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湖北省八校2015届第一次八校联考文科数学试题


湖北省

鄂南高中 黄冈中学 黄石二中 荆 州 中 学 襄阳四中 襄阳五中 孝感高中 华师一附中

八校

2015 届高三第一次联考 数学试题(文科)
命题学校:襄阳五中 出题人:何宇飞 王丹 考试时间:2014 年 12 月 11 日下午 15:00—17:00 试卷满分 150 分 审题人:程 玲 考试用时 120 分钟

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 5 0 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1.若复数 z 满足 ?1 ? i ?z ? 1 ? i ,则 z ? A. 1 2.已知函数 f ( x) ?
1 1? x2

B. ?1

C.i

D. ?i

的定义域为 M, g ( x) ? ln(1 ? x) 的定义域为 N,则 M ? (C R N ) ?

A. {x | x ? 1} B. {x | x ? 1} C. ? D. {x | ?1 ? x ? 1} 3.下列函数中,对于任意 x ? R,同时满足条件 f ( x) ? f (? x) 和 f ( x ? ? ) ? f ( x) 的函数是 B. f ( x) ? sin x cos x C. f ( x) ? cos x 1 1 4.若幂函数 f ( x) ? mxa 的图像经过点 A( , ) ,则它在点 A 处的 4 2 切线方程是 A. 2 x ? y ? 0 B. 2 x ? y ? 0 C. 4 x ? 4 y ? 1 ? 0 D. 4 x ? 4 y ? 1 ? 0 1 1 1 1 5.如图给出的是计算 ? ? ? ? ? 的值的程序框图,其中 2 4 6 2014 判断框内应填入的是 A. i ? 2013 B. i ? 2015 C. i ? 2017 D. i ? 2019 6.已知实数等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,则下列结论一定成立的是 A.若 a3 ? 0 ,则 a2013 ? 0 B.若 a4 ? 0 ,则 a2014 ? 0 C.若 a3 ? 0 ,则 S2013 ? 0 D.若 a4 ? 0 ,则 S2014 ? 0 7.棱长为 2 的正方体被一平面截成两个几何体,其 中一个 几何体的三视图如图所示, 那么该几何体的体积是 14 A. B.4 3 10 C. D.3 3 x2 y2 8.点 A 是抛物线 C1 : y 2 ? 2 px( p ? 0) 与双曲线 C2 : 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一条渐近线的交点(异于原 a b 点),若点 A 到抛物线 C1 的准线的距离为 p,则双曲线 C2 的离心率等于
八校 2015 届高三第一次联考数学文科试题 第 1 页 共 7 页

A. f ( x) ? sin x

D. f ( x) ? cos2 x ? sin2 x

B. 3 C. 5 D. 6 ?1, x ? 0, ? 9.已知符号函数 sgn(x) ? ?0, x ? 0, 则函数 f ( x) ? sgn(lnx) ? ln2 x 的零点个数为 ?? 1, x ? 0 ? A.1 10.有下列命题: B.2 C.3 D.4

A. 2

①在函数 y ? cos(x ? ) cos(x ? ) 的图象中,相邻两个对称中心的距离为 ? ; 4 4 x?3 ②函数 y ? 的图象关于点 (?1,1) 对称; x ?1 ③“ a ? 5 且 b ? ?5 ”是“ a ? b ? 0 ”的必要不充分条件; ④已知命题 p:对任意的 x ? R,都有 sin x ? 1 ,则 ? p 是:存在 x ? R,使得 sin x ? 1 ; ⑤在△ABC 中,若 3 sin A ? 4 cos B ? 6 , 4 sin B ? 3 cos A ? 1 ,则角 C 等于 30? 或 150? . 其中所有真命题的个数是 A.1 B.2 C.3 D.4 二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 5 分,共 35 分.请将答案填在答题卡对应题号 的位置上. 答错 ....... 位置,书写不清,模棱两可均不得分. 11.在边长为 2 的正△ABC 中,则 AB ? BC ? _________. 12.某校选修篮球课程的学生中,高一学生有 30 名,高二学生有 40 名,现用分层抽样的方法在这 70 名学生中抽取一个容量为 n 的样本, 已知在高一学生中抽取了 6 人, 则在高二学生中应抽取___人. ?y ? x ?1 ? 13.设 x, y 满足约束条件 ? y ? 2 x ? 1 ,则目标函数 z ? x ? 2 y 的最大值为___________. ? x ? 0, y ? 0 ? 14.随机向边长为 5,5,6 的三角形中投一点 P,则点 P 到三个顶点的距离都不小于 1 的概率是____. 15.观察下列等式: 12 ? 1 , 12 ? 2 2 ? ?3 ,12 ? 22 ? 32 ? 6 ,12 ? 22 ? 32 ? 42 ? ?10 ,??,由以上等式 推测出一个一般性的结论:对于 n ? N*, 12 ? 22 ? 32 ? 42 ? ? ? (?1)n?1 n2 ? ___________.
?C ( A) ? C ( B), C ( A) ? C ( B) 16.用 C ( A) 表示非空集合 A 中的元素个数,定义 | A ? B |? ? .若 A ? {1,2} , ?C ( B) ? C ( A), C ( A) ? C ( B)

