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2012年北京海淀二模数学(理科)及参考答案


北京市海淀区 2011-2012 学年度高三年级第二次综合练习

数学试卷(理工类)

2012.4

(考试时间 120 分钟 满分 150 分) 本试卷分为选择题(共 40 分)和非选择题(共 110 分)两部分

第一部分( 第一部分(选择题 共 40 分)
小题, 一、选择题(本大题

共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) 选择题( ) 1、 若 sin θ cos θ < 0 ,则角 θ 是( A.第一或第二象限角 B.第二或第三象限角 C.第三或第四象限角 D.第二或第四象限角
2、

已知命题 p : ?x0 ∈ R , 2 x0 = 1 ,则 ?p 是(
A. ?x0 ∈ R , 2 x0 ≠ 1 C. ?x0 ∈ R , 2 x0 ≠ 1



B. ?x0 ? R , 2 x0 ≠ 1 D. ?x0 ? R , 2 x0 ≠ 1

3、

?x = 1 + t 直线 ? ( t 为参数)的倾斜角大小为( ?y =1? t π π π A. ? B. C. 4 4 2


D. 3π 4

4、

? ? x ? y ≤1 ? 若整数 x 、 y 满足 ? x + y ≥ 1 ,则 2x + y 的最大值是( ? 3 ?y ≤ 2 ? A.1 B. 5 C. 2 D. 3



5、

uuur uuuu r 已知 F1 、 F2 是椭圆 x 2 + 2 y 2 = 2 的两个焦点,点 P 是该椭圆上的一个动点,那么 PF1 + PF2 的最


小值是(

A. 0
6、

B. 1

C. 2

D. 2 2


为了得到函数 y = log 2 x ? 1 的图象,可将函数 y = log 2 x 的图象上所有的点(
1 倍,横坐标不变,再向右平移 1 个单位长度 2 1 B.纵坐标缩短到原来的 倍,横坐标不变,再向左平移 1 个单位长度 2 C.横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变,再向左平移 1 个单位长度 A.纵坐标缩短到原来的

7、

D.横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变,再向右平移 1 个单位长度 某几何体的主视图与俯视图如图所示,左视图与主视图相同,且图中的四边形都是边长为 2 的正

方形,两条虚线互相垂直,则该几何体的体积是(



主俯俯

俯俯俯

2012 年海淀二模数学(理)

1

A.
8、

20 3

B.

4 3

C. 6

D. 4

1 ( x > 0 )上的一个动点,该曲线 C 在点 P 处的切线与 x 轴、 y 轴分 x 别交于 A 、 B 两点,点 O 是坐标原点,给出三个命题:

点 P ( x , y ) 是曲线 C : y =

① PA = PB ; ② △OAB 的周长有最小值 4 + 2 2 ; ③ 曲线 C 上存在两点 M 、 N ,使得 △OMN 为等腰直角三角形. 其中真命题的个数是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 0

第二部分(非选择题 共 110 分) 部分(
小题, 二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) 填空题(

9、

在面积为 1 的正方形 ABCD 内部随机取一点 P ,则 △PAB 的面积大于等于
10

1 的概率是 4



10、 已知 ( x + 1) = a1 + a2 x + a3 x 2 + L + a11 x10 .若数列 a1 , a2 , a3 , L , ak ( 1 ≤ k ≤ 11 , k ∈ Z )是一
个单调递增数列,则 k 的最大值是 .

11、 在 △ ABC 中,若 ∠A = 120° , c = 5 , △ ABC 的面积为 5 3 ,则 a = . 7 12、 如图, ? O 的直径 AB 与弦 CD 交于点 P , CP = , PD = 5 , AP = 1 ,则 ∠DCB = 5
D
D C F



P

A C

P

B
A B
2

E

13、 某同学为研究函数 f ( x ) = 1 + x 2 + 1 + (1 ? x ) ( 0 ≤ x ≤ 1 )的性质,构造了如图所示的两个边
长为 1 的正方形 ABCD 和 BEFC ,点 P 是边 BC 上的一个动点,设 CP = x ,则 AP + PF = f ( x ) .请 你参考这些信息,推知函数 f ( x ) 的图象对称轴方程是 个数是 . ;又已知点 B ( a , 1) ( a 为常数) ,那么 PB + PA 的最小值 ;函数 g ( x ) = 4 f ( x ) ? 9 的零点的

