kl800.com省心范文网

26.3.2实际问题与二次函数


二次函数的应用

最值问题

1、求下列二次函数的最大值或最小值: ⑴ y=-x2+2x-3; ⑵ y=x2+4x 解:(1)y=—(x—1)2—2 当x=1时,y有最大值为—2。

(2)y=(x+2)2—4
当x=—2时,y有最小值为—4。 归纳:一般地,因为抛物线y=ax2+bx+c的顶点是

b 最低(高)点,所以当x=— 时,二次函 2a 4ac ? b 2
数y=ax2+bx+c有最小(大)值
4a



2、图中所示的二次函数图像的 解析式为:

y

y ? 2 x 2 ? 8 x ? 13
⑴若-3≤x≤3,该函数的最 大值、最小值分别为 ( 55 )、( 5 )。 ⑵又若0≤x≤3,该函数的 最大值、最小值分别为 ( 55 )、( 13 )。
求函数的最值问题,应注意 什么?
-4 -2 6 4 2 0 2

x

一、自主探究

问题1.已知某商品的进价为每件40元, 售价是每件60元,每星期可卖出300 件。据市场调查反映:如果调整价 格 ,每涨价1元,每星期要少卖出10 件。要想获得6090元的利润,该商品 应定价为多少元?

已知某商品的进价为每件40元,售价是每件 60元,每星期可卖出300件。市场调查反映: 如果调整价格 ,每涨价1元,每星期要少卖出 10件。要想获得6090元的利润,该商品应定价 为多少元? 分析:没调价之前商场一周的利润为 6000元; 设销售单价上调了x元,那么每件商品的利润 可表示为 20+x元,每周的销售量可表示为 300-10x 件,一周的利润可表示为 (20+x)( 300-10x) 元,要想获得6090元利润可列 方程 (20+x)( 300-10x) =6090 。

二、自主合作 问题2.已知某商品的进价为每件40元。现在
的售价是每件60元,每星期可卖出300件。 市场调查反映:如调整价格 ,每涨价一元, 每星期要少卖出10件;每降价一元,每星期 可多卖出20件。如何定价才能使利润最大?

解:设每件涨价为x元时获得的总利润为y元.
y =(60-40+x)(300-10x) (0≤x≤30) =(20+x)(300-10x) =-10x2+100x+6000 =-10(x2-10x-600) =-10[(x-5)2-25-600] =-10(x-5)2+6250 当x=5时,y的最大值是6250.

定价:60+5=65(元)

也可以这样求极值

b x?? ? 5时,y最大值 ? ?10 ? 52 ? 100? 5 ? 6000? 6250 2a

所以,当定价为65元时,利润最大,最大利润为6250元 可以看出,这个函数的 图像是一条抛物线的一 部分,这条抛物线的顶 点是函数图像的最高点, 也就是说当x取顶点坐 标的横坐标时,这个函 数有最大值。由公式可 以求出顶点的横坐标.

y\元

6250 6000

0

5

30

x\元

解:设每件降价x元时的总利润为y元.
y=(60-40-x)(300+20x) 怎样确定x =(20-x)(300+20x) 的取值范围 =-20x2+100x+6000 =-20(x2-5x-300) (0≤x≤20) =-20(x-2.5)2+6125 所以定价为60-2.5=57.5时利润 最大,最大值为6125元.

由(1)(2)的讨论及现在的销售 情况,你知道应该如何定价能 使利润最大了吗?

答:综合以上两种情况,定价为65元时 可获得最大利润为6250元.

2.某公司试销一种成本单价为500元的新产品 规定试销时的销售单价不低于成本单价,又不高于 800元/件,经市场调查,发现销售量y(件)与销售单价 x(元/件)可以近似看作一次函数的关系(如图). (1)根据图象,求y与x的函数关系式; (2)设公司获得的毛利润为s元,试求s与x的函数 关系式; (3)试问:销售单价定为多少时,该公司可获得最大 利润?最大毛利润是多少?此时的销售量是多少?
(1) y ? ? x ? 1000
400

y

(2) s ? ? x ? 1500 x ? 500000
2

300

(3)当x=750时,s最大为 62500元,销售量为250件.

