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福建省泉州市2015届高三3月教学质量检查数学(文)试题


准考证号 (在此卷上答题无效)

姓名

保密★启用前

泉州市 2015 届普通中学高中毕业班质量检查

文 科 数 学

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题) .本试卷共 6 页,满分 150 分.考试时间 120 分钟. 注意事项: 1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.考生作答时,将答案答在答题卡上.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超 出答题区域书写的答案无效.在草稿纸、试题卷上答题无效. 3.选择题答案使用 2B 铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号;非选择 题答案使用 0.5 毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整、笔迹清楚. 4.保持答题卡卡面清洁,不折叠、不破损.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 参考公式: 样本数据 x1 、 x2 、?、 xn 的标准差:

s?

1 ?( x1 ? x)2 ? ( x2 ? x)2 ??? ? xn ? x ?? ? ,其中 x 为样本平均数; n

柱体体积公式: V ? Sh ,其中 S 为底面面积, h 为高;

1 Sh ,其中 S 为底面面积, h 为高; 3 4 3 2 球的表面积、体积公式: S ? 4? R , V ? ? R ,其中 R 为球的半径. 3
锥体体积公式: V ?

第Ⅰ卷(选择题
符合题目要求的. 1.下列所给的函数中,定义域为 [0,??) 的是
·1 ·

共 60 分)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是

A. y ?

1 x

1

B. y ? x 2

C . y ? 3? x

D. y ? lg x

2.下列四个图象中,两个变量具有正相关关系的是

2 3.若集合 A ? {x x ? 1} , B ? {x x ? 2 x ? 0} ,则 A ? B ?

A. (?1,2) 4.若 tan ? ? 2 ,则 A. ? 3

B. (0,1)

C. (0,2)

D. (1,2)

sin ? ? cos ? 等于 sin ? ? cos ? 1 B. ? 3

C.

1 3

D. 3

5.若向量 a , b 不共线,则下列各组向量中,可以作为一组基底的是 A. a ? 2b 与 ?a ? 2b B. 3a ? 5b 与 6a ? 10b C. a ? 2b 与 5a ? 7b D. 2a ? 3b 与

1 3 a? b 2 4

? x3 , x ? 0, ? 6.已知函数 f ( x) ? ? log x , x ? 0, 则方程 f ( x) ? ?1 解的个数为 1 ? ? 3
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

7. “ a ? 1 ”是“直线 ax ? (2 ? a) y ? 3 ? 0 与 x ? ay ? 2 ? 0 垂直”的 A.充分而不必要条件 C.充要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

8.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序.若输出的结果为 断框中应填入 A. n ? 3? C. n ? 4 ?
2 2

1 ,则判 2

B. n ? 3? D. n ? 4 ?
2 2

9 . 若 双 曲 线 x ? y ? 1 与 椭 圆 tx ? y ? 1 有 相 同 的 焦 点 , 则 椭 圆

·2 ·

tx 2 ? y 2 ? 1的离心率为
A.

3 2

B.

2 3

C.

6 3

D.

2 3 3

10.已知 a , b 为两条互不垂直 的异面直线, a ? ? , b ? ? . 下列四个结论中,不可能 成立的是 ...... ... A. b // ? C. ? // ? B. b ? ? D. ? ? ?

11.函数 y ? f ? x ? 的图象如图所示,则函数 f ( x ) 有可能是 A. x sin ?

? 1 ? 2 ? ?x ? ? 1 ? 2 ? ?x ? ? 1 ? 2 ? ?x ? ? 1 ? 2 ? ?x ?

B. x cos ?

C. x sin ?

2

D. x cos ?

2

2 2 12.直线 y ? k ( x ? m)( k , m ? R 且 k ? 0 )与圆 x ? y ? 1交于 A, B 两点,记以 Ox 为始边( O 为

坐标原点) , OA, OB 为终边的角分别为 ? , ? ,则 sin ?? ? ? ? 的值 A.只与 m 有关 C.与 m , k 都有关 B.只与 k 有关, D.与 m , k 都无有关

第Ⅱ卷(非选择题
1? i 等于__________. ( i 是虚数单位) 1? i

共 90 分)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.将答案填在答题卷的相应位置. 13.复数

? 14.已知 ?ABC 中, AB ? 3 , AC ? 5 , A ? 120 ,则 BC 等于__________.

