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MBA数学基础知识点汇总整理(超级管用)【去底纹版】


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第一章:实
一、数的分类:



? ? ?正整数 ? ? ? ?自然数 ? ? ? ?整数 ?0 ? ?有理数 ? ? ? ?负整数 实数 ? ? ? ?分数 ?正分数 ? ? ? ?负分数 ? ? ? ?无理数(无限不循环小数) 二、质数:
大于

1 的正整数,如果除了 1 和自身,没有其他约数的数就称为质数或素数,否则就称 为合数。 则:最小的质数为 2,最小的合数为 4,1 既不是质数也不是合数。 常见的质数:2、3、5、7、11、13、17、19、21、23、29 等。

三、奇数偶数运算性质:
奇数±奇数=偶数, 奇数±偶数=奇数, 偶数±偶数=偶数; 奇数×奇数=奇数, 奇数×偶数=偶数, 偶数×偶数=偶数。

四、正整数除法中的商数与余数:
设正整数 n 被正整数 m 除的商数为 s ,余数为 r ,则可以表示为 : n = ms + r ( s 和 r 为自然数, 0 ≤ r < m ).特例, n 能被 m 整除是指 r = 0 . 性质:能被 2 整除的数:个位数字为 0,2,4,6,8 能被 3 整除的数:各位数字之和必能被 3 整除 能被 4 整除的数:末两位(个位和十位)数字必能被 4 整除 能被 5 整除的数:个位数字为 0 或 5 能被 6 整除的数:同时满足能被 2 和 3 整除的条件 能被 10 整除的数:个位数字为 0

五、绝对值定义:
实数 a 的绝对值定义为: | a |= ?

?a, (a ≥ 0) ?? a, (a < 0)

【性质】 (1) x ≥ 0 , x + x ≥ 0 , x ? x ≥ 0 . (2) x = x ? x ≥ 0 ; x = ? x ? x ≤ 0 . (3) x > x ? x < 0 ; x > ? x ? x > 0 . (4)三角不等式: | x | ? | y |≤ x + y ≤ x + y ;
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特别的:a、 | x + y |=| x | + | y |? xy ≥ 0 b、 | x ? y |=| x | + | y |? xy ≤ 0 c、 x + y ≤ x ? y ? xy ≤ 0 . d、 | x |≤ a ( a > 0 )的解为 ? a ≤ x ≤ a ; | x |> a 的解为 x < ?a 或 x > a . e、 | x ? b |≤ a ( a > 0 )的解为 b ? a ≤ x ≤ a + b ;

| x ? b |> a 的解为 x < b ? a 或 x > a + b

六、算术平均值:
给定 n 个数 a1 , a2 ,…, an ,称 a =

a + a + ??? + an 1 n 为这 n 个数的算术平均值。 ai = 1 2 ∑ n i =1 n

七、几何平均值:
如果 n 个正数 a1 , a2 ,…, an ,称 ag =
n

a1a2 ??? an 为这 n 个数的几何平均值。

八、算术平均值与几何平均值的关系: (算术平均值不小于几何平均值) a+b 当两个正数 a , b ,则 ≥ ab (当且仅当 a = b 时等号成立) 2
常用变形: (1) a + b ≥ 2ab
2 2

? a+b? (2) ? ? ≥ ab ? 2 ? a c b d = ? = b d a c a c a ?b c ?d 4、分比定理: = ? = b d b d
6、等比定理:

2

九、比例性质: a 1、更比定理: = b a 3、合比定理: = b
5、合分比定理:

c a b ? = d c d c a+b c+d ? = d b d

2、反比定理:

a c a ± mc m =1 a ± c = = b d b ± md = b ± d

a c e a+c+e a = = ? = b d f b+d + f b

十、指数
(1) a m ? a n = a m + n (4) ( ab) = a b
m
1

(2) a m ÷ a n = a m ? n

(3) ( a ) = a
m n

mn

m m

a m am (5) ( ) = m b b
(8) a n =
m n

(6) a ? m =
m n

1 am

(7) a n =

n

a

am

(9) a

?

