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汕头市2013届高三上学期期末统一检测(文数答案)


汕头市 2013 届高三上学期期末统一检测 文科数学参考答案
说明: 一、本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的 主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则. 二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的内容 和难度,可视影响的程度映定给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如 果后续部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数,选择题和填空题不给中间分数. 一.选择题: 题号 答案 1 C 2 B 3 D 4 C 5 A 6 D 7 B 8 A 9 B 10 C

二.填空题:
2? 3 . 3 1 3

11.-29.

12.

13.甲、乙、丁.

14.

.

15.相交

解答过程分析: 10.选 D.解析:由已知得
n a1 ? a 2 ? ? ? a n ? 1 2n ? 1

? a 1 ? a 2 ? ? ? a n ? n ( 2 n ? 1) ? S n

当 n ? 2 时, a n ? S n ? S n ? 1 ? 4 n ? 1
? bn ? an ? 1 4
1 b 2 b3

当 n ? 1 时也成立,? a n ? 4 n ? 1
1 n ?1
1 2 1 3 1 10 1 11 10 11

? n,?

1 bn ? bn ?1
1 b10 b11

?

1 n

?

?

1 b1 b 2

?

?? ?

? (1 ?

1 2

)?(

?

) ?? ? (

?

)?

.

11.填-29.解析:类比等式可推测 a ? 6 , t ? 35 ,则 a ? t ? ? 29 .
2? 3 3

12.填

。解析:

? sin (? ?
2

?
6

) ? 1 ? cos (
2

?
6

??) ? 1? (

3 3

) ?
2

2 3

, cos(

5? 6

? ? ) ? cos[ ? ? (

?
6

? ? )] ? ? cos(

?
6

??) ? ?

3 3

1

? sin (? ?
2

?
6

) ? cos(

5? 6

??)?

2 3

?

3 2? 3 ? . 3 3

13.填甲、乙、丁. 解析: f ( x ) 满足 f ( x ? 4 ) ? ? f ( x ) ,则 f ( x ) 的最小正周期 T ? 8 , 又 x ? [ 0 , 2 ] 时, f ( x ) ? log 2 ( x ? 1) ,且定义在 R 上 f ( x ) 是奇函数,则 f ( x ) 大致图像如 下:

故甲、乙、丁正确. 14.填
1 3

.

解析:设半径为 r,则 AD ?
? ? ?
3

3 2

r , BD ?

1 2

r ,由 CD

2

? AD ? BD 得 CD ?

3 r ,从而 2

,故 tan

2

?
2

?

1 3

.

15.填相交。 解析:法一:在极坐标系中,点(4,0)和 ( 0 , 和 ( 4 ,?
?
2 ) 作直线 l,可得圆与直线相交.
2

?
2

) 为圆直径端点,作圆 C,又过两点(4,0)

法二:方程②代入①得 4 cos ? ? 4 cos ? sin ? ? 4 ,? 1 ? cos 2? ? sin 2? ? 2 ,
?
4 2 ,在 [ 0 , 2 ? ] 内有两解,∴直线与圆相交。 2
2 2

sin(

??) ?

法三:圆 C 的直角坐标方程是 x ? y ? 4 x ,即 ( x ? 2 ) ? y ? 4 .圆心 C(2,0),半 径 r=2
2 2

直线 l 的直角坐标方程为 x ? y ? 4 ? 0 . 所以圆心 C 到直线 l 的距离 d ?

|2?0?4| 2

?

2 ?r?2.

三.解答题: 16.解:(1)由频率分布表得: 0 . 05 ? m ? 0 . 15 ? 0 . 35 ? n ? 1,? m ? n ? 0 . 45 由抽取的 20 个零件中,等级为 5 的恰有 2 个,则 n ?
2 20

…2 分

? 0 . 1, ? m ? 0 . 45 ? 0 . 1 ? 0 . 35 .…5

分 (2)由(1)得等级为 3 的零件有 3 个,记作 x 1 , x 2 , x 3 ,等级为 5 的零件有 2 个,记作 y 1 , y 2
2

从 x 1 , x 2 , x 3 , y 1 , y 2 中任取 2 个零件, ( x 1 , x 2 ), ( x 1 , x 3 ), ( x 1 , y 1 )( x 1 , y 2 ), ( x 2 , x 3 ), ( x 2 , y 1 ), ( x 2 , y 2 ) 有
( x 3 , y 1 ), ( x 3 , y 2 ), ( y 1 , y 2 ) 共 10 种

…………8 分

记事件 A 为“从 x 1 , x 2 , x 3 , y 1 , y 2 中任取 2 个零件,其等级不相同”,则 A 包含的基本事件 是
( x 1 , y 1 )( x 1 , y 2 )( x 2 , y 1 ), ( x 2 , y 2 ), ( x 3 , y 1 )( x 3 , y 2 ) 共 6 个

………10 分 …………12 分

所求概率 P ( A ) ? 17.解: (1) f ( x ) ?

