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高中数学必修2第一章 立体几何初步第6节垂直关系—(垂直关系的判定) 教学设计


直线与平面垂直的判定教学设计
鹰潭市余江二中 鲁珺





直线与平面垂直的判定
知识与技能

总课时

1

第一课时

通过直观感知、操作确认,理解线面垂直的定义,归纳线面垂直的判定定理, 并能运用定义和定理证明一些空间位置关系的简单命题。 通过线面垂直定义及定理的探究过程,感知几何直观能力和抽象概括能力,

教学目标 过程与方法
体会转化思想在解决问题中的运用。 通过线面垂直定义及定理的探究,让学生亲身经历数学研究的过程,体验探 索的乐趣,增强学习数学的兴趣。 通过操作概括直线与平面垂直的定义和判定定理。 操作确认直线与平面垂直的判定定理并初步应用。 启发-探究

情感、态度 与价值观 教学重点 教学难点 教学设想 教学过程

教学手段 教学内容

多媒体辅助

备课 扎记
学生活动

教师活动

一、课题导入
1. 复习回顾
学生共同回忆

问题 1:直线与平面有哪几种位置关系? 引导学生说出直线与平面的三种位置关系并借助多媒体分别用三 种语言(文字语言,符号语言及图形语言)描述。 2. 直观感知

直线与平面的 三种位置关系

观看图片, 直观

问题 2:以下几种可以抽象成直线与平面相交的图片中,有什么 共同的特点?(多媒体展示图片) 引导学生找一找生活中直线与平面垂直的实例并引出课题:直线 与平面垂直的判定。

感知直线与平 面垂直的现象 并能与生活实 际相联系

二、探索新知
1. 问题提出

生活中有如此多直线与平面垂直的实例,那么如何用语言描述直 线与平面垂直的关系呢? 组织学生观看多媒体视频: 小实验 (拿一块教学用的直角三角板, 放在墙角, 使三角板的直角顶点 C 与墙角重合, 直角边 AC 所在直 线与墙角所在直线重合,将三角板绕 AC 转动,在转动过程中,直 角边 CB 与地面紧贴,这就表示,AC 与地面垂直) 问题 1:在转动过程中,BC 边与地面是什么位置关系? 问题 2:在转动过程中,BC 边一直在移动,而 AC 边与 BC 边所成 角度是否会发生改变呢? 问题 3: AC 边与地面任意一条不过 C 点的直线又是什么位置关系? 2.归纳概括 直线与平面垂直的定义: 如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直,那么称这条 直线和这个平面垂直。
认真观看视频, 思考教师提出 的问题, 从而概 括出直线与平 面垂直的定义

图形语言表示: 符号语言表示:l 3. 探究思考 显然, 根据定义判定直线与平面垂直, 需要判定直线与平面内 “任 一条直线”即“所有直线”都垂直。而事实上这是难以实现的, 我们可否寻求一个更为简便的方法,用有限条直线来代替所有直 线? 问题 1:如果一条直线垂直于一个平面内的一条直线,那么这条 直线是否与这个平面垂直? 问题 2:如果一条直线垂直于一个平面内的两条直线,那么这条 直线是否与这个平面垂直? 利用长方体模型引导学生思考上述两个问题 4. 动手实践 请准备一块三角形的纸片,过△ABC 的顶点 A 翻折纸片,得到折
在教师的引导 事先准备一张 三角形纸片

??

痕 AD,将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(BD、DC 与桌面接触) ,

下动手实践, 从

请问:折痕 AD 与桌面垂直吗?如何翻折才能使折痕 AD 与桌面垂 直?

而发现当且仅 当折痕 AD⊥BC 时,翻折后 AD 所在直线与桌 面所在平面垂 直, 继而概括出 直线与平面垂 直的判定定理

5. 抽象概括 直线与平面垂直的判定定理: 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么该直线 与此平面垂直。

图形语言表示:

? 符号语言表示:若a ? ? ?,b ? ?,l ? a, l ? b, a ? b ? A, 则l ? ?
6. 辨析思考 组织学生课堂辨析判断,加深对判定定理的理解 1、下列条件中能判定 l⊥ A.直线 l 垂直于平面
巩固理解判定 定理

? 内的一条直线 B.直线 l 垂直于平面 ? 内的两条直线 C.直线 l 垂直于平面 ? 内的无数条直线 D.直线 l 垂直于平面 ? 内所有直线 E.直线 l 垂直于平面 ? 内两条相交直线 F.直线 l 垂直于平面 ? 内任何两条直线
2、与不共线的三点距离都相等的点的个数是多少?(①在平面
对直线与平面

?