·3 ·

? x ? 4, y ? 15.若实数 x, y 满足约束条件 ? y ? 1, 则 的取值范围是 ?3 x ? y ? 6 ? 0, x ?



16.关于圆周率 ? ,数学发展史上出现过许多很有创意的求法,如著名的蒲丰实验.借鉴其原理, 我们也可以采用计算机随机数模拟实验的方法来估计 ? 的值: 先由计算机产生 1200 对 0 1 之间 的均匀随机数 x, y ;再统计两个数能与 1 构成钝角三角形三边的数对 ( x, y ) 的个数 m ;最后再 根据统计数 m 来估计 ? 的值. 假如统计结果是 m ? 340 , 那么可以估计 ? ? _____________. (精 确到 0.001 )

三、解答题:本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分)已知:等差数列 ?an ? 中, a3 ? 5 , a5 ? 9 . (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)若 bn ? 2 n , Sn 是数列 {bn } 的前 n 项和,试求满足 Sn ? 2015 的最小正整数 n .
a

18.(本题满分 12 分)某校为了解高一年段学生的体重情况,先按性别分层抽样获取样本,再从样本 中提取男、女生体重数据,最后绘制出如下图表. 已知男生体重在 [50,62) 的人数为 45 .

(Ⅰ)根据以上图表,计算体重在 [56,60) 的女生人数 x 的值; (Ⅱ)若从体重在 [66,70) 的男生和体重在 [56,60) 的女生中选取 2 人进行复查,求男、女生各
·4 ·

有一人被选中的概率; (Ⅲ)若体重在 [50,54) , [54,58) , [58,62) 的男生人数比为 3 : 5 : 7 ,试估算高一年段男生的 平均体重. 19. (本小题满分 12 分)已知函数 f ? x ? ? 2 3 sin (Ⅰ)若 f ?? ? ?

x x x cos ? 2sin 2 ? 1 . 2 2 2

6 ?? ? ,求 cos ? ? ? ? 的值; 5 ?3 ?

(Ⅱ)把函数 f ? x ? 图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变) ,再将所得图象向 左平移 m ? m ? 0? 个单位,得到函数 g ? x ? 的图象.若函数 g ? x ? 为偶函数,求 m 的最小 值.

20. (本题满分 12 分)

ED ? 平面 ABCD ,ED // FC , 在如图 1 所示的多面体 ABCDEF 中, 四边形 ABCD 是正方形,

ED ?

1 FC , M 是 AF 的中点. 2 (Ⅰ)求证: EM // 平面 ABCD ; (Ⅱ)求证:平面 AEF ? 平面 FAC ;
(Ⅲ)若图 2 是该多面体的侧视图,求四棱锥 A ? CDEF 的体积.

21. (本题满分 12 分) 已知抛物线 G : y ? 2 px ? p ? 0? 的焦点到准线的距离为 2 ,过点 Q ? a,0?? a ? 0? 的直线 l 交抛
2

物线 G 于 A, B 两点(如图所示) .

·5 ·

(Ⅰ)求抛物线 G 的方程; (Ⅱ)有人发现,当点 Q 为抛物线的焦点时,

1 1 的值与直线 l 的方向无关.受其启发, ? QA QB
的值也与直线 l 的方向无关.

你能否找到一个点 Q ,使得

1 QA
2

?

