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河北省邯郸市2014届高三数学上学期第二次模拟考试试题 文(含解析)新人教A版


河北省邯郸市 2014 届高三数学上学期第二次模拟考试试题 文(含解 析)新人教 A 版
第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项 是符合题目要求的. 1.集合 A ? {x | ?2 ? x ? 2} , B ? {x | x 2 ? 2 x ? 0} ,则 A ? B ? ( A.

(0,2) B. (0,2] C. [0,2] D. [0,2) )

3.抛物线的准线方程为 y ? ?4 ,则抛物线的标准方程为( A. x ? 16y
2

)

B. x ? 8 y
2

C. y ? 16x
2

D. y ? 8x
2

【答案】A 【解析】

-1-

试题分析:∵抛物线的准线方程为 y ? ?4 ,∴ ?

p ? ?4 ,∴ p ? 8 ,∴ x 2 ? 16 y . 2

考点:1.抛物线的标准方程;2.抛物线的准线方程.

4.某程序框图如图所示,若输出的 S ? 120 ,则判断框内为( A. k ? 4 ? B. k ? 5? C. k ? 6 ?

)

D. k ? 7 ?

【答案】B 【解析】 试题分析:∵

s ? 1, k ? 1; k ? 2, s ? 4; k ? 3, s ? 11; k ? 4, s ? 26; k ? 5, s ? 57; k ? 6, s ? 120; 符合 k ? 5 ,
所以选 B. 考点:程序框图. 5.等差数列中, 3(a3 ? a5 ) ? 2(a7 ? a10 ? a13 ) ? 24 ,则该数列前 13 项的和是( A.13 B.26 C.52 D.156 )

-2-

6.下列说法正确的是(

)

A.若 p ? q 为假,则 p、q 均为假. B.若 p : ?x ? R, x 2 ? x ? 1 ? 0 ,则 ?p : ?x ? R, x2 ? x ? 1 ? 0 . C.若 a ? b ? 1 ,则

1 1 ? 的最小值为 4. a b

D.线性相关系数 | r | 越接近 1,表示两变量相关性越强.

-3-

8.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( A. 2? B. 2 2? C.

)

? 3

D.

2? 3

-4-

考点:三视图.

9.如图所示,一游泳者自游泳池边 AB 上的 D 点,沿 DC 方向游了 10 米, ?CDB ? 60 ,然后
?

任意选择一个方向并沿此方向继续游,则他再游不超过 10 米就能够回到游泳池 AB 边的概率 是( A. )

1 6

B.

1 4

C.

1 3

D.

1 2

-5-

10.若函数 y ? f ( x) ? cos x 在 [? A.1 B. cos x

? 3?
4 , 4

] 上单调递减,则 f ( x) 可以是(
D. sin x

)

C. ? sin x

-6-

考点:1.双曲线的标准方程;2.双曲线的离心率.

12.若直角坐标平面内 A、B 两点满足条件:①点 A、B 都在 f ( x) 的图象上;②点 A、B 关 于原点对称,则对称点对 ( A、B) 是函数的一个“兄弟点对”(点对 ( A,B) 与 ( B,A) 可看作一 个“兄弟点对”).已知函数 f ( x) ? ? A.2 【答案】D 【解析】 B.3

?cos x ( x ? 0) , 则 f ( x) 的“兄弟点对”的个数为( ?lg x( x ? 0)
C.4 D.5

)

cos x ? ? lg(? x) , 试题分析: 设 P( x, y) ( x ? 0) , 则点 P 关于原点的对称点为 (? x, ? y ) , 于是,
只需判断方程根的个数,即 y ? cos x 与 y ? ? lg(? x) 图像的交点个数,函数图像如下:所以

f ( x) 的“兄弟点对”的个数为 5 个.

考点:1.函数的值;2.新定义题;3.函数的零点.

-7-

第Ⅱ卷(共 90 分) 二、填空题(每题 4 分,满分 16 分,将答案填在答题纸上) 13.平面向量 a 与 b 的夹角为 60°, a ? (2,0),| b |? 1 ,则 | a ? 2b | 等于

?

?

.

15.已知三角形 PAD 所在平面与矩形 ABCD 所在平面互相垂直, PA ? PD ? AB ? 2 ,

?APD ? 90? ,若点 P 、A、B 、C 、D 都在同一球面上,则此球的表面积等于
【答案】 12? 【解析】

.

试题分析:过 Rt ?PAD 外心 M ( AD 中点 M )作垂直于平面 PAD 的直线 m ,过 ABCD 外心

O 作 l ? 面 ABCD ,则 l 与 m 的交点 O 为锥体 P ? ABCD 的外接球,球心为 O ,由条件
-8-

AD ? 22 ? 22 ? 2 2 ,则 BD ? (2 2) 2 ? 22 ? 2 3 ,∴ R ? OB ? 3 ,∴

S球 ? 4? R2 ? 12? .

