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第1讲 数列的概念与简单表示法


第1讲

数列的概念与简单表示法
编写:陈彩余 审核;赵东

班级_________学号_________ 姓名___________ 一、知识回顾 由递推式求通项 an 的方法: (1)an+1-an=f(n)型,采用叠加法; (2)

an+1 =f(n)型,采用叠乘法; an

(3)

an+1=pan+q(p≠0,1,q≠0)型,采用待定系数法转化为等比数列解决. 二、基础训练 1.已知数列 { a n } 满足 a 1 ? 0 , a n ? 1 ?
an ?

an ?

3

3a n ? 1
?

( n ? N ) ,则 a 20 = ?
*

3。

分析:由 a1=0, a n ? 1 ?

3

3a n ? 1

(n ? N ) 得 a 2 ? ? 3 , a3 ?

3 , a 4 ? 0 ,? ? ? ? ? ? 由此可知:

数列 { a n } 是周期变化的,且三个一循环,所以可得: a 20 ? a 2 ? ? 3 . 2.在数列 { a n } 中,若 a1 ? 1 , a n ? 1 ? a n ? 2 ( n ? 1) ,则该数列的通项 a n ? 2n-1 3.设数列 { a n } 的前 n 项和为 S n , S n ? 4.已知数列 { a n } 的前 n 项和 S n ? ? 三.例题分析:
? 10 ? 例 1 数列 ? a n ? 的通项 a n ? ? n ? 1 ? ? ? ? 11 ?
n



a 1 (3 ? 1)
n

2

( n ? N ) ,且 a 4 ? 5 4 ,则 a 1 ? ____2__.
*

n (5 n ? 1) 2

,则其通项 a n ?

?5n ? 2 .

? n ? N ? 试问该数列有没有最大项?若有,求 出最
?

大项和最大项的项数;若没有,说明理由。

?10? ?10? ?10? 9-n. 解 ∵an+1-an=(n+2)? ?n+1-(n+1)? ?n=? ?n ?11? ?11? ?11? 11
当 n<9 时,an+1-an>0,即 an+1>an; 当 n=9 时,an+1-an=0,即 an+1=an; 当 n>9 时,an+1-an<0,即 an+1<an; 故 a1<a2<a3<…<a9=a10>a11>a12>…,所以数列中有最大项为第 9,10 项.
* 例 2.已知数列{a n }满足 a 1 ? 1 , a n ? 1 ? 2 a n ? 1( n ? N )

(Ⅰ)求数列 { a n } 的通项公式; (Ⅱ)若数列 {b n } 满足 4
b1 ? 1

4

b2 ?1

...4

bn ?1

? ( a n ? 1) n .( n ? N ) ,证明: {b n } 是等差数列;
b *

分析:本题第 1 问采用构造等比数列来求通项问题,第 2 问依然是构造问题。 解: (I)? a n ? 1 ? 2 a n ? 1( n ? N ), ? a n ? 1 ? 1 ? 2( a n ? 1),
*

? ? a n ? 1? 是以 a1 ? 1 ? 2 为首项,2 为公比的等比数列。? a n ? 1 ? 2 .
n



a n ? 2 ? 1( n ? N ).
n *

(II)? 4
?4

b1 ? 1

4

b2 ?1

...4

bn ? 1

? ( a n ? 1) n .
b

( b1 ? b 2 ? ... ? b n ) ? n

? 2

n bn

. ? 2[( b1 ? b 2 ? ... ? b n ) ? n ] ? n b n ,

① ②;

2[( b1 ? b 2 ? ... ? b n ? b n ? 1 ) ? ( n ? 1)] ? ( n ? 1) b n ? 1 .

②-①,得 2( b n ? 1 ? 1) ? ( n ? 1) b n ? 1 ? nb n , ∴ nb n ? 2 ? ( n ? 1) b n ? 1 ? 2 ? 0. ③-④,得 ④

即 ( n ? 1) b n ? 1 ? n b n ? 2 ? 0, ③

nb n ? 2 ? 2 nb n ? 1 ? nb n ? 0, 即
*

b n ? 2 ? 2 b n ? 1 ? b n ? 0, ? b n ? 2 ? b n ? 1 ? b n ? 1 ? b n ( n ? N ), ? ? b n ? 是等差数列。

点评:本小题主要考查数列、不等式等基本知识,考查化归的数学思想方法,考查综合解题 能力。 例 3.数列 { a n } 前 n 项之和 S n 满足: t ? ( S n ? 1 ? 1) ? (2 t ? 1) S n ( n ? N , t ? 0)
*

(1) 求证:数列 { a n } 是等比数列 ( n ? 2 ) ; (2) 若数列 { a n } 的公比为 f ( t ) ,数列 { b n } 满足: b1 ? 1, b n ? 1 ? f ( 项公式; (3) 定义数列 { c n } 为 c n ?
1 bn bn ?1


1 bn

) ,求数列 { b n } 的通

,求数列 { c n } 的前 n 项之和 T n 。

解: (1)由 t ? ( S n ? 1 ? 1) ? (2 t ? 1) S n ( n ? N , t ? 0) 得: t ? ( S n ? 1) ? (2 t ? 1) S n ?1 ( n ? 2 )
*

两式相减得: t ? a n ? 1 ? (2 t ? 1) a n , ( n ? 2 ) ∴数列 { a n } 是等比数列 ( n ? 2 ) 。 (2) b n ? 1 ? f (
1 bn



a n ?1 an

?

2t ? 1 t

? 2?

1 t

, (n ? 2) ,

) ? 2 ? b n ,则有 b n ? 1 ? b n ? 2

∴ bn ? 2 n ? 1 。

(3) c n ?
1 2

1 bn bn ?1

?

1 ( 2 n ? 1)( 2 n ? 1)

?

1 2

?(

1 2n ? 1

?

1 2n ? 1

),

∴ Tn ?

? (1 ?

1 3

?

1 3

?

1 5

?

1 5

?

1 7

?? ?

1 2n ? 1

?

1 2n ? 1

)?

1 2

(1 ?

1 2n ? 1

)

点评:本题考查了 a n 与 S n 之间的转化问题,考查了基本等差数列的定义,还有裂项相消法 求和问题。 四.课堂练习: 1.已知数列{an}满足 a1=33,an+1-an=2n,则 的最小值为__10.5___.

an n

? ? 2.若数列?n? ? ?

n+4?

?2? ? ? ?n? ? ? ?中的最大项是第 k 项,则 k=________.4 ?3? ? ?

3.已知数列 { a n } 中, a 1 ? 1, 且有 ( 2 n ? 1) a n ? ( 2 n ? 3) a n ?1 ( n ? N , n ? 2 ) ,则数列 { a n } 的
*

通项公式为
an ? 3 ( 1 ? 1 2n ? 1 ) ,前 n 项和为 3n 2n ? 1

2 2n ? 1



4.若数列 ?a n ? 中,a 1 ?

1 3

,且对任意的正整数 p 、q 都有 a p ? q ? a p a q ,则 a n ?

1 3
n

.

五.反思小结


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