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数学必修4平面向量综合练习题答案


一、选择题 【共 12 道小题】 1、下列说法中正确的是( ) A.两个单位向量的数量积为 1 C.

B.若 a·b=a·c 且 a≠0,则 b=c D.若 b⊥c,则(a+c)·b=a·b

参考答案与解析:解析:A 中两向量的夹角不确定;B 中若 a⊥b,a⊥c,b 与 c 反方向则不成立;C 中应 为 ;D 中 b⊥c b·c=0,

所以(a+c)·b=a·b+c·b=a·b.

答案:D 主要考察知识点:向量、向量的运算 2、设 e 是单位向量, A.梯形 参考答案与解析:解析: 又因为| |=| =2e, B.菱形 ,所以| |=| =-2e,| |=2,则四边形 ABCD 是( C.矩形 ) D.正方形

|,且 AB∥CD,所以四边形 ABCD 是平行四边形.

|=2,所以四边形 ABCD 是菱形.

答案:B 主要考察知识点:向量、向量的运算 3、已知|a|=|b|=1,a 与 b 的夹角为 90°,且 c=2a+3b,d=ka-4b,若 c⊥d,则实数 k 的值为( A.6 B.-6 C.3 D.-3 参考答案与解析:解析:∵c⊥d,∴c·d=(2a+3b)·(ka-4b)=0,即 2k-12=0,∴k=6. 答案:A 主要考察知识点:向量、向量的运算 4、设 0≤θ <2π ,已知两个向量 度的最大值是( A. ) B. C. D. =(cosθ ,sinθ ), =(2+sinθ ,2-cosθ ),则向量

)



参考答案与解析:解析: 所以| |=

=(2+sinθ -cosθ ,2-cosθ -sinθ ), ≤ = .

答案:C 主要考察知识点:向量与向量运算的坐标表示 5、设向量 a=(1,-3),b=(-2,4),c=(-1,-2),若表示向量 4a、4b-2c、2(a-c)、d 的有向线段首尾 相接能构成四边形,则向量 d 为( ) A.(2,6) B.(-2,6) C.(2,-6) D.(-2,-6) 参考答案与解析:解析:依题意,4a+4b-2c+2(a-c)+d=0,所以 d=-6a+4b-4c=(-2,-6). 答案:D 主要考察知识点:向量与向量运算的坐标表示 6、已知向量 a=(3,4),b=(-3,1),a 与 b 的夹角为 θ ,则 tanθ 等于( )

A.

B.-

C.3

D.-3

参考答案与解析:解析:由已知得 a·b=3×(-3)+4×1=-5,|a|=5,|b|=



所以 cosθ = 由于 θ ∈[0,π ],

.

所以 sinθ =

.

所以 tanθ =

=-3.

答案:D 主要考察知识点:向量与向量运算的坐标表示 7、向量 a 与 b 不共线, A.k+l=0 =a+kb, =la+b(k、l∈R),且 C.kl+1=0 与 与 共线,则 k、l 应满足( )

B.k-l=0

D.kl-1=0 共线,所以设 =λ (λ ∈R), 即

参考答案与解析:解析:因为

la+b=λ (a+kb)=λ a+λ kb,所以(l-λ )a+(1-λ k)b=0. 因为 a 与 b 不共线,所以 l-λ =0 且 1-λ k=0,消去 λ 得 1-lk=0,即 kl-1=0. 答案:D 主要考察知识点:向量、向量的运算 8、已知平面内三点 A(-1,0),B(5,6),P(3,4),且 AP=λ PB,则 λ 的值为( )

A.3

B.2

C.

D.

参考答案与解析:解析:因为



,所以(4,4)=λ (2,2).所以 λ =

.

