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导数的几何意义课件


回顾
我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度. 函数 y ? f ( x) 在 x ? x0 处的瞬时变化率是: f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?y lim ? lim ?x ?0 ?x ?x ? 0 ?x 我们称它为函数 y ? f ( x) 在 x ? x0 处的导数,记 作 f ?( x ) 或 y? |x? x0 ,即:
f ( x

0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?y f ?( x) ? lim ? lim ?x ?0 ?x ?x ?0 ?x

以平均速度代替瞬时速度,然后通过取极限, 从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。

由导数的定义可知,求函数y=f(x)在点x0处的 导数的步骤是:
(1)求函数的增量?y ? f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 );

回 顾

f ( x 0 ??x) ? f ( x0 ) ?y (2)求平均变化率 ? ; ?x ?x ?y (3)取极限,得导数f ?( x0 ) ? lim . ?x ?0 ?x

你能借助函数 f (x)的图象说说平均变化率

f ?x0 ? ?x ? ? f ( x0 )表示什么吗?请在函数 ?x 图象中画出来.

平均变化率表示的是割线 PPn 的斜率

圆的切线

割线斜率

在 ?x ? 0 的过程中,割线PPn的的变化情况 你能描述一下吗? 请在函数图象中画出来.

曲线的切线定义
当点 Pn ( x0 ? ?x , f ( x0 ? ?x)) 沿着曲线 f ( x) 逼近点 P( x0 , f ( x0 )) 时,即?x ? 0,割线 PPn 趋近于确定的位置,这个确定位置上 的直线PT称为点P处的切线。 曲线切线

思考
已知曲线y=f(x)上两点,
P( x0 , f ( x0 )), Pn ( x0 ? ?x, f ( x0 ? ?x))

⑴结合两点坐标,割线 PPn 的斜率 kn 可表示为什么? ⑵根据切线定义可知: x ? 0 , ?

割线 PPn ?切线 PT ,那么割线
PPn 的斜率kn ? ?

⑶结合?x ? 0 ,割线 PPn ? 切线 PT, 则切线 PT 的斜率 k 可以表示怎么表示?

导数的几何意义: 函数 f (x) 在 x ? x0 处的导数 f / ?x0 ?

的几何意义就是
函数

f (x) 的图像在点 P( x0 , f ( x0 ))

处的切线的斜率.

(数形结合)

y

圆的切线定义并不适
l1
A

用于一般的曲线。
而通过逼近的方法,

l2
B

将割线趋于的确定位置
的直线定义为切线(交
x

点可能不惟一)适用于 各种曲线。所以,这种 定义才真正反映了切线 的直观本质。

C

P

P

P

根据导数的几何意义,在点P附近,曲线可以 用在点P处的切线近似代替 。

数学上常用简单的对象 刻画复杂的对象.例 如 , 用有理数3.1416 近似代替无理数 . 这里, ? 我们用曲线上某点处的 切线 近似代替 这 点 附近的曲线, 这是微积分中重要的思 想方法 以直代曲 .

例1: (1)求函数y=3x2在点 (1,3)处的导数.
3x 2 ? 3 ?12 3( x 2 ? 12 ) y? |x ?1 ? lim ? lim ? lim3( x ? 1) ? 6 x ?1 x ?1 x ?1 x ?1 x ?1

(2)求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切 线方程.
[(1 ? ?x)2 ? 1] ? (12 ? 1) 2?x ? ?x 2 y? |x?1 ? lim ? lim ?2 ?x ?0 ?x ?0 ?x ?x

y ? 2 ? 2( x ? 1)
2x ? y ? 0

例2.在函数 h(t ) ? ?4.9t 2 ? 6.5t ? 10 的
/

图像上,(1)用图形来体现导数 h (1) ? ?3.3 ,

h (0.5) ? 1.6 的几何意义.
/
h

O

0 .5

1 .0

t

(2)请描述,比较曲线分别在t 0 , t1 , t 2 附近增(减)以及增(减)快慢的情况。 在 t 3 , t 4 附近呢?
h

O

t3

t4

t0

t1

t2

t

跳水

(2)请描述,比较曲线分别在t 0 , t1 , t 2 附近增(减)以及增(减)快慢的情况。 在

t 3 , t 4 附近呢?

附近:瞬时 增(减): 变化率(正或负) 即:瞬时变化率(导数) =切线的斜率 增(减)快慢: 即:导数 的绝对值的大小 切线的倾斜程度 =切线斜率的绝对值的 (陡峭程度) 大小 画切线(数形结合,以直代曲) 以简单对象刻画复杂的对象

(2) 曲线在 t 0 时,切线平行于x轴,曲线在
h / (t1 ), h / (t 2 ) ? 0 曲线在 t1 , t 2 处切线 l1 , l 2 的斜率 小于 0 大于 l 3 , l 4 h / (t 3 ), h / (t 4 ) ? 0 t3 , t 4

t 0 附近比较平坦,几乎没有升降.

在 t1 , t 2 附近,曲线 下降 ,函数在 t1 , t 2
t3 , t 4

附近单调 递减
递增

上升

t3 , t 4

如图,切线 l 2 的倾斜程度大于切线 l1 的 l4 倾斜程度, l 3
这说明曲线在 t 2 附近比在 t1附近 下降 t3 得迅速. 上升 t4

例3如图表示人体血管中的药物浓度c=f(t) (单位:mg/ml)随时间t(单位:min) 变化的函数图像,根据图像,估计 t=0.2,0.4,0.6,0.8(min)时,血管中 药物浓度的瞬时变化率,把数据用表格 的形式列出。(精确到0.1)

血管中药物浓度的瞬时变化率, 就是药物浓度

函数f(t)在此时刻的导数, 从图象上看,它表示
曲线在该点处的切线的斜率. (数形结合,以直代曲)

以简单对象刻画复杂的对象

作t ? 0.8处的切线,它的斜率约为? 1.4, 所以 f ?0.8? ? ?1.4.
'

t

0.2

0.4

0.6

0.8

药物浓度的 瞬时变化率

0 .3

0

? 0 .5

? 1 .4

课堂小结
1.曲线的切线定义 2.函数 f (x) 在 x ? x0 处的导数 f / ?x0 ? 的几何意义,就是函数 f (x)的图像在点
P ? x0 , f ( x0 ) ? 处的切线的斜率(数形结合)
f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) f ( x0 ) ? lim ?x ?0 ?x
/

的斜率K 3.利用导数的几何意义解释实际生活问题,体会 “数形结合”,“以直代曲”的数学思想方法。
f ( x ? ?x ) ? f ( x ) lim 4.导函数(简称导数) f ( x) ? ?x?0 ?x
/

=切线

以简单对象刻画复杂的对象


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