考点:球的表面积.

三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.(本小题满分 10 分)已知等比数列 ?an ? 前 n 项和为 S n ,且满足 S3 ? (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)求 log2 a1 ? log2 a3 ? log2 a5 ? ?? log2 a25 的值.

7 63 , S6 ? , 2 2

-9-

【答案】 (1) an ? 2n?2 ; (2)143. 【解析】 试题分析:本题主要考查等差数列与等比数列的概念、通项公式、前 n 项和公式、数列求和 及对数式的运算等数学知识, 考查思维能力、 分析问题解决问题的能力以及计算能力.第一问, 法一:利用等比数列的前 n 项和公式,将 S3 和 S6 展开,组成方程组,两式相除,解出 a1 和 q , 写出通项公式;法二:利用等比数列的通项公式,又因为 S3 ? a1 ? a2 ? a3 ,

S6 ? S3 ? a4 ? a5 ? a6 ,展开,相除,解出 a1 和 q ,写出通项公式;第二问,先将第一问的结
论代入,化简 log 2 an ,得到 log 2 an ? n ? 2 ,所以可以证出数列 {n ? 2} 为等差数列,所以利 用等差数列的前 n 项和公式进行求和化简.

18.(本小题满分 12 分)如图,在 ?ABC 中,已知 AB ? 10, AC ? 14, B ? 的一点, DC ? 6. (Ⅰ) 求 ? ADB 的值; (Ⅱ)求 sin ?DAC 的值。

?
3

, D 是 BC 边上

- 10 -

【答案】 (1) ?ADB ?

?
3

; (2) sin ?DAC ?

3 3 . 14

19.(本小题满分 12 分)某旅行社为调查市民喜欢“人文景观”景点是否与年龄有关,随机 抽取了 55 名市民,得到数据如下表:

喜欢 大于 40 岁 20

不喜欢 5

合计 25
- 11 -

20 岁至 40 岁 合计

10 30

20 25

30 55

(Ⅰ)判断是否有 99.5%的把握认为喜欢“人文景观”景点与年龄有关? (Ⅱ)用分层抽样的方法从喜欢“人文景观”景点的市民中随机抽取 6 人作进一步调查, 将这 6 位市民作为一个样本,从中任选 2 人,求恰有 1 位“大于 40 岁”的市民和 1 位“20 岁至 40 岁”的市民的概率. 下面的临界值表供参考:

P( K 2 ? k )
k
2

0.15 2.072

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

n(ad ? bc)2 (参考公式: K ? ,其中 n ? a ? b ? c ? d ) (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )
【答案】 (1)有 99 .5% 的把握认为喜欢“人文景观”景点与年龄有关; (2) P ? 【解析】 试题分析:本题主要考查实际问题中的独立性检验、随机事件的概率、分层抽样等数学知识, 考查计算能力, 综合分析问题解决问题的能力.第一问, 根据已知的表格读出 a, b, c, d , n 的值, 利用 k 的公式计算,再与 k 作比较,得到概率值判断相关性;第二问,先用分层抽样得出抽 取的 6 人中“大于 40 岁”和“20 岁至 40 岁”的分别多少人,用字母代表,在这 6 人中选 2 人,所有情况可以用字母一一列出共 15 种,其中恰有 1 名“大于 40 岁”和 1 名“20 岁至 40 岁”之间的市民的情况有 8 种,所以概率为 P ?
2

8 . 15

8 . 15

( B1 , B2 ), ( B1 , B3 ), ( B1 , B4 ), ( B1 , C1 ), ( B1 , C 2 ), ( B2 , B3 ), ( B2 , B4 ), ( B2 , C1 ), ( B2 , C 2 ),

- 12 -

( B3 , B4 ),


( B3 , C1 ),

( B3 , C2 ),

( B4 , C1 ),

( B4 , C 2 ),

(C1 , C 2 ),



15

?????9 分

其中恰有 1 名“大于 40 岁”和 1 名“20 岁至 40 岁”之间的市民的事件有

( B1 , C1 ), ( B1 , C 2 ), ( B2 , C1 ), ( B2 , C 2 ), ( B3 , C1 ), ( B3 , C2 ), ( B4 , C 2 ), 共 8 个
所以恰有 1 名“大于 40 岁”和 1 名“20 岁至 40 岁”之间的市民的概率为 P ? 12 分 考点:1.独立性检验;2.随机事件的概率;3.分层抽样.

