 a1=a≠ ,且 an ?1 ? ? 4 ?a ? 1 ? n 4 ?
记 bn ? a2 n ?1 ?

n为 数 偶
,

n为 数 奇

1 ,n==l,2,3,?· . 4

(I)求 a2,a3; (II)判断数列{bn}是否为等比数列,并证明你的结论; (III)求 lim(b1 ? b2 ? b3 ? ? ? bn ) .
n ??

2.(2005 北京卷)数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a1=1, an ?1 ? (I)a2,a3,a4 的值及数列{an}的通项公式; (II) a2 ? a4 ? a6 ? ? ? a2n 的值.
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1 S n ,n=1,2,3,??,求 3

1 S n ,n=1,2,3,??,得 3 1 1 1 1 1 4 1 1 16 , a2 ? S1 ? a1 ? ,a3 ? S 2 ? (a1 ? a2 ) ? ,a4 ? S3 ? (a1 ? a2 ? a3 ) ? 3 3 3 3 3 9 3 3 27 1 1 4 由 an ?1 ? an ? ( S n ? S n ?1 ) ? an (n≥2) ,得 an ?1 ? an (n≥2) , 3 3 3 1 4 1 又 a2= ,所以 an= ( ) n? 2 (n≥2), 3 3 3
解: (I)由 a1=1, an ?1 ?

? 1 ? ∴ 数列{an}的通项公式为 an ? ? 1 4 n ? 2 ?3 ( 3) ?
(II)由(I)可知 a2 , a4 ,? , a2 n 是首项为

n ?1 n≥ 2


4 1 ,公比为 ( ) 2 项数为 n 的等比数列,∴ 3 3

4 1 ? ( )2n 1 3 ? 3 [( 4 ) 2 n ? 1] a2 ? a4 ? a6 ? ? ? a2n = ? 3 1 ? ( 4 )2 7 3 3
3. (2005 福建卷) 已知{ a n }是公比为 q 的等比数列,且 a1 , a3 , a 2 成等差数列. (Ⅰ)求 q 的值; (Ⅱ)设{ bn }是以 2 为首项,q 为公差的等差数列,其前 n 项和为 Sn,当 n≥2 时,比 较 Sn 与 bn 的大小,并说明理由. 解: (Ⅰ)由题设 2a3 ? a1 ? a 2 , 即2a1 q 2 ? a1 ? a1 q,

? a1 ? 0,? 2q 2 ? q ? 1 ? 0.

1 ? q ? 1或 ? . 2

n(n ? 1) n 2 ? 3n (Ⅱ)若 q ? 1, 则S n ? 2n ? ?1 ? . 2 2
当 n ? 2时, S n ? bn ? S n ?1 ? 若q ? ?

(n ? 1)(n ? 2) ? 0. 故 S n ? bn . 2

1 n(n ? 1) 1 ? n 2 ? 9n , 则S n ? 2n ? (? ) ? . 2 2 2 4
(n ? 1)(n ? 10) , 4

当 n ? 2时, S n ? bn ? S n ?1 ? ?

故对于 n ? N ? , 当2 ? n ? 9时, S n ? bn ;当n ? 10时, S n ? bn ;当n ? 11时, S n ? bn . 4. (2005 福建卷)已知数列{an}满足 a1=a, an+1=1+

1 我们知道当 a 取不同的值时,得到不 an

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a=1



















3 5 1 1 1,2, , , ?;当a ? ? 时, 得到有穷数列 : ? ,?1,0. 2 3 2 2
(Ⅰ)求当 a 为何值时 a4=0; (Ⅱ) 设数列{bn}满足 b1=-1, bn+1=

1 求证 a 取数列{bn}中的任一个数, (n ? N ? ) , bn ? 1

都可以得到一个有穷数列{an}; (Ⅲ)若

3 ? a n ? 2(n ? 4) ,求 a 的取值范围. 2

(I)解法一:? a1 ? a, a n ?1 ? 1 ?

1 , an

? a2 ? 1 ? a4 ? 1 ?

1 1 a ?1 1 2a ? 1 ? 1? ? , a3 ? 1 ? ? a1 a a a2 a ?1

1 3a ? 2 2 ? .故当a ? ? 时a 4 ? 0. a 3 2a ? 1 3 1 ? 0,? a3 ? ?1. a3

解法二 : a 4 ? 0,?1 ? ? ? a3 ? 1 ?