1 QB
2

22. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ax ? b , g ( x) ? e x ( a, b ? R ) , h( x) 为 g ( x) 的反函数. (Ⅰ)若函数 y ? f ( x) ? g ( x) 在 x ? 1 处的切线方程为 y ? (1 ? e) x ? 2 ,求 a , b 的值; (Ⅱ)当 b ? 0 时,若不等式 f ( x) ? h( x) 恒成立,求 a 的取值范围; (Ⅲ)当 a ? b 时,若对任意 x0 ? (??,0] ,方程 f ( x) ? h( x) ? g ( x0 ) 在 (0, e] 上总有两个不等 的实根,求 a 的最小值.

·6 ·

泉州市 2015 届普通中学高中毕业班质量检查 文科数学试题参考解答及评分标准

说明: 一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法供参考,或受篇幅 限制、或考虑问题还不够周全,遇多种解法时,一般提供最能体现试题考查意图的最常规和最典型 的解法.如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细 则. 二、对解答题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和 难度,可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应给分数的一半;如果后 继部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数.选择题和填空题不给中间分.

一、选择题:本大题考查基础知识和基本运算.每小题 5 分,满分 60 分. 1.B 7.A 2.D 8.A 3.B 9.C 4.D 10.B 5.C 11.A 6.C 12.B

部分试题考查意图说明: 第 5 题 考查基底概念——不共线,平面向量的运算. 第 6 题 考查分段函数、分类整合思想、对数运算. 第 7 题 考查直线与直线位置关系和充要每件概念,考查运算求解能力. 第 8 题 考查程序框图、对数运算,考查运算求解能力与推理论证能力. 第 9 题 考查椭圆与双曲线的方程和性质,考查运算求解能力. 第 10 题 考查空间线面位置关系及异面直线的概念,考查空间想象能力和推理论证能力. 第 11 题 考查三角函数和函数的奇偶性、 单调性, 考查推理论证和抽象概括能力, 考查创新意识,
·7 ·

考查函数与方程思想、数形结合思想、有限与无限思想以及特殊与一般思想等. 根据图象的对称 性和函数的奇偶性先排除 C , D 选项;当 x ??? 时,

1 1 1 ? 0 且 2 ? 0 , cos 2 ? 1 , 2 x x x

? 1 ? x cos ? 2 ? ? x ? ?? ,排除 B.也可根据单调性,确定 A 或排除 B. ?x ?
第 12 题 显性考查直线与圆的位置关系,隐性考查三角函数的定义以及两角和的三角函数公式, 考查推理论证和抽象概括能力以及创新意识,考查数形结合思想、特殊与一般思想、分类与整合 思想等. 可考察直线 y ? ?

1 ? ?? ? ?? x 与圆的交点, 得到 sin 与 cos 的表达式; 可考虑按 k 定 k 2 2

特殊化地考察 sin ?? ? ? ? 的值; 也可通过作图, 分析 ? , ? 与倾斜角 ? 的 m 变与 k 变 m 定分类, 关系判断答案.

二、填空题:本大题考查基础知识和基本运算.每小题 4 分,满分 16 分. 13. i ; 14. 7 ; 15. [ , ] ;

1 3 4 2

16. 3.133 .

部分试题考查意图说明: 第 16 题 本题综合考查线性规划、随机模拟方法、几何概型等知识,体现对数据处理能力的考 查,体现对以频率估计概率的统计思想的考查,体现对必然与或然思想的考查。 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.本小题主要考查等差数列、等比数列等基础知识,考查运算求解能力与推理论证能力,考查函 数与方程思想等.满分 12 分. 解: (Ⅰ)设等差数列 ?an ? 的公差为 d , 因为 a3 ? 5 , a5 ? 9 , 所以 a5 ? a3 ? 2d ? 9 ? 5 , d ? 2 , 又由 a3 ? a1 ? 2d ? 5 ,得 a1 ? 1 . 所以 an ? a1 ? (n ? 1)d ? 2n ? 1 . (Ⅱ)由 bn =2 n ,得 bn ? 2
a 2 n ?1

????2 分 ????4 分 ????6 分



·8 ·

因为

bn?1 22 n?1 ? 2 n?1 ? 4 ,所以数列 ?bn ? 是首项 b1 ? 2 ,公比 q ? 4 的等比数列.?8 分 bn 2 2 ? ?1 ? 4n ? 1? 4 2 ? ? ? 4n ? 1? . 3
????10 分

故S ? n 由

2 n 6047 ? ? 4 ? 1? ? 2015 ,可得 4n ? ? 3023.5 . 3 2

因为 n ? N* , 45 ? 1024, 46 ? 4096 , 所以 45 ? 3023.5 ? 46 ,即 S5 ? 2015 ? S6 , 注意到 S n ?

