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清北学子暑期高考辅导班习题训练及答案2——解析几何大类


解析几何练习题 本习题供暑期用,以后会继续更新。
1、已知点 A ?2,?3? 和点 B ?? 3,?2? ,直线 m 过点 P ?1,1? 且与线段 AB 相交,则直线 m 的斜率 k 的取值范围是( ) 。

3 3 1 B. ? 4 ? k ? C. k ? ? 或 k ? ?4 4 4 5 2、两不重合直线 mx ? y ? n ? 0 和 x ? my ? 1 ? 0 相互平行的条件是(
A. k ? A. ?

D. ? ) 。

3 ?k?4 4

?m ? ?1 ?n ? ?1

B. ?

?m ? 1 ?m ? ?1 或? ?n ? ?1 ?n ? 1

C. ?

?m ? 1 ?n ? 1

D. ?

?m ? ?1 ?n ? ?1

?l1 ? ? ? ? ? 3、三直线 ?l 2 ? ? cos?? ? ? ? ? ? ?l ? ? sin?? ? ? ? ? ? ?3

?? ? R, ? ? 0? 的位置关系为(

) 。

A. l1 ? l 2 , l1 ? l 3 B. l1 // l 2 , l1 // l 3 C. l1 // l 2 , l1 ? l 3 D. l1 ? l 2 , l1 // l 3 4、极坐标方程 ? A.圆 5、极坐标方程 ? A.圆锥曲线 6、极坐标方程 ? A.四条直线
4
2

cos 2? ? 1 表示(
B.椭圆

) 。 C.双曲线 D.抛物线 ) 。

2

cos ? ? ? a ? b cos 2 ? ? ab cos ? ?0 ?ab ? 0? 表示(
B.两条直线 C.直线和圆

?

?

D.既非直线也非圆锥曲线 ) 。 D.两条直线和两个圆

1 ? ? 2 ? sin 2 2? ? 0 的图形为( 4
B.四个圆 C.两条直线

7、极坐标系中,若直线 l 与 ? ? A. ? ?

1 cos ? ? 2 sin ?

1 关于极点对称,则 l 的方程为( ) 。 cos ? ? 2 sin ? 1 1 1 B. ? ? C. ? ? D. ? ? 2 cos ? ? sin ? 2 sin ? ? cos ? ? cos ? ? 2 sin ?
2 ? ?x ? cos ?

8、设θ 、t 为参数,则曲线 ? A.只有一个交点 9、设直线 ?

? ? y ? 3 ? sin ?

2

和?

?x ? 2 cos t ( ? y ? 2 sin t

) 。

B.无公共点

C.有两个公共点

D.有无数个公共点 ) 。

?x ? x 0 ? at ( t为参数) 上两点 A、B 对应的参数分别为 t 1 、 t 2 ,则|AB| =( ?y ? y 0 ? bt
B.

A.

t1 ? t 2 a 2 ? b2

t1 ? t 2 a 2 ? b2

C. | t 1 ? t 2 |

D.

a 2 ? b2 t1 ? t 2

10、直线 y ? A.0

x2 1 7 ? y 2 ? 1 交点的个数是( (x ? ) 与双曲线 9 3 2
B.1 C.2

) 。 D.4 ) 。

11、过双曲线一个焦点 F1 作垂直于实轴的弦 PQ,若 F2 为另一焦点,∠P F2 Q=90°,则双曲线的离心率为( A.

2 ?1

B.

2

C.

2 ?1

D.

2 ?1 2

12、椭圆

x2 a2

?

y2 b2

? 1 (a>b>0)和双曲线

x2 m2

?

y2 n2

,P 为两曲线的交点,则|P F1 | ? ? 1 (m>0,n>0)有公共焦点 F1 (?c,0) 、 F2 (c,0) (c>0)

|P F2 |之值为( A. a
2

) 。
2

? m2

B. b

? n2

C. a

2

? m 2或 b 2 ? n 2 D.以上均不对
) 。

13、下列各组曲线中,既有相同离心率又有相同渐近线的是(

A.

y2 x 2 x2 ? ?1 ? y2 ?1 和 3 9 3
2

B.

