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四川省成都七中2012届高三适应性考试数学(文)试题


成都七中高 2012 级高考适应性考试数学(文科)试题
命题人:何毅章 许勇 审题人:税洪 郑严 时间:120 分钟 满分:150 分

第Ⅰ卷(选择题,共 60 分)
一、选择题:每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求. (1)已知全集 U ? R ,集合 M ? ? x ?2 ? x ? 2? 和 N ? ? y y ? 2k ? 1, k ? Z ? 的关系的韦恩 (Venn) 图 如图所示,则阴影部分所示的集合的元素共有 (A)3 个 (C)1 个 (B)2 个 (D)0 个
U

M

N

(2)某人5次上班途中所花的时间(单位:分钟)分别为 x ,8,10,11,9,若这组数据的期望 10分钟,则 x 的值及这组数据的方差分别为 (A) 12, 2 (B) 12,10 (C) 12, 2 (D) 10, 2

(3)圆 M : ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 5 上点到直线 x ? 2 y ? 9 ? 0 的最短距离为 (A) 0 (B) 5 (C) 5 (D) 2 5

(4)已知函数 f ( x) ? a x (a ? 0 且 a ? 1) , f ?1 ( x) 为其反函数,若 f (2) ? 4 ,则 f ?1 ( ) ? (A) ? 2 (B)

1 2

2

(C) 1

(D) ?1

? x ? 2 y ? 2 ? 0, ? (5)已知实数 x, y 满足 ? ,则 z ? 3x ? 4 y ? 2 的最大值为 x ? 2, ? y ? 1, ?
(A) 8 (6)把 y ? cos(2 x ? (A)按 a = ( (B) 6 (C) 5 (D) 1

?
3

) ? 1 的图象经过某种平移后得到 y ? cos 2 x 的图象,则平移方式可为

?
6

,1) 平移

(B)按 a = (k? ? (C)先向右平移

?
6

,1)(k ? Z ) 平移

? 个单位再向上平移 1 个单位 3 ? (D)先向左平移 个单位再向下平移 1 个单位 6
(7)函数 f ( x) ? x 2 ? 2ax ? 3 在区间 ? ?2, 4? 的值域为 ? f (a ), f (4) ? ,则实数 a 的取值范围为

(A) ? ?2, 2?

(B) ? ?2,1?

(C) ? ??,1?

(D) ? ?2,1?

(8)若 ? ? ? ? k? ?

?
2

, k ? Z ,则“ sin ? ? sin(2? ? ? ) ”是“ sin ? ? 0 ”的
(B)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

(A)充分不必要条件 (C)充要条件

(9)用边长为 6 分米的正方形铁皮做一个无盖的水箱,先在四角分别截去一个小正方形,然后 把四边翻转 90? ,再焊接而成(如图) 。设水箱底面边长为 (A)水箱容积最大为 8 立方分米 (B)水箱容积最大为 64 立方分米 (C)当 (D)当

x 分米,则

x 在 ? 0,3? 时,水箱容积 V ( x) 随 x 增大而增大
x 在 ? 0,3? 时,水箱容积 V ( x) 随 x 增大而减小

(10)已知 △ ABC 为等腰三角形, ?ABC ? 120? ,则以 A、B 为焦点且过点 C 的双曲线的离心 率为 (A)

1? 2 1? 3 (B) (C) 1 ? 2 2 2

(D) 1 ? 3

(11)将并排的有不同编号的 5 个房间安排给 5 个工作人员临时休息,假定每个人可以选择任一 房间,且选择各个房间是等可能的,则恰有两个房间无人选择且这两个房间不相邻的安排方式的 总数为 (A) 900 (B) 1500 (C) 1800 (D)1440

(12)已知球 O 的表面积为 16? ,球心 O 在大小为

?
3

的二面角 ? ? l ? ? 的内部,且平面 ? 与球

O 相切与点 M ,平面 ? 截球 O 所得的小圆 O? 的半径为 1 ,若点 P 为圆 O? 上任意一点,
记 M 、P 两点在该球面上的球面距离为 d ,则 (A)当 d 取得最小值时, O?P 与 OM 所成角为

?
3

(B)当 d 取得最小值时,点 P 到平面 ? 的距离为 3 (C) d 的最大值为

5? 3

(D) d 的最大值为 2?