?

?

B ? {x || x2 ? 2x ? 3 |? a} ,且 | A ? B |? 1 ,则 a ? ___________. 17.在平面直角坐标系 xOy 中,直线 y ? 2 x ? b 是曲线 y ? a ln x 的切线,则当 a ? 0 时,实数 b 的最小值 是 .
三、解答题:本大题共 5 小题,共 65 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? sin(2 x ? ) ? 2 cos2 x ? 1( x ? R). 6 (I)求 f ( x) 的单调递增区间; (II)在△ABC 中,三内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c,已知 f ( A) ?
AB ? AC ? 9 ,求 a 的值.

?

1 ,b, a, c 成等差数列,且 2

八校 2015 届高三第一次联考数学文科试题

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19. (本小题满分 12 分)正方体 ABCD ? A1B1C1D1 的棱长为 l,点 F、H 分别为为 A1D、A1C 的中点. (Ⅰ)证明:A1B∥平面 AFC; (Ⅱ)证明:B1H ? 平面 AFC.

20. (本小题满分 13 分)已知等比数列{an}的公比 q ? 1 ,前 n 项和为 Sn,S3=7,且 a1 ? 3 , 3a2 , a3 ? 4 成等差数列,数列{bn}的前 n 项和为 Tn, 6Tn ? (3n ? 1)bn ? 2 ,其中 n ? N*. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)求数列{bn}的通项公式; (Ⅲ)设 A ? {a1, a2 ,?a10 } , B ? {b1, b2 ,?a40 } , C ? A ? B ,求集合 C 中所有元素之和.

21. (本小题满分 14 分)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆

x2 y2 2 ? 2 ? 1( a ? b ? 0) 的离心率为 , 2 2 a b

过椭圆右焦点 F 作两条互相垂直的弦 AB 与 CD.当直线 AB 斜率为 0 时, | AB | ? | CD |? 3 2 . y (Ⅰ)求椭圆的方程; B D (Ⅱ)求由 A,B,C,D 四点构成的四边形的面积的取值范围.

O

(第 21 题)

O
C

F

A

x

22. (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? x3 ? x ? x . f ( x) (Ⅰ)判断 的单调性; x (Ⅱ)求函数 y ? f ( x) 的零点的个数; (Ⅲ)令 g ( x) ?

1 ? ln x ,若函数 y ? g ( x) 在 (0, ) 内有极值,求实数 a 的取值范围. e f ( x) ? x

ax2 ? ax

2015 届高三第一次联考文科数学参考答案
一、选择题 1 C 二、填空题 11. ?2 2 A 3 D 14. 1 ? 4 C 5 B 15. (?1)
n ?1

6 C

7 B

8 C 16.4

9 B 17. ? 2

10 A

12.8 13.8

?
24

n2 ? n 2

解析如下:
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? 1 ? i ?2i ? ? ?i ,则 z ? i ,故选 C 1? i 2 2. M ? ?? 1,1? , N ? ?? 1,??? ,故 M ? (CR N ) ? {x | x ? 1} ,故选 A

1. z ?