2 n ? ? 4 ? 1? 是单调递增函数, 3
????12 分

所以满足 Sn ? 2015 的最小正整数 n 的值为 6.

18.本小题主要考查频率分布直方图、频率分布图表、古典概型、用频率估计概率的统计思想等统 计与概率的基础知识,考查运算求解能力、数据处理能力、应用意识,考查必然与或然思想等.. 满分 12 分. 解: ( Ⅰ ) 由 男 生 体 重 数 据 频 率 分 布 直 方 图 可 知 , 体 重 落 在 区 间 [50,62) 的 频 率 为

1 ? (0.025 ? 0.025 ? 0.0125) ? 4 ? 0.75 .
因为男生体重在 [50,62) 的人数为 45 ,

????1 分

所以本次抽样中男生抽取的总人数为 45 ? 0.75 ? 60 . ????2 分 因为样本是按性别分层抽样获取的, 所以根据饼图描述的男,女生人数比,可知女生抽取的总人数为 40 .????3 分 所以体重落在区间 [56,60] 的女生人数为

x ? 40 ? (2 ? 18 ? 10 ? 5 ? 3) ? 2 .
(Ⅱ)体重落在区间 [66,70] 的男生人数为 60 ? 0.0125 ? 4 ? 3 .

????4 分 ????5 分

记体重落在 [66,70] 的 3 名男生为 A, B, C ,体重落在 [56,60] 的 2 名女生为 a , b . 则事件“从体重在 [66,70) 的男生和体重在 [56,60) 的女生中选取 2 人进行复查”包含的 基本事件有:( A, B) ,( A, C ) ,( B, C ) ,( A, a) ,( A, b) ,( B, a) ,( B, b) ,(C, a) ,(C, b) ,
·9 ·

( a, b) ,总数为 10 .
记 “男、女生各有一人被选中” 的事件为 R ,则事件 R 包含的基本事件有: ( A, a) ,

( A, b) , ( B, a) , ( B, b) , (C, a) , (C, b) ,共 6 个.

????6 分

因为事件空间中基本事件个数有限,且每个基本事件发生的可能性相同,所以该概率模 型属于古典概率模型, ???7 分 所以男、女生各有一人被选中的概率 P ( A) ?

6 3 ? . 10 5

????8 分

(Ⅲ)因为体重在 [50,54) , [54,58) , [58,62) 的男生人数比为 3 : 5 : 7 , 又由(Ⅰ)可知体重落在区间 [50,62) 的频率为 0.75 , 所以男生第 2 , 3 , 4 组体重数据的频率分别为 0.15 , 0.25 , 0.35 . ????10 分 因为由直方图可知,男生第 1 , 5 , 6 组体重数据的频率分别为 0.1 , 0.1 , 0.05 , 所以样本中 60 名男生的平均体重约为: 48 ? 0.1 ? 52 ? 0.15 ? 56 ? 0.25 ? 60 ? 0.35 ? 64 ? 0.1 ? 68 ? 0.05 ? 57.4 .??11 分 以样本估计总体,可以估计高一年段男生平均体重为 57 .4 公斤. ????12 分 19.本小题主要考查三角恒等变换、三角函数的图象变换、函数的性质等基础知识,考查推理论证 能力、运算求解能力,考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想等.. 满分 12 分. 解: (Ⅰ)方法一: 因为 f ? x ? ? 2 3 sin

x x x ?? ? cos ? 2sin 2 ? 1 ? 3 sin x ? cos x ? 2sin ? x ? ? .?3 分 2 2 2 6? ?
????4 分

所以由 f ?? ? ?

