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2009年高考试题——数学理(重庆卷)Word版


2009 年普通高等学校招生全国统一考试(重庆卷) 数学试题卷(理工农医类)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个备选项中,只 有一项是符合题目要求的。 1. 直线 y ? x ? 1 与圆 x 2 ? y 2 ? 1的位置关系为 A.相切 B.相交但直线不过圆心 C.直线过圆心 ( D.相离 ( C. ?2 ? i D. ?2 ? i ( C.560 D.1120 ( D. ) ) ) )

5i 2.已知复数 z 的实部为 ?1 ,虚部为 2,则 = z A. 2 ? i B. 2 ? i 2 ( x 2 ? )8 的展开式中 x 4 的系数是 3. x
A.16 B.70

4. 已知 a ? 1, b ? 6, a (b ? a) ? 2 , 则向量 a 与向量 b 的夹角是 A.

? 6

B.

? 4
2

C.

? 3

? 2

w.w.w.k.s.5. u.c.o. m

5.不等式 x ? 3 ? x ?1 ? a ? 3a 对任意实数 x 恒成立,则实数 a 的取值范围为 A. (??, ?1] [4, ??) B. (??, ?2] [5, ??) C. [1, 2] D. (??,1] [2, ??)





6.锅中煮有芝麻馅汤圆 6 个,花生馅汤圆 5 个,豆沙馅汤圆 4 个,这三种汤圆的外部特征完 全相同。从中任意舀取 4 个汤圆,则每种汤圆都至少取到 1 个的概率为 ( ) A.

8 91

B.

25 91

C.

48 91

D.

60 91

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7 .设 ?ABC 的三个内角 A, B, C ,向量 m ? ( 3 sin A , sinB ), n ? (cos B, 3 cos A) ,若

m n ? 1 ? cos(A ? B ), 则C =
A.

( C.



? 6
x ??

B.

? 3

2? 3

D.

5? 6

w.w.w.k.s.5. u.c. o.m

8. 已知 lim( A. ? 6

2 x2 ? ax ? b) ? 2 , 其中 a, b ? R , 则 a ? b 的值为 x ?1
B. ? 2
0

( D. 6



C. 2

9. 已知二面角 ? ? l ? ? 的大小为 50 ,P 为空间中任意一点, 则过点 P 且与平面 ? 和平面 ? 所成的角都是 25 的直线的条数为 A.2 B.3 C.4 D.5
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0





1

10. 已知以 T ? 4 为周期的函数 f ( x) ? ? 恰有 5 个实数解,则 m 的取值范围为 A. (

? ?m 1 ? x 2 , x ? (?1,1] , 其中 m ? 0 。 若方程 3 f ( x) ? x 1 ? x ? 2 , x ? (1,3] ? ?
( C. ( , ) )

15 8 , ) 3 3

B. (

15 , 7) 3

4 8 3 3

D. ( , 7)

4 3

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案写在答题卡相应位置上.
x 11.若 A ? x ? R x ? 3 , B ? x ? R 2 ? 1 ,则 A

?

?

?

?

B?

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12.若 f ( x) ?

1 ? a 是奇函数,则 a ? 2 ?1
x

13.将 4 名大学生分配到 3 个乡镇去当村官,每个乡镇至少一名,则不同的分配方案有 种(用数字作答) . 14 . 设 a1 ? 2 , an ?1 ?

a ?2 2 * , bn ? n , n ? N , 则 数 列 ?bn ? 的 通 项 公 式 an ? 1 an ? 1

bn =
15.已知双曲线



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x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1 (?c,0), F2 (c,0) ,若双曲线 a 2 b2

上存在一点 P 使

sin PF1 F2 a ? ,则该双曲线的离心率的取值范围是 sin PF2 F1 c



三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 13 分, (Ⅰ)小问 7 分, (Ⅱ)小问 6 分. ) 设函数 f ( x) ? sin(

?x ?

?x ? ) ? 2 cos 2 ?1 . 4 6 8
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(Ⅰ)求 f ( x ) 的最小正周期.