1 1 1 2 2 ,? a 2 ? . ? a 2 ? 1 ? ,? a ? ? .故当a ? ? 时a 4 ? 0. a2 2 a 3 3 b 1 ,? bn ? ? 1. bn ? 1 bn ?1

( II )解法一 : b1 ? ?1, bn ?1 ? ?

a取数列{bn }中的任一个数不妨设a ? bn . ? a ? bn ,? a 2 ? 1 ? ? a3 ? 1 ? ?? ? an ? 1 ? ? a n ?1 ? 0.
故 a 取数列{bn}中的任一个数,都可以得到一个有穷数列{an} 5. ( 2005 湖 北 卷 ) 设 数 列 {a n } 的 前 n 项 和 为 Sn=2n2 , {bn } 为 等 比 数 列 , 且

1 1 ? 1? ? bn ?1 . a1 bn

1 1 ? 1? ? bn ? 2 . a2 bn ?1 1 a n ?1 ? 1? 1 ? b1 ? ?1. b2

a1 ? b1 , b2 (a 2 ? a1 ) ? b1 .
(Ⅰ)求数列 {a n } 和 {bn } 的通项公式; (Ⅱ)设 c n ?

an ,求数列 {c n } 的前 n 项和 Tn. bn

解: :当 n ? 1时, a1 ? S1 ? 2; (1)
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6.(2005 湖北卷) 已知不等式

1 1 1 1 [log ? ? ? ? ? [log 2 n], 其中n 为大于 2 的整数, 2 n] 2 3 n 2

表 示 不 超 过 log 2 n 的 最 大 整 数 . 设 数 列 {a n } 的 各 项 为 正 , 且 满 足

a1 ? b(b ? 0), a n ?

na n ?1 , n ? 2,3,4, ? n ? a n ?1

(Ⅰ)证明 a n ?

2b , n ? 3,4,5, ? 2 ? b[log 2 n]

(Ⅱ)猜测数列 {a n } 是否有极限?如果有,写出极限的值(不必证明) ; (Ⅲ)试确定一个正整数 N,使得当 n ? N 时,对任意 b>0,都有 a n ? 解: (Ⅰ)证法 1:∵当 n ? 2时,0 ? a n ?

1 . 5

na n ?1 1 n ? a n ?1 1 1 ,? ? ? ? , n ? a n ?1 an na n ?1 a n ?1 n



1 1 1 ? ? , a n a n ?1 n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? , ? ? ,?, ? ? . a 2 a1 2 a3 a 2 3 a n a n ?1 n

于是有

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所有不等式两边相加可得

1 1 1 1 1 ? ? ? ??? . a n a1 2 3 n 1 1 1 ? ? [log 2 n]. a n a1 2

由已知不等式知,当 n≥3 时有,

∵ a1 ? b,?

2 ? b[log 2 n] 1 1 1 ? ? [log 2 n] ? . an b 2 2b

an ?

2b . 2 ? b[log 2 n]

证法 2:设 f (n) ?

1 1 1 ? ? ? ? ,首先利用数学归纳法证不等式 2 3 n

an ?

b , n ? 3,4,5, ?. 1 ? f (n)b

即当 n=k+1 时,不等式也成立. 由(i)(ii)知, a n ? 、

b , n ? 3,4,5, ?. 1 ? f (n)b
b 1 1 ? [log 2 n]b 2 ? 2b , n ? 3,4,5, ?. 2 ? b[log 2 n]

又由已知不等式得

an ?

(Ⅱ)有极限,且 lim a n ? 0.
n ??

(Ⅲ)∵

2b 2 2 1 ? ,令 ? , 2 ? b[log 2 n] [log 2 n] [log 2 n] 5
10

则有 log 2 n ? [log 2 n] ? 10, ? n ? 2

? 1024,

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故取 N=1024,可使当 n>N 时,都有 a n ?

1 . 5

7. (2005 湖南卷)已知数列 {log 2 (a n ? 1)}n ? N * ) 为等差数列,且 a1 ? 3, a3 ? 9. (Ⅰ)求数列 {a n } 的通项公式; (Ⅱ)证明

1 1 1 ? ??? ? 1. a 2 ? a1 a3 ? a 2 a n ?1 ? a n

8. (2005 湖南卷)自然状态下的鱼类是一种可再生资源,为持续利用这一资源,需从 宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响. 用 xn 表示某鱼群在第 n 年年初的 总量,n∈N*,且 x1>0.不考虑其它因素,设在第 n 年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与 xn 成正比,死亡量与 xn2 成正比,这些比例系数依次为正常数 a,b,c. (Ⅰ)求 xn+1 与 xn 的关系式; (Ⅱ)猜测:当且仅当 x1,a,b,c 满足什么条件时,每年年初鱼群的总量保持不变? (不 要求证明) (Ⅱ)设 a=2,b=1,为保证对任意 x1∈(0,2) ,都有 xn>0,n∈N*,则捕捞强度 b 的 最大允许值是多少?证明你的结论. 解(I)从第 n 年初到第 n+1 年初,鱼群的繁殖量为 axn,被捕捞量为 bxn,死亡量为
2 2 cx n ,因此x n ?1 ? x n ? ax n ? bx n ? cx n , n ? N * .(*)

即x n ?1 ? x n (a ? b ? 1 ? cx n ), n ? N * .(**)
(II)若每年年初鱼群总量保持不变,则 xn 恒等于 x1, n∈N*,从而由(*)式得

x n (a ? b ? cx n )恒等于0, n ? N *, 所以a ? b ? cx1 ? 0.即x1 ?
因为 x1>0,所以 a>b.

a?b . c

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猜测:当且仅当 a>b,且 x1 ?

