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【强烈推荐】高一第一学期数学期末复习讲义(精华,含答案)


r

高一上学期数学期末复习(含答案)
一、知识点回顾:
1、集合元素具有确定性、无序性和 . 2.遇到 A ? B ? ? 、 A ? B 时,应注意到“极端”情况: ; 3.对于含有 n 个元素的有限集合 M ,其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为 4.集合的运算性质: ⑴ A ? B ? A ? B ? A ; ⑵ A ?

B ? B ? B ? A ; 的

; ?y | y ? lg x? —函数的 ; ?( x, y ) | y ? lg x? —函数 6. 数轴和韦恩图是进行交、并、补运算的有力工具,在具体计算时不要忘了集合本身和空集这两 种特殊情况,补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。 7、一元一次不等式的解法:通过去分母、去括号、移项、合并同类项等步骤化为 ax ? b 的形式, 若 a ? 0 ,则 ; 若 a ? 0 ,则 ; 若 a ? 0 ,则当 b ? 0 时, ; 当 b ? 0 时, 。

5. 研究集合问题,一定要 理解集合的意义――抓住集合的代表元素 。如: ?x | y ? lg x? —函数

二、基础题热身:
1、设 U={0,1,2,3,4},A={0,1,2,3},B={2,3,4},则(CUA) ? (CUB)=( A. {0} B.{0,1} C.{0,1,4} D.{0,1,2,3,4} 2、设集合 A ? ? x | ?4 ? x ? 3? , B ? ? x | x ? 2? ,则 A ? B ? ( A. ( ?4,3) B. ( ?4, 2] C. ( ??, 2] ) )

D. ( ??,3)

3、 (2006 年江苏卷)若 A、B、C 为三个集合, A ? B ? B ? C ,则一定有 (A) A ? C (B) C ? A (C) A ? C ( D) A ? ? 4、如果集合{0,1,x+1}中有 3 个元素,求的取值集合: ;

5、定义 A ? B ? {x x ? A, x ? B} ,若 A ? {x x ? 1 ? 5} , B ? {x x 2 ? 6 x ? 7 ? 0} , 则 A? B ?
当 A、B 满足 时, A ? B ?

。一般地,当 A、B 满足

时, A ? B ? C A B ?

??


12 ? ? ?N? ? 6、列举法表示集合: B ? ?m ? N | 6?m ? ?
三、典型题选讲:
1、设全集为 ? ,用集合 A、B、C 的交、并、补集符号表图中的阴影部分。 (1) (2) (3)

2.已知集合 A= x1 ? x ? 7 ,B={x|2<x<10},C={x|x<a},全集为实数集 R. (1) 求 A∪B,(CRA)∩B;(2)如果 A∩C≠φ,求 a 的取值范围。

?

?

1

r

2

一、知识点回顾:
1、映射 f : A ? B 的概念。在理解映射概念时要注意:⑴A 中元素必须都有输出值且 ; ⑵B 中元素不一定都有 ,但不一定唯一。 2.函数 f : A ? B 是特殊的映射。特殊在定义域 A 和值域 B 都是 集!据此可知函数图像与 x 轴的垂线至多有一个公共点,但与 y 轴垂线的公共点可能没有,也可能有任意个。 3. 同一函数的概念。构成函数的三要素是 、值域和对应法则。 4. 求函数定义域的常用方法(在研究函数问题时要树立定义域优先的原则) : 须 (1)根据解析式要求如偶次根式的必须 ,对数 log a x 中必须 (2)根据实际问题的要求确定自变量的范围。 (3)复合函数的定义域:四则运算复合取为各部分定义域的 ;已知 f(x)的定义域 为 [ m, n] ,求 f(g(x))方法为 ;已知 f(g(x))的定义域为 [ m, n] ,求 f(x)方 法为 ; 5.求函数值域(最值)的方法: (1)配方法――二次函数(二次函数在给出区间上的最值有两类:一是求闭区间 [ m, n] 上的最值; 二是求区间定(动) ,对称轴动(定)的最值问题。求二次函数的最值问题,勿忘数形结合,注意端点 值不一定是最值! (2)换元法――通过换元把一个较复杂的函数变为简单易求值域的函数,(运用换元法时,要特 别要注意新元 t 的范围!) (3)函数有界性法――直接求函数的值域困难时,可以利用已学过函数的有界性,来确定所求函 数的值域,最常用的就是三角函数的有界性。 (4)单调性法――利用一次函数,反比例函数,指数函数,对数函数等函数的单调性。 提醒: (1)求函数的定义域、值域时,你按要求写成集合形式了吗?(2)函数的最值与值域之间 有何关系? ,零次幂必须 , 正切函数必须 ,分母必 等。