(Ⅱ)若函数 y ? g ( x) 与 y ? f ( x) 的图像关于直线 x ? 1 对称,求当 x ? [0, ] 时 y ? g ( x) 的 最大值.

4 3

2

17. (本小题满分 13 分, (Ⅰ)问 7 分, (Ⅱ)问 6 分) 某单位为绿化环境,移栽了甲、乙两种大树各 2 株.设甲、乙两种大树移栽的成活率分 别为

2 1 和 ,且各株大树是否成活互不影响.求移栽的 4 株大树中: 3 2

(Ⅰ)两种大树各成活 1 株的概率; (Ⅱ)成活的株数 ? 的分布列与期望.
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18. (本小题满分 13 分, (Ⅰ)问 5 分, (Ⅱ)问 8 分) 设函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? k (k ? 0) 在 x ? 0 处取得极值, 且曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处 的切线垂直于直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 . (Ⅰ)求 a , b 的值; (Ⅱ)若函数 g ( x) ?

ex ,讨论 g ( x) 的单调性. f ( x)

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3

19. (本小题满分 12 分, (Ⅰ)问 5 分, (Ⅱ)问 7 分) 如题( 19 )图,在四棱锥 S ? ABCD 中, AD

BC 且 AD ? CD ;平面 CSD ? 平面

ABCD , CS ? DS , CS ? 2 AD ? 2 ; E 为 BS 的中点, CE ? 2, AS ? 3 .求:
(Ⅰ)点 A 到平面 BCS 的距离; (Ⅱ)二面角 E ? CD ? A 的大小.

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4

20. (本小题满分 12 分, (Ⅰ)问 5 分, (Ⅱ)问 7 分) 已知以原点 O 为中心的椭圆的一条准线方程为 y ? 的动点. (Ⅰ)若 C , D 的坐标分别是 (0, ? 3),(0, 3) ,求 MC MD 的最大值; (Ⅱ)如题(20)图,点 A 的坐标为 (1, 0) , B 是圆 x 2 ? y 2 ? 1上的点, N 是点 M 在 x 轴上的射影,点 Q 满足条件: OQ ? OM ? ON , QA BA ? 0 .求线段 QB 的中点 P 的轨迹 方程;

4 3 3 ,离心率 e ? , M 是椭圆上 3 2

5

21. (本小题满分 12 分, (Ⅰ)问 5 分, (Ⅱ)问 7 分) 设 m 个不全相等的正数 a1 , a2 , (Ⅰ)若 m ? 2009 ,且 a1 , a2 ,

, am (m ? 7) 依次围成一个圆圈.

, a1005 是公差为 d 的等差数列,而 a1 , a2009 , a2008 ,

, a1006 是

公 比 为 q ? d 的 等 比 数 列 ; 数 列 a1 , a2 ,

, am 的 前 n 项 和 Sn (n ? m) 满 足 : S3 ? 15, ,

S2009 ? S2007 ? 12a1 求通项 an (n ? m) ;
( Ⅱ ) 若 每 个 数 an (n ? m) 是 其 左 右 相 邻 两 数 平 方 的 等 比 中 项 , 求 证 :

a1 ?

2 ? a6 ? a7 ?

2 ? am ? ma1a2am ;

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6

绝密★启用前

2009 年普通高等学校招生全国统一考试(重庆卷) 数学试题答案(理工农医类)
一、选择题:每小题 5 分,满分 50 分 . (1) B (2) A (3) D (4) C (9) B (10) B 二.填空题:每小题 5 分,满分 25 分 . (11) (0,3) (12) (5) A (6) C (7) C (8) D

1 2

(13) 36

(14) 2

n ?1

(15) (1,

2 ?1)

三.解答题:满分 75 分 . (16)(本小题 13 分) 解: (Ⅰ) f ( x ) = sin

?
4

x cos

?
6

? cos

?
4

x sin

?
6

? cos

?
4

x

=

3 ? 3 ? sin x ? cos x 2 4 2 4

= 3 sin(

?

x? ) 4 3

?

