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江西省上饶市横峰中学2013届高三上学期第一次月考(数学理)


江西省上饶市广丰一中 2013 届高三周考 2 (数学理)
1、设 i 为虚数单位,则 1 ? i ? i ? i ? ? ? i
2 3 10

?(



A. i

B. ? i

C. 2i

D. ? 2i )

/>2、若集合 P= { y | y ? 0} , P ? Q ? Q ,则集合 Q 不可能是( ...
A.{ y | y ? x2 , x ?R}
C.{ y | y ?| lg x |, x > 0?

B.{ y | y ? 2x , x ?R}

D.{ y | y ? x?3 , x ? 0}

3、命题“若 x2 ? y 2 ,则 x ? y ”的逆否命题是 A. “若 x ? y ,则 x2 ? y 2 ” C. “若 x ? y ,则 x2 ? y 2 ” B. “若 x ? y ,则 x2 ? y 2 ” D. “若 x ? y ,则 x2 ? y 2 ”

1 1 1 1 4、张老师给学生出了一道题,“试写一个程序框图,计算 S=1+ + + + ”.发现 3 5 7 9 同学们有如下几种做法,其中有一个是错误的,这个错误的做法是 ( )

5、设 S n 是等差数列 {a n } 的前 n 项和,若 3 A. 10 1 B. 3 1 C. 8

S3 1 S ? ,则 6 等于( S6 3 S12



1 D. 9

6、若把函数 y ? 3 cos x ? sin x 的图象向右平移 m ( m >0)个单位长度后,所得到的图象 关于 y 轴对称,则 m 的最小值是( A. ) C.

π 3

2 B. π 3

π 6

5 D. π 6

7、如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PB⊥平面 ABCD,AB⊥AD,AB∥CD, 且 AB=1, AD=CD=2, 在线段 PD 上. E 若异面直线 BC 与 PD 所成的角为 60° ,

求四棱锥 P-ABCD 的侧视图的面积(

)

A.3

B.

55 10

C.

55 5

D.6

8.已知直线 l 过双曲线

| AB | x2 y 2 ? 2 ? 1 (a ? 0, b ? 0) 右焦点,交双曲线于 A , B 两点,若 2 2a a b
) C.2 D.3

的最小值为 2,则其离心率为( A. 2 B. 3

9、在等边 ?ABC 中, D 在 AB 上运动, E 在 AC 上运动, DE / / BC ,将 ?A E 沿 DE 折起, D 使二面角 A ? DE ? B 的平面角为 600 ,当四棱锥 A ? DBCE 体积最大时, AD : DB 等于 A.1:1 B. 1: ( 3 ? 1) C. 1: 2 D. 2 : 3

1 10、直线 bx ? ay ? c ? 0(a ? 0) 是曲线 y ? ln 在 x ? 3 处的切线, f ? x ? ? a ? 2x ? b ? 3x ,若 x

f ? x ? 1? ? f ? x ? ,则 x 的取值范围是(
A. ? ??,1? B. ?1, ?? ?


2? ? C. ? ??, ? 3? ? ?2 ? D. ? , ?? ? 3 ? ?

11、如果等比数列的前 n 项和 Sn ? 3n ? a ,则常数 a ? ___ . 12、已知 a ?

?

1

?1

(1 ? 1 ? x 2 )dx ,则 [(a ?

?

1 ) x ? ]6 展开式中的常数项为___________. 2 x


13、在 ?ABC 中,已知 BC ? 2, AB ? AC =1,则 ?ABC 面积的最大值是

??? ??? ? ?

14、函数 f ( x ) 的定义域为 D,若对于任意 x1 , x2 ? D ,当 x1 ? x2 时,都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) , 则称函数 f ( x ) 在 D 上为非减函数。设函数 f ( x ) 为定义在[0,1]上的非减函数,且满足以 下三个条件:① f (0) ? 0 ;② f (1 ? x) ? f ( x) ? 1 x ??0,1? ; ③

当 x? ?0, ? 时, 4

? 1? ? ?

?3? f ? x? ? 2 x 恒成立。则 f ? ? ? ?7?

?5? f ? ?? ?9?