二、基础题热身:
1、设 f : M ? N 是集合 M 到 N 的映射,下列说法正确的是 A、 M 中每一个元素在 N 中必有象 C、 N 中每一个元素在 M 中的原象是唯一的 2、下列各组函数中表示同一函数的是 A.f (x) = x 与 g (x) = ( x ) 2 C.f (x) = lnex 与 g (x) = elnx B. f ( x) ? D.f (x) = ( ) B、 N 中每一个元素在 M 中必有原象 D、 N 是 M 中所在元素的象的集合; (
x ? 0, ?1 |x| , g ( x) ? ? x ?? 1 x ? 0



x2 ?1 与 g (t) = t + 1(t≠1) x ?1

3、己知函数 y=x2 的值域是[1,4] ,则其定义域不 可能是 ( . A.[1,2] 4、已知 f ( x) ? 3 5、若函数 y ?
x ?b

) D.[-2,-1)∪{1}

3 B.[- ,2] 2

C.[-2,-1]

,则值域为______。 (2 ? x ? 4) 的图象过点(2,1)

1 2 x ? 2 x ? 4 的定义域、值域都是闭区间 [2,2b] ,则 b = 2 ? lg(3 x ? 1) 的定义域是( 1? x 1 1 1 C. ( ? , ) D. ( ??,? ) 3 3 3 3x 2


三、典型题选讲:
1.【变式】 (2006 年广东卷)函数 f ( x) ? A. ( ? ,??)

1 3

B. ( ? ,1)

1 3

2

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2. 若函数 f ( x) ? x ? 2 x ? 1 在区间 ?a, a ? 2? 上的最大值为 4,则 a 的值为(
2



A.1 或-1

B.1 或 2

C.0 或 1

D.-1 或 2 3 、 .

一、知识点回顾:
1、函数的表示方法: 、 2、求函数解析式的常用方法: (1)待定系数法――已知所求函数的类型(二次函数的表达形式有三种:一般式:

f ( x) ? ax 2 ? bx ? c ;顶点式: f ( x) ? a ( x ? m) 2 ? n ;零点式: f ( x) ? a ( x ? x1 )( x ? x2 ) ,要会根据
已知条件的特点,灵活地选用二次函数的表达形式) 。 (2)代换(配凑)法――已知形如 f ( g ( x )) 的表达式,求 f ( x ) 的表达式。 (3)方程的思想――已知条件是含有 f ( x ) 及另外一个函数的等式,可抓住等式的特征对等式的进行 赋值,从而得到关于 f ( x ) 及另外一个函数的方程组。

二、基础题热身:
1、设 f ( x) ? ?

?2 x ?1

2 ,则 f [ f ( )] =________ 3 ?log 2 x ( x ? 0)

( x ? 0)

2、已知?(

x +1)=x+1,则函数?(x)的解析式为
B.?(x)=x2+1 C.?(x)=x2-2x+2 D.?(x)=x2-2x


A.?(x)=x2

3、已知 f ( x ) ? 2 f ( ? x ) ? 3 x ? 2 ,则 f ( x ) 的解析式

4、若函数 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数,且当 x ? (0,?? ) 时, f ( x ) ? x (1 ? 3 x ) ,那么当 x ? ( ??,0) 时, f ( x ) =_____ _ __.

5、
已知函数 f ( x) ? ?

y

?3 ? x 2 , x ? [?1, 2], ? x ? 3, x ? (2,5].
-1

3 2 1
0 -1

(1)在图 5 给定的直角坐标系内画出 f ( x ) 的图象; (2)写出 f ( x ) 的单调递增区间.

1

2

3

4

5

x

图5

1.设偶函数 f ( x) 的定义域为 R,当 x ? [0, ??) 时, f ( x) 是增函数,则 f ( ?2) , f (? ) , f ( ?3) 的大小 关系是( )A. f (? ) ? f ( ?3) ? f ( ?2) B. f (? ) ? f ( ?2) ? f ( ?3)
3

r

C. f (? ) ? f ( ?3) ? f ( ?2)

D. f (? ) ? f ( ?2) ? f ( ?3)

答案:A 4 1.指数式、对数式的基本结论(熟记! ) :
m

an ?