x2 x2 ? y2 ?1 和 y2 ? ?1 3 3
2

C. y ?

y2 x2 ?1 ?1和 x2 ? 3 3

D. y ?

y2 x 2 x2 ? ?1 ?1和 3 3 9

14、设双曲线的左右焦点为 F1 、 F2 ,左右顶点为 M、N,若△P F1 F2 的顶点 P 在双曲线上,则△P F1 F2 的内切圆与边 F1 F2 的切点位置 是( ) 。 B.在线段 MN 内部 C.在 F1 M 或 F2 N 线段内部 D.点 M 或点 N

A.不能确定

15、已知 A? 3,

? 10 ? ? 与抛物线 y 2 ? 2x 上的一点 P,若点 P 到准线 L 的距离为 d,当|PA|+d 取得最小值时,P 点坐标为( ? 3?

) 。

A. ?0,0?

B.

?0, 2 ?

C. ?2,2?

D. ?

?1 ? ,1? ?2 ?

16、直线 y ? x ?

x2 3 被抛物线 y ? 2 2
B.
2

截得的线段的长是(

) 。 D. 2

A.

41

29

C. 4 2

5
) 。

17、M 为抛物线 y ? x 上的一个动点,连 OM,以 OM 为边作正方形 MNPO,动点 P 的轨迹方程为( A. y 18、过圆
2

?x

B. y

2

? ?x

C. y

2

? ?x

D. x

2

? ?y

C: ( x ?1)2 ? ( y ?1)2 ? 1 的圆心,作直线分别交 x、y 正半轴于点 A、B, ?AOB 被圆分成四部
S? ? S? ? S? ? S||| , 则直线 AB 有
条。

分(如图) ,若这四部分图形面积满足

?x ? y ? 2 ? 0 y ? 19、设实数 x,y 满足 ? x ? 2 y ? 4 ? 0, 则 的最大值是 x ?2 y ? 3 ? 0 ?
x2 y2 20、已知 F1、F2 是双曲线 2 ? 2 ? 1( a ? 0,b ? 0) 的两焦点,以线段 F1F2 为边作正三角形 MF1F2,若 a b
边 MF1 的中点在双曲线上,则双曲线的离心率是 。
2

x2 y2 ?b ? 2 2 1 a ? b ? 0) 21、椭圆 2 ? 2 ?( 和圆 x ? y ? ? ? c ? a b ?2 ?

(其中 c 为椭圆半焦距)有四个不同的交点,则该椭圆的离心率的取值

范围是



22 、 已知椭圆 C: 是

x2 y2 ? ? 1 , 若对于直线 ? : y ? 4 x ? m ,在椭圆 16 9


C 上存在不同的两点关于直线 ? 对称 . 则 m 的取值范围

23、P 为双曲线 C : 则 Q 的轨迹方程为

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 上任一点,F1、F2 是双曲线的焦点,从 F1 作 ?F1 PF2 的角平分线的垂线,垂足为 Q, a 2 b2

2

24、某圆与 y 轴相切,并且和圆 x 25、已知圆 C: 轨迹方程为

? y 2 ? 4 x ? 0 外切,则该圆圆心的轨迹方程为



? x ? 1?

2

? y 2 ? 25 内一点 A(1,0),Q 点为圆 C 上任意一点,线段 AQ 的垂直平分线与线段 CQ 连线交于点 M,则点 M 的


x2 y 2 3 26、已知双曲线 C : 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的离心率为 3 ,右准线方程为 x ? (Ⅰ)求双曲线 C 的方程; a b 3
(Ⅱ)设直线 大小为定值. 27、如图,过抛物线 ( y0 ? 0 ) ,作两条直线分别交抛物 y 2 ? 2 px( p ? 0) 上一定点 P( x0 , y0 )

l 是圆 O : x2 ? y 2 ? 2 上动点 P( x0 , y0 )( x0 y0 ? 0) 处的切线, l 与双曲线 C 交于不同的两点 A, B ,证明 ?AOB 的
y P O x

y ? y 2 的值,并 线于 A( x1 , y1 ) ,B( x2 , y2 ) .当 PA 与 PB 的斜率存在且倾斜角互补时,求 1 y0
证明直线 AB 的斜率是非零常数. 1 28 、已知矩形 ABCD 的两条对角线交于点 M ?2,0? , AB 边所在直线的 方程为 3x - 4y - 4 = 0. 点 ? ? 1 N?-1,3?在 AD 所在直线上.(1)求 AD 所在直线的方程及矩形 ABCD 的外接圆 C1 的方程;(2)已知点

A B

?