15、已知对于任意非零实数 m,不等式 | 5m ? 3 | ? | 3 ? 4m |?| m | ( x ? ) 恒成立,则实数 x 的取值范围是 。

2 x

16.已知向量 m ? ( 3 sin 2x ? 2, cos x), n ? (1,2 cos x) ,设函数 f ( x) ? m ? n 。 (1)求 f (x ) 的最小正周期与单调递减区间;

(2)在 ?ABC 中, a 、 b 、 c 分别是角 A 、 B 、 C 的对边,若 f ( A) ? 4, b ? 1, ?ABC 的面

积为

3 ,求 a 的值。 2

17、第 26 届世界大学生夏季运动会将于 2011 年 8 月 12 日至 23 日在深圳举行,为了搞好 接待工作,组委会在某学院招募了 12 名男志愿者和 18 名女志愿者,调查发现,这 30 名志 愿者的身高如下: (单位:cm ) 男 9 9 8 7 6 5 4 2 8 0 1 1 15 16 17 18 19 女 7 7 8 9 9 1 2 4 5 8 9 2 3 4 5 6 0 1

若身高在 175 cm 以上(包括 175 cm)定义为“高个子” ,身高在 175 cm 以下定义为“非 高个子” ,且只有“女高个子”才能担任“礼仪小姐” . (1)如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取 5 人,再从这 5 人中选

2 人,则至少有一人是“高个子”的概率是多少?
(2)若从所有“高个子”中选 3 名志愿者,用 ? 表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐” 的人数,试写出 ? 的分布列,并求 ? 的数学期望. 18. 设 数 列 ?an ? 的 前 项 和 为 S n , 且 S n ? 2 ?

1 , ?bn ? 为 等 差 数 列 , 且 a1 ? b1 , 2n?1

a2 (b2 ? b1 ) ? a1 . (Ⅰ)求数列 ?an ? 和 ?bn ? 通项公式;
(Ⅱ)设 cn ?

bn ,求数列 ?cn ? 的前 n 项和 Tn . an

19、如图:在多面体 ABC? A1 B1C1 中, AA ? 平面ABC , AA //BB1 , 1 1

B1C1 //

1 2 BC , AB ? AC ? AA1 ? BC 。 2 2

(1)求证: A1 B1 ? 平面AA C ; (2)求证: AB1 // 平面A1C1C ; 1 (3)求二面角 C1 ? A1C ? A 的余弦值。

20、 已知 A、 C 是椭圆 m : B、

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 上的三点, 其中点 A 的坐标为 (2 3,0) , a2 b2

BC 过椭圆 m 的中心,且 AC ? BC ? 0, | BC |? 2 | AC | . (1)求椭圆 m 的方程; (2)过点 M (0, t ) 的直线 l(斜率存在时)与椭圆 m 交于两点 P,Q, 设 D 为椭圆 m 与 y 轴负半轴的交点,且 | DP |?| DQ | ,求实数 t 的取值范围.

21、已知函数 f ( x) ? 1 ?

a 1 ? ln x x

( a 为实常数) 。

(Ⅰ)当 a ? 1 时,求函数 g ( x) ? f ( x) ? 2 x 的单调区间; (Ⅱ)若函数 f ( x ) 在区间 (0, 2) 上无极值,求 a 的取值范围;
? (Ⅲ)已知 n ? N 且 n ? 3 ,求证: ln

n+1 1 1 1 1 < + + + ?? + . 3 3 4 5 n

题号 答案

1 A

2 D

3 C

4 A

5 C

6 D

7 C

8 B

9 B

10 A

高三第 三次月

考数学试题参考答案(理科)
一、选择题(每小题 5 分,共 50 分)

二、填空题(每小题 5 分,共 25 分) 11、 —1 . 12、 —160 13、 14、 . . .

2
1

( - 】 ( 2】 15、__ - ?、1 ? 0、 _.

三、解答题

因此, ? 的分布列如下:

?
p

0

1

2

3

14 28 55 55 14 28 12 1 ? E? ? 0 ? ? 1 ? ? 2 ? ? 3? ? 1. 55 55 55 55

12 55

1 55

18、 (1)当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 1. 当 n ? 2 时, a n ? S n ? S n ?1 ? (2 ?

1 2
n ?1

) ? (2 ?