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.答案填在答题卡上. (13) (1 ? 2 x) 的展开式中只有第 5 项的二项式系数最大,则展开式中的第 2 项为________.
n

(14)抛物线 y 2 ? 8 3 x 的焦点与双曲线 长等于________. (15)已知二面角 ? ? PQ ? ? 为

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点重合,则该双曲线的虚轴 4 m2
β

?
3

, A ?? , B ? ? ,

B

C ? PQ , R 为线段 AC 的中点, ?ACP ? ?BCP ?

?
6

P


α

A

R

C Q

CA ? CB ? 2 ,则直线 BR 与平面 ? 所成角的大小为________.
(16)若对任意实数对 ( x, y )( x, y ? R ) 有唯一确定的 f ( x, y ) 与之对应,且同时满足下列三个性质: (1) 非负性: f ( x, y ) ? 0 ; (2) 对称性: f ( x, y ) ? f ( y, x) ; (3) 延展性: f ( x, y ) ? f ( x, z ) ? f ( z , y ) 对任意的实数 z 均成立.则称 f ( x, y ) 为实数对 ( x, y ) 的“延展变换”.给出下列变换:①

f ( x, y ) ? ( x ? y ) 2 ;② f ( x, y ) ? x ? y ;③ f ( x, y ) ? x ? y ;
④ f ( x, y ) ? sin( x ? y ) ;⑤ f ( x, y ) ? ( x ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2 . 其中所有能够成为实数对 ( x, y ) 的“延展变换”的番号是________. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (17)(本小题满分 12 分)已知向量 m ? (2cos (Ⅰ)求函数 f ( x) 的最小正周期; (Ⅱ)在 ? ABC 中, a, b, c 分别是角 A, B, C 的对边,且 f (C ) ? 3 , c ? 1 , ab ? 2 3 ,且 a ? b , 求 a, b 的值.
2

x, 3) , n ? (1,sin 2 x) ,函数 f ( x) ? m ? n .

(18) (本小题满分 12 分)如图,正方形 ABED 、直角梯形
EFGD 、直角梯形 ADGC 所在平面两两垂直,

A B

C

AC ? DG ? EF .且 DA ? DE ? DG ? 2 , AC ? EF ? 1 .
(Ⅰ)求证:四点 B、C、G、F 共面; (Ⅱ)求二面角 D ? BC ? F 的大小; D E F G

(19)(本小题满分 12 分)袋中有大小相同的四个球,编号分别为 1、2、3、4,从袋中每次任取 一个球,记下其编号;若所取球的编号为偶数,则把该球编号改为 3 后放回袋中继续取球;若所 取球的编号为奇数,则停止取球. (Ⅰ)求第二次取球后才“停止取球”的概率; (Ⅱ)求停止取球时所有被记下的编号之和为 7 的概率.

(20)(本小题满分 12 分)已知数列 {an } , a1 =1,a3 =4 ,其前 n 项和 S n 满足 S n?1 ? 2? S n ? 1(? 是 大于 0 的常数) n ? N* . , (Ⅰ)求 ? 的值并证明 ?S n ? 1? 是等比数列; (Ⅱ)设数列 {nan } 的前 n 项和为 Tn ,试比较 Tn 与 S n 的大小.
2

(21) (本小题满分 12 分)已知 P 是圆 F1 : ( x ? 1) ? y ? 16 上的动点,点 F2 (1,0) ,线段 PF2 的
2 2

垂直平分线与半径 F1 P 交于点 Q ,当点 P 在圆上运动时,点 Q 的轨迹为曲线 E . (Ⅰ)求曲线 E 的方程; (Ⅱ)已知点 M (1, ) , A, B 在曲线 E 上,且 MA ? MB ? ? OM ( ? ? R , O 是坐标原点). ①求直线 AB 的斜率; ②若直线 AB 在 y 轴上的截距为整数且 ?MAB 的面积

3 2

9 ,求 ? 的值. 2

(22) (本小题满分 14 分) a ? R , 设 向量 m ? (a,1) , 函数 y ? f ( x) 的图象经过坐标原点, f ?(x) 是函数 f (x) 的导函数.已知 A(?1, f ?( ?1)) , B ( x, x ) , f ?( x) ? AB ? m .
2

??? ?

