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对数函数及其性质PPT课件


2.2.2 对数函数及其性质

北京青年报曾报道:潮 白河底挖出冰冻古树可能是 山杨,专家经过检测可推断 树的埋藏时间 . 你知道专家是根据什么 推断数的埋藏时间的吗?

湖南长沙马王堆汉墓女尸 出土时碳14的残余量约占原始 含量的76.7%. 试推算马王堆古墓的年 代.

人们经过长期实践,获得了生物体内碳14含

量P与死 t 亡年数t之间的关系:

? 1 ? 5730 P?? ? . ? 2?
1 5730 2

由指数与对数的关系,此指数式写成对数式是:

t ? log

P. (*)

考古学家一般通过提取附着在出土文物.古遗址上 死亡生物体的残留物,利用(*)式估算出土文物或古遗 址的年代.

(t=2193)

(P=76.7%) 现在,你能推算出马王堆古墓的年代吗?

如果碳14的含量是下表中的数值,根据关 系:t

? log
5730

1 2

P 试用计算器填写下表.

0.3 0.1 0.01 0.001 碳14的含量P 0.5 生物死亡年数t 5730 9953 19035 38069 57104 根据问题的实际意义可知,对于每一个碳14

含量P,通过对应关系 t

? log
5730

定的年代t与它对应,所以,t是P的函数.

1 2

P,都有一个确

一般地,把函数 y ? log a x?a ? 0, 且a ? 1? 叫做对数函数,其中x是自变量,函数的定义 域是 ?0,??? .
(1)为什么规定 a ? 0且a ? 1 ? (2)为什么对数函数的定义域是 ?0,??? ?

思考:

画出函数

y ? log 2 x与 y ? log 1 x的图像.
2

问:(1)这两个函数的图像有什么关系?

(2)可否利用y ? log 2 x 的图象画出 y 的图象?

? log 1 x
2

(1)在同一坐标系中画出:

y ? log 2 x、y ? log 1 x、y ? log 3 x、y ? log 1 x
的图象.
2 3

(2)你能否猜测 y ? log 4 哪个图象相似.

x 与 y ? log 1 x分别与
4

选取底数a(a ? 0且a ? 1 )的若干个不 同的值,在同一平面直角坐标系内作出相应 的对数函数的图象.
问题:观察图象,你能发现它们有哪些共同特征? 有什么不同特征?

函数 y ? log a x?a ? 0, 且a ? 1?
图象特征 ①这些图象都位于y轴右方. 函数性质

①x取任何正数值时,函数值 y ? R .

②这些图象都经过(1,0)点. ②无论a为任何正数,总有log a 1 ? 0

③图象可以分为两类: ?若0 ? x ? 1, 则 log a x ? 0, ? 一类图象在区间(0,1)内 ③当 a ? 1时, 若x ? 1, 则 log a x ? 0; ? 纵坐标都小于0,在区间(1,+∞) ?若0 ? x ? 1, 则 log a x ? 0, 内的纵坐标都大于0; 当0 ? a ? 1时,? 另一类图象正好相反. ?若x ? 1, 则 log a x ? 0.

④自左向右看: 当 a ? 1 时图象逐渐上升; 当 0 ? a ? 1时图象逐渐下降.

y ? log a x是增函数; ④当 a ? 1时, y ? log a x 是减函 当 0 ? a ? 1时, 数.

0<a<1
y x=1

a>1
y x=1
y ? log a x(a ? 1)




0

(1.0)

x
0

(1.0)

x

y ? log a x(0 ? a ? 1)

定义域







(0,+ ∞ ) R 必过 点: ( 1, 0 ) ,即 x = 1 时, y = 0 . 在 R 上是 减函数 在 R 上是 增函数

例1:求下列函数的定义域:

?1? y ? log a x

2

定义域: x x ? 0 定义域:x x ? 4

?

?

?2? y ? log a ?4 ? x?

?

?

练习:(教材P73练习2).

例2:比较下列各题中两个值的大小: (1)log 2 3.4, < log 2 8.5;

> log 0.3 2.7; ( 2) log 0.3 1.8,
(3)log a 5.1 ,? log a 5.9(a ? 0, 且a ? 1).

a ? 1时,左<右 左>右 0 ? a ? 1时,

(4) log 6 7, log 7 6
(5) log 3 ? , log 2 0.8

(6) 6 , 0.7 , log 0.7 6

0.7

6

(7) log 0.3 0.1, log 0.2 0.1
练习:(教材P73练习3).

例9:溶液酸碱度的测量. 溶液酸碱度是通过PH刻画的.PH 的计算公式为PH= ? lg?H ? ?, 其中?H ? ?表示溶液中氢离子 的浓度, 单位是摩尔/ 升。
(1)根据对数函数的性质及上述PH的计算公式,说 明溶液酸碱度与溶液中氢离子的浓度这间的变化 关系;

(2)已知纯净水中氢离子的浓度为 H ? ? 10?7 摩尔/ 升, 计算纯净水的 PH。

? ?

通过本节的学习,你对对数函数有什么 认识?你能概括一下吗?

对数函数 概念
数形结合

图象

性质


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