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新题精炼2011届高考数学理一轮复习随堂演练 7.3空间点、直线、平面之间的位置关系


7.3
一、选择题

空间点、直线、平面间的位置关系
)

1.若空间中有两条直线,则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的( A.充分非必要条件 C.充分必要条件 答案:A 2.设 A,B,C,D 是空间四个不同的点,在下列命题中,不正确的是( A.若 AC 与 BD 共面,则 AD 与 BC 共面 B.若 AC 与 BD 是异面直线,则 AD 与 BC 是异面直线 C.若 AB=AC,DB=DC,则 AD=BC D.若 AB=AC,DB=DC,则 AD⊥BC 答案:C ) B.必要非充分条件 D.既非充分又非必要条件

3.ABCD 为空间四边形,AB=CD,AD=BC,AB≠AD,M、N 分别是对角线 AC 与 BD 的中点,则 MN 与( ) A.AC、BD 之一垂直 C.AC、BD 都不垂直 B.AC、BD 都垂直 D.AC、BD 不一定垂直

解析:∵AD=BC,AB=CD,BD=BD,∴△ABD≌△CDB.则 AN=CN,在等腰△ANC 中,由 M 为 AC 的中点知 MN⊥AC.同理可证 MN⊥BD.

答案:B 4.

如图,已知 E、F 分别为正四面体 ABCD 所在棱的中点,则异面直线 AC 与 EF 所成的角为( A.30° C.60° B.45° D.90°

)

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1 1 解析: 如图, BC 中点 G, 取 连结 EG, 则∠GEF 为异面直线 AC 与 EF 所成角, FG, ∵EG= AC= BD=GF, 2 2 又可证 AC⊥BD,∴∠EGF=90°,则∠GEF=45°. 答案:B 二、填空题 5.如图,PA⊥平面 ABC,∠ACB=90° ,且 PA=AC=BC=a,则异面直线 PB 与 AC 所成角的正切值等 于________.

答案: 2 6.

如上图,表示一个正方体表面的一种展开图,图中的四条线段 AB、CD、EF 和 GH 在原正方体中相互 异面的有____对. 解析:原来的正方体应为下图.

其中 AB 与 CD、AB 与 GH、EF 和 GH 三对异面直线. 答案:3 7.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M、N 分别为 A1B1、BB1 的中点,则异面直线 AM 与 CN 所成角的余 弦值为______.

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解析: 如图, AB 的中点 E, B1E, AM∥B1E, EB 的中点 F 连 FN, B1E∥FN, 取 连 则 取 则 因此 AM∥FN, 连 CF,则直线 FN 与 CN 所夹锐角或直角为异面直线 AM 与 CN 所成的角.设 AB=1,在△CFN 中, CN2+FN2-CF2 2 5 5 17 CN= ,FN= ,CF= .由余弦定理 cos∠CNF= = . 2 4 4 2CN· FN 5 2 答案: 5 三、解答题 8.

如上图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,O 为正方形 ABCD 的中心,H 为直线 B1D 与平面 ACD1 的交 点.求证:D1、H、O 三点共线. 证明:如图,连结 BD、B1D1,则 BD∩AC=O,

∵BB1 綊 DD1,∴四边形 BB1D1D 为平面图形且为平行四边形,又 H∈B1D,B1D?平面 BB1D1D,则 H∈平面 BB1D1D,又∵H∈平面 ACD1,且平面 ACD1∩平面 BB1D1D=OD1,∴H∈OD1.即 D1、H、O 三点共线. 9.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F 分别为 BB1、CC1 的中点,求 AE、BF 所成角的余弦值.

解答:如图,取 DD1 中点 M,连结 AM、MF、ME,由 AB 綊 CD 綊 MF 知四边形 ABFM 为平行四边 形, ∴AM∥BF,则 AM 与 AE 所夹锐角或直角为异面直线 AE,BF 所成的角,设 AB=1,则在△AEM 中 5 AE=AM= ,ME= 2, 2
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AM2+AE2-ME2 1 1 ∴cos∠MAE= = ,即异面直线 AE、BF 成角的余弦值为 . 2AM· AE 5 5 10.

如上图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AC=3,BC=4,AB=5,AA1=4,点 D 是 AB 的中点. (1)求证 AC⊥BC1; (2)求证 AC1∥平面 CDB1; (3)求异面直线 AC1 与 B1C 所成角的余弦值. 解答:(1)证明:在直棱柱 ABC-A1B1C1 中,CC1⊥平面 ABC,则 CC1⊥AC,∵AC=3,BC=4,AB =5,AC2+BC2=AB2,∴AC⊥BC,又 BC∩C1C=C,则 AC⊥平面 BCC1B1,又 BC1?平面 BCC1B1, ∴AC⊥BC1.

(2)证明:如图,设 BC1∩B1C=E,连结 DE,E 为 BC1 中点, 又∵D 为 AB 的中点. ∴AC1∥DE,AC1?平面 CDB1,DE?平面 CDB1, ∴AC1∥平面 CDB1. (3)∠DEC 或其补角为异面直线 AC1 与 B1C 所成的角, 1 在 Rt△ACB 中,CD= AB= , 2 1 1 DE= AC1= ,CE= CB1=2 2 2 在△CED 中,cos∠DEC= 即异面直线 AC1 与 B1C 所成角的余弦值为 ,



.

1.在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中,若 AB= 2BB1,则 AB1 与 C1B 所成角的大小为(
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)

A.60°

B.90°

C.105°

D.75°

解析:解法一:如上图,取 BC 的中点 D,连结 AD,B1D, 由正三棱柱 ABC-A1B1C1 知 AD⊥平面 BB1C1C,∴AD⊥BC1, 又 因此 B1D⊥BC1, ∴BC1⊥平面 ADB1,则 BC1⊥AB1. 知△BB1C1∽△DBB1,∴∠B1C1B=∠BB1D,

解法二: 如上图,取 AB、BB1、B1C1、BC 的中点 D、E、F、G, 连结 DE、EF、DF、FG、DG, 1 2 设 AB=1 可求出 DG= ,GF= , 2 2 3 1 6 1 可证明 FG⊥平面 ABC,在 Rt△DGF 中 DF2=DG2+GF2= ,又可求出 DE= AB1= ,EF= BC1 4 2 4 2 6 = ,在△DEF 中 DF2=DE2+EF2, 4 ∴∠DEF=90° AB1⊥C1B. 即 解析:

答案:B

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2.

如图在正四面体 D-ABC 中, P∈面 DBA, 则在平面 DAB 内过点 P 与直线 BC 成 60° 角的直线共有( A.0 条 C.2 条 B.1 条 D.3 条

)

解析:过 B 分别作 BD,AB 的平行线即可. 答案:C

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