答案:C 主要考察知识点:向量与向量运算的坐标表示 9、设平面向量 a1,a2,a3 的和 a1+a2+a3=0,如果平面向量 b1,b2,b3 满足|bi|=2|ai|,且 ai 顺 时针旋转 30°后与 bi 同向,其中 i=1,2,3,则( ) A.-b1+b2+b3=0 B.b1-b2+b3=0 C.b1+b2-b3=0 D.b1+b2+b3=0 参考答案与解析:解析:根据题意,由向量的物理意义,共点的向量模伸长为原来的 2 倍,三个向量都 顺时针旋转 30°后合力为原来的 2 倍,原来的合力为零,所以由 a1+a2+a3=0,可得 b1+b2+b3=0. 答案:D 主要考察知识点:向量、向量的运算 10、设过点 P(x,y)的直线分别与 x 轴的正半轴和 y 轴的正半轴交于 A、B 两点,点 Q 与点 P 关于 y 轴对称,O 为坐标原点,若 ,且 · =1,则 P 点的轨迹方程是( )

A.3x2+

y2=1(x>0,y>0)

B.3x2

y2=1(x>0,y>0)

C.

x2-3y2=1(x>0,y>0)

D.

x2+3y2=1(x>0,y>0) =(x,y-yB)

参 考 答 案 与 解 析 : 解 析 : 设 P(x,y), 则 Q(-x,y). 设 A(xA),xA,B(0,yByB0, =(xAx,-y).

∵ 又∵ ·

=2PA,∴x=2(xA,x),y-yB=2y,xA= =1,(-x,y)·(-xA,yB)=1,

x,yB=3y(x>0,y>0).

∴(-x,y)·(

x,3y)=1,



x2+3y2=1(x>0,y>0).

答案:D 主要考察知识点:向量、向量的运算 11、已知△ABC 中,点 D 在 BC 边上,且 ,若 ,则 r+s 的值是( )

A.

B.0

C.

D.-3

参考答案与解析:解析:△ABC 中,

=

=

(

)=

-

,故 r+s=0.

答案:B 主要考察知识点:向量、向量的运算 12、 定义 a※b=|a||b|sinθ , 是向量 a 和 b 的夹角, θ |a|、 |b|分别为 a、 的模, b 已知点 A(-3,2)、 B(2,3),O 是坐标原点,则 A.-2 B.0 ※ 等于( ) C.6.5 =(-3,2), =(2,3), D.13

参考答案与解析:解析:由题意可知 计算得 另一方面 ∴cosθ =0, 又 θ ∈(0,π ),从而 sinθ =1,∴ · · =-3×2+2×3=0, =| ||

|cosθ ,



=|

||

|sinθ =13.

答案:D 主要考察知识点:向量与向量运算的坐标表示 二、填空题 【共 4 道小题】 1、已知 a+b+c=0,且|a|=3,|b|=5,|c|=7,则向量 a 与 b 的夹角是____________. 参考答案与解析:解析: 由已知得 a+b=-c,两边平方得 a2+2a·b+b2=c2,所以 2a·b=72-32-52=15.设

a 与 b 的夹角为 θ ,则 cosθ = 所以 θ =60°. 答案:60° 主要考察知识点:向量、向量的运算 2、若 =2e1+e2, =e1-3e2,

=

=

,

=5e1+λ e2,且 B、C、D 三点共线,则实数 λ =___________. =(e1-3e2)-(2e1+e2)=-e1-4e2,

参考答案与解析:解析:由已知可得

=(5e1+λ e2)-(e1-3e2)=4e1+(λ +3)e2. 由于 B、C、D 三点共线,所以存在实数 m 使得 ,

即-e1-4e2=m[4e1+(λ +3)e2].所以-1=4m 且-4=m(λ +3),消去 m 得 λ =13. 答案:13 主要考察知识点:向量、向量的运算 3、已知 e1、e2 是夹角为 60°的两个单位向量,则 a=2e1+e2 和 b=2e2-3e1 的夹角是__________.

参考答案与解析:解析:运用夹角公式 cosθ =

,代入数据即可得到结果.

答案:120° 主要考察知识点:向量、向量的运算 4、如图 2-1 所示,两射线 OA 与 OB 交于 O,则下列选项中向量的终点落在阴影区域内的是 _________________.

图 2-1





+





+



-

参考答案与解析:解析:由向量减法法则可知③⑤不符合条件,①②显然满足,④不满足. 答案:①② 主要考察知识点:向量、向量的运算 三、解答题 【共 6 道小题】

1、如图 2-2 所示,在△ABC 中,

=c,

=a,

=b,且 a·b=b·c=c·a,试判断△ABC 的形状.