故 f ( x ) 的最小正周期为 T =

2?

? 4

=8

(Ⅱ)解法一: 在 y ? g ( x) 的图象上任取一点 ( x, g ( x)) ,它关于 x ? 1 的对称点 (2 ? x, g ( x)) . 由题设条件,点 (2 ? x, g ( x)) 在 y ? f ( x) 的图象上,从而

g ( x )? f ( ? 2 x ?)

3 s i n [? x ( ? 2 ) 4 3

?

?

]

= 3 sin[

?

2

?

?

x? ) 4 3 3 ? ? ? 2? 4 当 0 ? x ? 时, ? x ? ? ,因此 y ? g ( x) 在区间 [0, ] 上的最大值为 4 3 4 3 3 3
= 3 cos(

?

x? ] 4 3

?

?

? 3 gm a ? 3 c o s? x 3 2
解法二: 因区间 [0, ] 关于 x = 1 的对称区间为 [ , 2] ,且 y ? g ( x) 与 y ? f ( x) 的图象关于 x = 1 对称,故 y ? g ( x) 在 [0, ] 上的最大值为 y ? f ( x) 在 [ , 2] 上的最大值

4 3

2 3

4 3

2 3

7

由(Ⅰ)知 f ( x ) = 3 sin( 当

?

2 ? ? ? ? ? x ? 2 时, ? ? ? ? 3 6 4 3 6
4 3

x? ) 4 3

?

因此 y ? g ( x) 在 [0, ] 上的最大值为 g max ? 3 sin

?
6

?

3 . 2

(17)(本小题 13 分) 解:设 Ak 表示甲种大树成活 k 株,k=0,1,2

Bl 表示乙种大树成活 l 株,l=0,1,2
则 Ak , Bl 独立. 由独立重复试验中事件发生的概率公式有

2 1 1 1 P ( Ak ) ? C k 2 ( ) k ( ) 2? k , P( Bl ) ? C l 2 ( )l ( ) 2?l . 3 3 2 2
据此算得

1 , 9 1 P ( B0 ) ? , 4 P ( A0 ) ?

4 , P ( A2 ) ? 9 1 P ( B1 ) ? , P ( B2 ) ? 2 P ( A1 ) ?

4 . 9 1 . 4
.

(Ⅰ) 所求概率为

4 1 2 P( A2 ? B1 ) ? P( A1 ) ? P( B1 ) ? ? ? 9 2 9
(Ⅱ) 解法一:

? 的所有可能值为 0,1,2,3,4,且
1 1 1 P(? ? 0) ? P( A0 ? B0 ) ? P( A0 ) ? P( B0 ) ? ? ? , 9 4 36 1 1 4 1 1 P(? ? 1) ? P( A0 ? B1 ) ? P( A1 ? B0 ) ? ? ? ? ? , 9 2 9 4 6 1 1 4 1 4 1 P(? ? 2) ? P( A0 ? B2 ) ? P( A1 ? B1 ) ? P( A2 ? B0 ) ? ? ? ? ? ? 9 4 9 2 9 4 13 = , 36 4 1 4 1 1 P(? ? 3) ? P( A1 ? B2 ) ? P( A2 ? B1 ) ? ? ? ? ? . 9 4 9 2 3 4 1 1 P(? ? 4) ? P( A2 ? B2 ) ? ? ? . 9 4 9
综上知 ? 有分布列

?

0

1

2

3

4

8

P 从而, ? 的期望为

1/36

1/6

13/36

1/3

1/9

E? ? 0 ? ?