=

1
n

am

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十一、指数函数:
一般地,函数y=ax(a>0 且a≠1)叫做指数函数,其中x是自变量,函数的定义域是R。

指数函数的图象与性质:
a>1 0<a<1





图 像 性 质

(1)定义域:R (2)值域: (0,+∞) (3)过点(0,1) ,即 x=0 时,y=1 (4)在 R 上是增函数 (4)在 R 上是减函数

十二、对数( y = log a N , a > 0 且 a ≠ 1 )
(1)对数恒等式: y = log a N ? N = a (2) log a ( MN ) = log a M + log a N (4) log a M = n log a M
n y

;N =a

log a N

,更常用 N = e ln N

(3) log a (

M ) = log a M ? log a N N 1 (5) log a n M = log a M n
(6)换底公式: log a M =

(5) log a

n

M =

1 log a M n

log b M (以 b 为底) log b a

(7) log a b =

1 log b a

(8) log a 1 = 0 , log a a = 1

十三、对数函数:
函数 y = log a x (a>0,a≠1)叫做对数函数,其中 x 是自变量,函数的定义域是(0,+∞) 。

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对数函数的图象与性质:
a>1 0<a<1





图 像 性 质

(1)定义域: (0,+∞) (2)值域:R (3)过点(1,0) ,即 x=1 时,y=0 (4)在(0,+∞)上是增函数 (4)在(0,+∞)上是减函数

第二章:整式
一、常用的基本公式
1、平方差: a ? b = ( a + b)( a ? b) ;
2 2

2、完全平方和: ( a + b) = a + 2ab + b ;
2 2 2

完全平方差: ( a ? b) = a ? 2ab + b ;
2 2 2

1? 1 ? 特别的: ? x ± ? = x 2 ± 2 + 2 x? x ?
3、3 项和的平方: (a + b + c) = a + b + c + 2 ( ab + ac + bc ) ;
2 2 2 2

2

4、立方和: a + b = ( a + b)( a ? ab + b ) ;立方差: a ? b = ( a ? b)( a + ab + b ) ;
3 3 2 2 3 3 2 2

5、 和的立方:( a + b) = a + 3a b + 3ab + b ; 差的立方:( a ? b) = a ? 3a b + 3ab ? b ;
3 3 2 2 3 3 3 2 2 3

6、 n 次方的差: a ? b = ( a ? b)( a
n n

n ?1

+ a n ? 2b + a n ?3b 2 + ??? + b n ?1 ) .

特别的: x ? 1 = ( x ? 1)( x
n

n ?1

+ x n ? 2 + ??? + x + 1)
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第三章:一元二次方程及不等式
一、一元二次函数图像

Δ = b 2 ? 4 ac

Δ>0

Δ=0

Δ<0

f ( x ) = ax 2 + bx + c

a>0

f ( x ) = 0 的根 f ( x ) > 0 的解集 f ( x ) < 0 的解集

x1、 2 =

?b ± Δ 2a

x1、 2 = ? x≠?

b 2a

方程无实根

x < x1 或 x > x2 x1 < x < x2

b 2a

x 为一切实数 x 不存在

x 不存在

二、韦达定理的扩展及其应用——韦达定理的对称轮换式变形 b ? x1 + x2 = ? ? ? a 1、韦达定理:若 x1 , x2 是方程 ax 2 + bx + c = 0 的两个根,则有 ? ?x x = c 1 2 ? a ?
2、韦达定理的对称轮换式变形: (1) (2) (3)

x12 + x2 2 = ( x1 + x2 ) 2 ? 2 x1 x2

| x1 ? x2 |= ( x1 ? x2 ) 2 = ( x1 + x2 ) 2 ? 4 x1 x2 (方程两根之差的绝对值)
x12 ? x2 2 = ( x1 + x2 )( x1 ? x2 )

(4)

1 1 x1 + x2 + = x1 x2 x1 x2

(5)

( x1 + x2 ) 2 ? 2 x1 x2 1 1 + = x12 x2 2 ( x1 x2 ) 2

(6) (7)

x13 + x23 = ( x1 + x2 )( x12 ? x1 x2 + x2 2 ) = ( x1 + x2 )[( x1 + x2 )2 ? 3 x1 x2 ] x13 ? x23 = ( x1 ? x2 )( x12 + x1 x2 + x2 2 ) = ( x1 ? x2 )[( x1 + x2 ) 2 ? x1 x2 ]

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第四章:数
一、数列的基本概念



1、定义:依一定顺序排列的一列数叫做数列。数列中的每一个数都叫这个数列的项。 数列的一般表达形式为 a1 , a2 , a3 , ???an , an +1 , ??? 或简记为 {an } .