,a

?

m n

?

,a =

0

, log a 1 =

, log a a =

, lg 2 ? lg 5 ?
log c a



log e x ? ln x , a b ? N ? log a N ? b(a ? 0, a ? 1, N ? 0) , a loga N ? N , log a b ? log c b ,
log am b n ? n log a b 。 m
x

7、画出 y ? 2 , y ? ( ) 与 y ? log 2 x 、 y ? log 1 x 的图象:
x 2

1 2

观察图象,指出: (1)指数函数的定义域、值域、单调性、定点、不同底 数的图象的规律?

(2)对数函数的定义域、值域、单调性、定点、不同底 数的图象的规律?

2.、指数、对数值的大小比较: (1)化同底后利用函数的单调性; (2)作差或作商法; (3)利用 中间量(0 或 1) ; (4)化同指数(或同真数)后利用图象比较。

二、基础题热身:
1、 (1)log225?log34?log59 的值为_______; (2) ( )
b

1 2

log

2

8

的值为________

2、已知 a , b , N ? (1, ??) ,下列关系中,与 a ? N 不等价的是 A、 b ? log a N B、 b ? ? log 1 N
a

C、 a ? N

?b

D、 a ? N b

1

4、要得到 y ? lg(3 ? x) 的图像,只需作 y ? lg x 关于_____轴对称的图像,再向____平移 3 个单位 而得到; 5、下列式子中成立的是 A、 log 0.4 4 ? log 0.4 6 B、 1.01
3.4





? 1.01

3.5

C、 3.5

0.3

? 3.4

0.3

D、 log 7 6 ? log 6 7
4

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必修二
第一章
知识点:
1、空间几何体的结构 ⑴常见的多面体有:棱柱、棱锥、棱台;常见的旋转体有:圆柱、圆锥、圆台、球。 ⑵棱柱:有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平 行,由这些面所围成的多面体叫做棱柱。 ⑶棱台:用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,底面与截面之间的部分,这样的多面体叫做 棱台。 2、长方体的对角线长 l ? a ? b ? c ;正方体的对角线长 l ?
2 2 2 2

空间几何体

3a
2

3、球的体积公式: V ?

4 ? R 3 ,球的表面积公式: S ? 4? R 3
2 1 S h s ? h ,锥体截面积比: 1 ? 1 2 3 S 2 h2

4、柱体 V ? s ? h ,锥体 V ?

5、空间几何体的表面积与体积

⑴圆柱侧面积;

S 侧面 ? 2? ? r ? l

⑵圆锥侧面积:

S 侧面 ? ? ? r ? l

典型例题:
★例 1:下列命题正确的是( ) 正视图 侧视图 俯视图 A.棱柱的底面一定是平行四边形 B.棱锥的底面一定是三角形 C.棱柱被平面分成的两部分可以都是棱柱 D.棱锥被平面分成的两部分不可能都是棱锥 ★★例 2:若一个三角形,采用斜二测画法作出其直观图,其直观图面积是原三角形面积的(



1 A 2倍

B

2 4 倍

C 2倍

D

2倍

★例 3:已知一个几何体是由上、下两部分构成的一个组合体,其三视图如下图所示,则这个组合体的 上、下两部分分别是( ) A.上部是一个圆锥,下部是一个圆柱 B.上部是一个圆锥,下部是一个四棱柱 C.上部是一个三棱锥,下部是一个四棱柱 D.上部是一个三棱锥,下部是一个圆柱

5

r

★★例 4:一个体积为 8 cm 3 的正方体的顶点都在球面上,则球的表面积是

A. 8? cm 2
二、填空题

2 B1 2 ? c m .

C1 6 ? c m 2 .

D. 2 0 ? c m 2

★例 1:若圆锥的表面积为 a 平方米,且它的侧面展开图是一个半圆,则这个圆锥的底面的

直径为_______________.
★例 2:球的半径扩大为原来的 2 倍,它的体积扩大为原来的 _________ 倍.