a?b 时,每年年初鱼群的总量保持不变. c

(Ⅲ)若 b 的值使得 xn>0,n∈N* 由 xn+1=xn(3-b-xn), n∈N*, 知 0<xn<3-b, n∈N*, 特别地,有 0<x1<3-b. 即 0<b<3-x1. 而 x1∈(0, 2),所以 b ? (0,1] 由此猜测 b 的最大允许值是 1. 下证 当 x1∈(0, 2) ,b=1 时,都有 xn∈(0, 2), n∈N* ①当 n=1 时,结论显然成立. ②假设当 n=k 时结论成立,即 xk∈(0, 2), 则当 n=k+1 时,xk+1=xk(2-xk)>0. 又因为 xk+1=xk(2-xk)=-(xk-1)2+1≤1<2, 所以 xk+1∈(0, 2),故当 n=k+1 时结论也成立. 由①、②可知,对于任意的 n∈N*,都有 xn∈(0,2). 综上所述,为保证对任意 x1∈(0, 2), 都有 xn>0, n∈N*,则捕捞强度 b 的最大允 许值是 1. 9. ( 2005 江 苏 卷 ) 设 数 列 { an } 的 前 项 和 为 S n , 已 知 a1=1, a2=6, a3=11, 且

(5n ? 8) S n ?1 ? (5n ? 2) S n ? An ? B , n ? 1,2,3, ?, 其中 A,B 为常数.
(Ⅰ)求 A 与 B 的值; (Ⅱ)证明数列{an}为等差数列; (Ⅲ)证明不等式 5amn ? am an ? 1对任何正整数m、n都成立 . 解:(Ⅰ)由 a1 ? 1 , a2 ? 6 , a3 ? 11 ,得 S1 ? 1 , S2 ? 2 , S3 ? 18 .
? A ? B ? ?28, 把 n ? 1, 2 分别代入 (5n ? 8) Sn ?1 ? (5n ? 2) Sn ? An ? B ,得 ? ?2 A ? B ? ?48 解得, A ? ?20 , B ? ?8 . (Ⅱ)由(Ⅰ)知, 5n( Sn ?1 ? Sn ) ? 8Sn ?1 ? 2Sn ? ?20n ? 8 ,即 ① 5nan ?1 ? 8Sn ?1 ? 2Sn ? ?20n ? 8 , 又 5(n ? 1)an ? 2 ? 8Sn ? 2 ? 2Sn ?1 ? ?20(n ? 1) ? 8 . ② ②-①得, 5(n ? 1)an ? 2 ? 5nan ?1 ? 8an ? 2 ? 2an ?1 ? ?20 , 即 (5n ? 3)an ? 2 ? (5n ? 2)an ?1 ? ?20 . ③ 又 (5n ? 2)an ? 3 ? (5n ? 7)an ? 2 ? ?20 . ④ ④-③得, (5n ? 2)(an ? 3 ? 2an ? 2 ? an ?1 ) ? 0 , ∴ an ? 3 ? 2an ? 2 ? an ?1 ? 0 , ∴ an ? 3 ? an ? 2 ? an ? 2 ? an ?1 ? ? ? a3 ? a2 ? 5 ,又 a2 ? a1 ? 5 ,

因此,数列 ?an ? 是首项为 1,公差为 5 的等差数列. (Ⅲ)由(Ⅱ)知, an ? 5n ? 4, (n ? N? ) .考虑 5amn ? 5(5mn ? 4) ? 25mn ? 20 .

( am an ? 1) 2 ? am an ? 2 am an ? 1 ? am an ? am ? an ? 1 ? 25mn ? 15(m ? n) ? 9 .

∴ 5amn ? ( am an ? 1) 2 厖15(m ? n) ? 29

15 ? 2 ? 29 ? 1 ? 0 .

第 51 页 共 65 页

即 5amn ? ( am an ? 1) 2 ,∴ 5amn ? am an ? 1 . 因此, 5amn ? am an ? 1 . 10. (2005 辽宁卷) 已知函数 f ( x) ?

x?3 ( x ? ?1). 设数列 {a n }满足 a1 ? 1, a n ?1 ? f (a n ) , x ?1
*

数列 {bn }满足 bn ?| a n ? 3 |, S n ? b1 ? b2 ? ? ? bn (n ? N ).

( 3 ? 1) n (Ⅰ)用数学归纳法证明 bn ? ; 2 n ?1
(Ⅱ)证明 S n ?

2 3 . 3
2 ? 1. x ?1
因为 a1=1,

解: (Ⅰ)证明:当 x ? 0时, f ( x) ? 1 ?

所以 a n ? 1(n ? N *). ??????2 分

( 3 ? 1) n 下面用数学归纳法证明不等式 bn ? . 2 n ?1
(1)当 n=1 时,b1= 3 ? 1 ,不等式成立, (2)假设当 n=k 时,不等式成立,即 bk ?

( 3 ? 1) k . 2 k ?1
??????6 分

那么

bk ?1 ?| a k ?1 ? 3 |?