6 10

?

3 5

3 sin 2 ? x ? 2 sin

2

?x ?

3 sin 2 ? x ? 1 ? cos 2 ? x ? 2 sin( 2 ? x ?
2? 2? ? 3? ,? ? ? 1 3

?
6

) ? 1 …3 分

依题意:函数 f ( x ) 的周期为 3 ? ,即
f ( x ) ? 2 sin( 2x 3 ?



……5 分 ……6 分

?
6
?

) ?1

(2)? f ( C ) ? 2 sin(

2C 3 2C 3

?
6

) ?1 ? 1

2C ? ?sin( ? ) ? 1, 3 6
5? 6

? C ? ( 0 , ? ), ?

?

?
6

? (

?
6

,

) ,?

2C 3

?

?
6

?

?
2

,? C ?

?
2

.

……8 分

在 Rt ? ABC 中,? A ? B ?

?
2

, 2 sin

2

B ? cos B ? cos( A ? C )

? 2 cos

2

A ? sin A ? sin A ? 0 ,即 sin
5 ?1 2

2

A ? sin A ? 1 ? 0 ,解得: sin A ?

?1? 5 ……11 分 2

? 0 ? sin A ? 1,? sin A ?

.

…………12 分

(注:17 题原题题干后面加上条件“ ? ? 0 ”。) 18.解:(1)设公差为 d,则 a 3 ? 1 ? 2 d , a 7 ? 1 ? 6 d , a 9 ? 1 ? 8 d
? a 3 , a 7 ? 2 , 3 a 9 成等比数列,? ( 3 ? 6 d ) ? 2d
2 2

…………2 分 …………3 分 …………6 分

? 3 (1 ? 2 d )( 1 ? 8 d )

? d ? 1 ? 0 ,? d ? 0 ,? d ? 1, ? a n ? 1 ? ( n ? 1) ? 1 ? n .
n (1 ? n ) 2
Sn S n ?1 n n ? 2

(2)? a n ? n , S n ?

,?

?

.

…………8 分

3

? f (n) ?

Sn ( n ? 18 ) S n ? 1

?

n ( n ? 18 )( n ? 2 )

?

n n ? 20 n ? 36
2

? n?

1 36 n ? 20

?

1 12 ? 20

?

1 32

……12 分

当且仅当 n ?

36 n

,即 n ? 6 时, f ( n ) 取得最大值

1 32

.

………14 分 平面 ABCD=AC ………2 分 …………3 分 …4 分 ……6 分

19.解:(1)∵平面 ACE ? 平面 ABCD,且平面 ACE
? BC ? AC BC ? 平面 BCEF ? BC ? AE ,

?

? BC ? 平面 AEC

AE ? 平面 AEC

又 AC ?

2 , AE ? EC ? 1

? AC

2

? AE

2

? CE

2

? AE ? EC

且 BC ? EC ? C ,? AE ? 平面 ECBF.

(2)设 AC 的中点为 G,连接 EG,? AE ? CE ∵平面 ACE ? 平面 ABCD,且平面 ACE
? EG ? 平面 ABCD

? EG ? AC

……7 分

?

平面, ABCD ? AC ,

………9 分 (法二:由(1)可知 BC ? 平面 AEC,? EG ? 平面 AEC 又 AC

? BC ? EG ,……8 分

? BC

?C

? EG ? 平面 ABCD.

………9 分

? EF // BC , EF ? 平面 ABCD, ?

所以点 F 到平面 ABCD 的距离就等于点 E 到平面 ABCD 的距离 即点 F 到平面 ABCD 的距离为 EG 的长 …………………11 分
? V D ? ACF ? V F ? ACD ? V E ? ACD ?
1 2 1 2

1 3

s ? ACD EG
1 2 2 2

? S ? ACD ?

AC ? AD ?

?

2?

2 ?1

EG ?

AC ?

…………13 分

? V D ? ACF ?

1 3

?1?

2 2
? ? ? ? ?

?

2 6

即三棱锥 D-ACF 的体积为
( 0 ? t ? 20 ,t? N *) ( 20 ? t ? 30 ,t? N *)

2 . 6

…………14 分

20.解:(1)设 P ( t ) ?

k 1 t ? b1 k 2t ? b2

,依题意及由图象甲可得:

? b1 ? 2 ? 20 k 2 ? b 2 ? 6 及? ? ? 20 k 1 ? b 2 ? 6 ? 30 k 2 ? b 2 ? 5

4

?b 2 ? 8 ? b1 ? 2 ? ? 解得: ? 1 1 及? ?k 2 ? ? ? k1 ? 5 10 ? ?