1 1 13 1 1 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? 36 6 36 3 9

7 (株) 3

解法二: 分布列的求法同上 令 ?1,?2 分别表示甲乙两种树成活的株数,则

2 1 3 2 2 4 1 故有 E?1 =2 ? = ,E? 2 ? 2 ? ? 1 3 3 2 7 从而知 E? ? E?1 ? E? 2 ? 3

?1 : B(2, ),? 2 : B(2, )

18、 (本小题 13 分) 解(Ⅰ)因 f ( x) ? ax2 ? bx ? k (k ? 0), 故f ?( x) ? 2ax ? b 又 f ( x ) 在 x=0 处取得极限值,故 f ?( x) ? 0, 从而 b ? 0 由曲线 y= f ( x ) 在(1,f(1) )处的切线与直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 相互垂直可知 该切线斜率为 2,即 f ?(1) ? 2, 有2a=2,从而a=1

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,

g ( x) ?

ex (k ? 0) x2 ? k

g ?( x) ?

ex ( x2 ? 2x ? k ) (k ? 0) ( x 2 ? k )2
2

令 g ?( x) ? 0, 有x ? 2 x ? k ? 0 (1)当 ? ? 4 ? 4k ? 0, 即当k>1时,g?(x)>0在R上恒成立,

故函数g(x)在R上为增函数
(2)当 ? ? 4 ? 4k ? 0, 即当k=1时, g ?( x) ? K=1 时,g(x)在 R 上为增函数 (3) ? ? 4 ? 4k ? 0,即当0<k<1时, 方程 x ? 2 x ? k ? 0 有两个不相等实根
2

e x ( x ? 1)2 ? 0( x ? 0) ( x 2 ? k )2

9

x1 ? 1? 1? k , x2 ? 1? 1? k
当 x ? (??,1 ? 1 ? k )是g?( x) ? 0, 故g ( x)在(? ?,1 ? 1 ? k )上为增 函数 当 x? 时, g ?( x) ? 0, 故 g ( x)在( 上为减函数 ( 1 ? 1 ? k ,1 ? 1 ? k) 1 ? 1 ? k ,1 ? 1 ? k) 时, g ?( x) ? 0, 故 g ( x)在( 上为增函数 x? ( 1 ? 1 ? k,+?) 1 ? 1 ? k,+?) (19) (本小题 12 分) 解法一: (Ⅰ) 因为 AD//BC,且 BC ? 平面BCS , 所以 AD // 平面BCS , 从而 A 点到平面 BCS 的距离等 于 D 点到平面 BCS 的距离。 因为平面 CSD ? 平面ABCD,AD ? CD, 故 AD ? 平面CSD ,从而 AD ? SD ,由 AD//BC, 得

BC ? DS ,又由 CS ? DS 知 DS ? 平面BCS ,从而 DS 为点 A 到平面 BCS 的距离,因

此在 Rt ?ADS 中

DS ? AS 2 ? AD2 ? 3 ?1 ? 2
(Ⅱ)如答(19)图 1,过 E 电作 EG ? CD, 交 CD 于点 G,又过 G 点作 GH ? CD ,交 AB 于 H, 故

?EGH 为二面角 E ? CD ? A 的平面角,记为 ? ,过 E 点作 EF//BC,交 CS 于点 F,连结

GF,因平面 ABCD ? 平面CSD, GH ? CD, 易知GH ? GF ,故 ? ? 由于 E 为 BS 边中点,故 CF ?

?

2

? ?EGF .

1 CS ? 1 ,在 Rt ?CFE 中, 2

EF ? CE2 ? CF 2 ? 2 ?1 ? 1 ,因 EF ? 平面CSD ,又 EG ? CD
故由三垂线定理的逆定理得 FG ? CD ,从而又可得 ?CGF : ?CSD, 因此

GF CF ? 而在 Rt ?CSD 中, DS CD

CD ? CS 2 ? SD 2 ? 4 ? 2 ? 6, CF 1 1 故GF ? ? DS ? ? 2? CD 6 3
在 Rt ?FEG 中, tan EGF ?