第二章
知识点:

点、直线、平面之间的位置关系

1、公理 1:如果一条直线上两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内。 2、公理 2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。 3、公理 3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 4、公理 4:平行于同一条直线的两条直线平行. 5、定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补。 6、线线位置关系:平行、相交、异面。 7、线面位置关系:直线在平面内、直线和平面平行、直线和平面相交。 8、面面位置关系:平行、相交。 9、线面平行: ⑴判定:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行(简称线线平行,则线
面平行) 。

⑵性质:一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简称线
面平行,则线线平行) 。

10、面面平行: ⑴判定:一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行(简称线面平行,则面面
平行) 。

⑵性质:如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行(简称面面平行,则线线平
行) 。

11、线面垂直: ⑴定义:如果一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线,那么就说这条直线和这个平面垂直。 ⑵判定:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直(简称线线垂直,则
线面垂直) 。

⑶性质:垂直于同一个平面的两条直线平行。 12、面面垂直: ⑴定义:两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直。 ⑵判定:一个平面经过另一个平面的一条垂线,则这两个平面垂直(简称线面垂直,则面面垂直) 。 ⑶性质:两个平面互相垂直,则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。 (简称面面垂直,则
线面垂直) 。

典型例题:
★例 1: 一棱锥被平行于底面的平面所截, 若截面面积与底面面积之比是 1:2, 则此棱锥的高 (自上而下)

被分成两段长度之比为 A、1: 2 B、1:4 C、1: ( 2 ? 1) D、1: ( 2 ? 1)

★ 例 2:已知两个不同平面 ? 、 ? 及三条不同直线 a、b、c, ?

? ? ,? ? ? ? c , a ? ? , a ? b ,
6

c 与 b 不平行,则(



r

A. b // ? 且 b 与 ? 相交 C. b 与 ? 相交

B. b ? ? 且 b // ? D. b ? ? 且与 ? 不相交

★★ 例 3:有四个命题:①平行于同一直线的两条直线平行;②垂直于同一平面的两条直线平行;③

平行于同一直线的两个平面平行;④垂直于同一平面的两个平面平行。其中正确的是 A.①②
★★例 4:在正方体 ABCD ?





B.②③

C.③④

D.①④

A1 B1C 1 D1 中, E , F 分别是 DC和CC1 的中点.求证: D1 E ? 平面ADF

例 5:如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F 为棱 AD、AB 的中点. (1)求证:EF∥平面 CB1D1; (2)求证:平面 CAA1C1⊥平面 CB1D1 D1 A1 B1 C1

第三章 直线与方程
知识点:
1、倾斜角与斜率: k ? tan ? ? 2、直线方程: ⑴点斜式: y ? y 0 ? k ? x ? x 0 ? ⑵斜截式: y ? kx ? b

y 2 ? y1 x 2 ? x1
A

E

D F B

C

⑶两点式:

y ? y1 y2 ? y1 ? x ? x1 x2 ? x1
x y ? ?1 a b

⑷截距式:

⑸一般式: Ax ? By ? C ? 0 3、对于直线: l1 : y ? k1 x ? b1 , l 2 : y ? k 2 x ? b2 有: ⑴ l1 // l 2 ? ?

? k1 ? k 2 ; ?b1 ? b2

⑵ l1 和 l 2 相交 ? k1 ? k2 ; ⑶ l1 和 l 2 重合 ? ?

? k1 ? k 2 ; ?b1 ? b2

⑷ l1 ? l 2 ? k1 k 2 ? ?1 . 4、对于直线:

l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0, l 2 : A2 x ? B2 y ? C 2 ? 0

有:
7

r

⑴ l1 // l 2 ? ?

? A1 B2 ? A2 B1 ; ? B1C 2 ? B2 C1

⑵ l1 和 l 2 相交 ? A1 B2 ? A2 B1 ; ⑶ l1 和 l 2 重合 ? ?

