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【优化方案】2014届高考数学(文科,大纲版)一轮复习配套课件:8.2 双曲线


§8.2

双曲线

本节目录

教 材 回 顾 夯 实 双 基

考 点 探 究 讲 练 互 动

考 向 瞭 望 把 脉 高 考

知 能 演 练 轻 松 闯 关

教材回顾夯实双基
基础梳理
1.到两个定点 F1

与 F2 的距离之差的绝对值等于 定长(小于|F1F2|)的点的轨迹 2.到定点 F 与到定直线 l 的距离之比等于常数 e(大于 1)的点的轨迹 x a2
2

定义

方程



y b2

2



1(c



a2+b2)(a>0,b>0)

y2 x2 - 2 = 1(c = a2 b a2+b2 )(a>0 , b>0)

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焦点

F2(c,0) F1(-c,0);______

F2(0,c) F1(0,-c);_________

图形

顶点 性 质 离心率 准线方 程 渐近线 方程 范围 轴 焦点半 径 对称性

A2(a,0) A1(-a,0) ______ A1(0,-a) A2(0,a) ________ c c e= (e>1) e= (e>1) a a a2 a2 l:x=± l:y=± c c b a y=± x y=± x a ___________ b |x|≥a |y|≥a 实轴长 2a,虚轴长 2b 用第二定义推导,不必记忆,注意区分在哪一支上, 焦点在何处 关于坐标轴成轴对称图形, 关于原点成中心对称图形

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思考探究 1.在双曲线的第一定义中,如果常数2a=|F1F2|,2a>|F1F2|, 2a=0时,则动点M的轨迹分别是什么? 提示:如果2a=|F1F2|,则M的轨迹是以F1,F2为端点的两条 射线;如果2a>|F1F2|,则轨迹不存在;如果2a=0,则M的轨 迹是线段F1F2的垂直平分线. 2.双曲线的离心率e的大小对双曲线的“开口”大小有什 么影响? 提示:双曲线的离心率是描述双曲线“开口”大小的一个重要
c 数据,由 e= >1 可推出 e 越大,双曲线的“开口”就越开阔. a
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课前热身
x 2 y2 1. (教材改编)双曲线 - =1 的两条准线间的距离等于( 4 3 A. 6 7 7 8 7 B. 7 16 D. 5 )

18 C. 5

答案:B

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2.(2011· 高考课标全国卷)设直线 l 过双曲线 C 的一个焦点,且 与 C 的一条对称轴垂直,l 与 C 交于 A,B 两点,|AB|为 C 的 实轴长的 2 倍,则 C 的离心率为( A. 2 B. 3 )

C.2 D.3 x 2 y2 解析:选 B.设双曲线的标准方程为 2- 2=1(a>0,b>0), a b 由于直线 l 过双曲线的焦点且与对称轴垂直, 因此直线 l 的方程为 l:x=c 或 x=-c, 2 2 c2 x y b4 代入 2- 2=1 得 y2=b2? 2-1 ?= 2, ?a ? a a b b2 2b2 2b2 ∴y=± ,故|AB|= ,依题意 =4a, a a a

c2-a2 2 b2 ∴ 2=2,∴ 2 =e -1=2,∴e= 3. a a
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x2 y2 3.已知方程 - =1 表示双曲线,则 k 的取值范 1+k 1-k 围是( ) B.k>0 D.k>1 或 k<-1

A.-1<k<1 C.k≥0

答案:A

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y2 x 2 4.(2011· 高考上海卷)设 m 是常数,若点 F(0,5)是双曲线 - m 9 =1 的一个焦点,则 m=________.

解析:由已知条件有52=m+9,所以m=16. 答案:16

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5.双曲线x2+ky2=1的一条渐近线的斜率是2,则k的值为

________.
1 答案:- 4

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考点探究讲练互动
考点突破
考点 1 双曲线的定义

双曲线的第一定义是到两定点的距离差的绝对值为常数(小 于两定点间距离)时,才表示双支曲线,若无“绝对值”就只 表示一支曲线; 第二定义中, 定点和定直线是一组对应关系.