EF ? ? ? 3 可得 ?EGF ? ,故所求二面角的大小为 ? ? FG 3 6

解法二: (Ⅰ)如答(19)图 2,以 S(O)为坐标原点,射线 OD,OC 分别为 x 轴,y 轴正向,建立空间坐 标系,设 A( xA , yA , z A ) ,因平面 COD ? 平面ABCD, AD ? CD, 故AD ? 平面COD

10

即点 A 在 xoz 平面上,因此 y A ? 0,z A ? AD ? 1 又

uuu v

uuv 2 2 xA ? 12 ? AS ? 3, xA ? 2 从而( A 2, 0, 1 )

因 AD//BC,故 BC⊥平面 CSD,即 BCS 与平面 yOx 重合,从而点 A 到平面 BCS 的距离为 xA ? 2 . (Ⅱ)易知 C(0,2,0),D(,0,0). 因 E 为 BS 的中点. Δ BCS 为直角三角形 , 知 BS ? 2CE ? 2 2 设 B(0,2, Z B ), Z B >0,则 Z A =2,故 B(0,2,2) , 所以 E(0,1,1) . 在 CD 上取点 G,设 G( x1 , y1 ,0 ) ,使 GE⊥CD . 由 CD ? ( 2, ?2,0), GE ? (?x1, ? y1 ?1,1), CD ? GE ? 0 故

uuv

uuv

uuu v

uu u v

uuu v uu u v

2x1 ? 2( y1 ?1) ? 0



又点 G 在直线 CD 上,即 CG // CD ,由 CG =( x1 , y1 ? 2,0 ) ,则有

uuu v uuu v

uuu v

x1 y ?2 ? 1 ?2 2



联立①、②,解得 G= (

2 4 , , 0) 3 3

,

故 GE = (?

uuu v

uuu v uuu v 2 2 所以二面角 E-CD-A 的平面角为向量 GE 与向量 DA 所 , ? ,1) .又由 AD⊥CD, 3 3
.

成的角,记此角为 ? 因为 GE =

uuu v 2 3 uuu v uuu v uuu v uuu v , DA ? (0, 0,1), DA ? 1, GE ? DA ? 1,所以 3 uuu v uuu v GE ? DA 3 cos ? ? uuu v uuu v ? 2 GE ? DA

故所求的二面角的大小为

? . 6

(20)(本小题 12 分) 解: (Ⅰ)由题设条件知焦点在 y 轴上,故设椭圆方程为

x2 y 2 ? ? 1 (a >b> 0 ). a 2 b2

11

设 c ? a2 ? b2 ,由准线方程 y ?

3 4 3 3 c 得.由 e ? 得 ? ,解得 a = 2 ,c = a 2 3 2

3 ,从而 b = 1,椭圆方程为 x 2 ?

y2 ?1 . 4
2

又易知 C,D 两点是椭圆 x ?

y2 ? 1的焦点,所以, MC ? MD ? 2a ? 4 4

从而 MC ? MD ? ( 为 (?1, 0)

MC ? MD 2 ) ? 22 ? 4 ,当且仅当 MC ? MD ,即点 M 的坐标 2

时上式取等号, MC ? MD 的最大值为 4 .

(II)如图(20)图,设 M( xm , ym ), B( xB , yB ) .因为 N ( xN ,0), OM ? ON ? OQ ,故 Q( xQ ,yQ )

xQ ? 2xN , yQ ? yM ,
2 2 xQ ? yQ ? (2xM )2 ? y y ? 4



因为 QA ? BA ? 0,

(1 ? xQ ? yQ ) ? (1 ? xN ? yn ) ? (1 ? xQ )(1 ? xN ) ? yQ y N ? 0,
所以

xQ xN ? yQ yN ? xN ? xQ ?1 .



记 P 点的坐标为 ( xP , yP ) ,因为 P 是 BQ 的中点 所以 由因为

2xP ? xQ ? xP , 2 yP ? yQ ? yP
2 2 xN ? yN ? 1 ,结合①,②得

2 2 xP ? yP ?