的有__

内?②在空间中?)

垂直的判定学 会简单应用, 体 会转化的数学 思想

三、例题讲解
例1 如图, M 是菱形 ABCD 在平面外一点,满足 MA=MC M

求证: AC⊥平面 BDM

D O A B

C

例2

如图所示,在 Rt△ABC 中,∠B=90°,点 P 为△ABC 所在

平面外一点,PA ⊥平面 ABC。问:四面体 PABC 中有几个直角三 角形? 分析:直线与平面之间的垂直 关系,可以相互转化。当线面 垂直时,线就会垂直于面内的 所有线;当一条直线垂直于一 个平面内的两条相交直线时, 这条直线就垂直于这个平面。 B A C P

变式训练:在空间四边形 ABCD 中,AB=AD,CB=CD,求证:对角线 AC⊥BD。 A

D B C

四、课堂练习
1、判断题

(1)l ? ? ? l与? 相交; (2)m ? ? ?,n? ? ? , l ? m, l ? n ? l ? ? .

( ) ( )

2、如图,空间中直线 l 和三角形的两边 AC,BC 同时垂直,则这 条直线和三角形的第三边 AB 的位置关系是( A、平行 B、垂直 C、相交 l D、不确定 )

C

? A

B

3、 (1)过空间一点作已知平面的垂线有几条? (2)过空间一点作已知直线的垂面有几个? 4、 如图,直四棱柱 A?B?C ?D? ? ABCD (侧棱与底面垂直的棱柱成 为直棱柱)中,底面四边形
A?B?C ?D? 满 足 什 么 条 件

时, A?C ? B?D? ?(只能添加一个合适的条件)
A? B?
D?

C?

A B 五、内容小结 C

D

1、本节课你学会了哪些判定直线与平面垂直的方法? (1)定义法:强调是“任何一条直线” ; (2)判定定理法:必须是“两条相交直线” 。 2、直线与平面垂直的判定定理中体现了什么数学思想方法 ? 转化的思想

任何一条
线面垂直 线线垂直

两条相交

《直线与平面垂直的判定》教案说明
鹰潭市余江二中 鲁珺

本节课是北师大版《普通高中课程标准实验教科书·数学必修 2》第一章第六节“6.1 垂 直关系的判定”的第一课时。我将从以下五个方面来阐述我对这堂课的教学设计:

一、 教学内容的数学本质

几何学是研究空间图形的科学。几何直观和几何语言是认识和描述现实世界空间与图形 关系的重要工具。由于几何图形本身具有很强的直观性。以直观图形为载体的逻辑推理层次 清晰、结论明确、可信度强,在某种意义上,几何直观已经渗透到一切数学领域中,甚至在 那些看来几何是无所作为的领域内,几何直观仍然保持着强盛的生命力。几何作为一种直观、 形象的数学模型,在发展学生的直觉能力,培养学生的创新精神方面具有独特的价值。创新, 源于问题,往往发端于直觉。与数学其他分支相比,几何图形的直观、形象为学生进行自主 探索、创新的活动提供了更为有利的条件。在几何中,视觉思维占主导地位,学生在运用观 察、操作、作图、设计等手段探索研究几何图形性质的过程中,获得视觉上的愉悦,能增强 探究的好奇心,激发出潜在的创造力,形成创新意识。 在高中阶段,几何的呈现形式是用综合几何的方法认识几何图形,用解析几何和向量几 何的方法处理平面曲线和空间图形。这里变换的方法和代数的方法是研究几何的通性通法。 在立体几何中,点、线、面的平行、垂直等关系是研究的基本内容,这些关系在长方体中都 有很好的体现,长方体是学习理解立体几何基本内容的重要模型。 降维是处理立体几何问题的重要思想和方法,通过分解、投影等方式将立体几何(三维) 问题转化为平面几何(二维)的问题。此外,相当多的空间图形都可以和立方体等基本图形 建立联系。在处理方式上,以直观感知和操作确认作为重点,强调建立和提升学生的空间想