6 ?? 3 ? 可得 sin ? ? ? ? ? . 5 6? 5 ?

所以 cos ? 方法二:

?? ? ? ?? 3 ?? ? ?? ? ? ? ? ? sin ? ? ? ? ? ? ? =sin ? ? ? ? ? . 6? 5 ?3 ? ?? ? ?2 ? 3

????6 分

因为 f ? x ? ? 2 3 sin

x x x cos ? 2sin 2 ? 1 ? 3 sin x ? cos x , 2 2 2 6 6 所以由 f ?? ? ? 可得 3 sin ? ? cos ? ? . 5 5
所以 cos ?

?2 分 ????3 分

3 1 3 ?? ? ?? ? ? cos ? ? sin ? ? . 2 5 ?3 ? 2
·10·

????5 分

(Ⅱ) f ( x) ? 2sin ? x ?

? ?

??
? 6?

(用方法一者此处补上化简的 1 分)

依题意得 g ? x ? ? 2sin ?

? m ?? ?1 ?1 ? 2sin ? x ? ? ? . ? x ? m? ? ? ? 6? 2 6? ?2 ?2

????8 分

因为 g ? x ? 为偶函数,可得

m ? ? 2? ? ? k? + ,则 m ? 2k? ? , k ? Z .??11 分 2 6 2 3 2? 因为 m ? 0 ,所以当 k ? 0 时, m 取得最小值 . ????12 分 3

20.本小题主要考查空间中直线与平面的位置关系、几何体体积等基础知识,考查空间想象能力、 推理论证能力及运算求解能力,考查化归与转化思想等. 满分 12 分. 解: (Ⅰ)连接 AC , BD ,设 AC BD ? O ,则 O 为 BD 的中点. 连接 OM ,则 MO / / FC , 且MO ? 又∵ ED // FC ,且 ED ?

1 FC . 2

????1`分

1 FC ,∴ MO / / ED, 且MO ? ED , 2 ∴ EDOM 是平行四边形, EM / / DO . ∵ EM ? 平面 ABCD , DO ? 平面 ABCD , ∴ EM // 平面 ABCD . (Ⅱ)∵ ED // FC , ED ? 底面 ABCD , ∴ CF ? 底面 ABCD , 又∵ DO ? 平面 ABCD ,∴ CF ? DO . ∵四边形 ABCD 是正方形,∴ AC ? DO . ∵ CF , AC ? 平面 FAC , CF AC ? C , ∴ DO ? 平面 FAC . 由(Ⅰ)知 EM / / DO, ∴ EM ? 平面 FAC . 又∵ EM ? 平面 AEF ,∴平面 AEF ? 平面 FAC .
(Ⅱ)由侧视图可知, ED ? 2, DC ? CF ? 4 . ∵四边形 ABCD 是正方形,∴ AD ? 4 . ∵ ED ? 平面 ABCD , AD ? 面ABCD ,∴ ED ? AD , 又∵ AD ? DC , ED 则 VA? EDCF ?

????2 分 ????4 分 ????5 分

????7 分 ????8 分 ????9 分 ????10 分

DC ? D ,∴ AD ? 平面 EDCF .

?????11 分 ????12 分

? 2 ? 4 ? ? 4 ? 16 1 1 ? AD ? S EDCF ? ? 4 ? . 3 3 2

21.本小题主要考查直线、抛物线、直线与抛物线的位置关系等基础知识,考查推理论证能力、运
·11·

算求解能力、抽象概括能力,考查化归与转化思想、分类与整合思想、函数与方程思想、数形 结合思想等.满分 12 分. 解: (Ⅰ)因为抛物线 G : y2 ? 2 px ? p ? 0? 中 p 的几何意义就是焦点到准线的距离, 所以抛物线 G 的方程是 y 2 ? 4 x . (Ⅱ)解法一: 因为直线 l 交抛物线 G 于 A, B 两点,所以直线 AB 的斜率必不为 0 . 设直线 AB : x ? my ? a . ????3 分 ????2 分

联立方程组 ?
2

? x ? my ? a ,
2 ? y ? 4 x,

得 y 2 ? 4my ? 4a ? 0 .