1 (( xQ ? xN ) 2 ? ( yQ ? yN ) 2 ) 4 1 2 2 2 2 ? ( xQ ? xN ? yQ ? yn ? 2( xQ xN ? yQ y N )) 4 1 ? (5 ? 2( xQ ? xN ? 1)) 4 3 ? ? xP 4

故动点 P 的估计方程为

12

1 ( x ? )2 ? y 2 ? 1 2
(21) (本小题 12 分) 解: (I)因 a1 ,a2009 ,a 2 0 0 8 由

, ??? ,00 a 1 6

是公比为 d 的等比数列,从而 a2000 ? a1d , a2008 ? a1d 2

S2 0 0 ? 9 S

2008

? 12a 得 1 a

? 122 2 0a 08 ? 0 ,故 0a 9

1

解得 d ? 3 或 d ? ?4 (舍去) 。因此 d ? 3 又

S3 ? 3a1 ? 3d ? 15 。解得 a1 ? 2

从而当 n ? 1005 时,

an ? a 1) d ? 2 ?3 ( n ? 1 )? n 3? 1 1 ?( n ?
当 1006 ? n ? 2009 时,由 a1 , a2009 , a2008 , ???, a1006 是公比为 d 的等比数列得

an ? a1d 2009?(n?1) ? a1d 2010?n (1006 ? n ? 2009)
因此 an ? ?

?3n ? 1, n ? 1005 ?2 ? 3
2009 ? n

,1006 ? n ? 2009

2 2 2 2 2 2 2 2 (II)由题意 an ? an ?1an?1 (1 ? n ? m), am? am?1a1 , a1 ? ama2 得

      ①  ?an ? an ?1an ?1 (1 ? n ? m), ? ?am ? am ?1a1         ② ?a ? a a           ③ m 2 ? 1
有①得 a3 ?

a2 a 1 1 , a4 ? , a5 ? , a6 ? 1 a3 a1 a2 a2



由①,②,③得 a1a2 ??? an ? (a1a2 ??? an )2 , 故 a1a2 ??? an ? 1 . 又 ar ?3 ? ⑤

ar ? 2 ar ?1 1 1 ? ? ? (1 ? r ? m ? 3) ,故有 ar ?1 ar ar ?1 ar

ar ?6 ?

1 ? ar (1 ? r ? m ? 6) .⑥ ar ?3

下面反证法证明: m ? 6 k

1? p ? 5 若不然,设 m ? 6k ? p, 其中

13

若取 p ? 1 即 m ? 6k ? 1 ,则由⑥得 am ? a6k ?1 ? a1 ,而由③得 am ?

a1 a , 故a1 ? 1 , a2 a2

得 a2 ? 1, 由②得 am?1 ?

am , 从而a6 ? a6 k ? am?1 , 而 a1

a6 ?

a1 , 故a1 ? a2 ? 1,由 ④及⑥可推得 an ? 1 ( 1 ? n ? m )与题设矛盾 a2

同理若 P=2,3,4,5 均可得 an ? 1 ( 1 ? n ? m )与题设矛盾,因此 m ? 6 k 为 6 的倍数 由均值不等式得

a1 ? a2 ? a3 ? K ? a6 ? (a1 ?

a a 1 1 ) ? (a2 ? ) ? ( 2 ? 1 ) ? 6 a1 a2 a1 a2

由上面三组数内必有一组不相等(否则 a1 ? a2 ? a3 ? 1 ,从而 a4 ? a5 ? K ? am ? 1 与题设矛 盾) ,故等号不成立,从而 a1 ? a2 ? a3 ? K ? a6 ? 6 又 m ? 6 k ,由④和⑥得
2 2 2 2 2 a ? K ? am ? (a7 ? K ? a12 ) ? K ? (a6 k ?5 ? K ? a6 k ) 2 7 2      =(k-1)  (a12 ? K ? a6 )

     =(k-1)  (a12 ?
因此由⑤得

1 1 1 2 2 +a2 ? 2 +a3 ? 2 ) ?6(k-1) 2 a1 a2 a3

2 2 a1 ? a2 ? a3 ? K ? a6 ? a7 ? K ? am ? 6 ? 6(k ?1) ? 6k ? m ? ma1a2a3 K am

14


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