象力和几何直观能力。 垂直关系是立体几何中的重点,而直线与平面垂直的判定体现了转化的数学思想,本节 课的设计,意在让学生经历直观感知、操作确认、思辨认证、度量计算等几个阶段,学生通 过观察事物图片、模型等,直观认识和理解直线与平面垂直这一特殊的相交关系,并能将其 与线线垂直相互转化,体现降维的思想方法。

二、

教学目标的定位

《数学课程标准》指出本节课学习目标是:通过直观感知、操作确认,归纳出线面垂直 的判定定理;能运用判定定理证明一些空间位置关系的简单命题.事实上,本节课只要求学 生在构建线面垂直定义的基础上探究线面垂直的判定定理,并进行定理的初步运用。故而从 以下几点要求确立了教学目标: (1)通过直观感知体会直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊形式; (2) 通过动手实践, 思考、 概括出直线与平面垂直的判定定理并能对深刻理解判定定理, 对与其相似的命题可以进行辨析; (3)能运用直线与平面垂直的判定定理对空间图形进行简单论证。

三、 学习内容的基础及与其他知识内容的联系

直线与平面垂直是直线和平面相交的一种特殊情况,它是空间中线线垂直位置关系的拓 展,又是面面垂直的基础,是空间中垂直位置关系间转化的重心,同时它又是直线和平面所 成的角等内容的基础,因而它是点、直线、平面间位置关系中的核心概念之一。在教材中起 到了承上启下的作用。

对直线与平面垂直的定义的研究遵循“直观感知、抽象概括”的认知过程展开,而对直 线与平面垂直的判定的研究则遵循“直观感知、操作确认、归纳总结、初步运用”的认知过 程展开,通过该内容的学习,能进一步培养学生空间想象能力,发展学生的合情推理能力和 一定的推理论证能力,同时体会“平面化”思想和“降维”思想。

四、 教学诊断分析

学生已经学习了直线、平面平行的判定及性质,学习了两直线(共面或异面)互相垂 直的位置关系,有了“通过观察、操作并抽象概括等活动获得数学结论”的体会,有了一定 的空间想象能力、几何直观能力和推理论证能力。 在直线与平面垂直的判定定理中,为什么至少要两条直线,并且是两条相交直线,学 生的理解有一定的困难,因为定义中“任一条直线”指的是“所有直线”,这种用“有限” 代替“无限”的过程导致学生形成理解上的思维障碍。同时,由于学生的空间想象能力、推 理论证能力有待进一步加强,在直线与平面垂直判定定理的运用中,不知如何选择平面内的 两条相交直线证线面垂直(抑或选择平面证线面垂直从而得到线线垂直)导致证明过程中无 从着手或发生错误。

五、 教法特点及预期效果分析

本节课内容是学生空间观念形成的关键时期,课堂上充分利用现实情境,学生通过感知、 观察,提炼直线与平面垂直的定义;进一步,在一个具体的数学问题情景中设想,并在教师 指导下,动手操作,观察分析,自主探索等活动,切实感受直线与平面垂直判定定理的形成 过程,体会蕴含在其中的思想方法。 采用“启发-探究”的教学方法,通过一系列的问题

串及层层递进的的教学活动,引导学生进行主动的思考、探究。帮助学生实现从具体到抽象、 从特殊到一般的过度,从而完成定义的建构和定理的发现并且在充分理解判定定理的基础上 能对其进行简单应用,能解决简单的直线与平面垂直的证明问题。 基于以上五点的考虑,本人设计了《直线与平面垂直的判定》这堂课,希望能帮助学生 学好这堂课,也为立体几何后面的内容打下基础,并且空间想象能力和推理论证能力得到进 一步的提高,也能更好的体会蕴含在本节课内的数学思想与方法。


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