O

600

700

x

归纳小结:
运用二次函数的性质求实际问题的最大值和最小值 的一般步骤 : ?求出函数解析式和自变量的取值范围 ?配方变形,或利用公式求它的最大值或最小值。 ?检查求得的最大值或最小值对应的自变量的值必 须在自变量的取值范围内 。

1.某产品每件的成本价是120元,试销阶段, 每件产品的销售价格x(元)与产品的日销售量y(件) 之间的关系如下表: x(元) 130 150 165 y(件) 70 50 35

若销售量y是销售价格x的一次函数.
(1)则y与x的函数关系式为 y=-x+200(120<x<200) ; _________________________

1.某产品每件的成本价是120元,试销阶段, 每件产品的销售价格x(元)与产品的日销售量y(件) 之间的关系如下表: x(元) 130 150 165 y(件) 70 50 35 若销售量y是销售价格x的一次函数. (2)若要获得最大的销售利润,每件产品的销售价 格定为多少元?此时每日的销售利润是多少? 设销售利润为W,则 ?当x ? ? 320 ? 160时, ?2 W=(x-120)·y =(x-120)·(-x+200) W=1600 =-x2+320x-2400 则:……

2.某种粮大户去年种植优质水稻360亩,今年计划 增加承租x(100≤x≤150)亩,预计,原种植的360 亩水稻今年每亩可收益440元,新增加地今年每亩 的收益为(440-2x)元,试问:该种植大户要增加承 租多少亩水稻,才能使总收益最大?最大收益是多 少? 设该种粮大户的今年总收益为y元.
y=440×360+(440-2x) x


=-2x2+440x+158400 …… =-2(x-110)2+182600 所以,当x=110时,y有最大值182600 ……

3.某旅社有客房120间,每间房间的日租金为50元, 每天都客满,旅社装修后要提高租金,经市场调查, 如果一间客房的日租金每增加5元,则客房每天出 租会减少6间,不考虑其它因素,旅社将每间客房的 日租金提高到多少元时,客房日租金总收入最高? 比装修前的日租金的总收入增加多少元? 设日租金提高x元,客房日租金总收入为y元

x y ? (120 ? 6 ? ) ? (50 ? x) 5
6 2 ? ? x ? 60 x ? 6000 5

?当x ? ?

60 6 ? 2? 5

? 25时, y最大.

∴50+x=75

练一练

某商场销售某种品牌的纯牛奶,已知进价为 每箱40元,市场调查发现:若每箱以50 元销 售,平均每天可销售100箱. 价格每箱降低1元, 平均每天多销售25箱 ; 价格每箱升高1元, 平均每天少销售4箱。如何定价才能使得利润 最大?
若生产厂家要求每箱售价在45—55元之间。 如何定价才能使得利润最大?(为了便于计 算,要求每箱的价格为整数)

解:设利润为y,每箱涨价x元,则每天可售出(100— 4x)箱,根据题意,得 y=(10+x)(100—4x)
15 2 =—4(x— ) +1225 (0≤x≤5) 2 15 当x= 时,y最大值=1225。 2

设每箱降价z元,则每天可售出(100+25z)箱, 根据题意,得 y=(10—z)(100+25z) =—25(z—2)2+1100(0≤z≤5)

当z=2时,y最大值=1100。
因为厂家要求售价在45~55之间,所以应每箱涨价 5元,即每箱定价为55元时,利润最大。

有一经销商,按市场价收购了一种活蟹1000千克, 放养在塘内,此时市场价为每千克30元。据测算,此后 每千克活蟹的市场价,每天可上升1元,但是,放养一天 需各种费用支出400元,且平均每天还有10千克蟹死去, 假定死蟹均于当天全部售出,售价都是每千克20元(放 养期间蟹的重量不变). ⑴设x天后每千克活蟹市场价为P元,写出P关于x的函数 关系式. ⑵如果放养x天将活蟹一次性出售,并记1000千克蟹的 销售总额为Q元,写出Q关于x的函数关系式。

⑶该经销商将这批蟹放养多少天后出售,可获最大利润, (利润=销售总额-收购成本-费用)?最大利润是多少?