????4 分

当 ? ? 16m ? 16a ? 0 ,即 a ? ?m 时,直线 l 与抛物线 G 相交,
2

????5 分

设交点的坐标为 A? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,则 y1 ? y2 ? 4m, y1 y2 ? ?4a . ????6 分 所以 QA ? 所以

? x1 ? a ?
1 QB
2

2

? y12 ? m2 ? 1 y1 ,同理可得 QB ? m2 ? 1 y2 ,
2

1 QA
2

?

?

1 ? 1 1 ? ? 2? 2? m ? 1 ? y1 y2 ?
2

? y ? y2 ? ? 2 y1 y2 y12 ? y2 2 1 1 ? 2 ? = 2 ? 1 2 2 m ? 1 ? y1 y2 ? m ?1 ? y1 y2 ?
1 16m2 ? 8a 1 = 2 ? ? 2 ? 2 m ? 1 16a m ?1


m2 ? a2

a 2 .(?)

??10 分

1 QA
2

?

1 QB
2

是定值,则式子(?)与 m 的取值无关.

因为当且仅当 a ? 2 时,式子(?)与 m 的取值无关, 所以存在唯一的一个点 Q ? 2 , 0? ,使得

1 QA
2

?

1 QB
2

的值也与直线 l 的方向无关(此时,

1 QA
2

?

1 QB
2

恒为定值

1 ) . 4

????12 分

解法二: 由条件可知直线 AB 的斜率不为 0,
·12·

若直线 AB 的斜率 k 存在,设直线 AB : y ? k ? x ? a ? , 联立方程组 ?

????3 分

? ? y ? k ? x ? a?, 2 2 2 2 2 得 k x ? ? 2k a ? 4 ? x ? k a ? 0 , 2 ? ? y ? 4 x,

????4 分

当 ? ? 2k a ? 4
2

?

?

2

? 4k 4 a 2 ? 16k 2 a ? 16 ? 0 时,直线 l 与抛物线 G 相交. ??5 分

设交点的坐标为 A? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,则 x1 ? x2 ? 所以 QA ?

2k 2 a ? 4 , x1 x2 ? a 2 .????6 分 2 k

? x1 ? a ?
1

2

? y12 ? k 2 ? 1 x1 ? a ,同理可得 QB ? k 2 ? 1 x2 ? a ,

2 2 ? 1 ? 1 1 1 ? x1 ? a ? + ? x2 ? a ? ? ? 2 ? ? 所以 ?? 2 ? 2 2 2 2 2 2 ? k ?1 ? QA QB ? ? x1 ? a ? ? x2 ? a ? ? k ? 1 ? x1 ? a ? ? ? x2 ? a ?

1

1 8k 2 a ? 16 ? 2 ? (?) k ? 1 16a 2


????9 分

1 QA
2

?

1 QB
2

是定值,则式子(?)的值与 k 无关.

因为当且仅当 8a ? 16 , a ? 2 时,式子(?)的值与 k 无关, 所以存在点 Q ? 2 , 0? ,使得

1 QA
2

?

1 QB
2

恒为定值

1 . 4

????10 分

若直线 AB 斜率不存在,即直线 AB : x ? 2 , 此时 | QA | ?| QB | ? 8 ,也满足
2 2

1 QA 1 QA
2 2

?

1 QB 1 QB
2 2

?

1 . 4

????11 分

综上可知, 能找到一个点 Q , 使得

?

的值也与直线 l 的方向无关 (如取 Q ? 2 , 0? ,



1 QA
2

?