14、 曲线 C 是平面内到定点 A (1 , 0 ) 的距离与到定直线 x = ?1 的距离之和为 3 的动点 P 的轨迹. 则曲线 C 与 y 轴的交点的坐标是 d (a) =


小题, 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 解答题( ) 15、 (本小题满分 13 分) 已知公差不为 0 的等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , S3 = a4 + 6 ,且 a1 , a4 , a13 成等比数列. ⑴ 求数列 {an } 的通项公式;

?1? ⑵ 求数列 ? ? 的前 n 项和公式. ? Sn ? 16、 (本小题满分 14 分)
如图所示, PA ⊥ 面 ABC ,点 C 在以 AB 为直径的圆 O 上, ∠CBA = 30° , PA = AB = 2 ,点 E 为 AB 线段 PB 的中点,点 M 在 ? 上,且 OM ∥ AC .

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2

P

E C A M

O

B

⑴ 求证:平面 MOE ∥ 平面 PAC ; ⑵ 求证:平面 PAC ⊥ 平面 PCB ; ⑶ 设二面角 M ? BP ? C 的大小为 θ ,求 cos θ 的值. 17、 (本小题满分 13 分) 某公司准备将100 万元资金投入代理销售业务,现有 A 、 B 两个项目可供选择:
⑴ 投资 A 项目一年后获得的利润 X 1 (万元)的概率分布列如下表所示:

且 X 1 的数学期望 E ( X 1 ) = 12 ; ⑵ 投资 B 项目一年后获得的利润 X 2 (万元)与 B 项目产品价格的调整有关, B 项目产品价格根 据销售情况在 4 月和 8 月决定是否需要调整, 两次调整相互独立且在 4 月和 8 月进行价格调整的概 率分别为 p ( 0 < p < 1 )和 1 ? p .经专家测算评估: B 项目产品价格一年内调整次数 X (次) 与 X 2 的关系如下表所示:

⑴ 求 a , b 的值; ⑵ 求 X 2 的分布列; ⑶ 若 E ( X 1 ) < E ( X 2 ) ,则选择投资 B 项目,求此时 p 的取值范围.

18、 (本小题满分 13 分)
已知椭圆 C :

? 2? x2 y 2 + 2 = 1 ( a > b > 0 )的右焦点为 F (1 , 0 ) ,且点 ? ?1 , ? 在椭圆 C 上. 2 ? ? a b 2 ? ?

⑴ 求椭圆 C 的标准方程; ⑵ 已知动直线 l 过点 F ,且与椭圆 C 交于 A 、 B 两点.试问 x 轴上是否存在定点 Q ,使得 uuu uuu r r 7 QA ? QB = ? 恒成立?若存在,求出点 Q 的坐标;如果不存在,请说明理由. 16 19、 (本小题满分 14 分) 1 已知函数 f ( x ) = a ln ( x ? a ) ? x 2 + x ( a < 0 ) . 2 ⑴ 求 f ( x ) 的单调区间; ⑵ 若 ?1 < a < 2 ( ln 2 ? 1) ,求证:函数 f ( x ) 只有一个零点 x0 ,且 a + 1 < x0 < a + 2 ; ⑶ 当a=?

4 时 , 记 函 数 f ( x ) 的 零 点 为 x0 , 若 对 任 意 x1 , x2 ∈ [ 0 , x0 ] , 且 x2 ? x1 = 1 , 都 有 5

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ≥ m 成立,求实数 m 的最大值.
2012 年海淀二模数学(理) 3

(本题可参考数据: ln 2 ≈ 0.7 , ln 20、 (本小题满分 13 分)

9 9 ≈ 0.8 , ln ≈ 0.59 ) 4 5

将一个正整数 n 表示为 a1 + a2 + L + a p ( p ∈ N? )的形式,其中 ai ∈ N? , i = 1 , 2 , L , p ,且
a1 ≤ a2 ≤ L ≤ a p , 记 所 有 这 样 的 表 示 法 的 种 数 为 f ( n ) ( 如 4 = 4 , 4 = 1 + 3 , 4 = 2 + 2 ,
4 = 1 + 1 + 2 , 4 = 1 + 1 + 1 + 1 ,故 f ( 4 ) = 5 ) . ⑴ 写出 f ( 3) , f ( 5 ) 的值,并说明理由;

1 ⑵ 对任意正整数 n ,比较 f ( n + 1) 与 ? f ( n ) + f ( n + 2 ) ? 的大小,并给出证明; ? 2?
⑶ 当正整数 n ≥ 6 时,求证: f ( n ) ≥ 4n ? 13 .