( 3 ? 1) | a k ? 3 | 1 ? ak

?

3 ?1 ( 3 ? 1) k ?1 bk ? . 2 2k

所以,当 n=k+1 时,不等也成立。 根据(1)和(2) ,可知不等式对任意 n∈N*都成立。 ????8 分 (Ⅱ)证明:由(Ⅰ)知, bn ?

( 3 ? 1) n . 2 n ?1

所以

( 3 ? 1) 2 ( 3 ? 1) n S n ? b1 ? b2 ? ? ? bn ? ( 3 ? 1) ? ??? 2 2 n ?1

3 ?1 n ) 1 2 2 ? ( 3 ? 1) ? ????10 分 ? ( 3 ? 1) ? ? 3. 3 ?1 3 ?1 3 1? 1? 2 2 1? (

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2 3. ??????(12 分) 3 1 11. (2005 全国卷Ⅰ) 设正项等比数列 ?a n ? 的首项 a1 ? ,前 n 项和为 S n ,且 2
故对任意 n ? N ? , S n ?

210 S 30 ? (210 ? 1) S 20 ? S10 ? 0 。
(Ⅰ)求 ?a n ? 的通项; (Ⅱ)求 ?nS n ?的前 n 项和 Tn 。

12. (2005 全国卷Ⅰ) 设等比数列 ?a n ? 的公比为 q ,前 n 项和 S n ? 0 (n ? 1,2, ?) 。 (Ⅰ)求 q 的取值范围;

3 a n ?1 ,记 ?bn ?的前 n 项和为 Tn ,试比较 S n 与 Tn 的大小。 2 解: (Ⅰ)因为 {a n } 是等比数列, S n ? 0, 可得a1 ? S1 ? 0, q ? 0. 当 q ? 1时, S n ? na1 ? 0;
(Ⅱ)设 bn ? a n ? 2 ?

当q ? 1时, S n ?

a1 (1 ? q n ) 1 ? qn ? 0, 即 ? 0, (n ? 1, 2,?) 1? q 1? q

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上式等价于不等式组: ? 或?

?1 ? q ? 0,

, (n ? 1,2, ?) n ?1 ? q ? 0




?1 ? q ? 0,

, (n ? 1,2, ?) n ?1 ? q ? 0

解①式得 q>1;解②,由于 n 可为奇数、可为偶数,得-1<q<1. 综上,q 的取值范围是 (?1,0) ? (0,??).

3 3 3 an ?1 得 bn ? a n (q 2 ? q ), Tn ? (q 2 ? q ) S n . 2 2 2 3 1 于是 Tn ? S n ? S n (q 2 ? q ? 1) ? S n (q ? )(q ? 2). 2 2 又∵ S n >0 且-1< q <0 或 q >0 1 当 ?1 ? q ? ? 或 q ? 2 时 Tn ? S n ? 0 即 Tn ? S n 2 1 当 ? ? q ? 2 且 q ≠0 时, Tn ? S n ? 0 即 Tn ? S n 2 1 当 q ? ? 或 q =2 时, Tn ? S n ? 0 即 Tn ? S n 2 13. (2005 全国卷 II) 已知 ?an ? 是各项为不同的正数的等差数列, lg a1 、 lg a2 、 lg a4 成等差
(Ⅱ)由 bn ? aa ? 2 ? 数列.又 bn ?

(Ⅰ) 证明 ?bn ? 为等比数列;

1 , n ? 1, 2,3,? . a2n
7 ,求数列 ?an ? 的首 24
F C
2

(Ⅱ) 如果数列 ?bn ? 前 3 项的和等于

P

项 a1 和公差 d . (I)证明:∵ lg a1 、 lg a2 、 lg a4 成等差数列 ∴2 lg a2 = lg a1 + lg a4 ,即 a2 ? a1a4
2

D E A

又设等差数列 ?an ? 的公差为 d ,则( a1 - d ) = a1 ( a1 - B 3d ) 这样 d 2 ? a1d ,从而 d ( d - a1 )=0 ∵ d ≠0 ∴ d = a1 ≠0 ∴ a2n ? a1 ? (2 ? 1) d ? 2 dbn ?
n n

1 1 1 ? ? n a2n d 2

1 1 ,公比为 的等比数列。 2d 2 1 1 1 7 (II)解。∵ b1 ? b2 ? b3 ? (1 ? ? ) ? 2d 2 4 24 ∴ d =3 ∴ a1 = d =3
∴ ?bn ? 是首项为 b1 = 14.( 2005 全国卷 II) 已知 ?an ? 是各项为不同的正数的等差数列,lg a1 、lg a2 、lg a4 成等差数列. bn ? 又

1 , a2n

第 54 页 共 65 页

n ? 1, 2,3,? .
(Ⅰ) 证明 ?bn ? 为等比数列; (Ⅱ) 如果无穷等比数列 ?bn ? 各项的和 S ?
1 ,求数列 ?an ? 的首项 a1 和公差 d . 3

(注:无穷数列各项的和即当 n ? ? 时数列前 n 项和的极限)

