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12.4互斥事件的概率的加法公式(一)


12.4 概率的加法公式

复习回顾
⑴样本空间
随机试验的一切可能结果构成的集合

⑵随机事件
样本空间的任一个子集

⑶基本事件
样本空间的元素

一、基本概念
1.1互斥事件
问题1:抛掷一颗骰子,观察掷出的点数.设事件A 为“出现

奇数点”,B为“出现2点”.事件A和事 不可能同时发生 件B可以同时发生吗?
我们把不可能同时发生的两个事件A、B叫做互斥事 件.(或互不相容事件). 我们知道任何事件都可以看成是由基本事件为元素构 成的集合,如果A、B互斥,则A ? B ? _____ ? 事件A、B互斥 集合A、B的交为空集 判断

1.2事件的并:
由事件A和B至少有一个发生(A发生,或B发生,或A、B都 发生)所构成的事件C,称为事件A与B的并事件(或和事件) 记作C=A∪B(或C=A+B).事件A∪B是由事件A或B所包含的 基本事件所组成的集合. 如图中阴影部分所表示的就是A∪B.

练习2.求下列事件的和事件
抛掷一颗骰子,观察掷出的点数.

⑴ 事件A为“出现1点”,B为“出现5点”求A∪B
⑵设事件A为“出现奇数点”,B为“出现2点或3点”,求 A∪B ⑶事件A表示某地区的年降水量在100-150 mm范围内, 事件B表示降水量在150-200 mm范围内,求A∪B ⑷从不包括大小王的52张扑克牌中随机抽取一张,事 件A为“取到红桃”,事件B为“取到方片”,求A∪B ⑸甲、乙2人下棋,A为“下成和棋”,B为“乙获胜”求 A∪B

1.3对立事件:
若A∩B为不可能事件,A∪B为必然事件,那么称事件A与 事件B互为对立事件,事件A的对立事件记作: A ,这里

B?A

例如:抛掷一颗骰子,观察掷出的点数.设事件A为“出现 奇数点”,事件B为“出现偶数点”. A∩B为不可能事件,A∪B为必然事件,所以事件A和B互为 对立事件 问:互为对立的两个事件一定是互斥事件吗? 是

练习1.判断下列给出的每对事件,(1)是否为互斥 事件,(2)是否为对立事件,并说明理由.
从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花,点数从1到10各4张) 中任取1张: (1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”; (2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”; (3)“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”.

解:

(1)是互斥事件 (2)是互斥事件 (3)不是互斥事件

不是对立事件 是对立事件 不是对立事件

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所以对立事件一定是互斥事件,而互斥事件不一定是对立事件.

例1、抛掷一颗骰子,观察掷出的点数.设事件A为“出现 1 1 2点”,B为“出现奇数点”.已知P(A)= ,P(B)= ,求 6 2 “出现奇数点或2点”的概率. 解:A、B是互斥事件.样本空间 Ω= {1,2,3,4,5,6}

A ? {2}, B ? {1,3,5}, A ? B ? {1,2,3,5},
Ω的基本事件总数n=6,事件A、B、A∪B的基本事件数分 别为1,3,4. 1 3 4 2 P( A) ? , P( B) ? , P( A ? B) ? ? 6 6 6 3

即:P( A ? B) ? P( A) ? P( B)

大量实验证实,上述公式对任意两个互斥事件A、B都 成立.即:

P( A ? B) ? P( A) ? P( B)

二、互斥事件的概率加法公式
更一般地,如果事件 A1 , A2 ,?, An 两两互斥,那么事 “ 件 A1 ? A2 ? ? ? An ” 发生的概率,等于这n个事件分别 发生的概率之和,即:

P( A1 ? A2 ? ? ? An ) ? P( A1 ) ? P( A2 ) ? ? ? P( An )
该公式叫做互斥事件的概率的加法公式.
下面利用上述公式,来看看一个例子

例2、某地区的年降水量,在100-150 mm范围内的概率是 0.12,在150-200 mm范围内的概率是0.25,在200-250 mm 范围内的概率是0.16,在250-300 mm范围内的概率是 0.14.计算年降水量在100-200 mm范围内的概率与在 150-300 mm范围内的概率. 解:记这个地区的年降水量在100-150 mm,150-200 mm,200-250 mm,250-300 mm范围内分别为事件A、B、C、 D.这四个事件是彼此互斥的.根据公式得 年降水量在100-200 mm范围内的概率是: P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.12+0.25=0.37 年降水量在150-300 mm范围内的概率是: P(B∪C∪D)=P(B)+P(C)+P(D)=0.25+0.16+0.14=0.55

3.我国西部一个地区的年降水量在下列区间内的概率如下表所示:
年降水量 /mm 概率 [100,150) 0.21 [150,200) 0.16 [200,250) 0.13 [250,300] 0.12

则年降水量在[200,300](mm)范围内的概率为多少? 0.25

2.1思想方法
在求某些较为复杂事件的概率时,先将它分解 为一些较为简单的、并且概率已知(或较容易求 出)的彼此互斥的事件,然后利用概率的加法公 式求出概率.因此互斥事件的概率加法公式具有 “化整为零、化难为易”的功效,但需要注意的 是使用该公式时必须检验是否满足它的前提条 件“彼此互斥”.

2.2反概率公式
若事件A的对立事件为A,则P(A)=1-P(A). 证明:事件A与A是互斥事件,所以P(A∪A)=P(A)+P(A), 又A∪A=Ω, 而由必然事件得到P(Ω)=1,故P(A)=1-P(A).

P(A)=1-P(A) 用途:当我们求P(A)有困难时,常可以转化为求P(A).
利用上述公式,我们来看看下面的例子

例3、如果从不包括大小王的52张扑克牌中随机抽取一 张,那么取到红桃(事件A)的概率是1/4,取到方片(事件B) 的概率是1/4.问: (1)取到红色牌(事件C)的概率是多少?
(2)取到黑色牌(事件D)的概率是多少? 解:(1)因为C=A∪B,且A与B不会同时发生,所以A与B是 互斥事件.根据概率的加法公式,得:

P(C)=P(A)+P(B)=1/2 (2)C与D也是互斥事件,又由于C∪D为必然事件,所以C 与D互为对立事件,所以
P(D)=1-P(C)=1/2

三、巩固练习
1 1 1.甲、乙2人下棋,下成和棋的概率是 ,乙获胜的概率是 2 3
则甲不胜的概率是(

B)
1 C. 6 2 D. 3

1 A. 2

5 B. 6

2.抽查10件产品,设事件A:至少有两件次品,则A的对立事件为 (

B)
A.至多两件次品 B.至多一件次品

C.至多两件正品

D.至少两件正品

3.某产品分甲、乙、丙三级,其中乙、丙两级均属次品,若生产中

出现乙级品的概率为0.03、丙级品的概率为0.01,则对成品抽查
一件抽得正品的概率为( A.0.09

D)
C.0.97 D.0.96

B.0.98

4.某射手射击一次击中10环、9环、8环的概率分别0.3,0.3,0.2, 那么他射击一次不够8环的概率是 0.2 。 5.某射手在一次射击中射中10环、9环、8环、7环、7环以下的概 率分别为0.24、0.28、0.19、0.16、0.13.计算这个射手在一次 射击中: 0.52 (1)射中10环或9环的概率; (2)至少射中7环的概率; 0.87 (3)射中环数不足8环的概率. 0.29

四、课堂小结
1、互斥事件、并事件、对立事件的基本概念.
2、互斥事件概率的加法公式及运用.

五、作业
课堂作业: 课本218页A组第2题和219页B组第1题 ②课外作业: 导学练相应部分


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