图 2-2 参考答案与解析:解:∵a·b=b·c,∴b·(a-c)=0. 又 b=-(a+c), ∴-(a+c)·(a-c)=0,即 c2-a2=0. ∴|c|=|a|.同理,|b|=|a|, 故|a|=|b|=|c|,所以△ABC 为等边三角形. 主要考察知识点:向量、向量的运算 2、 如图 2-3 所示,已知| |=| |=1, 、 的夹角为 120°, 与 的夹角为 45°,|

|=5,用



表示

.(注:cos75°=

)

图 2-3 参考答案与解析:解:设 =λ +μ ,



·

=(λ









·

=λ +μ cos120°=λ

μ .



·

=|

||

|cos45°=5cos45°=

,

∴λ

μ =

,

·

=(λ







·



=λ cos120°+μ =

λ +μ .



·

=|

|·|

|cos(120°-45°)=5cos75°=

,



λ +μ =

.

∴λ =

,μ =

.



=

+

.

主要考察知识点:向量、向量的运算 3、在四边形 ABCD 中(A、B、C、D 顺时针排列), 又有 ⊥ ,求 的坐标. =(x,y),则 =(6+x,1+y), =(4+x,y-2), =(-x-4,2-y), =(6,1), =(-2,-3).若有 ∥ ,

参考答案与解析:解:设 =(x-2,y-3). 又 ∥ 及 ⊥ ,

所以 x(2-y)-(-x-4)y=0, (6+x)(x-2)+(1+y)(y-3)=0.

① ②

解得 ∴

或 =(-6,3)或(2,-1).

主要考察知识点:向量与向量运算的坐标表示

4、已知平面向量 a=(

,-1),b=(

,

).

(1)证明 a⊥b; (2)若存在不同时为零的实数 k、t,使得 x=a+(t2-3)b,y=-ka+tb,且 x⊥y,求函数关系式 k=f(t).

参考答案与解析:(1)证明:因为 a·b=(

,-1)·(



)=

+(-1)×

=0,所以 a⊥b.

(2)解:由已知得|a|=

=2,|b|=

=1,

由于 x⊥y,所以 x·y=0,即[a+(t2-3)b]·(-ka+tb)=0. 所以-ka2+ta·b-k(t2-3)b·a+t(t2-3)b2=0. 由于 a·b=0,所以-4k+t(t2-3)=0.

所以 k=

t(t2-3).

由已知 k,t 不同时为零得 k=

t(t2-3)(t≠0).

主要考察知识点:向量与向量运算的坐标表示 5、已知 a、b、c 是同一平面内的三个向量,其中 a=(1,2). (1)若|c|= ,且 c∥a,求 c 的坐标;

(2)若|b|=

,且 a+2b 与 2a-b 垂直,求 a 与 b 的夹角 θ . ,∴ ,即 x2+y2=20, ② ①

参考答案与解析:解:(1)设 c=(x,y),∵|c|= ∵c∥a,a=(1,2),∴2x-y=0,即 y=2x.

联立①②得



∴c=(2,4)或(-2,-4). (2)∵(a+2b)⊥(2a-b),∴(a+2b)·(2a-b)=0, 即 2a2+3a·b-2b2=0. ∴2|a|2+3a·b-2|b|2=0.



∵|a|2=5,|b|2=

,代入①式得 a·b=

.

∴cosθ =

=-1.

又∵θ ∈[0,π ],∴θ =π . 主要考察知识点:向量与向量运算的坐标表示 6、 如图 2-4 所示,已知△AOB,其中 =λ a(0<λ <1), =a, =b,而 M、 分别是△AOB 的两边 OA、 上的点,且 N OB =p 用 a、b 表示出来.

=μ b(0<μ <1),设 BM 与 AN 相交于 P,试将向量

图 2-4 参考答案与解析:解:由题图可知 p= 设 又∵ ∴p= p= =m( =μ b,设 )=m(b-λ a), =n( )=n(a-μ b), 或 p= ,而 =λ a,

=λ a+m(b-λ a)=λ (1-m)a+mb, =μ b+n(a-μ b)=na+μ (1-n)b.

∵a、b 不共线,且表示方法唯一,



解得

∴p=λ [

]a+



即 p=

.

主要考察知识点:向量、向量的运算


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