15. (2005 全国卷 III) 在等差数列 {a n } 中,公差 d ? 0, a 2 是a1与a 4 的等差中项. 已知数列 a1 , a3 , a k1 , a k 2 , ? , a k n , ? 成等比数列,求数列 {k n } 的通项 k n . 解:由题意得: a 2 ? a1 a 4 ?????1 分
2

即 (a1 ? d ) ? a1 (a1 ? 3d ) ????3 分
2

又 d ? 0, ? a1 ? d ????4 分 又 a1 , a3 , a k1 , a k 2 , ? , a k n , ? 成等比数列,

第 55 页 共 65 页

∴该数列的公比为 q ? 所以 a k n ? a1 ? 3
n ?1

a3 3d ? ? 3 ,???6 分 a1 d

???8 分

又 a k n ? a1 ? (k n ? 1)d ? k n a1 ??????????????10 分

? k n ? 3 n ?1 所以数列 {k n } 的通项为 k n ? 3 n ?1 ???????????12 分
16. (2005 山东卷) 已知数列 ?an ? 的首项 a1 ? 5, 前 n 项和为 S n ,且 S n?1 ? S n ? n ? 5(n ? N * ) (I)证明数列 ?an ? 1? 是等比数列; (II)令 f ( x) ? a1 x ? a2 x 2 ? ? ? an x n ,求函数 f ( x) 在点 x ? 1 处的导数 f ?(1) 并比较

2 f ?(1) 与 23n 2 ? 13n 的大小.

第 56 页 共 65 页

0 1 n n 当 n ? 3 时, n ? 1 ? 0 又 2n ? ?1 ? 1? ? Cn ? Cn ? ? ? Cn ?1 ? Cn ? 2n ? 2 ? 2n ? 1 n

所以 ? n ? 1? ? 2n ? ? 2n ? 1? ? ? 0 即① ? 0 从而 2 f ?(1) ? 23n 2 ? 13n ? ? 17.(2005 上海)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分, 第 2 小题满分 8 分. 假设某市 2004 年新建住房 400 万平方米,其中有 250 万平方米是中低价房.预计在今后 的若干年内,该市每年新建住房面积平均比上一年增长 8%.另外,每年新建住房中,中低价房的 面积均比上一年增加 50 万平方米.那么,到哪一年底, (1)该市历年所建中低价房的累计面积(以 2004 年为累计的第一年)将首次不少于 4750 万平方米? (2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于 85%? [解](1)设中低价房面积形成数列{an},由题意可知{an}是等差数列, 其中 a1=250,d=50,则 Sn=250n+

n(n ? 1) ? 50 =25n2+225n, 2

令 25n2+225n≥4750,即 n2+9n-190≥0,而 n 是正整数, ∴n≥10. 到 2013 年底,该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于 4750 万平方米. (2)设新建住房面积形成数列{bn},由题意可知{bn}是等比数列, 其中 b1=400,q=1.08,则 bn=400· (1.08)n-1· 0.85. 由题意可知 an>0.85 bn,有 250+(n-1)· 50>400· (1.08)n-1· 0.85. 由计箅器解得满足上述不等式的最小正整数 n=6. 到 2009 年底,当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于 85%. 18. (2005 天津卷) 已知 u n ? a n ? a n ?1b ? a n ? 2 b 2 ? ? ? ab n ?1 ? b n (n ? N ? , a ? 0, b ? 0) . (Ⅰ)当 a ? b 时,求数列 ?u n ? 的前 n 项和 S n ; (Ⅱ)求 lim

un . n ?? u n ?1
① ②

(18)解: (Ⅰ)当 a ? b 时, u n ? (n ? 1)a n .这时数列 {u n } 的前 n 项和

S n ? 2a ? 3a 2 ? 4a 3 ? ? ? na n ?1 ? (n ? 1)a n .
①式两边同乘以 a ,得 ①式减去②式,得 若 a ? 1,

aS n ? 2a 2 ? 3a 3 ? 4a 4 ? ? ? na n ? (n ? 1)a n ?1
(1 ? a ) S n ? 2a ? a 2 ? a 3 ? ? ? a n ? (n ? 1)a n ?1

(1 ? a ) S n ?

a (1 ? a n ) ? (n ? 1)a n ?1 ? a , 1? a

Sn ?

a (1 ? a n ) a ? (n ? 1)a n ?1 (n ? 1)a n ? 2 ? (n ? 2)a n ?1 ? a 2 ? 2a ? ? 1? a (1 ? a ) 2 (1 ? a ) 2

若 a ? 1 , S n ? 2 ? 3 ? ? ? n ? (n ? 1) ?

n(n ? 3) 2

第 57 页 共 65 页

(Ⅱ) (Ⅰ) 当 a ? b 时, n ? (n ? 1)a n , lim 由 , 则 u

un (n ? 1)a n a (n ? 1) ? lim ? lim ? a. n ?? u n ?? n ?? n na n ?1 n ?1

当 a ? b 时, un ? a n ? a n ?1b ? ? ? ab n ?1 ? b n ? a n [1 ?