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北京市海淀区 2011-2012 学年度高三年级第二次综合练习 数学参考答案及评分标准(理工类)
一、选择题(每小题 5 分,共 40 分) 1 2 3 4 D A D B 二、填空题(每小题 5 分,共 30 分) 1 9、 10、 6 2

5 C

6 A

7 A

8 C

11、 61

12、 45°

13、 x =

1 ;2 2

7 2 ? ? ( a ? 1) + 1 , a ≤ ? 5 ? 7 ? ? 14、 0 , ± 3 , ? 4 + a , ? 5 < a ≤ ?1 ? ?2 ? a , ? 1 < a ≤ 1 ? 2 ? ( a ? 1) + 1 , a > 1 ?

(

)

三、解答题 15、 (本小题满分 13 分) ⑴ 设等差数列的公差为 d ,则 S3 = 3a2 = 3a1 + 3d , a4 = a1 + 3d , a13 = a1 + 12d . 从而由 S3 = a4 + 6 ,得 3a1 + 3d = a1 + 3d + 6 ……① 由 a1 , a4 , a13 成等比数列,得 a4 2 = a1a13 ,于是 ( a1 + 3d ) = a1 ( a1 + 12d ) ……②
2

………………2 分 ………………3 分 ………………4 分 ………………5 分 ………………6 分 ………………8 分 ………………9 分 ………………11 分

由①②,解得 a1 = 3 , d = 2 . 从而 an = 2n + 1 , n ∈ N? . ⑵ Sn =

( a1 + an )
2

d = n ( n + 2) .

?1? 1 1 1 1 1 1 于是数列 ? ? 的前 n 项和为 + + + +L + + 1? 3 2 ? 4 3 ? 5 4 ? 6 ( n ? 1)( n + 1) n ( n + 2 ) ? Sn ?
= 1 ?? 1 ? ? 1 1 ? ? 1 1 ? ? 1 1 ? 1 ? ?1 1 ?? ? 1 ? ?1 ? ? + ? ? ? + ? ? ? + ? ? ? + L + ? ?+? ? ? 2 ?? 3 ? ? 2 4 ? ? 3 5 ? ? 4 6 ? n ? 1 n + 1 ? ? n n + 2 ?? ? ? ?

1? 1 1 1 ? = ?1 + ? ? ? 2 ? 2 n +1 n + 2 ? = 3 1? 1 1 ? ? ? + ? 4 2 ? n +1 n + 2 ?

………………13 分

16、 (本小题满分 14 分) 法一

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5

P

E Q C N A M O B

⑴ E 点为线段 PB 的中点, O 点为直径 AB 的中点,∴ OE ∥ PA 又 OM ∥ AC ∴平面 MOE ∥ 平面 PAC ⑵ ∵ AB 为直径,∴ ∠ACB = 90° ,从而 BC ⊥ AC 又 PA ⊥ 平面 ABC ,∴ PA ⊥ BC 因此 BC ⊥ 平面 PAC , 从而平面 PAC ⊥ 平面 PBC ⑶ 连接 CM ,容易证明 CM ⊥ AB . 设 CM 交 AB 于 N ,过 M 作 MQ ⊥ PB 于 Q ,连接 NQ .
∵ PA ⊥ CM , CM ⊥ AB ,∴ CM ⊥ 平面 PAB 又 CN = MN ,∴ θ = 2∠MQN . 在 △PAB 中, NB =

………………2 分 ………………3 分 ………………4 分

………………5 分 ………………6 分 ………………7 分 ………………8 分 ………………9 分

………………10 分

3 3 ,∴ NQ = 2 2 2
………………11 分 ………………12 分 ………………13 分 ………………14 分

1 3 在底面中, MN = CM = 2 2
因此 tan ∠MQN =
MN 6 = , 3 NQ 2 tan ∠MQN =2 6 1 ? tan 2 ∠MQN

∴ tan θ = tan 2∠MQN = 从而 cos θ = 法二
z P

1 . 5

E C y A x M O B

⑴ 如图建系, A ( 0 , 0 , 0 ) , B ( 0 , 2 , 0 ) , P ( 0 , 0 , 2 ) , O ( 0 , 1 , 0 ) , E ( 0 , 1 , 1) ,………………1 分

? 3 1 C?? ? 2 , 2, ?