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例1

已知动圆M与圆C1:(x+4)2+y2=2外切,

与圆C2:(x-4)2+y2=2内切,求动圆圆心M的轨迹方程. 【思路分析】 利用两圆内、外切的充要条件找出M点满足的

几何条件,结合双曲线定义求解.

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【解】

如图所示,设动圆 M 的半径为 r,

则由已知|MC1|=r+ 2,|MC2|=r- 2, ∴|MC1|-|MC2|=2 2. 又 C1(-4,0),C2(4,0), ∴|C1C2|=8,∴2 2<|C1C2|. 根据双曲线定义知,点 M 的轨迹是以 C1(-4,0),C2(4,0)为焦点 的双曲线的右支.∵a= 2,c=4,∴b2=c2-a2=14, x 2 y2 ∴点 M 的轨迹方程是 - =1(x≥ 2). 2 14 【领悟归纳】 从|MC1|与|MC2|的大小关系上确定是双曲

线的哪一支.
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考点2

求双曲线的方程

如果由条件可知双曲线的焦点位置(虚实轴),那么一般用待定 系数法来解决,涉及几个独立参变量,那么就需要列出含有 这几个参变量的方程组,进而求解,或者直接根据双曲线的

定义求出a、b、c.

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例2

求适合下列条件的双曲线的标准方程:

9 (1)焦距为 16,准线方程为 y=± ; 2 3 (2)顶点间的距离为 6,渐近线方程为 y=± x. 2

【思路分析】

要求双曲线的标准方程,首先判断其焦点所

在的坐标轴,然后求其标准方程中待定的a和b.

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9 【解】 (1)由准线方程为 y=± ,可知双曲线的焦点在 y 轴上. 2

?2c=16, ? 2 由题意,得?a 9 解得 a=6,c=8, ? c =2. ?
所以 b2=c2-a2=64-36=28. y2 x 2 因此,所求双曲线的方程为 - =1. 36 28

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(2)法一:当焦点在 x 轴上时, x 2 y2 设所求双曲线的方程为 2- 2=1(a>0,b>0). a b ?2a=6, ? 9 由题意,得?b 3 解得 a=3,b= . 2 = . ?a 2 ? x 2 y2 所以焦点在 x 轴上的双曲线的方程为 - =1. 9 81 4 y2 x 2 同理,可求焦点在 y 轴上的双曲线的方程为 - =1. 9 4 x 2 y2 y2 x 2 因此所求双曲线方程为 - =1 或 - =1. 9 81 9 4 4
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x 2 y2 法二:设双曲线方程为 - =λ(λ≠0). 4 9 9 当 λ>0 时,2 4λ=6,∴λ= . 4 x 2 y2 此时双曲线的方程为 - =1; 9 81 4 当 λ<0 时,2 -9λ=6,∴λ=-1. y2 x 2 此时双曲线方程为 - =1. 9 4

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【总结升华】 如果满足题设条件的双曲线方程形式不确定时, x 2 y2 y2 x 2 一般有两种情况: 2- 2=1 或 2- 2=1; 如果满足题设条件的 a b a b x 2 y2 双曲线的标量 a(或 b 或 c)有两解,不能把 2- 2=1 中的 a b x,y 互换来得另一个方程.

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跟踪训练

求适合条件的双曲线的标准方程:与双曲线x2-2y2=2有共同
渐近线,且过点(2,-2).
解:设与双曲线 x2-2y2=2 有共同渐近线的双曲线方程为 x2 2 -y =k,将(2,-2)代入得 k=-2, 2 y2 x 2 ∴双曲线方程为 - =1. 2 4

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考点3

双曲线的几何性质及应用

由双曲线方程研究性质或根据性质确定曲线方程时,首先要 确定虚、实轴在哪个坐标轴上,否则就分类讨论. 渐近线是圆锥曲线中仅双曲线具有的特殊性质.渐近线确定 了双曲线的开口程度,但渐近线方程确定其对应的双曲线不 一定确定.