解:①由题意知:P=30+x.

活蟹的销售额为(30+x)(1000-10x)元。 ∴Q=(30+x)(1000-10x)+200x =-10x2+900x+30000

驶向胜 利的彼 ②由题意知:死蟹的销售额为200x元, 岸

③设总利润为W=Q-30000-400x=-10x2+500x =-10(x-25)2+6250 ∴当x=25时,总利润最大,最大利润为6250 元。

例题:学校要建一个生物花圃园,其中一边靠墙,另三边用 长为30米的篱笆围成,已知墙长为18米,设这个花圃垂直的 一边为x米. (1)平行于墙的一边为y米,直接写出y与x之间的函数关系 及自变量x的取值范围; (2)垂直于墙的一边的长为多少米时,这个花圃的面积最大, 并求这个最大值; (3)当这个花圃园的面积不小于88平米时,(结合图像)直 接写出x的取值范围。

(1)分析:y=30-2x

0 ? 30 ? 2 x ? 18

6 ? x ? 15

(1) y=30-2x (6 ? x<15) 解:
(2) S=x(30-2x)=-2x +30x
2

?S=-2(x-7.5) +112.5
2

由(1)知6 ? x<15
? 当垂直于墙的边长为7.5米是,花圃
的面积最大为112.5平方米。

(3)分析: -2x2+30x=88
解得:x1=4 ∵6≤X <15 由图像得: 当 6≤X ≤11时, ∴花圃园的面积不小于88平方米
15

,x2=11

(1) y=30-2x (6 ? x<15) 解:
(2) S=x(30-2x)=-2x +30x
2

?S=-2(x-7.5) +112.5
2

由(1)知6 ? x<15
? 当垂直于墙的边长为7.5米是,花圃
的面积最大为112.5平方米。 (3)由图象知:当6≤X ≤11时,面积 不小于88平方米.

如图,在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆,围成中间隔有二道 篱笆的长方形花圃,设花圃的宽AB为x米,面积为S平方米。 (1)求S与x的函数关系式及自变量的取值范围; (2)当x取何值时所围成的花圃面积最大,最大值是多少? (3)若墙的最大可用长度为8米,则求围成花圃的最大面积。

解: (1) ∵ AB为x米、篱笆长为24米

∴ 花圃宽为(24-4x)米
∴ S=x(24-4x) =-4x2+24 x (0<x<6)

A B

D C

4ac ? b 2 b (2)当x= ? 2a ? 3 时,S最大值= 4a =36(平方米)

(3) ∵墙的可用长度为8米
∴ 0<24-4x ≤8 4≤x<6 ∴当x=4cm时,S最大值=32 平方米

做一做

何时窗户通过的光线最多
?某建筑物的窗户如图所示,它的上半部是半圆,下 半部是矩形,制造窗框的材料总长(图中所有的黑线 的长度和)为15m.当x等于多少时,窗户通过的光线最 多(结果精确到0.01m)?此时,窗户的面积是多少? 15 ? 7 x ? ?x x x 解 : ?1?. 由4 y ? 7 x ? ?x ? 15. 得, y ? . 4 2 2 ?x 15 ? 7 x ? ? x ? x ? ?

? 2 x? ?? y 2 4 2 2 ? ? 7 2 15 7 15 ? 225 ?? x ? x?? ? . ?x? ? ? 2 2 2 ? 14 ? 56 b 15 4ac ? b 2 225 或用公式 : 当x ? ? ? ? 1.07时, y最大值 ? ? ? 4.02. 2a 14 4a 56

?2?.窗户面积S ? 2 xy ?

