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3.4.5 函数的基本性质【杨高】


第三章 函数的基本性质

3.4.4 函数的基本性质

3.4.5 函数的基本性质
最值

一、函数最值定义 一般地,设函数 f ( x ) 在 x 0 处的函数值为 f ( x 0 ) 如果对于定义域内的任意 x ,都成立
f ( x ) ? f ( x0 )

那么 f (

x 0 ) 叫做函数的最小值,记作 y min ? f ( x 0 ) 如果对于定义域内的任意 x ,都成立
f ( x ) ? f ( x0 )

那么 f ( x 0 ) 叫做函数的最大值,记作 y max ? f ( x 0 )

思考 根据定义,函数

y ? C, x ? R

是否存在最值?

例1.求下列函数的最大值或最小值. 2 2 (1) y ? x ? x ? 1 (2) y ? ? x ? 2 x ? 3 (3) f ( x ) ? x ? , x ? 0
x 1

(4) f ( x ) ? ? x ? , x ? 0
x

4

解: (1) y ? ( x ? ) ?
2

1

3 4

2

?

3 4

? y |x ? 1

2

y 因此, min ? y | x ? ?
1 2

3 4

, y 在 R 上没有最大值.

(2) y ? ? ( x ? 1) ? 4 ? 4 ? y | x ?1
2

y 因此, max ? y | x ?1 ? 4 , y 在 R 上没有最小值.

例1.求下列函数的最大值或最小值. 2 2 (1) y ? x ? x ? 1 (2) y ? ? x ? 2 x ? 3 (3) f ( x ) ? x ? , x ? 0
x 1

(4) f ( x ) ? ? x ? , x ? 0
x

4

解: (3) ? x ? 0, ? f ( x ) ? x ?

1 x

? 2 x?

1 x

? 2 ? f (1)

因此,min ? f (1) ? 2 , f ( x ) 在 (0, ?? ) 上没有最大值. f (4) f ( x ) ? ? ( x ? ) ? ? 2 x ?
x 4
4 x ? ? 4 ? f (2)

因此, max ? f (2) ? ? 4 , f ( x ) 在(0, ?? ) 上没有最小值. f

思考 如果函数 f ( x ) 是闭区间 f ( x) 那么 的最值是多少?
y

[ a , b ] 上的单调函数,

y ? f ( x)

y

y ? f ( x)

O

a

b

x

O

a

b

x

f max ? f (b ), f min ? f ( a )

f max ? f ( a ), f min ? f ( b )

证:仅证单调增函数的情形.
? a ? x ? b ? f ( a ) ? f ( x ) ? f (b ) ? a ? x ? b ? f ( a ) ? f ( x ) ? f (b )

因此 f max ? f (b ), f min ? f ( a ) 证毕

二、函数的最值与单调性
y

y ? f ( x)

y

y ? f ( x)

O

a

b

x

O

a

b

x

f max ? f (b ), f min ? f ( a )

f max ? f ( a ), f min ? f ( b )

闭区间上的单调函数,必在区间端点
处取到最值.

例2.求下列函数的最大值或最小值. (1) f ( x ) ? x 2 ? 2 x ? 1, x ? [0, 3] (2)
f ( x ) ? ? x ? 3 x ? 4, x ? [2, 3]
2 2

(3) f ( x ) ? x ? 2 x , x ? [ ? 2, 3] 解:(1) f ( x ) ? ( x ? 1) 2 , x ? [0, 3] 是单调增函数.
f 因此 f min ? f (0) ? 1 ,max ? f (3) ? 16
3 2 25 4

(2) f ( x ) ? ? ( x ? ) ?
2

, x ? [2, 3] 是单调减函数.

f 因此 f min ? f (3) ? 4 , max ? f (2) ? 6

例2.求下列函数的最大值或最小值. (3) f ( x ) ? x 2 ? 2 x , x ? [ ? 2, 3] 2 解: f ( x ) ? ( x ? 1) ? 1, x ? [ ? 2, 3] f ( x ) 在 [ ? 2,1] 上是单调减函数; f ( x ) 在 [1, 3] 上是单调增函数.
x
f ( x)

y

[ ? 2,1]

[1, 3]
1
?2

O

3

x

f min ? f (1) ? ? 1
f max ? max{ f ( ? 2), f (3)} ? 8

解毕

三、最值与值域 例3.根据下列函数图像,写出函数的最值与值域.
y
5
4
3

值域为 [1, 5] 最大值为 5 最小值为 1 值域为 [0, 5] 最大值为 5 最小值为 0
3

2
1

O

1

2

3

5

6

x

y
5

1

?2

O

x

三、最值与值域 例3.根据下列函数图像,写出函数的最值与值域.
y
5

值域为 [1, 2) ? (3, 5] 最大值为 5

3

2
1

最小值为 1
1 2
3

O

6

x

y

无限上升

值域为 (0, ?? ) 最大值不存在 最小值不存在

O

2

x

三、最值与值域 例3.根据下列函数图像,写出函数的最值与值域.
y
2

无限趋近于 x 轴,但与 x 轴不相交

O

1

x

值域为 (0, 2] ,最大值为 2 ,最小值不存在

思考 你认为函数的最值与值域的联系和 区别是什么?


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