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x 2 y2 例3 如图,F 为双曲线 C: 2- 2=1(a>0,b>0)的右焦点,P a b 为双曲线 C 右支上一点, 且位于 x 轴上方, 为左准线上一点, M O 为坐标原点,已知四边形 OFPM 为菱形. (1)求双曲线 C 的离心率 e; (2)若经过焦点 F 且平行于 OP 的直线交双曲线于 A,B 两点, 且|AB|=12,求此时的双曲线方程.

【思路分析】

(1)由双曲线的第二定义得到关于离心率e的方

程,解出即可.(2)设出双曲线方程和直线方程,联立,然后 利用弦长公式求解.
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【解】

(1)由于四边形 OFPM 是菱形,

故|OF|=|PF|=c,作出双曲线的右准线交 PM 于点 H, 如图所示, 2a2 则|PM|=|PH|+ . c |PM| |OF| c c2 e2 所以离心率 e= = . 2= 2= 2 2= 2 |PH| 2a 2a c -2a e -2 c- c- c c 整理得 e2-e-2=0,解得 e=2 或 e=-1(舍), 故所求双曲线的离心率为 2.
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(2)由 e=2 得 c=2a,又 c2=a2+b2,故 b2=3a2, x 2 y2 双曲线方程为 2- 2=1. a 3a 设 P 的横坐标为 x0,由于四边形 OFPM 是菱形, a2 3 即|PF|=|PM|=c=2a.得 x0+ =2a,即 x0= a. 2 c 3 2 ? a? 2 y2 将其代入双曲线方程得 2 - 2=1. a 3a 解得 y= 15 3 15 a.即 P( a, a). 2 2 2

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15 15 kOP= .故直线 AB 的方程为 y= (x-2a). 3 3 将直线 AB 的方程代入到双曲线方程中得 4x2+20ax-29a2=0. 由|AB|=12, 15 20a 29 得 1+ · ?- ?2-4· ?- a2?=12. 9 4 4 y2 解得 a=1,则 b =3.故所求双曲线方程为 x - =1. 3 【思维总结】 要解决双曲线中有关离心率或求离心率范围的
2 2

c 问题,应找出题中的等量关系或不等关系,构造出离心率 e= a 的关系式,然后求解.

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方法感悟
方法技巧 1.用待定系数法求双曲线方程是最常用的方法. b x2 (1)若双曲线的渐近线方程是 y=± x, 则双曲线方程可表示为 2 a a y2 - 2=t(t≠0). b x 2 y2 (2)与双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)共焦点的双曲线方程可表示为 a b x2 y2 - 2 =1(-b2<k<a2). a2-k b +k (3)过两个已知点的双曲线的标准方程可表示为 x 2 y2 - =1(mn>0)或 Ax2+By2=1(AB<0). m n
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x 2 y2 (4)与椭圆 2+ 2=1(a>b>0)有共同焦点的双曲线方程可表示为 a b x2 y2 2 2 - 2 2=1(b <λ<a ). a -λ λ-b (5)对于等轴双曲线,其渐近线方程为 y=± x,离心率 e= 2(e = 2是双曲线为等轴双曲线的充要条件),等轴双曲线方程可 设为 x2-y2=λ(λ≠0). 利用上述结论求关于双曲线的标准方程,可简化解题过程,提 高解题速度.

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2. 渐近线的求法: 渐近线方程可以认为是把方程中的“1”用“0” x 2 y2 替换而得出的两条直线方程,如双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的 a b x 2 y2 x y b 渐近线方程为 2- 2=0,即 ± =0 或 y=± x. a b a b a 3.两条双曲线的渐近线的交点就是双曲线的中心.焦点到渐 近线的距离等于虚半轴长 b.

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失误防范
1.区分双曲线中的 a,b,c 与椭圆中的 a,b,c 之间的关系, 在椭圆中 a2=b2+c2,而在双曲线中 c2=a2+b2. 2.双曲线的离心率大于 1,而椭圆的离心率 e∈(0,1). x 2 y2 b y2 x 2 3.双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的渐近线方程是 y=± x, 2- 2 a b a a b a =1(a>0,b>0)的渐近线方程是 y=± x. b

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4.若利用弦长公式计算,在设直线斜率时要注意说明斜率不 存在的情况.