1 3.由题意知道: f ?x ? 是偶函数,且周期是 ? ,选项 A,C 的周期是 2? ,选项 B,函数 f ?x? ? sin 2 x 2 为奇函数,故选 D. 1 ?1 1? 4 . ? f ? x ? ? mxa 为经过点错误!未找到引用源。 ? , ? 的幂函数, ? m ? 1, a ? 故 f ( x) ? x , 4 2 2 ? ? 1 f ?( x) ? ,则它 2 x 在点 A 处的切线方程为 4 x ? 4 y ? 1 ? 0 ,故选 C 5.由程序知道, i ? 2,4,6,?2014 都应该满足条件, i ? 2016 不满足条件,故应该选择 B.
6.设 an ? a1qn ?1 ,因为 q2010 ? 0 所以 A,B 不成立,对于 C,当 a3 ? 0 时, a1 ? 0 ,因为 1 ? q 与 1 ? q 2013 同号,所以 S2013 ? 0 ,选项 C 正确,对于 D,取数列:-1,1,-1, 1,??,不满足条件,D 错.故选 C. 1 7.几何体如图,体积为: ? 23 ? 4 ,故选 B 2 b2 b ?p ? 8.? 点 A 到抛物线 C1 的准线的距离为 p,? A? , p ? 适合 y ? x ,? 2 ? 4 , a a ?2 ?

?e? 5

故选 C.

?1 ? ln2 x, ( x ? 1) ? x ? 1 时,f ( x) ? 1 ? ln2 x ? 0 , 9.f ( x) ? ?0, ( x ? 1) , 解得 x ? e ; 当 x ? 1 时,f ( x) ? 0 ; 当0 ? x ?1 ? 2 ?? 1 ? ln x, (0 ? x ? 1) 时, f ( x) ? ?1 ? ln2 x ? 0 ,即 ln2 x ? ?1 无解.故函数 f ( x) 的零点有 2 个.故选 B. ? ? 1 T ? 10.对于①: y ? cos( x ? ) cos( x ? ) ? cos 2 x ,相邻两个对称中心的距离为 ? ,①错 2 2 4 4 2
对于②: 函数 y ?

x?3 的图象关于点 (1,1) 对称, ②错 x ?1

对于③: a ? 5 且 b ? ?5 推不出 a ? b ? 0 ,例如 a ? 2, b ? ?2 时 a ? b ? 0 a ? b ? 0 推不出 a ? 5 且 b ? ?5 ,例如 a ? 5, b ? ?6 ,故“ a ? 5 且 b ? ?5 ”是“ a ? b ? 0 ”的既不充分 又不必要条件,故③错 对于④:很明显是对的 1 对于⑤:由 3 sin A ? 4 cos B ? 6,4 sin B ? 3 cos A ? 1 得(两式平方和) : sin? A ? B? ? 2 ? 5? 3s i n A ? 4c o s B ? 6 则 A? B ? 或 而 3 sin A ? 4 cos B ? 6 ? 4 ? 3 sin A , 6 6 2 1 ? 5 ? 故 sin A ? ? , A ? ,? A ? B ? ? ,故 C ? ,故⑤错.故选 A 6 3 2 6 6 二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 5 分,共 35 分.请将答案填在答题卡对应题号 的位 ....... 置上. 答错位置,书写不清,模棱两可均不得分. 2? 11. AB ? BC = 2 ? 2 ? cos ? ?2 3 6 12.在高二学生中应抽取 40 ? ? 8 人. 30 13.由图象得知, z ? x ? 2 y 过点 ?2,3? 达到最大,最大值为 8.
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14.分别以三角形的三个顶点为圆心,1 为半径作圆,则在三角形内部且在三圆外部的区域即为与三角 1 ? ? ? 12 ? 2 形三个顶点距离不小于 1 的部分,即 P ? 1 ? . ?1? 1 24 ?6? 4 2
2 2 2 12 ? 1 2 ?1 2 ? 2 3?1 3 ? 3 4 ?1 4 ? 4 ,?3 ? ?? 1? ,6 ? ?? 1? ,?10 ? ?? 1? , 2 2 2 2 2 n ?1 n ? n 则 12 ? 22 ? 32 ? 42 ? ? ? (?1)n ?1 n2 ? (?1) 2 2 16.由于 x ? 2x ? 3 |? a 的根可能是 2 个,3 个,4 个,而|A-B|=1,故 x 2 ? 2 x ? 3 ? a 只有 3 个根,

15.由于 1 ? ?? 1?