8 ???? 15

20.(本小题满分 12 分)如图所示,矩形 ABCD 中,DA ? 平面ABE , AE ? EB ? BC ? 2 ,

F为CE上的点 ,且 BF ? 平面ACE , AC和BD 交于点 G .
(Ⅰ)求证: AE / /平面BFD ; (Ⅱ)求三棱锥 C ? BFG 的体积.

【答案】 (1)证明过程详见解析; (2)

1 . 3

- 13 -

∵ BF ⊥平面 ACE ,∴ CE ? BF .而,∴ F 是 EC 的中点, 分 在 ?AEC 中,FG / / AE , ∴ AE ∥平面 BFD . 分

?????2

???????5

21.(本小题满分 12 分)设函数 f ( x) ? x(e x ?1) ? ax2 (Ⅰ) 当 a ? ?

1 时,求 f ( x) 的单调区间; 2

(Ⅱ)若当 x ? 0 时, f ( x) ? 0 恒成立,求 a 的取值范围. 【答案】 (1) f ( x ) 的单增区间为 ? ??, ?1? , ? 0, ??? ;单减区间为 ? ?1,0? ; (2) ? ?1, ?? ? . 【解析】 试题分析:本题主要考查导数的运算以及利用导数研究函数的单调性和最值以及恒成立问题, 考查函数思想,分类讨论思想,考查综合分析和解决问题的能力.第一问,将 a ? ?

1 代入得 2
- 14 -

到具体的函数解析式,利用 f ' ( x) ? 0 ? f ( x) 为增函数, f ' ( x) ? 0 ? f ( x) 为减函数,解不 等式求出函数的单调区间;第二问,化简 f ( x ) 解析式,由于 x ? 0 ,所以只需 e ? 1 ? ax ? 0
x

恒成立即可,所以设出新函数 g ( x) ,求导,判断 a 的取值范围,求出函数 g ( x) 的最小值,令 最小值大于等于 0,判断符合题意的 a 的取值范围. 试题解析: (1)当 a ? ?

1 1 2 x 时, f ( x) ? x(e ? 1) ? x , 2 2 x x x f ?( x) ? (e ?1) ? xe ? x ? ( x ? 1)(e ?1)

????????????2

分 令 f ?( x) ? 0, 得 x ? ?1或x ? 0 ;令 f ?( x) ? 0, 得 ?1 ? x ? 0 所以 f ( x ) 的单增区间为 ? ??, ?1? , ? 0, ??? ;单减区间为 ? ?1,0? 分 ???????5

考点:1.利用导数研究函数的单调性;2.恒成立问题;3.利用导数研究函数的最值.

22.(本小题满分 12 分)已知点 F 1 (?1,0), F 2 (1,0) 分别是椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、 a 2 b2

右焦点, 点 P (1,

2 ) 在椭圆上 C 上. 2

(Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程;

- 15 -

(Ⅱ)设直线 l1 : y ? kx ? m, l2 : y ? kx ? m, 若 l1 、 l2 均与椭圆 C 相切,试探究在 x 轴上是否存 在定点 M ,点 M 到 l1 , l2 的距离之积恒为 1?若存在,请求出点 M 坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】 (1) 【解析】

x2 (2)满足题意的定点 B 存在,其坐标为 (?1, 0) 或 (1, 0) ? y2 ? 1; 2

试题分析:本题主要考查椭圆的定义和标准方程以及直线与椭圆的位置关系等数学知识,考 查分析问题解决问题的能力和计算能力.第一问,法一:利用焦点坐标求出 c ,由于点 p 在椭

1 1 2 2 2 圆上, 得到方程 2 ? 2 ? 1 , 又因为 a, b, c 三个参量的关系得 a ? b ? 1 , 联立, 解出 a, b, c , a b
从而得到椭圆的方程;法二:利用椭圆的定义, 2a ?| PF 1 | ? | PF 2 | ,利用两点间的距离公式 计算得出 a , b 的值,从而得到椭圆的方程;第二问,直线 l1 与椭圆联立,由于它们相切,所以
2 2 方程只有一个根,所以 ? ? 0 ,同理直线 l2 与椭圆联立得到表达式 m ? 1 ? 2k ,假设存在点

B(t , 0) ,利用点到直线的距离,列出表达式,将 m2 ? 1 ? 2k 2 代入整理,使得到的表达式,
解出 t 的值,从而得到 B 点坐标.

- 16 -

前式显然不恒成立;而要使得后式对任意的 k ? R 恒成立 则 t 2 ? 1 ? 0 ,解得 t ? ?1 ; 综上所述,满足题意的定点 B 存在,其坐标为 (?1, 0) 或 (1, 0) ????????12 分

考点:1.椭圆的标准方程;2.椭圆的定义;3.两点间的距离公式;4.点到直线的距离公式.

- 17 -


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