(Ⅰ)求 f (x) 的解析式;

a x2 2 (Ⅱ)若关于 x 的方程 f ( x) ? ( x ? 1) ? 在区间 ? ?1,1? 上有两个不相等的实数根,求 a 的 2 4
取值范围; (Ⅲ)若 a ? 2 ,设数列 {an } 满足 a1 ? 3, 4an ? 2 f ?( an?1 ) ? 3( n ? N*且n ? 2) . 求证: an ? 2
2n?1

? 1? n ? N* ? .

成都七中高 2012 级高考适应性考试数学(文科)参考答案
一、选择题: (每小题 5 分,共 60 分) 题号 1 2 3 4 5 6 答案 B C C D A B 7 D 8 C 9 C 10 B 11 A 12 C

部分参考答案: (9)解:设箱底边长为 x ,则箱高 h ? 6 ? x ,则 V ? 1 (6 x 2 ? x 3 )(0 ? x ? 6) , 2 2

3 , V ? ? 6 x ? x 2 ? 0 解得 x ? 0 (舍) x ? 4 ,? x ? (0, 4) 时, V ( x) 单增,故选 C 2
(10)解:设 | AB |? 2c ,由余弦定理 AC ? 2 3c ,由双曲线的定义有 | CA | ? | CB |? 2a ,

? 2 3c ? 2c ? 2a ,? e ? 1 ?
2

3 ,故选

B

3 (11)解:第一步先将 5 人分成 3 组,再全排,有 (C5 ?
2 2

C52 ? C32 ) ? A33 种,第二步,另两个空房间插 2

2 2 空,有 C4 种,? 总共有 (C53 ? C5 ? C3 ) ? A33 C4 =900 种,故选 A

2

(12)解:球半径 R ? 2 ,小圆 O? 的半径为 1 ,

? | OO? |? 3 ,??OPO? ? ? ,??POO? ?
3

?

6

当 d 取得最小值时 , MA // O?P , O?P 与 OM 所成角为

?
6

,

故 A 错;点 P 到平面 ? 的距离为 2,故 B 错当 d 取得最大值时, ?MOP ?

?
2

?

?
3

?

5? , 6

? d 的最大值为 5? ,故选 C.
3

二、填空题: (每小题 4 分,共 16 分) (13) 16x ; (14) 4 2 ; (15)

?
4

;(16)②④⑤.

部分参考答案: (15) (参见高二下 B P57,6 题第 3 小题) (16)解:①不满足延展性,如 x ? 3, y ? 1, z ? 2 ;② x ? y ? ? x ? z ? ? ? z ? y ? ? x ? z ? z ? y ,正 确;③ f ( x, y ) ? x ? y 不满足延展性;④ f ( x, y ) ? sin( x ? y ) ? sin ?( x ? z ) ? ( y ? z ) ? ,

? sin ? ( x ? z ) ? ( y ? z ) ? ? sin( x ? z ) cos( y ? z ) ? cos( x ? z )sin( y ? z )

? sin( x ? z ) cos( y ? z ) ? cos( x ? z )sin( y ? z ) ? sin( x ? z ) ? sin( y ? z ) , 正 确 ; ⑤ 由
f ( x, y ) ? ( x ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2 , f 2 ( x, y ) ? f 2 ( x, z ) ? f 2 ( z , y ) ? 2 f ( x, z ) f 2 ( z, y ) 恒成立正确.
三、解答题: (本大题共 6 小题,共 74 分) (17) 解: (Ⅰ) f ( x) ? m ?n ? (2cos 2 x, 3) ? (1,sin 2 x) ? 2cos 2 x ? 3 sin 2 x

f ( x) ? m ?n ? cos 2 x ? 1 ? 3 sin 2 x ? 2sin(2 x ? ) ? 1 6 2? ∴函数 f ( x) 的最小周期 T ? ??
2
(Ⅱ) f (C ) ? 2 sin( 2C ?

?

???4 分 ???6 分

?
6

) ?1 ? 3

? sin(2C ? ? ) ? 1
6

? C 是三角形内角,∴ 2C ? ? ? ? 即: C ?
6 2

?
6

???8 分 ???10 分

∴ cos C ?

b2 ? a2 ? c2 3 ? 2ab 2

即: a 2 ? b 2 ? 7 .