5.直线与双曲线交于一点时,不一定相切,例如:当直线与双
曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交于一点,但不是相切;

反之,当直线与双曲线相切时,直线与双曲线仅有一个交点.

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考向瞭望把脉高考
命题预测 高考重点考查双曲线的定义、标准方程、几何性质及直线与

双曲线的位置关系等内容,注重对创新能力和综合解题能力的
考查.近几年高考题对双曲线知识的考查以选择题、填空题 和解答题的形式均有呈现,其根源在于双曲线是由两支构成的 且有两条渐近线,在考查“双基”能力时更具灵活性和技巧性, 这也要求对基础知识的掌握应准确、灵活、完整、系统. 2012年的高考中,重庆卷、大纲全国卷等对双曲线的定义进 行考查.四川卷等以解答题形式对双曲线方程、直线与双曲 线的关系及向量知识综合进行考查.
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预测2014年高考会从以下几个方面来命题:(1)运用双曲线的 定义解决双曲线上一点到焦点的距离,焦点弦(过焦点的弦)等 有关问题,双曲线的定义仍将是考查的重点;(2)灵活运用双 曲线的几何性质解决离心率、渐近线问题,也是考查的重点, 有关离心率的问题将会是一个热点;(3)以双曲线为载体的结

合其它曲线的综合推理问题,也成为高考的热点.从命题形
式上看应以选择题、填空题为主.关于双曲线综合题将会减 少,难度降低.

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规范解答

例 (本题满分 13 分)(2011· 高考江西卷)P(x0, 0)(x0≠± y a)是双 x 2 y2 曲线 E: 2- 2=1(a>0,b>0)上一点,M,N 分别是双曲线 E a b 1 的左,右顶点,直线 PM,PN 的斜率之积为 . 5 (1)求双曲线的离心率; (2)过双曲线 E 的右焦点且斜率为 1 的直线交双曲线于 A,B 两
→ → → 点,O 为坐标原点,C 为双曲线上一点,满足OC=λOA+OB, 求 λ 的值.

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x 2 y2 x2 0 【解】 (1)由点 P(x0,y0)(x0≠± a)在双曲线 2- 2=1 上,有 2 a b a y2 0 - 2=1.(2 分) b y0 y0 1 c 由题意有 · = ,可得 a2=5b2,c2=a2+b2=6b2,e= a x0-a x0+a 5 30 .(4 分) 5 2 2 2 ?x -5y =5b , ? (2)联立? 得 4x2-10cx+35b2=0.(5 分) ?y=x-c, ? =

? 设 A(x ,y ),B(x ,y ),则? 35b xx= . ? 4
1 1 2 2 2 1 2

5c x1+x2= , 2



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→ → → → 设OC=(x3,y3),OC=λOA+OB, ?x3=λx1+x2, ? 即? (8 分) ? ?y3=λy1+y2. 又 C 为双曲线上一点, 即 x2-5y2=5b2, 3 3 有(λx1+x2)2-5(λy1+y2)2=5b2. 化简得 λ2(x2-5y2)+(x2-5y2)+2λ(x1x2-5y1y2)=5b2.②(10 分) 1 1 2 2 又 A(x1,y1),B(x2,y2)在双曲线上, 所以 x2-5y2=5b2,x2-5y2=5b2. 1 1 2 2 由①式又有 x1x2-5y1y2=x1x2-5(x1-c)(x2-c) =-4x1x2+5c(x1+x2)-5c2=10b2, ②式可化为 λ2+4λ=0, 解得 λ=0 或 λ=-4.(13 分)
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【名师点评】 本题考查了双曲线方程和它的几何性质,同时还 考查了直线与双曲线的位置关系,圆锥曲线与直线的综合类题 目中数形结合法是解题的首选,根与系数的关系是解题利器.

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知能演练轻松闯关

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