? ? 3 1 0? , M ? ? ? 2 , 2, ? ?

? 0? . ? ?

………………3 分

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6

uuur ? uuu r 3 1 AP = ( 0 , 0 , 2 ) , AC = ? ? ? 2 , 2, ? uuuu ? 3 r uuu r 1 OE = ( 0 , 0 , 1) , OM = ? ? 2 , ?2, ?

? 0 ? ,∴平面 PAC 的一个法向量为 1 , ? ?

(

3, 0

) )

………………4 分

? 0 ? ,∴平面 OEM 的一个法向量为 1 , ? ?

(

3, 0

………………5 分
………………6 分

因此平面 MOE ∥ 平面 PAC . uuu ? r uuu r 3 3 ⑵ PB = ( 0 , 2 , ? 2 ) , BC = ? ? ? 2 , ?2, ?


? 0 ? ,∴平面 PBC 的一个法向量为 ? ?

(

3 , ?1, 1

)

………8 分

(

3 , ?1, 1 ? 1,

)(

3 , 0 = 0 ,因此平面 PAC ⊥ 平面 PCB .
? 0 ? ,∴平面 MPB 的一个法向量为 ? ?

)

………………10 分

uuur ? uuu r 3 3 ⑶ PB = ( 0 , 2 , ? 2 ) , MB = ? ? ? 2 , 2, ?
由题,二面角 M ? BP ? C 为锐角, 因此 cos θ =

(

3 , 1, ?1

)

…………12 分

( (

)( 3 , ? 1 , 1) ? (
3 , ?1, 1 ?

3 , 1, ?1

) =1. 3 , 1 , ? 1) 5

………………14 分

17、 (本小题满分 13 分) ⑴ 由概率和为 1 ,得 a + 0.4 + b = 1
由 E ( X 1 ) = 11a + 12 × 0.4 + 17b = 12 从而解得 a = 0.5 , b = 0.6 . ⑵ 分布列如下表:

………………1 分 ………………2 分 ………………4 分

………………8 分 ⑶ E ( X 1 ) < E ( X 2 ) ,得 12 < ( 4.12 + 20.40 ) ? p (1 ? p ) + 11.76 ? p + (1 ? p ) ? ? ?
2 2

………………10 分

化简得 p 2 ? p + 0.24 < 0 ,解得 0.4 < p < 0.6 . 从而 p 的取值范围为 ( 0.4 , 0.6 ) . ………………13 分

18、 (本小题满分 13 分)

⑴ a 2 ? b2 = 1 , ∴椭圆方程为

( ?1)
a2

2

? 2? ? ? 2 ? ? + ? 2 ? = 1 ,解得 a 2 = 2 , b 2 = 1 b
………………4 分

2

x2 + y2 = 1 2

⑵ 设当直线 l 不与 x 轴垂直时,设直线 l : y = k ( x ? 1) , A ( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 ) , Q ( m , 0 ) ,则 uuu uuu r r QA ? QB = ( x1 ? m , y1 ) ? ( x2 ? m , y2 ) = ( x1 ? m )( x2 ? m ) + k 2 ( x1 ? 1)( x2 ? 1) ………………6 分 联立直线与椭圆方程有
x 2 + 2k 2 ( x ? 1) = 2 ,即 ( x ? 1) + 2 ( x ? 1) + 1 + 2k 2 ( x ? 1) = 2
2 2 2

∴ ( x1 ? 1)( x2 ? 1) = ?

1 2k + 1
2

………………8 分

2 2 2 2 x 2 + 2k 2 ( x ? 1) = 2 ,即 ( x ? p ) + 2 p ( x ? p ) + p 2 + 2k 2 ?( x ? p ) + 2 ( p ? 1)( x ? p ) + ( p ? 1) ? = 2 ? ?