1 QB
2

恒为定值

1 ) . 4

????12 分

22.本小题主要考查基本初等函数的导数、导数的的运算及导数的应用、全称量词与存在量词等基 础知识,考查抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力以及应用意识,考查化归与转化思 想、分类与整合思想、函数与方程思想、数形结合思想、有限与无限思想等.满分 14 分.
·13·

解: (Ⅰ)因为 y ? f ( x) ? g ( x) ? ax ? b ? e x , 所以 y' ? f ' ( x) ? g ' ( x) ? a ? e x , 由 y'
x?1

? a ? e ? 1 - e ,解得 a ? 1 .

??2 分

因为切点坐标为 (1,?1 ? e) , 代入函数式 y ? f ( x) ? g ( x) ? x ? b ? ex ,可得 b ? 2 . (Ⅱ)当 b ? 0 时, f ( x) ? ax . 因为 h( x) 为 g ( x) 的反函数,所以 h( x) ? ln x ( x ? 0 ) . 所以 f ( x) ? h( x) 即 ax ? ln x . 方法一: 又因为 x ? 0 ,所以 ax ? ln x 等价于 令 k ( x) ? ??5 分 ??4 分

ln x 1 ? ln x ,则 k '( x) ? . x x2

ln x ?a. x

????6 分

解 k '( x) ? 0 ,得 x ? e ;解 k '( x) ? 0 ,得 0 ? x ? e ;解 k '( x) ? 0 ,得 x ? e . 所以 k ( x) 在 (0, e) 单调递增,在 (e,??) 单调递减,

1 , e 1 故实数 a 的取值范围是 ( , ??) . e
由上可知 k ( x) ? k (e) ? 方法二: 令 n( x) ? ax ? ln x , 当 a ? 0 时,因为存在 x ? 1 ,使得 n(1) ? a ? 0 , 所以 n( x) ? ax ? ln x 不恒为正数.

??8 分 ??9 分

????6 分

1 a( x ? ) a , 当 a ? 0 时, n' ( x) ? x 因为 x ? 0 , 1 1 1 所以解 n '( x) ? 0 ,得 x ? ;解 n '( x) ? 0 ,得 x ? ;解 n '( x) ? 0 ,得 0 ? x ? . a a a
·14·

故 n( x) ? ax ? ln x 在 (0, ) 递减,在 ( , ??) 递增, 所以 n( x) ? ax ? ln x ? 1 ? ln 令 1 ? ln a ? 0 得 a ?

1 a

1 a

1 ? 1 ? ln a . a

????8 分

1 , e 1 故实数 a 的取值范围是 ( , ??) . e
方法三: 设直线 y ? ax 与 y ? ln x 的图象切于点 P( x0 ,ln x0 ) , 则a ?

??9 分

1 且 P( x0 ,ln x0 ) 在直线 y ? ax 上, x0
1 x 与 y ? ln x 的图象切于点 P(e,1) . e
??8 分

所以 ln x0 ? 1, x0 ? e ,即直线 y ?

通过考察函数 y ? ax 与 y ? ln x 的图象, 可知不等式 f ( x) ? h( x) 恒成立时, a 的取值范围为 ( , ??) . (Ⅲ)解法 1 : 当 a ? b 时, f ( x) ? h( x) ? g ( x0 ) 即 ax ? a ? ln x ? e 0 , ax ? a ? ln x ? e
x x0

1 e

??9 分

?0.

令 m( x) ? ax ? a ? ln x ? e 0 ,则 m '( x) ? a ?
x

1 ax ? 1 ? . x x

方程 f ( x) ? h( x) ? g ( x0 ) 在 (0, e] 上总有两个不等的实根等价于 函数 y ? m( x) 的图象与 x 轴在 (0, e] 上有两个不同的交点. (ⅰ)当 a ? 0 时, 因为 x ? (0, e] ,所以 m '( x) ? a ? ??10 分

1 ?0, x

所以函数 y ? m( x) 在 (0, e] 单调递减, 从而函数 y ? m( x) 在 (0, e] 内的零点最多一个,不符合题意. (ⅱ)当 a ? 0 时,因为 x ? 0 , 解 m '( x) ? a ? 得0 ? x ? ?11 分