例2.小明的家门前有一块空地,空地外有一面长10米的围墙,为 了美化生活环境,小明的爸爸准备靠墙修建一个矩形花圃,他买 回了32米长的不锈钢管准备作为花圃的围栏,为了浇花和赏花的 方便,准备在花圃的中间再围出一条宽为一米的通道及在左右花 圃各放一个1米宽的门(木质)。 花圃的宽AD究竟应为多少米才能使花圃的面积最大? D
解:设AD=x,则AB=32-4x+3=35-4x 从而S=x(35-4x)-x=-4x2+34x ∵AB≤10 ∴6.25≤x

H E

G F

C B

A

S=-4x2+34x,对称轴x=4.25,开口朝下 ∴当x≥4.25时S随x的增大而减小

故当x=6.25时,S取最大值56.25

1.某工厂为了存放材料,需要围一个周长160米的 矩形场地,问矩形的长和宽各取多少米,才能使 存放场地的面积最大。 2.窗的形状是矩形上面加一个半圆。窗的周长等于 6cm,要使窗能透过最多的光线,它的尺寸应该 如何设计? A

O

D

B

C


赞助商链接

26.3 实际问题与二次函数(3)-

26.3 实际问题与二次函数(... 16页 免费如要投诉违规内容,请到百度文库投诉中心;如要提出功能问题或意见建议,请点击此处进行反馈。 ...

26.3 实际问题与二次函数(二)同步测控优化训练(含答案)

26.3 一、课前预习 (5 分钟训练) 实际问题与二次函数(二) 1.一个菱形的对角线之和为 10 厘米,其最大面积为( A.24 cm2 B.25 cm2 C.12.5 cm2 )...

26.3_实际问题与二次函数_同步作业(含答案)

26.3_实际问题与二次函数_同步作业(含答案)_数学_初中教育_教育专区。练习 4 一、自主学习 实际问题与二次函数 1.小敏在今年的校运动会跳远比赛中跳出了满意一...

数学:26.3《实际问题与二次函数》同步练习2(人教新课标...

26.3 实际问题与二次函数(二) 5 分钟训练(预习类训练,可用于课前) 1.一个菱形的对角线之和为 10 厘米,其最大面积为( A.24 cm 2 ) D.12 cm 2 B....

26.3实际问题与二次函数 快乐测试

26.3 实际问题与二次函数》 快乐测试 菁优网 www.jyeoo.com 《26.3 实际问题与二次函数》 快乐测试一.选择题(共 3 小题,满分 9 分,每小题 3 分) ...

26.3 二次函数与实际问题

26.3 二次函数实际问题 初中数学导学案 班级 姓名 学号 张桂林 教学案编号 920101122 26.2 用函数观点看一元二次方程重点:理解二次函数与一元二次方程的关系...

新人教版九年级下册26.3实际问题与二次函数练习(1)

新人教版九年级下册26.3实际问题与二次函数练习(1)_初三数学_数学_初中教育_教育专区。九年级二次函数全单元练习26.3 实际问题与二次函数(1)●基础探究 1.某...

22.3实际问题与二次函数同步练习3

22.3实际问题与二次函数同步练习3 - 22.3 实际问题与二次函数同步练习 3 自主学习 1.小敏在今年的校运动会跳远比赛中跳出了满意一跳,函数 h=3.5t-4.9t2(t...

说课稿26.3实际问题与二次函数

2页 免费如要投诉违规内容,请到百度文库投诉中心;如要提出功能问题或意见建议,请点击此处进行反馈。 说课稿26.3实际问题与二次函数 隐藏>> 关于实际问题与二次函...

26.3实际问题与二次函数(第3课时)教学设计

26.3 实际问题与二次函数(第 3 课时)通过对抛物线型拱桥的探究,让学 生掌握如何建立适当的直角坐标系,待 知识技能 定系数法求二次函数解析式,解决实际 问题。...