将 ab ? 2 3 可得: a 2 ? ∴a ?

12 ? 7 解之得: a 2 ? 3或4 2 a

3或2 ,? b ? 2或 3
???12 分 角梯形
A B C

? a ? b ,∴ a ? 2 , b ? 3 .
(18) (Ⅰ)证明:由正方形 ABED 、直角梯形 EFGD 、直

ADGC 所在平面两两垂直,易证:AD、DE、DG 两两垂直,
图的坐标系,则 A(0,0,2) ,B(2,0,2) ,C(0,1,2) , E(2,0,0) ,G(0,2,0) ,F(2,1,0)

建立如

??? ? BF ? (2,1, 0) ? (2, 0, 2) ? (0,1, ?2) ??? ? CG ? (0, 2, 0) ? (0,1, 2) ? (0,1, ?2)
∴ BF ? CG ,即四边形 BCGF 是平行四边形.
E

D

M

G

F

??? ?

????

故四点 B、C、F、G 共面.

???6 分

也可用几何法:取 DG 的中点 M,连结 FM,BF,证 BF ? AM ? CG 即可. (Ⅱ) FG ? (0, 2, 0) ? (2,1, 0) ? ( ?2,1, 0) , 设平面 BCGF 的法向量为 n1 ? ( x, y, z ) ,

??? ?

??? ? ?n1 ? CG ? y ? 2 z ? 0 ? 则? , 令y ? 2, 则 n1 ? (1, 2,1) , ??? ? n1 ? FG ? y ? 2 x ? 0 ? ? ??? ? ???? 设平面 DBC 的法向量 n 2 ? ( x, y, z ) ;且 BC ? (?2,1, 0) , DC ? (0,1, 2)
??? ? ?n 2 ? BC ? ?2 x ? y ? 0 ? 则? , 令y ? 2, 则 n 2 ? (1, 2,-1) ???? ?n 2 ? DC ? y ? 2 z ? 0 ?

cos n1 , n 2 ?

n1?n 2 2 2 ? , n1 , n 2 ? arccos n1 ?n 2 3 3
2 . 3
???12 分

故二面角 D ? BC ? F 等于arccos

(19)解: (Ⅰ)记第二次取球后才“停止取球”为事件 A. C1 C1 3 P( A) ? 2 ? 3 ? . 1 1 C4 C4 8 答:第二次取球后才“停止取球”的概率为

3 . 8

???6 分

(Ⅱ)记停止取球时所有被记下的编号之和为 7 为事件 B .记下的编号为 2、4、1 为事件 B1 ,记 下的编号为 4、 1 为事件 B2 , 2、 记下的编号为 4、 为事件 B3 , 1、B2、B3 互斥, ? B1 ? B2 ? B3 ; 3 B B

P( B1 ) ?

1 1 1 C1 C1 C1 C1 C1 C1 1 1 ; P ( B2 ) ? 1 ? 1 ? 1 ? ; ? 1? 1 ? 1 1 1 1 C4 C4 C4 64 C4 C4 C4 64 1 1 C1 C2 1 1 1 1 5 ? 1 ? ; P( B) ? P( B1 )+P( B2 )+P( B3 )= + + ? .???12 分 1 C4 C4 8 64 64 8 32

P( B3 ) ?

答:停止取球时所有被记下的编号之和为 7 的概率为 (20)解: (Ⅰ)? a1 =1,a3 =4 , S n ?1 ? 2? S n ? 1

5 . 32

? S 2 ? 2? S1 ? 1 , S3 ? 2? S 2 ? 1
又? ? >0,? a2 =2 , ? =1 ???3 分 ???4 分

? S n ?1 ? 2S n ? 1 ,? S n ?1 ? 1 ? 2( S n ? 1) ,又? S1 ? 1 ? 2 ? 0

? 数列 ?Sn ? 1? 是首项为 2,公比为 2 的等比数列.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知 S n ? 1 ? 2n ,? S n ? 2n ? 1 当 n ? 2 时, an =S n ? S n ?1 ? 2n ?1 , 又 a1 =1 ,? an =2n ?1 ( n ? N ? ) ,? nan ? n ? 2n ?1 ,