1 ax ? 1 1 1 ? ? 0 ,得 x ? ;解 m '( x) ? 0 ,得 x ? ;解 m '( x) ? 0 , x x a a

1 . a
·15·

所以函数 y ? m( x) 在 (0, ) 单调递减,在 ( ,?? ) 单调递增. ① 当

1 a

1 a

1 ? e 时,因为 y ? m( x) 在 (0, e] 单调递减, a

所以函数 y ? m( x) 在区间 (0, e] 内的零点最多一个,不符合题意要求;??12 分 ②当 0 ?

1 ? e 时,因为当 x 趋于 0 时, y ? m( x) 的值趋于正无穷大, a

1 ? ? a ? e, ? ? 1 所以当且仅当 ? m( ) ? 0, 时函数 y ? m( x) 在 (0, e] 有两个零点. ? a ? m (e) ? 0 ? ?
由 m( ) ? 0 得 1 ? a ? ln a ? e

1 a

x0

? 0 ,即 1 ? a ? ln a ? e x0 对 x0 ? (??,0] 恒成立.
x0

因为对任意的 x0 ? (??,0] 时, 0 < e

?1,

所以, m( ) ? 0 等价于 1 ? a ? ln a ? 0 . 再令 y ? n(a) ? 1 ? a ? ln a ,则 y ' ? n ( a ) ?
'

1 a

1 ?1 . a

解 n '( a ) ?

1 ? 1 ? 0 得 a ? 1 ;解 n '(a) ? 0 得 0 ? a ? 1 ;解 n '(a) ? 0 得 a ? 1 . a

所以函数 y ? n(a) 在 (0,1) 单调递增,在 (1,??) 单调递减. 所以 n(a) ? 1 ? a ? ln a ? n(1) ? 0 ,故 m( ) ? 0 的解为 a ? 0 . 由 m(e) ? 0 得 ae ? a ? 1 ? e 因为 e
x0
x0

1 a

? 0 即 ae ? a ? 1 ? e x0 对 x0 ? (??,0] 恒成立.

? (0,1] ,所以 ae ? a ? 1 ? 1 ,
2 . e ?1

所以 m(e) ? 0 的解为 a ?

1 ? ? a ? e, ? 2 ? 1 所以 ? m( ) ? 0, 的解为 a ? . e ?1 ? a ? m (e) ? 0 ? ?
·16·

????13 分

综合①②得 a ?

2 . e ?1 2 . ????14 分 e ?1

综合(ⅰ) (ⅱ)得满足题意要求的实数 a 的最小值为 解法 2 :

x 当 a ? b 时, f ( x) ? h( x) ? g ( x0 ) 即 ax ? a ? ln x ? e 0 ,得 a( x ? 1) ? e 0 ? ln x .
x

方 程 f ( x) ? h( x) ? g ( x0 ) 在 (0, e] 上 总 有 两 个 不 等 的 实 根 等 价 于 函 数

y ? a( x ? 1) ? e x0 与 y ? ln x 的图象在 (0, e] 上有两个不同的交点.????10 分
因为直线 y ? a( x ? 1) ? e 0 的斜率为 a ,过定点 P (1,?e 0 ) ,
x x

且由 x0 ? (??,0] 可得 e 所以当且仅当 ?

x0

? (0,1] , - e x0 ?[?1,0) .

????11 分

a?0 ? x 时 , y ? a( x ? 1) ? e 0 与 y ? ln x 的 图 象 在 x0 ?a(e ? 1) ? e ? ln e ? 1
????12 分

(0, e] 上有两个不同的交点.
又因为 a(e ? 1) ? e 所以 a ? (
x0

? 1 对任意 x0 ? (??,0] 恒成立,
????13 分

1 ? e x0 2 ) max ? . e ?1 e ?1
2 . e ?1

综上所述,满足题意要求的实数 a 的最小值为

????14 分

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