其中: an 叫做数列 {an } 的通项,下标 n 为自然数叫做数列的项数。 如果通项 an 与项数 n 之间的函数关系,可以用一个关于 n 的关系式 f ( n ) 表示,则称

an = f ( n ) 为数列 {an } 的通项公式。
2、数列的前 n 项和 S n 即: S n = a1 + a2 + ??? + an ,显然有: an = ?

?a1 ? Sn ? Sn ?1

n =1 (此式为 an 与 S n 的关系式). n≥2

二、等差、等比数列性质对比记忆
对比方面 定义 等差数列 等比数列

an ? an ?1 = d an = a1 + (n ? 1)d
a1 + an ?n 2 n ? ( n ? 1) 2、 S n = n ? a1 + ?d 2 d d = n 2 + (a1 ? )n 2 2
1、 S n = 1、 S n =

an = q (q ≠ 0) an ?1

通项公式

an = a1q n ?1
a1 ? an ? q (q ≠ 1) 1? q

前 n 项和 公式

a1 (1 ? q n) a1 = 2、 S n = (| q |< 1) 1? q 1? q

公差/公比 性质

d=

an ? am 或 n?m

q n?m =

an = am + (n ? m)d
若项数 m , n ,

an 或 an = a m q n ? m am

p , q 满足

若项数 m , n ,

p , q 满足

m + n = p + q ,则 am + an = a p + aq
项数性质 特例:

m + n = p + q ,则 am ? an = a p ? aq
特例:

a1 + an = a2 + an ?1 = a3 + an ? 2 = ???

a1 ? an = a2 ? an ?1 = a3 ? an ? 2 = ???

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如果 a, b, c 三个数成等差数列,则

如果 a, b, c 三个非零数成等比数列, 则

2b = a + c ,称 b 为 a与c 的等差中项
中项性质 1、 2ar = ar ?1 + ar +1 = ar ? s + ar + s 2、如果等差数列项数 2r = m + n , 则 2ar = am + an

b 2 = ac ,称 b 为 a与c 的等比中项
1、 ar = ar ?1ar +1 = ar ? s ar + s
2

2、如果等比数列项数 2r = m + n ,则

a r 2 = a m ? an

常用:

n( a1 + an ) n( ar + an ? r +1 ) = Sn = 2 2
部分和性 质 当项数满足: a + b, c + d , e +

当项数满足: a + b, c + d , e +

f , ? ?? 成

等差数列,则 aa ab、ac ad、ae a f 、 ??? 仍成等 比数列

f , ???

等差数列,则 aa + ab , ac + ad , ae + a f , ??? 仍成等差数列

a1 + a2 + ??? + an , an +1 + an + 2 + ??? + a2 n ,
阶段和性 质

a1 + a2 + ??? + an , an +1 + an + 2 + ??? + a2 n , a2 n +1 + a2 n + 2 + ??? + a3n , ??? 即 Sn , S2 n ? Sn , S3n ? S 2 n , ??? 也是等比数列 (公
比为 q )
n

a2 n +1 + a2 n + 2 + ??? + a3n , ??? 即 Sn , S2 n ? Sn , S3n ? S 2 n , ??? 也是等差数列
(公差为 n 2 d ) 1、 a, b, c 即成等差又成等比,则 a = b = c ≠ 0 2、 已知数列 {an } 为等差数列,则数列 a

{ } 是等比数列,且其首项为 a
an

a1

,公比为 a d

补充性质

3、 已知数列 {an } 为各项为正的等比数列,则数列 {log a an } 为等差数列,且其首项为

log a a1 ,公差为 log a q

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第五章:排列组合与概率
一、基本原理
1、加法原理(分类计数原理) 如果完成一件事有 n 类办法,只要选择其中的任何一种方法,就可以完成这件事。若在第 一类办法中有 m1 种不同的方法, 第二类办法中有 m2 种不同的方法, …, 在第 n 类办法中有 mn 种不同的方法,那么完成这件事共有 N = m1 + m2 + ??? + mn 种不同的方法。 2、乘法原理(分步计数原理) 如果完成一件事,需要依次连续地分为 n 个步骤,若完成第一个步骤有 m1 种不同的方法, 完成第二个步骤有 m2 种不同的方法,…,完成第 n 步有 mn 种不同的方法,那么完成这件事 共有 N = m1 × m2 ×???× mn 种不同的方法。