b b 2 b ? ( ) ? ? ? ( )n a a a

b 1 ? ( ) n ?1 1 a ?a ? (a n ?1 ? b n ?1 ) b a ?b 1? a
n

此时,

un a n ?1 ? b n ?1 . ? u n ?1 an ? bn
b a ? b( ) n a ? a. b n 1? ( ) a

u a n ?1 ? b n ?1 若 a ? b ? 0 , lim n ? lim ? lim n ?? u n ?? a n ? b n n ?? n ?1

u 若 b ? a ? 0 , lim n ?? lim n ?? u n ?? n ?1

a a( ) n ? b b ? b. a n ( ) ?1 b

19. (2005 天津卷)若公比为 c 的等比数列 an }的首项 a1 =1 且满足:an ? { =3,4,?) 。 (I)求 c 的值。 (II)求数列{ nan }的前 n 项和 S n 。

an?1 ? an?2 (n 2

20. (2005 浙江卷)已知实数 a,b,c 成等差数列,a+1,了+1,c+4 成等比数

列,求 a,b,c.
?a ? b ? c ? 15 ?? (1) ? 解:由题意,得 ? a ? c ? 2b??(2) ?(a ? 1)(c ? 4) ? (b ? 1) 2 ??(3) ?
将 c ? 10 ? a 代入(3),整理得 a 2 ? 13a ? 22 ? 0 解得 a ? 2 或 a ? 11 故 a ? 2 , b ? 5, c ? 8 或 a ? 11, b ? 5, c ? ?1 经验算,上述两组数符合题意。 21(2005 浙江卷)设点 An ( xn ,0), Pn ( xn , 2n ?1 ) 和抛物线 Cn :y=x +an x+bn(n∈N*),其
2

由(1)(2)两式,解得 b ? 5

中 an=-2-4n-

1 , xn 由以下方法得到: 2n?1
2 2

x1=1,点 P2(x2,2)在抛物线 C1:y=x +a1x+b1 上,点 A1(x1,0)到 P2 的距离是 A1 到 C1 上点的最短距离, 点 Pn ?1 ( xn ?1 , 2n ) 在抛物线 Cn : ?, y=x +an x+bn 上, An ( xn , 点 0)到 Pn ?1 的距离是 An 到 Cn 上点的最短距离.
第 58 页 共 65 页

(Ⅰ)求 x2 及 C1 的方程. (Ⅱ)证明{ xn }是等差数列.

下面用数学归纳法证明 xn ? 2n ? 1 ①当 n=1 时, x1 ? 1, 等式成立。 ②假设当 n=k 时,等式成立,即 xk ? 2k ? 1, 则当 n ? k ? 1 时,由(*)知 (1 ? 2k ?1 ) xk ?1 ? xk ? 2k ak ?0 又 ak ? ?2 ? 4k ? 2 k ?1 ,
1

xk ? 2k ak ? xk ?1 ? ? 2k ? 1. 1 ? 2k ?1 即当 n ? k ? 1 时,等式成立。 由①②知,等式对 n ? N 成立。 ?{xn } 是等差数列。 22. (2005 重 庆 卷 ) 数 列 {an} 满 足 a1?1 且 8an?1?16an?1?2an?5?0 (n?1) 。 记 1 (n?1)。 bn ? 1 an ? 2 (1) 求 b1、b2、b3、b4 的值; (2) 求数列{bn}的通项公式及数列{anbn}的前 n 项和 Sn。
解法一: (I) a1 ? 1, 故b1 ?

1 1 1? 2

7 1 8 ? 2; a2 ? , 故b2 ? ? 7 1 3 8 ? 8 2

第 59 页 共 65 页

3 1 13 20 a3 ? , 故b3 ? ? 4; a4 ? , 故b4 ? . 3 1 4 20 3 ? 4 2 4 4 2 8 4 (II)因 (b1 ? )(b3 ? ) ? ? ? ( ) 2 , 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 (b2 ? ) 2 ? ( ) 2 , (b1 ? )(b3 ? ) ? (b2 ? ) 2 3 3 3 3 3 4 2 故猜想 {bn ? }是首项为 , 公比q ? 2的等比数列. 3 3

解法二: (Ⅰ)由 bn ?

1 1 an ? 2

得an ?

1 1 ? , 代入递推关系8an ?1an ? 16an ?1 ? 2an ? 5 ? 0, bn 2

整理得

4 6 3 4 ? ? ? 0, 即bn ?1 ? 2bn ? , bn ?1bn bn ?1 bn 3

8 20 由a1 ? 1, 有b1 ? 2, 所以b2 ? , b3 ? 4, b4 ? . 3 3 4 4 4 4 2 (Ⅱ)由 bn ?1 ? 2bn ? , bn ?1 ? ? 2(bn ? ), b1 ? ? ? 0, 3 3 3 3 3 4 2 所以 {bn ? }是首项为 , 公比q ? 2的等比数列 3 3 4 1 n 1 4 故 bn ? ? ? 2 , 即bn ? ? 2n ? ( n ? 1). 3 3 3 3

第 60 页 共 65 页

由 bn ?