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7

∴ ( x1 ? p )( x2 ? p ) =

p 2 + 2k 2 ( p ? 1) ? 2
2

2k 2 + 1

………………10 分

2 2 2 uuu uuu p 2 + 2k 2 ( p ? 1)2 ? 2 ? k 2 ? 2 ( p ? 1) ? 1? k + p ? 2 r r ? ? 从而 QA ? QB = = 2k 2 + 1 2k 2 + 1 2 uuu uuu r r 2 ( p ? 1) ? 1 p 2 ? 2 5 若 QA ? QB 为定值,则 ,解得 p = = 2 1 4 uuu uuu r r 7 此时 QA ? QB = ? . 16 uuu uuu r r 7 经验证,当直线 l 与 x 轴垂直时, QA ? QB = ? 也成立. 16

………………11 分 ………………12 分

?5 综上,点 Q 的坐标为 ? , ?4 19、 (本小题满分 14 分)

? 0? . ?

………………13 分

? ( x ? a ) x + x ? a + a ? x 2 + ( a + 1) x 1 = ? x +1 = ,x >a. x?a x?a x?a a +1 2 设 h ( x ) = ? x 2 + ( a + 1) x ,则 h ( a ) = a < 0 ,对称轴 x = > a , ? = ( a + 1) 2

⑴ f ′( x) = a ?

………………2 分

1° a < ?1 时, h ( a ) 在 ( a , + ∞ ) 有两个零点 a + 1 和 0 ,且 a + 1 < 0

∴ f ( x ) 在 ( a , a + 1) 和 ( 0 , + ∞ ) 上单调递减; f ( x ) 在 ( a + 1 , 0 ) 上单调递增.
2° a = ?1 时, h ( a ) 在 ( a , + ∞ ) 上满足 h ( a ) ≤ 0

………………3 分

∴ f ( x ) 在 ( a , + ∞ ) 上单调递减
3° ?1 < a < 0 时, h ( a ) 在 ( a , + ∞ ) 有两个零点 a + 1 和 0 ,且 0 < a + 1

………………4 分

∴ f ( x ) 在 ( a , 0 ) 和 ( 0 , a + 1) 上单调递减; f ( x ) 在 ( 0 , a + 1) 上单调递增. 而 f ( 0 ) = a ln ( ?a ) > 0
f ( a + 2 ) = a ln 2 ?

………………5 分 ……7 分

⑵ 当 ?1 < a < 2 ( ln 2 ? 1) 时,由⑴中 3°情形,只需要证明 f ( 0 ) > 0 同时 f ( a + 2 ) < 0 .

………………8 分

2 1 1 1 2 ( a + 2 ) + a + 2 = a ( ln 2 ? 1) ? a 2 < 2 ( ln 2 ? 1)( ln 2 ? 1) ? ? 2 ( ln 2 ? 1)? = 0 ? ? 2 2 2 因此原命题得证. ………………9 分 4 ⑶ 当 a = ? 时, f ( x2 ) ? f ( x1 ) = f ( x1 + 1) ? f ( x1 ) 5

4 ? 4? 1 4 ? 4? 1 2 = ? ln ? x1 + 1 + ? ? ( x1 + 1) + x1 + 1 + ln ? x1 + ? + x12 ? x1 5 ? 5? 2 5 ? 5? 2 = 4 ? 9? 4 ? 4? 1 ln ? x1 + ? ? ln ? x1 + ? + x1 ? 5 ? 5? 5 ? 5? 2

………………10 分

4 ? 9? 4 ? 4? 1 设 g ( x ) = ln ? x + ? ? ln ? x + ? + x ? ,则 5 ? 5? 5 ? 5? 2

g′( x) =

4 1 4 1 1 5 x 2 + 13x + 32 ? ? ? +1 = ? 4 ?? 9? 5 x+9 5 x+ 4 5 ? ? x + ?? x + ? 5 5 5 ?? 5? ?