……4 分

? 1 t ? 2 ? ? 5 故所求 P 满足的函数关系式 P ( t ) ? ? t ?? ?8 ? 10 ?

( 0 ? t ? 20 , t ? N *)

…………5 分
( 20 ? t ? 30 , t ? N *),

(2)依题意设 Q ( t ) ? k 3 t ? b 3 , 0 ? t ? 30 , t ? N * ,把前两组数据代入得: ?
?k3 ? ?1 ? b 3 ? 40

? 4 k 3 ? b 3 ? 36 ?10 k 3 ? b 3 ? 30

解得: ?



故 Q 的一次函数关系式是 Q ( t ) ? ? t ? 40 , 0 ? t ? 30 , t ? N *
1 5 1 10 1 5 1 10

……8 分

(3)依题意:当 0 ? t ? 20 , t ? N * 时, y ? (

t ? 2 )( ? t ? 40 ) ? ?

( t ? 15 )

2

? 125

当 20 ? t ? 30 , t ? N * 时, y ? ( ?

t ? 8 )( ? t ? 40 ) ?

( t ? 60 )

2

? 40

? 1 2 ? ( t ? 15 ) ? 125 ( 0 ? t ? 20 , t ? N *) ? 5 ? 故 y 关于 t 的函数关系式: y ? ? ,………12 分 ? 1 ( t ? 60 ) 2 ? 40 ( 20 ? t ? 30 , t ? N *) ? 10 ?

若 0 ? t ? 20 , t ? N * ,则 t ? 15 时, y max ? 125 (万元) 若 20 ? t ? 30 , t ? N * ,则 y ?
1 10 ( 20 ? 60 ) ? 40 ? 120 (万元)
2

∴第 15 天日交易额最大为 125 万元. 21.解:解:(1)当 a ? 1 时, f ( x ) ? ( x ? 1) e ? 1,? f ( x ) ? xe
x
x

……14 分
x

…………1 分

? e ? 0 ,令 f ' ( x ) ? 0 得: x ? 0 ;令 f ' ( x ) ? 0 得: x ? 0

所以函数 f ( x ) 的减区间是 ( ?? , 0 ) ;增区间是 ( 0 , ?? ) (2)(i)证明:
? g ( x ) ? f ' ( x ) ? e ( x ? a ? 1) ? ( a ? 1), ? g ' ( x ) ? e ( x ? a ? 2 )
x x

…………3 分

………4 分

? a ? 2 ,? a ? 2 ? 0 ,且 e

x

? 0, x ? 0 ,
5

令 g ' ( x ) ? 0 得: 0 ? x ? a ? 2 ;令 g ' ( x ) ? 0 得: x ? a ? 2 则函数 g ( x ) 在 ( 0 , a ? 2 ) 上递减;在 ( a ? 2 , ?? ) 上递增
? g ( 0 ) ? 0 , ? g ( a ? 2 ) ? 0 ,又 g ( a ) ? e ? a ? 1 ? 0
a

………6 分

所以函数 g ( x ) 在 ( 0 , a ? 2 ) 上无零点,在 ( a ? 2 , ?? ) 上有惟一零点 因此在 ( 0 , ?? ) 上恰有一个 x 0 使得 g ( x 0 ) ? 0 .
x

…………8 分

(ii)若 a ? 2 ,则 ? a ? 2 ? 0 ,对 ? x ? [ 0 , 2 ], g ' ( x ) ? e ( x ? a ? 2 ) ? 0 恒成立,
? 故函数 g ( x ) 在 [ 0 , 2 ] 上是增函数, g ( x ) ? g ( 0 ) ? 0 , 因此函数 f ( x ) 在 [ 0 , 2 ] 内单调递增,

而 f ( 0 ) ? 0 ,? f ( x ) ? f ( 0 ) ? 0 ,不符题意。
? a ? 2 ,由(i)知 f ( x ) 在 ( 0 , x 0 ) 递减, ( x 0 , ?? ) 递增,

………10 分

设 f ( x ) 在[0,2]上最大值为 M,则 M ? max{ f ( 0 ), f ( 2 )} ,
? f (0 ) ? 0 ? f (2) ? 0
2

故对任意的 x ? [ 0 , 2 ] ,恒有 f ( x ) ? 0 成立等价于 ?



……12 分

2 由 f ( 2 ) ? 0 得: ( 2 ? a ) e ? 2 a ? 2 ? a ? 0 ,? a ?

2e ? 2 e ?3
2

? 2?

4 e ?3
2

? 2,

又 f ( 0 ) ? 0 ,? a ?

2e e

2

? 2 ?3

2



……14 分

6


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