???5 分 ???6 分

???8 分 ①

Tn ? 1 ? 2 0 ? 2 ? 21 ? 3 ? 2 2 ? ? ? (n ? 1) ? 2 n ? 2 ? n ? 2 n ?1 ,

2Tn ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 2 ? ? ? (n ? 2) ? 2 n ? 2 ? (n ? 1) ? 2 n ?1 ? n ? 2 n ,②
①-②得 ? Tn ? 1 ? 2 ? 2 2 ? ? ? 2 n ? 2 ? 2 n ?1 ? n ? 2 n , 则 Tn ? (n ? 1) ? 2n ? 1 . ???10 分

?

Tn 3 ? S n ? (n ? 3)2n ?1 ? 2 2
2 2 ? Sn .

?当 n ? 1, n ? 2 时, Tn ? Sn ;当 n ? 3 时, Tn

???12 分

(21)解: (Ⅰ)由题意 | QP |?| QF2 |, | F1 P |? 4 ,

?| QF1 | ? | QF2 |?| QF1 | ? | QP |?| F1P |? 4 ?| F1F2 |? 2
由椭圆的定义知, Q 的轨迹是以 F1 (?1,0), F2 (1,0) 为焦点,半长轴为 2, 半焦距为 1,的椭圆,曲线 E 的方程为

x2 y2 ? ? 1. 4 3

???4 分

???? ???? ???? ? x1 ? x2 ? 2 ? ? ? ? (Ⅱ)①设 A( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 ) ,由 MA ? MB ? ? OM 得 ? 3 ? y1 ? y2 ? 3 ? ?
? 2

? x12 y12 ? ?1 ? ? 4 3 由 ? 2 ,两式相减得 k AB ? ? 3 ? x1 ? x2 ? ? 3 ? 2 ? ? ? ? 1 2 x2 y2 4 y1 ? y2 4 3? 3 ? 2 ? ? ?1 ? 4 2 3 ?
②设 AB 的直线方程为 y ? ?

???6 分

1 x?t , 2

?3 x 2 ? 4 y 2 ? 12 联立 ? ? x 2 ? tx ? t 2 ? 3 ? 0 ? 1 y ? ? x?t ? ? 2

? ? 3(4 ? t 2 ) ? 0 ? ?2 ? t ? 2 , x1 ? x2 ? t , x1 x2 ? t 2 ? 3,
| AB |? 1 ? 1 1 15 x1 ? x2 ? 1 ? ? 3(4 ? t 2 ) ? ? 4 ? t2 4 4 2

P 到直线 AB 的距离 d ?
S ?MAB ?

| 4 ? 2t | 5
???8 分

3 | 2 ? t | 4 ? t 2 ? ?2 ? t ? 2 ? 2

1 9 S 2 ?MAB ? f (t ) ? (2 ? t )3 (6 ? 3t ) ? ?2 ? t ? 2 ? , S ? 4 2 ∵ t 为整数,∴ t ? ?1 .
根据韦达定理得: x1 ? x2 ? t ? ?1,? x1 ? x2 ? 2 ? ? ? ?1 ,? ? ? ?3 .
x1 ? x2 ? 1 ? ?0 ? 3 ? ?? 3 3 3 3 3 ? y1 ? y2 ? 2 3 ? 2 ? ? 2 3 ? 2 ? 3 ? 2 ? ? ?0 ? 3 3 3 ?

???11 分

故 O 是 ?MAB 的重心. (22)解: (I)∵ AB ? ( x ? 1,x ? f ?(?1)) ,
2

???12 分

∴ f ?( x) ? AB ? m = a ( x ? 1) ? x 2 ? f ?(?1) . 令 x ? 1 ,则 f ?(?1) ? a( x ? 1) ? (?1) 2 ? f ?(?1) ,解得 f ?(?1) ? ∴ f ?( x) ? x 2 ? ax ? a ?
1 . 2
1 . 2

??? ?

∵ y ? f ( x) 的图象过原点, ∴ f ( x) ?

1 3 a 2 1 x ? x ? (a ? ) x . 3 2 2
2 3 1 2 x ? x ?x. 3 2

????4 分

(II)原方程可以整理为 a ? 令 g ( x) ?