二、排列与排列数公式
1、排列(无重复排列)的定义 若从 n 个不同的元素中,任取 m ( m ≤ n )个元素,按照一定的顺序排成的一列,叫做从 n 个 不同元素中任取 m 个元素的一个排列。 2、排列数 若从 n 个不同的元素中取出 m 个元素( m ≤ n )的所有排列的种数,称为从 n 个不同元素中 取出 m 个不同元素的排列数, 记作 Pnm 。 当 m = n 时, 称作 n 个元素的全排列, 也叫 n 的阶乘, 即 Pnn ,通常用符号 n! 表示。 3、排列数公式如下:

Pnm =

n! = n(n ? 1)(n ? 2) ??? (n ? m + 1) (n ? m)!
n

4、全排列数: Pn = n ! = n × ( n ? 1) × ( n ? 2 ) ×???× 2 × 1 5、允许重复的排列 设每次从 n 个不同的元素中任取 1 个,取后放回,共取 m 次,则这 m 个取出的元素排成一行 的不同排法有 n m 种。

三、组合与组合数公式
1、组合的定义
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从 n 个不同的元素中,任意取出 m ( m ≤ n) 个元素并成的一组,叫做从 n 个不同的元素中任 取 m 个元素的一个组合。 2、组合数 从 n 个不同的元素中,取出 m ( m ≤ n) 个元素的所有组合的总数,称为从 n 个不同元素中,
m 取出 m 个元素的组合数,记作 Cn 。

3、组合数公式
m Cn =

Pnm n(n ? 1)(n ? 2) ??? (n ? m + 1) n! = = m! m! m !(n ? m)!

0 【注】①两个规定: Cn = 0 , Cnn = 1
m n?m ②组合数常用性质: Cn = Cn m m ?1 m Cn + Cn = Cn +1

四、概率初步基本概念
1、必然事件、不可能事件与随机事件 必然事件:每次试验必发生的事件,记为: Ω 。 不可能事件:每次试验中都不可能发生的事情,记为: ? 。 随机事件:在试验中可能发生也可能不发生的事件,常用 A , B , C ,…表示。 2、事件的图形表示:利用集合中的 Venn 图来表示 ① 将必然事件 Ω 画为一个矩形。 ② 将一般的随机事件 A 画为矩形 Ω 内的一块平面区域, 当随机点落入区域 A 时表示事件 A 发生,当随机点并未落入 区域 A 时表示事件 A 不发生。 ③ 将不可能事件 ? 画为空区域,随机点不会落入空区域。 ④ 事件的包含:若事件 A 的发生必然导致事件 B 发生, 则称事件 B 包含事件 A ,记为 A ? B 或 B ? A 。 3、随机事件的运算及图形表示 【事件的运算】设 A 与 B 是两个随机事件 ①事件的加法: A + B 或记 A ∪ B .

A + B = { A 与 B 中至少有一个发生},
用 Venn 图表示为: A 图形与 B 图形的并, 所以 A 加 B 又称 A 与 B 的并。 ②事件的减法: A ? B : 定义为 A ? B = { A 发生但 B 不发生},
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用 Venn 图表示为:在 A 图形中挖去它与 B 图形的 公共部分。 ③ 事件的乘法: AB 或 A ∩ B 定义为 AB = { A 发生 B 也发生} 用 Venn 图表示为: A 图形与 B 图形的相交部分, 所以 AB 也称 A 与 B 的交。 ④事件 A 的逆事件或对立事件 A 定义为

A = { A 不发生},用 Venn 图表示为:在 Ω 的矩形中挖
去 A 图形。 4、事件间的相互关系: 设 A, B 为两个随机事件 (1) 若事件 A 与事件 B 不能同时发生,即 AB = ? , 则称事件 A 与事件 B 互斥或互不相容。 从 Venn 图上看,图形 A 与图形 B 分离。 (2) 若事件 A 与事件 B 满足 A + B = Ω , 则称事件 A 与事件 B 互补。 从 Venn 图上看,图形 A 与图形 B 的并为必然事件 Ω 。 (3) 若事件 A 与事件 B 既互斥又互补,就称 事件 A 与 B 互逆或对立, 即 A 不发生时必发生 B , B 不发生时 A 必发生。

A, B 互逆 ? B = A ? A = B .