1 an ? 1 2

得 an bn ?

1 bn ? 1 2

1 (1 ? 2n ) 1 5 3 故 S n ? a1b1 ? a2b2 ? ? ? anbn ? (b1 ? b2 ? ? ? bn ) ? n ? ? n 2 1? 2 3 1 ? (2n ? 5n ? 1) 3
解法三:

因b2 ? b1 ?

2 1 ? 0,{bn ?1 ? bn }是公比q ? 2的等比数列, bn ?1 ? bn ? ? 2n , 3 3

从而 bn ? (bn ? bn ?1 ) ? (bn ?1 ? bn ? 2 ) ? ? ? (b2 ? b1 ) ? b1

1 ? (2n ?1 ? 2n ? 2 ? ? ? 21 ) ? 2 3 1 n 1 4 ? (2 ? 2) ? 2 ? ? 2n ? ( n ? 1). 3 3 3 1 1 由bn ? 得anbn ? bn ? 1, 1 2 an ? 2
故 S n ? a1b1 ? a2b2 ? ? ? anbn ?

1 (b1 ? b2 ? ? ? bn ) ? n 2

第 61 页 共 65 页

1 (1 ? 2n ) 5 1 ?3 ? n ? (2n ? 5n ? 1). 1? 2 3 3
23. (2005 重庆卷)数列{an}满足 a1 ? 1且a n ?1 ? (1 ? (Ⅰ)用数学归纳法证明: a n ? 2(n ? 2) ; ( Ⅱ ) 已 知 不 等 式 ln(1 ? x) ? x对x ? 0成立, 证明 : a n ? e 2 (n ? 1) , 其 中 无 理 数 e=2.71828?. (Ⅰ)证明: (1)当 n=2 时, a 2 ? 2 ? 2 ,不等式成立. (2)假设当 n ? k (k ? 2) 时不等式成立,即 a k ? 2(k ? 2),

1 1 )a n ? n (n ? 1) . n ?n 2
2

即 ln a n ? 2, 故a n ? e 2 (Ⅱ)证法二:

(n ? 1).

由数学归纳法易证 2 ? n(n ? 1)对n ? 2 成立,故
n

a n ?1 ? (1 ?

1 1 1 1 )a n ? n ? (1 ? an ? n(n ? 1) n(n ? 1) n ?n 2
2

(n ? 2).

第 62 页 共 65 页

令 bn ? a n ? 1

(n ? 2), 则bn ?1 ? (1 ?

1 )bn n(n ? 1)

(n ? 2).

取对数并利用已知不等式得

ln bn ?1 ? ln(1 ?

1 ) ? ln bn n(n ? 1)

? ln bn ?

1 n(n ? 1)

(n ? 2). 1 1 1 ? ??? 1? 2 2 ? 3 n(n ? 1)

上式从 2 到 n 求和得

ln bn ?1 ? ln b2 ?

? 1?

1 1 1 1 1 ? ? ??? ? ? 1. 2 2 3 n ?1 n
(n ? 2).

因 b2 ? a 2 ? 1 ? 3.故 ln bn ?1 ? 1 ? ln 3, bn ?1 ? e1? ln 3 ? 3e

故 a n ?1 ? 3e ? 1 ? e 2 , n ? 2, 又显然a1 ? e 2 , a 2 ? e 2 , 故a n ? e 2 对一切n ? 1 成立 24. ( 2005 江 西 卷 ) 已 知 数 列 {an} 的 前 n 项 和 Sn 满 足 Sn - Sn


1 3 (? ) n ?1 (n ? 3), 且S1 ? 1, S 2 ? ? , 求数列{an}的通项公式. 2 2 1 1 解:方法一:先考虑偶数项有: S 2 n ? S 2 n ? 2 ? 3 ? (? ) 2 n ?1 ? ?3 ? ( ) 2 n ?1 2 2 1 2 n ?3 1 S2 n ? 2 ? S 2 n ? 4 ? 3 ? (? ) ? ?3 ? ( ) 2 n ? 3 2 2
2=3

???

1 1 S 4 ? S 2 ? 2 ? ( ? ) 3 ? ?3 ? ( ) 3 . 2 2
1 1 1 1 1 1 1 ? S 2 n ? S 2 ? 3[( ) 2 n ?1 ? ( ) 2 n ?3 ? ? ? ( )3 ] ? ?3[( ) 2 n ?1 ? ( ) 2 n ?3 ? ? ? ( )3 ? ] 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 n ? ( ) 1 1 1 1 ? ?3 ? 2 2 4 ? ?4[ ? ? ( ) n ] ? ?2 ? ( ) 2 n ?1 ( n ? 1). 1 2 2 4 2 1? 4
同理考虑奇数项有: S 2 n ?1 ? S 2 n ?1 ? 3(? ) 2 n ? 3 ? ( ) 2 n .

S 2 n ?1 ? S2 n ?3
???