?

1 E?-2,0?,点 F 是圆 C1 上的动点,线段 EF 的垂直平分线交 F M 于点 P,求动点 P 的轨迹方程.

?

?

29、 设

A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 )是椭圆

x y x y y2 x2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 上的两点,满足 ( 1 , 1 ) ? ( 2 , 2 ) ? 0 ,椭圆的离心率 e ? , 2 b a b a 2 x b

短轴长为 2,0 为坐标原点.(1)求椭圆的方程; (2)若直线 AB 过椭圆的焦点 F(0,c) , (c 为半焦距) ,求直线 AB 的斜率 k 的值; (3 ) 试问:△AOB 的面积是否为定值?如果是,请给予证明;如果不是,请说明理由. 30、在直角坐标平面中,△ABC 的两个顶点为 A(0,-1) ,B(0, 1)平面内两点 G、M 同时满足① =

??? ? ??? ? ??? ? ? GA ? GB ? GC ? 0

,

② | MA |

????

???? ? ??? ? ???? ???? ? | MB | = | MC | ③ GM ∥ AB (1)求顶点 C 的轨迹 E 的方程(2)设 P、Q、R、N 都在曲线 E 上 ??? ? ??? ??? ? ??? ??? ? ? ??? ? ? 已知 PF ∥ FQ , RF ∥ FN 且 PF ? RF = 0.求四边形 PRQN 面积 S 的最大值和最小值.
31、设

,定点 F 的坐标为(

2,

0) ,

A, B 分别为椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a, b ? 0) 的左、右顶点,椭圆长半轴的长等于焦距,且 x ? 4 为它的右准线 a 2 b2
P 为右准线上不同于点 (4 , 0) 的任意一点,若直线 AP, BP 分别与椭圆相交于异于 A, B 的点 M 、N ,

(Ⅰ) 、 求椭圆的方程; (Ⅱ) 、 设 证明:点

B 在以 MN

为直径的圆内。
x2 9

32、已知 A,B 两点是椭圆

+

y2 4

= 1与坐标轴正半轴的两个交点,在第一象限的椭圆弧上求一点 P,使四边形 OAPB 的面积最大.

1-17 ABDCCBCABBACDDCCC 18、1 19、

3 2

20、 3 ? 1

21、

5 3 ?e? 5 5

22、 ?

7 10 7 10 ?m? . 10 10

23、

x2 y2 ? ?1. 24、 y ? 8x (x ? 0)或 y=0(x ? 0). 25、 25 21 4 4
2

? a2 3 ? ? y2 ?c 2 2 2 2 3 ? 1. 26、 (Ⅰ)由题意,得 ? ,解得 a ? 1, c ? 3 , ∴ b ? c ? a ? 2 ,∴所求双曲线 C 的方程为 x ? 2 ?c ? 3 ? ?a
(Ⅱ)点 P ? x0 , y0 ?? x0 y0 ? 0? 在圆 x2 ? y 2 ? 2 上,圆在点 P ? x0 , y0 ? 处的切线方程为 y ? y0 ? ?

x0 ? x ? x0 ? ,化简得 y0

x0 x ? y0 y ? 2 .
? 2 y2 ?1 ?x ? 2 2 2 2 ? 4 ? x 2 ? 4 x0 x ? 8 ? 2 x0 ? 0, 由? 及 x0 ? y0 ? 2 得 ? 3 x0 2 ?x x ? y y ? 2 0 ? 0
2 2 2 2 2 ? 4 3 x0 ? 4 8 ? 2 x0 ?0, ∵切线 l 与双曲线 C 交于不同的两点 A、B,且 0 ? x0 ? 4 ? 0 ,且 ? ? 16 x0 ? 2 ,∴ 3x0

?