………………11 分

因此 g ′ ( x ) 在 [ 0 , + ∞ ) 上满足 g ′ ( x ) > 0 ,∴ g ( x ) 在 [ 0 , + ∞ ) ( 0 , + ∞ ) 上单调递增 ………………12 分
4 9 4 4 1 4 9 1 因此 g ( x ) ≥ g ( 0 ) = ln ? ln ? = ln ? ≈ 0.14 5 5 5 5 2 5 4 2

………………13 分

也即当 x1 = 0 , x2 = 1 时 f ( x2 ) ? f ( x1 ) 取得最小值为 0.14 ,因此实数 m 的最大值为 0.14 .………14 分
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20、 (本小题共 13 分) ⑴ 3 = 3 , 3 =1+ 2 , 3 =1+1+1 ∴ f ( 3) = 3 ………………2 分 ………………4 分
5 = 5 , 5 =1+ 4 , 5 = 2 + 3 , 5 =1+1+ 3, 5 =1+ 2 + 2 , 5 =1+1+1+ 2 , 5 =1+1+1+1+1 ,

∴ f ( 5) = 7

⑵ f (1) = 1 , f ( 2 ) = 2 , f ( 3) = 3 , f ( 4 ) = 5 , f ( 5 ) = 7 , f ( 6 ) = 11 , f ( 7 ) = 15 ,….
1 f ( n + 1) ≤ ? f ( n ) + f ( n + 2 ) ? ? 2? 只需要证明 f ( n + 2 ) ? f ( n + 1) ≥ f ( n + 1) ? f ( n ) ,证明如下: ………………5 分

………………6 分

注意到在 n 的所有表示法 ( n + 1) 前加上“ 1 + ”就可以得到 ( n + 1) 的表示法中以 1 为第一项的表示法, 因此 ( n + 1) 的表示法中以 1 为第一项的有 f ( n ) 种, 因此不以 1 为第一项的有 f ( n + 1) ? f ( n ) 种; 类似的, ( n + 2 ) 的表示法中不以 1 为第一项的有 f ( n + 2 ) ? f ( n + 1) 种; 中不以 1 为第一项的表示法,且这些表示法均不相同. ∴ f ( n + 2 ) ? f ( n + 1) ≥ f ( n + 1) ? f ( n )
综上,命题得证. ⑶ 法一 根据⑵, f ( n + 2 ) ? f ( n + 1) ≥ f ( n + 1) ? f ( n ) ,而 f ( 6 ) = 11 , f ( 7 ) = 15 累加就有 f ( n ) ? f ( 6 ) ≥ 4 ( n ? 6 ) ,即 f ( n ) ≥ 4n ? 13 . 法二 由于当 n = 6 时, f ( 6 ) = 11 ,命题成立; 因此只需要证明当 n ≥ 6 时, f ( n + 1) ? f ( n ) ≥ 4 即可. 在 ( n + 1) 的表示法中,以 1 为第一项的有 f ( n ) 个; 考虑 ( n + 1) 的表示法中不以 1 为第一项的,至少有三类 ………………10 分 ………………9 分 ………………10 分

………………7 分

在所有以 ( n + 1) 的表示法中所有不以 1 为第一项的表示法中的最后一项加上 1 就可以得到 ( n + 2 ) 的表示法

∴ f ( 7 ) ? f ( 6 ) = 4 , f ( 8 ) ? f ( 7 ) ≥ 4 , f ( 9 ) ? f ( 8 ) ≥ 4 ,…, f ( n ) ? f ( n ? 1) ≥ 4 ,其中 k ∈ N? …11 分 ………………13 分

1 个数的, ( n + 1) = ( n + 1) ,共 1 个; ? n + 1? ? n + 1? 2 个数的, ( n + 1) = 2 + ( n ? 1) , ( n + 1) = 3 + ( n ? 2 ) ,…, ( n + 1) = ? ? + ( n + 1) ? ? 2 ? ,至少有 2 个; ? 2 ? 144 ? 3 244 ? ? n + 1? ? n + 1? ? n + 1? 3 个数的, ( n + 1) = ? ? + ? 3 ? + ( n + 1) ? 2 ? 3 ? ,…,至少有 1 个. ? 3 ? ? ? 1442444 ? 4 ? 3
从而 f ( n + 1) ? f ( n ) ≥ 4 . 累加即得 f ( n ) ≥ 4n ? 13 . ………………12 分 ………………13 分

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2015年北京海淀高三二模数学(理科)试题及答案

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2014年北京海淀高三二模数学(理科)试题及答案

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2012年北京市海淀区二模数学卷及答案(海淀理)

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北京市海淀区2016届高三二模数学(理科)试题及答案

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