1?1

故a ? 4.
?a a ? ?2 17.设切点为( x 0 , a ln x0 ) ,则 y ? a ln x 上此点处的切线为 y ? x ? a ln x0 ? a ,故 ? x0 x0 ?a ln x ? a ? b 0 ? a ?b ? a ln ? a ?a ? 0? 在 ?0,2? 上单调递减,在 ?2,??? 上单调递增. 2 ? b 的最小值为 ?2 . 三、解答题:本大题共 5 小题,共 65 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

? 3 1 18. (Ⅰ) f ( x) ? sin(2 x ? ) ? 2 cos2 x ? 1 ? sin 2 x ? cos 2 x ? cos 2 x
6 2 2

????2 分

?

由?

?
2

3 1 ? sin 2 x ? cos 2 x = sin(2 x ? ) 2 2 6

??????????3 分

? 2k? ? 2x ?

?

6

?

?

2

? 2k? (k ? Z)得, ?

?
3

? k? ? x ?

?
6

? k? (k ? Z) ??5 分

故 f ( x) 的单调递增区间是 [? (Ⅱ) f ( A) ? sin(2 A ?

?
3

? k? ,

?
6

? k? ](k ? Z)

?????????6 分

?

6 ? 5? 于是 2 A ? ? ,故 A ? ??????????8 分 3 6 6 由 b, a , c 成等差数列得: 2 a ? b ? c , 1 由 AB ? AC ? 9 得 bc cos A ? 9 , bc ? 9, bc ? 18 ????????????10 分 2 2 2 2 由余弦定理得, a ? b ? c ? 2bc cos A ? (b ? c) 2 ? 3bc ,

)?

?

1 ? ? ? , 0 ? A ? ? , ? 2 A ? ? 2? ? 2 6 6 6

于是 a 2 ? 4a 2 ? 54 , a 2 ? 18 , a ? 3 2 ??????????????13 分 19. (Ⅰ)连 BD 交 AC 于点 E,则 E 为 BD 的中点,连 EF, 又 F 为 A1D 的中点,所以 EF∥A1B,?????3 分 又 EF ? 平面 AFC, A1B ? 平面 AFC, 由线面平行的判断定理可得 A1B∥平面 AFC??5 分 (Ⅱ)连 B1C,在正方体中 A1B1CD 为长方形, ∵H 为 A1C 的中点 ,∴H 也是 B1D 的中点, ∴只要证 B1D ? 平面 ACF 即可 ??????6 分 由正方体性质得 AC ? BD , AC ? B1B , ∴ AC ? 平面 B1BD,∴ AC ? B1D ????????????????9 分 又 F 为 A1D 的中点,∴ AF ? A1D ,又 AF ? A1B1 ,∴ AF ? 平面 A1B1D,
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∴ AF ? B1D ,又 AF、AC 为平面 ACF 内的相交直线, ∴ B1D ? 平面 ACF。即 B1H ? 平面 ACF。 20. (Ⅰ)∵S3 ? 7 ,∴a1 ? a2 ? a3 ? 7 ∵a1 ? 3 , 3a2 , a3 ? 4 成等差数列,∴a1 ? 3 ? a3 ? 4 ? 6a2 ②-①得, a2 ? 2 即 a1q ? 2 又由①得, a1 ? a1q ? 5 消去 a1 得, 2q 2 ? 5q ? 2 ? 0 ,解得 q ? 2 或 q ?
2

???????11 分 ① ② ③ ④ ??????2 分

????????????12 分

∴an ? 2n ?1 (Ⅱ )当 n ? N*时, 6Tn ? (3n ? 1)bn ? 2 ,当 n ? 2 时, 6Tn ?1 ? (3n ? 2)bn ?1 ? 2 b 3n ? 2 ∴ 当 n ? 2 时, 6bn ? (3n ? 1)bn ? (3n ? 2)bn ?1 ,即 n ? ????????6 分 bn ?1 3n ? 5 ∴ ∴
b2 4 b 7 b 10 b 3n ? 2 ? , 3 ? , 4 ? ,?, n ? b1 1 b2 4 b3 7 bn ?1 3n ? 5 b b2 b3 b4 b 4 7 10 3n ? 2 ? ? ??? n ? ? ? ? ?? ,即 n ? 3n ? 2 b1 b1 b2 b3 bn ?1 1 4 7 3n ? 5