2 3 1 2 x ? x ? x ,则 g ?( x) ? 2 x 2 ? x ? 1 . 3 2
1 , 2

由 g ?( x) ? 0 有 x ? ?1 或 x ? 且当 x ? ?1 或 x ?

1 1 时 g ?( x) ? 0 ,当 ? 1 ? x ? 时 g ?( x) ? 0 . 2 2

∴ 在 x ? [?1,1] 时, g ( x) 在 ? ?1, ? 上是减函数,在 ? ,1? 上是增函数,??8 分 2 2

? ?

?? ?

?? ? ? ?

∴ 在 ? ?1,1? 上 g ( x) ? g ( ) ? ? min

1 2

7 . 24

又 g (?1) ?

5 1 ? g (1) ? , 6 6
7 1 ?a? . 24 6
?????10 分
3 . 2

∴ 要使原方程在 ? ?1,1? 上有两个不相等的实数根,则须使 ? 即 a 的取值范围为 ? ?

? 7 1? , ?. ? 24 6 ?

(III) a ? 2 时, f ?( x) ? x 2 ? 2 x ?

2 2 ∴ 4an ? 2(an?1 ? 2an?1 ? ) ? 3 ),整理得 2an ? an ?1 ? 2an ?1 ( n ? 2 ).

3 2

变形得

? an?1 ? 1?

2

? 2an ? 1 ? 2 ? an ? 1? ,

2 令 cn ? an ? 1 ,则 c1 ? 4 , 2cn ? cn ?1 ( n ? 2 ) . 2 两边同取对数有 log 2 (2cn ) ? log 2 cn ?1 ,即 1 ? log 2 cn ? 2 log 2 cn?1 .

令 d n ? log 2 cn ,则 d1 ? 2 ,且 1 ? d n ? 2d n?1 , ∴ d n -1>2( d n ?1 -1)( n ? 2 ), ∴ d n -1>2( d n ?1 -1) >2 ( d n ? 2 -1)>??> 2 n ?1 ( d1 -1)= 2 n ?1 ,
2

∴ d n >1+ 2 n ?1 > 2 n ?1 ,∴ cn = 2 ∴ an ? 2
2n?1

dn

? 22 ,

n ?1

? 1 ( n ? 2 ).
1?1

当 n ? 1 时, a1 =3> 2 2 -1=1,即不等式也成立, ∴ an ? 2
2n?1

? 1? n ? N* ? .

????14 分

附:文科备选题
12.已知集合 A={1, 2, 3, 4},函数 f(x)的定义域、值域都是 A,且对于任意 i ? A , f (i ) ? i 设 a 1, a 2, a 3, a 4 是 1,2,3,4 的任意一个排列,定义数表:

? a1 ? ? f (a ) 1 ?

a2 f (a 2 )

a3 f (a3)

a4 f (a 4 )

? ? ,若两个数表的对应位置上至少有一个数不同, ? ?

就说这是两张不同的数表,那么满足条件的不同的数表的张数为( )A 22.已知函数 f ? x ? ? x ? x ? ax ? b ( a,b ? R)的一个极值点为 x ? 1 .
3 2

A.216

B.108

C.48

D.24

(1) 求 a 的值和 f ( x) 的单调区间;(2) 若方程 x 2 ? bx ? ab ? 0 的两个实根为 ? , ?

?? ? ? ? ,

函数 f ? x ? 在区间 ?? , ? ? 上单调 求 b 的取值范围。 解: (1)∵ f ? x ? ? x ? x ? ax ? b , ∴ f
3 2 3 2 '

? x ? ? 3x 2 ? 2 x ? a .