1 1 2 2 1 1 ? 3 ? (? ) 2 n ? 2 ? 3 ? ( ) 2 n ? 2 2 2

1 1 S 3 ? S1 ? 3 ? ( ? ) 2 ? 3 ? ( ) 2 . 2 2

第 63 页 共 65 页

1 1 1 1 ? S 2 n ?1 ? S1 ? 3[( ) 2 n ? ( ) 2 n ? 2 ? ? ? ( ) 2 ] ? 2 ? ( ) 2 n ( n ? 1). 2 2 2 2 1 2n 1 2 n ?1 1 ? a2 n ?1 ? S 2 n ?1 ? S 2 n ? 2 ? ( ) ? (?2 ? ( ) ) ? 4 ? 3 ? ( ) 2 n ( n ? 1). 2 2 2 1 1 1 a2 n ? S 2 n ? S 2 n ?1 ? ?2 ? ( ) 2 n ? (2 ? ( ) 2 n ?1 ) ? ?4 ? 3 ? ( ) 2 n ?1 ( n ? 1). 2 2 2 a1 ? S1 ? 1.

1 n ?1 ? ?4 ? 3 ? ( 2 ) , n为奇数, ? 综合可得 a n ? ? ?? 4 ? 3 ? ( 1 ) n ?1 , n为偶数. ? 2 ?
方法二:因为 S n ? S n ?2 ? a n ? a n ?1所以a n ? a n ?1 ? 3 ? (? ) n ?1 (n ? 3), 两边同乘以 (?1) ,可得:
n

1 2

1 1 (?1) n a n ? (?1) n ? 1 a n ? 1 ? 3 ? (?1) n ? (? ) n ? 1 ? ?3 ? ( ) n ? 1 . 2 2
令 bn ? (?1) n a n ,? bn ? bn ?1 ? ?3 ? (? ) n ?1 (n ? 3). 所以 bn ? bn ?1 ? ?3 ? (? ) n ?1 ,

1 2

1 2

1 bn ?1 ? bn ? 2 ? ?3 ? (? ) n ? 2 , 2
???

1 b3 ? b2 ? ?3 ? (? ) 2 , 2

1 1 1 n?2 ? ?( ) 1 n ?1 1 n ? 2 1 2 ? bn ? b2 ? 3[( ) ? ( ) ? ? ? ( ) ] ? b2 ? 3 ? 4 4 2 1 2 2 2 1? 2 3 1 ? b2 ? ? 3 ? ( ) n ?1 (n ? 3). 2 2
又? a1 ? S1 ? 1, a2 ? S 2 ? S1 ? ?

3 5 ?1 ? ? , 2 2

? b1 ? (?1)1 a1 ? ?1, b2 ? (?1) 2 a2 ? ?

5 2

5 3 1 1 ? ? 3 ? ( ) n ?1 ? ?4 ? 3 ? ( ) n ?1 ( n ? 1) 2 2 2 2 1 ∴ an ? (?1) n bn ? ?4(?1) n ? 3 ? (?1) n ? ( ) n ?1 2
∴ bn ? ?

第 64 页 共 65 页

1 n ?3 ? ?4 ? 3 ? ( 2 ) , n为奇数, ? ?? ??4 ? 3 ? ( 1 ) n ?1 , n为偶数. ? ? 2
25. (2005 江西卷) 已知数列 {a n }的各项都是正数, 且满足 : a0 ? 1, an ?1 ? (1)证明 an ? an ?1 ? 2, n ? N ; (2)求数列 {a n } 的通项公式 an.

1 an , (4 ? an ), n ? N . 2

方法二:用数学归纳法证明: 1°当 n=1 时, a 0 ? 1, a1 ? 2°假设 n=k 时有 a k ?1 令 f ( x) ?

1 3 a 0 (4 ? a 0 ) ? , ∴ 0 ? a 0 ? a1 ? 2 ; 2 2 ? a k ? 2 成立,

1 x(4 ? x) , f (x) 在[0,2]上单调递增,所以由假设 2 1 1 1 有: f (a k ?1 ) ? f (a k ) ? f (2), 即 a k ?1 (4 ? a k ?1 ) ? a k (4 ? a k ) ? ? 2 ? (4 ? 2), 2 2 2 也即当 n=k+1 时 a k ? a k ?1 ? 2 成立,所以对一切 n ? N , 有a k ? a k ?1 ? 2 1 1 (2)下面来求数列的通项: a n ?1 ? a n (4 ? a n ) ? [?(a n ? 2) 2 ? 4], 所以 2 2 2 2(a n ?1 ? 2) ? ?(a n ? 2) 1 2 1 1 2 1 1 1 2 2 令bn ? a n ? 2, 则bn ? ? bn ?1 ? ? (? bn ? 2 ) 2 ? ? ? ( ) 2 bn ?1 ? ? ? ?( )1? 2??? 2 bn 2 2 2 2 2 2
2 n ?1

n

, 又 bn=-1,所以 bn ? ?( ) 2

1 2

n

?1

1 n , 即a n ? 2 ? bn ? 2 ? ( ) 2 ?1 2

第 65 页 共 65 页


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