??

?

设 A、B 两点的坐标分别为 ? x1 , y1 ? , ? x2 , y2 ? ,

??? ? ??? ? 2 OA ? OB 4 x0 8 ? 2 x0 则 x1 ? x2 ? 2 ,∵ cos ?AOB ? ??? , x1 x2 ? 2 ? ??? ? ,且 3x0 ? 4 3x0 ? 4 OA ? OB
??? ? ??? ? 1 OA ? OB ? x1 x2 ? y1 y2 ? x1 x2 ? 2 ? 2 ? x0 x1 ?? 2 ? x0 x2 ? , y0

?

2 2 2 2 2 x0 ?8 ? 2x02 ? ? 8 ? 2 x0 8 x0 1 ? 8 ? 2 x0 8 ? 2 x0 ? ? ? 4 ? ? ?? ? ?0 2 2 2 2 2 2 3x0 ? 4 2 ? x0 3x0 ?4 3x0 ? 4 ? 3x0 ? 4 3x0 ?4 ? ? ?

? ∴ ?AOB 的大小为 90 .

【解法 2】 (Ⅰ)同解法 1.(Ⅱ)点 P ? x0 , y0 ?? x0 y0 ? 0? 在圆 x ? y ? 2 上,
2 2

圆在点 P ? x0 , y0 ? 处的切线方程为 y ? y0 ? ?

x0 ? x ? x0 ? , y0

? 2 y2 ?1 ?x ? 2 2 化简得 x0 x ? y0 y ? 2 .由 ? 及 x0 ? y0 ?2得 2 ?x x ? y y ? 2 0 ? 0

? 3x

2 0

2 ? 4 ? x 2 ? 4 x0 x ? 8 ? 2 x0 ?0

2 2 2 ①、 3 x0 ? 4 y ? 8 y0 x ? 8 ? 2 x0 ? 0

?

?



2 2 ∵切线 l 与双曲线 C 交于不同的两点 A、 B, 且 0 ? x0 ∴ 3x0 设 A、 B 两点的坐标分别为 ? x1 , y1 ? , ? x2 , y2 ? , ? 4 ? 0, ? 2,

则 x1 x2 ?

2 2 8 ? 2 x0 2 x0 ?8 , , y y ? 1 2 2 2 3x0 ? 4 3x0 ? 4

∴ OA ? OB ? x1x2 ? y1 y2 ? 0 ,∴ ?AOB 的大小为 90? .
2 2 2 2 2 (∵ x0 ? 2,0 ? y0 ? 2 ,从而当 3x0 ? 4 ? 0 时,方程①和方程②的判别式均大于零). ? y0 ? 2 且 x0 y0 ? 0 ,∴ 0 ? x0

??? ? ??? ?

27、 (I)当 y ?

p p 时, x ? 2 8
8

又抛物线 y

2

? 2 px 的准线方程为 x ? ?

p 2
2

由抛物线定义得,所求距离为 p ? ( ? p ) ? 5 p

2

8

(2)设直线 PA 的斜率为 k PA ,直线 PB 的斜率为 k PB 相减得 ( y1





y1 ? 2 px1 , y0 ? 2 px0
2

? y0 )( y1 ? y0 ) ? 2 p( x1 ? x0 ) ,故 k PA ? y1 ? y0 ?
x1 ? x0

2p ( x1 ? x0 ) y1 ? y0

2p ( x2 ? x0 ) ,由 PA,PB 倾斜角互补知 k PA ? ? k PB y2 ? y0 2p 2 p ,所以 y ? y ? ?2 y , 故 y1 ? y2 即 ?? ? ?2 1 2 0 y1 ? y0 y2 ? y0 y0
同理可得 k PB ? 设直线 AB 的斜率为 k AB ,由 y2 2 ? 2 px2 , y1 所以 k
AB

2

y ? y1 2p ? 2 ? ( x1 ? x2 ) , 将 y1 ? y2 ? ?2 y0 ( y0 ? 0) 代入得 x2 ? x1 y1 ? y2

? 2 px1 ,相减得 ( y2 ? y1 )( y2 ? y1 ) ? 2 p( x2 ? x1 )

k AB ?