1 2
n?2

)?

1 2 n ?1

,此式对 n ? 1 也成立.

? an ?

1 2
n ?1

(n ? N * ) . ,从而 b1 ? a1 ? 1 , b2 ? b1 ?

a1 ?2. a2

?Tn ? 3 ? (2n ? 3) ? 2n .

19、证明: (Ⅰ)由于 AB ? AC ? AA1 ?

2 BC , 所以 AB2 ? AC 2 ? BC 2 , 2

则 AB ? AC. 又 AA ? 平面ABC ,则 AA ? AB , 1 1 所以 AB ? 平面AAC. 又 AB ? A B1 ,则 A1B1 ? 平面AAC. 1 1 1 (Ⅱ)取 BC 的中点 D ,连结 AD, DC1 , 由条件知 CD?B1C1 , BD?B1C1 , ∴四边形 B1DCC1 和 BDC1B1 为平行四边形, ∴ B1 D? 1 , C1 D?BB1 ,∴ C1 D?AA1 , CC ∴四边形 AAC1D 为平行四边形,∴ AD ? AC1 , 1 1 ∴平面 AB1D ? 平面 AC1C ,则 AB1 ?平面 AC1C 。 1 1 (Ⅲ)由(Ⅰ)知 AA1, AB, AC 两两垂直,如图建系, 设 BC ? 2 ,则 A(0, 0, 0) , A (0,0, 2) , 1

C (0, ? 2, 0), C1 (?

2 2 ,? , 2) , 2 2

????? ???? 2 2 AC1 ? (? , ? ,0), AC ? (0, ? 2, ? 2). 1 1 2 2

?? ???? ? ? 2 2 ?? ?m ? A1C1 ? 0 x? y?0 ?? ? 设平面 AC1C 的法向量为 m ? ( x, y, z) , 则由 ? ?? ???? , ? 2 得 , 2 1 ? m ? A1C ? 0 ? ? 2 y ? 2z ? 0 ? ?
取 x ? 1 ,则

所以二面角 C1 ? AC ? A 为钝二面角,故二面角 C1 ? AC ? A 的余弦值为 ? 1 1

3 . 3

∴∠OCA=90° , 即 C ( 3, 3 )

又∵ a ? 2 3 , 设m :

x2 y2 ? ?1 12 12 ? c 2

综上 t∈(-2,4)

21、解:(I)当 a ? 1 时, g ? x ? ? 1 ? 2 x ?

1 1 ? ln ,其定义域为 ? 0,??? ; x x

g ' ? x ? ? ?2 ?

1 1 ?2 x 2 ? x ? 1 ? ? 2 x ? 1?? x ? 1? ? ? ? , x2 x x2 x2

令 g ' ? x ? ? 0 , 并 结 合 定 义 域 知 x ? ? 0, ? ; 令 g ' ? x ? ? 0 , 并 结 合 定 义 域 知

? ?

1? 2?

?1 ? x ? ? , ?? ? ; ?2 ?
故 g ? x ? 在 x ? ? 0, ? 时递增;在 x ? ? (II) f
'

? ?

1? 2?

?1 ? , ?? ? 时递减。 ?2 ?

? x? ?

a 1 a?x ? ? 2 , x2 x x

① 当 a ? 0 时, f ' ? x ? ? 0 , f ? x ? 在 ? 0, 2 ? 上递减,无极值; ② 当 a ? 0 时, f ? x ? 在 ? 0, a ? 上递增,在 ? a, ??? 上递减,故 f ( x ) 在 x ? a 处 取得极大值.要使 f ( x ) 在区间 (0, 2) 上无极值,则 a ? 2 . 综上所述, a 的取值范围是 ? ??,0? ? ?2, ??? . (Ⅲ)由(Ⅱ)知,当 a ? 1 时, f ( x) ? 1 ?

1 1 ? ln 在 x ? 1 处取得最大值 0 . x x 1 1 1 1? x 即 f ( x) ? 1 ? ? ln ? 0 ? ln ? . x x x x n n ?1 1 1 ? ,即 ln(n ? 1) ? ln n ? , 令x? ,则 ln n ?1 n n n n ?1 ? ln ? ln(n ? 1) ? ln 3 3


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