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山东省乐陵市第一中学2012届高三数学一轮复习学案:导数及其四则运算


山东省乐陵市第一中学 2012 届高三数学一轮复 习学案:导数及其四则运算
一、考试要求: (1)导数概念及其几何意义①了解导数概念的实际背景② 理解导数的 几 何 意 义 .( 2 ) 导 数 的 运 算
y ? c, y ? x, y ? x , y ? x , y ?
2 3



能 根 据 导 数

定 义 , 求 函 数

1 x

,y ?

x

的导数. 能利用下面给出的基本初等函数的导数 ②

公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数,能求简单的复合函数(仅限于形如
f ( ax ? b ) 的复合函数)的导数.

二、知识梳理: 1、如果当 ? x ? 0 时,
f (x)
'

?y ?x

有极限,就说函数 y ? f ( x ) 在点 x 0 处可导,并把这个极限叫做
x ? x0

在点 x 0 处的导数(或变 化 率) 。记作 f ' ( x 0 ) 或 y '

,即 f ' ( x 0 ) ?



f ( x0 )

的几何意义是曲线 y ? f ( x ) 在点 ( x 0 , f ( x 0 )) 处的切线;瞬时速度就是位移函数 s ( t )

对时间 t 的导数。 2、几种常见函数的导数 (1) C ' ? (4) (co s x ) ' ? (其中 C 为常数); (2) ( x n ) ' ? (5) (ln x ) ' ?
(lo g a x ) ?
'

( n ? Q ); (3) (sin x ) ' ? (6) ( e x ) ' ?
(a ) ?
x '

; ;

3、可导函数的四则运算的求导法则 (1) ( u ? v ) ' ? ; (2) ( u v ) ' ? ; (3) ( ) ' ?
v u

(v ? 0 ) ;

(4) y ? f ? ? ( x ) ? 的导数 y x ' ? 三、基础检测:

(其中 u ? ? ( x ) ) ;

1、设 f ? ( x ) 是函数 f ( x ) 的导函数,将 y ? f ( x ) 和 y ? f ? ( x ) 的图象画在同一个直角坐标系中, 不可能正确的是
y y y y





O A.

x

O B.

x

O C.

x

O D.

x

2、已知曲线 y ? A.1

x

2

的一条切线的斜率为 B.2

1 2

,则切点的横坐标为 C.3 D.4





4

3、设函数 f ( x ) 是 R 上以 5 为周期的可导偶函数,则曲线 y ? f ( x ) 在 x ? 5 处的切线的斜

率为 (



A. ?

1 5

B.0

C.

1 5

D.5

4、已知对任意实数 x ,有 f ( ? x ) ? ? f ( x ), g ( ? x ) ? g ( x ) ,且 x ? 0 时, f ?( x ) ? 0, g ? ( x ) ? 0 , 则 x ? 0 时( ) A. f ?( x ) ? 0, g ?( x ) ? 0 B. f ?( x ) ? 0, g ?( x ) ? 0

C. f ?( x ) ? 0, g ?( x ) ? 0 5、若 0 ? x ? A. sin x ?
π 2 2 π

D. f ?( x ) ? 0, g ?( x ) ? 0 ) C. sin x ?
3 π x

,则下列命题正确的是(
x

B. sin x ?

2 π

x

D. sin x ?

3 π

x

6、点 P 是曲线 y ? x 2 ? ln x 上任意一点,则 P 到直线 y ? x ? 2 的距离的最小值是



7、若函数 f ( x ) ? x 3 ? 3 a 2 x ? 1 的图像与直线 y ? 3 只有一个公共点,则实数 a 的取值范围 是 8、若点 P 在曲线 y ? x 3 ? x ? 7 上移动,则过 P 点的切线的倾斜角取值范围是 9、设函数 f ( x ) ? e x ? e ? x . (1)证明: f ( x ) 的导数 f ' ( x ) ? 2 ; (2)若对所有 x ? 0 都有 f ( x ) ? ax ,求 a 的取值范围。

10、已知 f ( x ) ? ax 3 ? bx 2 ? cx 在区间[0,1 ]上是增函数,在区间 ( ?? , 0 ), (1, ?? ) 上是减函数,又
1 3 f ? ( ) ? . (Ⅰ)求 f ( x ) 的解析式; 2 2

(Ⅱ)若在区间 [ 0 , m ] (m>0)上恒有 f ( x ) ≤x 成立,求 m 的取值范围.


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