2p p ? ? ,所以 k AB 是非零常数. y1 ? y2 y0

4 28、(1)∵AB 所在直线的方程为 3x-4y-4=0,且 AD 与 AB 垂直,∴直线 AD 的斜率为-3. 1 4 又点 N 在直线 AD 上,∴直线 AD 的方程为 y-3=-3(x+1),即 4x+3y+3=0.
?3x-4y-4=0 ? 由? ,解得点 A 的坐标为(0,-1).又两条对角线交于点 M, ? ?4x+3y+3=0

5 ∴M 为矩形 ABCD 的外接圆的圆心.而|MA|== 2 , 5 ? 1? ∴外接圆的方程为 x-2 2+y2=4. ? ? 5 (2)由题意得,|PE|+|PM|=|PF|+|PM|=|FM|= 2 ,又|FM|>|EM|, 5 x2 y2 ∴P 的轨迹是以 E、M 为焦点,长半轴长为 4 的椭圆,设方程为a2+b2=1(a>b>0), 1 5 5 1 1 ∵c=2, a= 4 ,∴b2=a2-c2=16-4=16. x2 y2 故动点 P 的轨迹方程是 5 + 1 =1. 16 16

c a 2 ? b2 3 ? ? a ? 2.e ? 3 29、 (1) 2b ? 2.b ? 1, e ? ? a a 2 y2 ? x2 ? 1 椭圆的方程为 4

(2)设 AB 的方程为 y ? kx ? 3

? y ? kx ? 3 ? 2 3k ?1 ? ? (k 2 ? 4) x 2 ? 2 3kx ? 1 ? 0 x1 ? x 2 ? 2 , x1 x 2 ? 2 由 ? y2 2 k ?4 k ?4 ? ? x ?1 ?4
由已知

x1 x2 y1 y 2 1 k2 3k 3 0 ? 2 ? 2 ? x1 x2 ? (kx1 ? 3 )(kx2 ? 3 ) ? (1 ? ) x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 4 4 4 4 b a 2 k ?4 1 3k ? 2 3k 3 ? (? 2 )? ? 2 ? , 解得k ? ? 2 4 4 k ?4 k ?4 4
(3)当 A 为顶点时,B 必为顶点.S△AOB=1 当 A,B 不为顶点时,设 AB 的方程为 y=kx+b

? y ? kx ? b ? 2kb ? 2 ? (k 2 ? 4) x 2 ? 2kbx ? b 2 ? 4 ? 0得到x1 ? x 2 ? 2 ?y 2 k ?4 ? ? x ?1 ?4 b2 ? 4 x1 x 2 ? 2 k ?4 y y (kx ? b)(kx2 ? b) x1 x 2 ? 1 2 ? 0 ? x1 x 2 ? 1 ? 0代入整理得: 4 4

1 1 | b | 4k 2 ? 4b 2 ? 16 2b 2 ? k 2 ? 4 S ? ? | b || x1 ? x2 |? | b | ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 |? 2 2 k2 ? 4
4k 2 ? ?1 2|b|
所以三角形的面积为定值. 30、 (1)设 C ( x , y ), ? GA ? GB ? 2GO ,由①知 GC ? ?2GO , △ABC 的重心 ,

??? ? ??? ?

????

????

????

?G 为

?

G(

x y , ) 3 3

由②知 M 是△ABC 的外心, ?M 在 x 轴上

由③知 M(

x ,0) , 3

由 | MC | ? | MA |

???? ?

????

得 ( ) ?1 ?
2

x 3

x ( x ? )2 ? y 2 3

化简整理得:

x2 ? y 2 ? 1 (x≠0) 。 3 x2 ? y 2 ? 1 的右焦点 3
2 ,则直线 PQ 的方程为 y = k ( x - 2 ) 2

(2)F( 2 , 0 )恰为

设 PQ 的斜率为 k≠0 且 k≠±

由?