∵ f ? x ? ? x ? x ? ax ? b 的一个极值点为 x ? 1 , ∴ f ?1? ? 3 ? 1 ? 2 ?1 ? a ? 0 . ∴ a ? ?1 . ———3分
' 2

∴f

'

? x ? ? 3x 2 ? 2 x ? 1 ? ? 3x ? 1?? x ? 1? ,
'

当 x ? ? 时, f

1 3

? x ? ? 0 ;当 ? 1 ? x ? 1 时,
3

f ' ? x ? ? 0 ;当 x ? 1 时, f ' ? x ? ? 0 ;

∴函数 f ? x ? 在 ? ??, ? ? 上单调递增, 在 ? ? ,1? 上单调递减,在 ?1, ?? ? 上单调递增. 6分 3? ? ? 3 ? (2)∵方程 x 2 ? bx ? b ? 0 的两个不等实根为 ? , ? ,∴△=b2-4b>0, ∵ 函数 f ? x ? 在区间 ?? , ? ? 上是单调的, ∴区间 ?? , ? ? 只能是区间 ? ??, ? ? , ? ? ,1? , ?1, ?? ? 之一的子区间. 3 3 记 g ( x) ? x 2 ? bx ? b , g ? x ? 的对称轴为x= b<0或b>4 (*)

?

1?

? 1 ?

? ?

1? ? 1 ? ? ? ?

b , 2

①. [? , ? ] ? ? ??, ? ? , 3

? ?

1? ?

1 ? b ? 2 ??3 ? 则? ,解得无解;————9分 ? g (? 1 ) ? 1 ? 4 b ? 0 ? 3 9 3 ?

1 b ? ? ? 3 ? 2 ?1 ? 1 1 ? ?? 0 ② [? , ? ] ? (? ,1) ,则 ? ,解得 b ? [? , 0) ———————12分 3 12 ? g (? 1 ) ? 1 ? 4 b ? 0 ? 3 9 3 ? g (1) ? 0 ?

?b ? 2 ?1 ? ③ [? , ? ] ? ?1, ?? ? 则 ? g (1) ? 1 ? 0 解得b>4 ?? ? 0 ? ?
∴实数 b 的取值范围为 [?

1 , 0) ? (4, ??) . 12

-------------------15分

22.设函数 f ( x) ? ?

1 3 x ? 2ax 2 ? 3a 2 x ? 1, 0 ? a ? 1. 3

(I)求函数 f (x) 的极大值; (II)若 x ? ?1 ? a,1 ? a ? 时,恒有 ? a ? f ?( x) ? a 成立(其中 f ? ? x ? 是 函数 f ? x ? 的导函数) ,试确定实数 a 的取值范围. 解: (I)∵ f ?( x) ? ? x ? 4ax ? 3a ,且 0 ? a ? 1 ,?????????????1 分
2 2

当 f ?( x) ? 0 时,得 a ? x ? 3a ;当 f ?( x) ? 0 时,得 x ? a或x ? 3a ; ∴ f (x) 的单调递增区间为 (a,3a ) ;

f (x) 的单调递减区间为 (??, a ) 和 (3a,??) .?????????????3 分
故当 x ? 3a 时, f (x) 有极大值,其极大值为 f ? 3a ? ? 1 . ???????4 分 (II)∵ f ? ? x ? ? ? x 2 ? 4ax ? 3a 2 ? ? ? x ? 2a ? ? a 2 ,
2

当0 ? a ?

1 时, 1 ? a ? 2a , 3

∴ f ?( x) 在区间 ?1 ? a,1 ? a ? 内是单调递减.????????????????6 分

? ? ∴ ? f(x)max ? f ? ?1-a ? ? ?8a 2 ? 6a ? 1,

? ? ? f(x)min ? f ? ?1+a ? ? 2a ? 1 .

??8a 2 ? 6a ? 1 ? a, ∵ ? a ? f ?( x) ? a ,∴ ? 此时, a ?? .???9 分 ?2a ? 1 ? ?a.


1 ? ? ? a ? 1 时, ? f(x)max ? f ? ? 2a ? ?a 2 . 3
?

?0 ? a ? 1, ? a 2 ? a, ? ? 1 ∵ ? a ? f ?( x) ? a ,∴ ? 2a ? 1 ? ? a, 即? ?a ? , ??8a 2 ? 6a ? 1 ? ? a. ? 3 ? ? ? ?

??11 分

7 ? 17 7 ? 17 ?a? . 16 16

此时,

1 7 ? 17 .???????????????????????13 分 ?a? 3 16

综上可知,实数 a 的取值范围为 ? ,

? 1 7 ? 17 ? ? .?????????????14 分 3 16 ? ?

高三数学老师共同的心愿:祝你健康,快乐,成功!


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