1 (舍去) 2 ????????????????????4 分

∵b1 ? 1 ,∴bn ? 3n ? 2(n ? 2) 故 bn ? 3n ? 2(n ? N*) (Ⅲ ) S10 ?
10

?????????????????8 分

1? 2 40 ? 41 ? 210 ? 1 ? 1023, T40 ? 3 ? ? 80 ? 2380 ??????????10 分 1? 2 2 ∵ A 与 B 的公共元素有 1,4,16,64,其和为 85, ∴ 集合 C 中所有元素之和 ? S40 ? T10 ? 85 ? 2380 ? 1023? 85 ? 3318 ??????12 分

21. (Ⅰ)由题意知, e ? c ? 2 ,则 a ? a 2
2

2c, b ? c ,?| AB | ? | CD |? 2a ? 2 b ? 2 2c ? 2c ? 3 2 ,
a

2

所以 c ? 1 .所以椭圆的方程为 x ? y 2 ? 1 . ??????4 分 2 (Ⅱ )① 当两条弦中一条斜率为 0 时,另一条弦的斜率不存在, 1 1 由题意知 S四边形 ? AB ? CD ? ? 2 2 ? 2 ? 2 ; ??????????5 分 2 2 ② 当两弦斜率均存在且不为 0 时,设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , 且设直线 AB 的方程为 y ? k ( x ? 1) ,则直线 CD 的方程为 y ? ? 1 ( x ? 1) . k 2 2 2 将直线 AB 的方程代入椭圆方程中,并整理得 (1 ? 2k ) x ? 4k x ? 2k 2 ? 2 ? 0 , 所以 | AB |? k ? 1 | x1 ? x2 |? k ? 1 ?
2 2

2 2 k 2 ? 1 2 2 (k 2 ? 1) .????8 分 ? 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2
??????????10 分

同理, | CD |?

2 2(

1 ? 1) 2 2 (k 2 ? 1) k2 . ? 2 2 k ? 2 1? 2 k

所以 S四边形 ?

1 1 2 2 (k 2 ? 1) 2 2 (k 2 ? 1) 4(k 2 ? 1) 2 ? AB ? CD ? ? ? ? 2 2 1 ? 2k 2 k2 ? 2 2k 4 ? 2 ? 5k 2

4 k?1 k 2 ? ? 2? 2 2 k ? 1 ?1 2 k?1 k k

?

?

?

?

2

?

? ?1
2



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2 ? 1? 1? ? ? ? 1 ? 9 当且仅当 k ? ?1 时取等号 ????11 分 ? 2? k ? ? ? 1 ? 2? 2 k ? ? ? k? k ? ? ?

2

16 ∴ S四边形 ?[ ,2) 9
综合① 与② 可知, S四边形 ? ? 22. (Ⅰ)设 ? ( x) ? x 2 ? 1 ?
1 x

?16 ? , 2? ?9 ?

????????????????13 分
?0, 2 x3 ?????????????????3 分 1

,其中 x ? 0 , ? ' ( x) ? 2 x ?

∴? ( x) 在 (0,??) 单调递增 (Ⅱ )因为 ? (1) ? ?1 ? 0 , ? ( 2) ? 3 ? 故 ? ( x) 在(1, 2)内有唯一零点
1 2

,有 ? ( x) 在 (0,??) 单调递增 ?????????????????5 分

又 f ( x) ? x3 ? x ? x ? x ? ? ( x) ,显然 x ? 0 为 f ( x) 一个零点, 因此 y ? f ( x) 在 [0,??) 有且仅有 2 个零点 ???????????????7 分 (Ⅲ ) g ( x) ?
ax2 ? ax ax( x ? 1) a ? ln x ? ? ln x ? ln x ? 3 x( x ? 1)( x ? 1) x ?1 x ?x

g ' ( x) ?

1 a x 2 ? 2 x ? 1 ? ax x 2 ? (2 ? a) x ? 1 ???????????9 分 ? ? ? x ( x ? 1)2 x( x ? 1)2 x( x ? 1)2

1 设 h( x) ? x2 ? (2 ? a) x ? 1 ,则 h( x ) ? 0 有两个不同的根 x1, x2,且一根在 (0, ) 内, e 1 不妨设 0 ? x1 ? ,由于 x1 ? x2 ? 1 ,所以 x2 ? e ?????????????12 分 e 1 1 1 由于 h(0) ? 1 ,则只需 h( ) ? 0 ,即 2 ? (2 ? a) ? 1 ? 0 , e e e 1 解得: a ? e ? ? 2 ?????????????????????14 分 e

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