? A1 B2 ? A2 B1 ; ? B1C 2 ? B2 C1

⑷ l1 ? l 2 ? A1 A2 ? B1 B2 ? 0 . 5、两点间距离公式: P 1 P2 ? 6、点到直线距离公式: d ? 7、两平行线间的距离公式:

?x2 ? x1 ?2 ? ? y 2 ? y1 ?2
Ax0 ? By 0 ? C A2 ? B 2 C1 ? C 2 A2 ? B 2

l1 : Ax ? By ? C1 ? 0 与 l 2 : Ax ? By ? C 2 ? 0 平行,则 d ?
典型例题:
★例 1:若过坐标原点的直线 l 的斜率为 ? 3 ,则在直线 l 上的点是( A



(1, 3 )

B

( 3 ,1)

C

(? 3 ,1)

D

(1,? 3 )

★例 2:直线 l1 : kx ? (1 ? k ) y ? 3 ? 0和l 2 : (k ? 1) x ? (2k ? 3) y ? 2 ? 0 A .-3 互相垂直,则 k 的值是( ) B .0 C . 0 或-3 D . 0或1

第四章
知识点:

圆与方程

1、圆的方程: ⑴标准方程: ? x ? a ? ? ? y ? b ? ? r 2 ,其中圆心为 ( a, b) ,半径为 r .
2 2

⑵ 一 般 方 程 : x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 . 其 中 圆 心 为 ( ?
2 2

D 2

,?

E 2

) , 半 径 为

D2 ? E 2 ? 4F . 2 2、直线与圆的位置关系
直线 Ax ? By ? C ? 0 与圆 ( x ? a ) ? ( y ? b) ? r 的位置关系有三种:
2 2 2

r?

1

d ? r ? 相离 ? ? ? 0 ; d ? r ? 相切 ? ? ? 0 ; d ? r ? 相交 ? ? ? 0 .
3、两圆位置关系: d ? O1O2
8

r

⑴外离: d ? R ? r ; ⑵外切: d ? R ? r ; ⑶相交: R ? r ? d ? R ? r ; ⑷内切: d ? R ? r ; ⑸内含: d ? R ? r . 4、空间中两点间距离公式: P 1 P2 ?

?x2 ? x1 ?2 ? ? y 2 ? y1 ?2 ? ?z 2 ? z1 ?2

典型例题:
★例 1:圆心在直线 y=2x 上,且与 x 轴相切与点(-1,0)的圆的标准方程是 _________________________. ★★ 例 2:已知 圆C : x ? y ? 4 ,
2 2

(1)过点 ( ?1, 3 ) 的圆的切线方程为________________. (2)过点 (3,0) 的圆的切线方程为________________. (3)过点 ( ?2,1) 的圆的切线方程为________________. (4)斜率为-1 的圆的切线方程为__________________. ★★例 3:已知圆 C 经过 A(3,2)、B(1,6)两点,且圆心在直线 y=2x 上。 (1)求圆C的方程; (2)若直线L经过点 P(-1,3)且与圆C相切, 求直线L的方程。

(1)答案:
一、知识点回顾:
1、互异性。2、 A ? ? 或 B ? ? 。3、 2 , 2 ? 1, 2 ? 1,。5、定义域、值域、图象上的点集。
n n n

7、 x ?

b b ; x ? ; x ? R ; x ?? 。 a a
2、B. 3、A. 4、{x|x≠0 且 x≠-1}. 5、 ?? 4,?1? ,B ? A,A ? B.

二、基础题热身:
1、C.

6、{0,2,3,4,5}
9

r

三、典型题选讲:
1、 (A∪B)∩CU(A∩B) 、CU(A∪B)∩C、CUC∩(A∩B) . 【变式】C. 2. ?1,10 ? , ?7,10 ? , (1,+∞) 2

一、知识点回顾:
1、唯一、输入值。2、非空数。3、定义域。4、 (1)被开方数非负、底数为零、不为零、底数大于零且 不为 1 且真数大于零、 {x | x ? k? ? 出 t=h(x),即求 m ? h( x) ? n的解集

?
2

(3)交集、 m ? g ( x) ? n的解集 、令 g(x)=t,求 , k ? Z} 。

二、基础题热身:
1、A.2、D.3、B.4、[1,9]。5、2

三、典型题选讲:
1. 变式】B 2. A 3

一、知识点回顾:
1、图象法、列表法、解析法 3、子集、并集、再比较最值

二、基础题热身:

1 3 2、C.
1、

2 3 4、 f ( x ) = x (1 ? 3 x )
3、 f ( x ) =-3x-

5、 (1)图象(略)
(2)单调递增区间:[-1,0],[2,5] 4 1.、 a
n m



1
n

am

、1、0、1、1

二、基础题热身:
1、 (1)8、 (2)

1 1 ,2、C,3、C,4、y、右,5、D,6、 ,7、C,8、x=2 64 2

10


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