? ? y ? k ( x ? 2) ? (3k 2 ? 1) x 2 ? 6 2k 2 x ? 6k 2 ? 3 ? 0 2 2 ? ?x ? 3y ? 3 ? 0
则 x1 + x2 =

设 P(x1 , y1) ,Q (x2 ,y2 ) 则| PQ | = 1 ? k 2 ?

6 2k 2 , 3k 2 ? 1

x1?x2 =

6k 2 ? 3 3k 2 ? 1

( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2

=

1? k 2 ? (

6 2k 2 2 6k 2 ? 3 2 3(k 2 ? 1) = ) ? 4 ? 3k 2 ? 1 3k 2 ? 1 3k 2 ? 1

? RN⊥PQ,把 k 换成 ?

1 2 3(k 2 ? 1) 得 | RN | = k 3? k2
=

1 ? S = | PQ | ? | RN | 2 ? 3(k 2 ? ?k2 ? 1 8 ) ? 10 ? 2 k 2?S

6(k 2 ? 1)2 (3k 2 ? 1)(k 2 ? 3)

= 2?

8 ) 1 2 3(k ? 2 ) ? 10 k

1 8 ≥2 , ? ≥16 2 k 2?S 3 ≤ S ≤ 2 2

3 ? ≤ S < 2 , (当 k = ±1 时取等号) 2 3 2

又当 k 不存在或 k = 0 时 S = 2 综上可得

? Smax = 2 , Smin =

31、 (Ⅰ)依题意得 a=2c,

a2 =4,解得 a=2,c=1,从而 b= 3 c

故椭圆的方程为

x2 y2 ? ?1 4 3

(Ⅱ)解法 1:由(Ⅰ)得 A(-2,0) ,B(2,0) 设 M(x0,y0)∵M 点在椭圆上,∴y0=

3 2 (4-x0 ) 4

1 ○
y
M A P

又点 M 异于顶点 A、B,∴-2<x0<2,由 P、A、M 三点共线可以得

P(4,

???? ? 6 y0 ) 从而 BM =(x0-2,y0) , x0 ? 2

o
N

B

(4,0)

x

2 ??? ? ???? ? ??? ? 6 y0 6 y0 2 2 2 BP =(2, ) ,∴ BM ? BP =2x0-4+ = (x0 -4+3y0 ) ○ 2 x0 ? 2 x0 ? 2 x0 ? 2

将○ 1 代入○ 2 ,化简得 BM ? BP =

???? ?

??? ?

5 (2-x0) 2

∵2-x0>0,∴ BM ? BP >0,则∠M BP 为锐角,从而∠MBN 为钝角, 故点 B 在以 MN 为直径的圆内 解法 2:由(Ⅰ)得 A(-2,0) ,B(2,0) 设 M(x1,y1) ,N(x2,y2) ,

???? ?

??? ?

则-2<x1<2,-2<x2<2,又 MN 的中点 Q 的坐标为(

x1 ? x 2 y ? y2 , 1 ) ,[来源:Zxxk.Com] 2 2

依题意,计算点 B 到圆心 Q 的距离与半径的差: BQ - +(y1-y2) ]=(x1- 2) (x2-2)+y1y2
2

2

x ? x2 y ? y2 2 1 1 2 2 2 -2) +( 1 ) - [(x1-x2) MN =( 1 4 4 2 2

3 ○

又直线 AP 的方程为 y=

y1 y ( x ? 2) ,直线 BP 的方程为 y= 2 ( x ? 2) , x1 ? 2 x2 ? 2 6 y1 6 y2 ( 3 x2 ? 2) y1 ,即 y2 = 4 ? ○ x1 ? 2 x2 ? 2 x1 ? 2
5 ○

而点两直线 AP 与 BP 的交点 P 在准线 x=4 上,∴

x y 3 2 2 又点 M 在椭圆上,则 1 ? 1 ? 1 ,即 y1 ? (4 ? x1 ) 4 4 3
于是将○ 4 、○ 5 代入○ 3 ,化简后可得 BQ - 从而,点 B 在以 MN 为直径的圆内 32、由参数方程易求:P 点坐标为(
3 2 2
2

2

2

1 5 2 MN = (2-x1 )( x 2 ? 2) ? 0 4 4

, 3)


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