五、概率的计算
1、常用的概率运算性质 加法公式: 设 A 与 B 是两个随机事件,则 P ( A ∪ B ) = P ( A) + P ( B ) ? P ( A ∩ B ) 。 特别,当 A 与 B 互不相容即互斥时,成立

P ( A + B ) = P ( A) + P ( B ) ,即 P ( A ∪ B ) = P ( A) + P ( B ) .
逆事件概率公式: 记 A 的逆事件即对立事件为 A ,则 P ( A) = 1 ? P ( A) 。 特别,因为由德摩根定律: A + B = AB , AB = A + B ,所以有

P ( A + B ) = 1 ? P ( AB ) , P ( AB ) = 1 ? P ( A + B ) .
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2、三种常见事件的概率计算 等可能事件的概率(古典概率) 设随机试验一切试验结果(样本点,基本事件) ω 只有有限个,而且每个发生等可能, 这样的随机试验模型称为古典概率模型,这一模型中任一事件 A 的概率 P ( A) 定义为

P ( A) =
相互独立事件的概率:

m A包含的基本事件个数 = . n 基本事件的总数

设随机事件 A 和 B 满足概率关系 P ( AB ) = P ( A) P ( B ) ,就称事件 A 与事件 B 相互独立。 N 次独立重复试验的二项概率公式: 在成功率为 p ( 0 < p < 1 )的 n 次独立重复试验中恰好成功 m 次的概率为
m m Pn ( m) = Cn p (1 ? p ) n ? m

( m = 0,1, 2, ???, n ).

第六章:平面几何与解析几何
一、角
1、对顶角、同位角、内错角与同旁内角: 如图所示,一直线与两条平行直线相交所形成的角中: 1、 ∠1 与 ∠2 互为对顶角,且 ∠1 = ∠ 2 (对顶角相等) 2、 ∠1 与 ∠4 互为同位角,且 ∠1 = ∠ 4 (两直线平行内错角相等) 3、 ∠2 与 ∠4 互为内错角,且 ∠2 = ∠4 (两直线平行内错角相等) 4、 ∠3 与 ∠4 互为同旁内角,且 ∠3 + ∠4 = 180 (两直线平行同旁内角互补) 2、平行线性质: 直线被一组平行线截得的线段成比例。

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二、三角形
【性质】 如右图,任意三角形 ABC 中, 1、 三角形内角和等于 180 , 即: ∠1 + ∠2 + ∠3 = 180 。 2、 三 角 形 一 个 外 角 等 于 不 相 邻 两 内 角 之 和 , 如

∠4 = ∠2 + ∠3 。
3、 三角形三边关系:任意两边之和大于第三边,即

a+b > c;
任意两边之差小于第三边,即 a ? b < c 。 4、三角形中位线:三角形两边中点的连线平行于第三边,且等于第三边边长的一半。 5、三角形面积公式:

S = ah = ab sin C = p ( p ? a )( p ? b )( p ? c ) ,其中: p = 1 ( a + b + c ) 。
2

1 2

1 2

其中: h 是 a 边上的高, C 是 a , b 边的夹角, p 为三角形的半周长。 6、三角形四心: 内心:三条内角平分线的交点(三角形内切圆的圆心) 外心:三条边的垂直平分线的交点(三角形外接圆的圆心) 重心:三条中线的交点 垂心:三条高线的交点

【三角形分类】

1、直角三角形:有一个内角为直角的三角形。 【勾股定理】 在直角三角形 ABC 中,角 ∠C 为直角,则有 c 2 = a 2 + b 2 。 常见的勾股数:3、4、5;5、12、13;6、8、10;7、24、25;8、15、17;9、12、15 等。 【勾股定理推论】设三角形三边 a, b, c 中最大的为 c ,则

直角三角形 ? c 2 = a 2 + b 2 ;锐角三角形 ? c 2 < a 2 + b 2 ;钝角三角形 ? c 2 > a 2 + b 2 。 三种情况下,最大边 c 对应的三角形的最大内角分别为直角、锐角和钝角。

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【射影定理】直角三角形中, 斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项; 每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。 如图, 直角三角形 ABC 中, 角 ∠C 为直角, 斜边 AB 上的高 CD 分斜边为 AD 和 BD 。 则有:

CD 2 = AD × BD ;

AC 2 = AD × AB ; BC 2 = BD × BA .
2、等腰直角三角形:两直角边长度相等的直角三角形(有一内角为 45 或 (1)边长比关系: 1: 1: 2 。 (2)面积公式: S =

π
4

的直角三角形)

1 2 1 2 a = c ,其中 a 为直角边, c 为斜边。 2 4

3、角为 30 的直角三角形:其中 30 角所对的直角边边长为斜边边长的一半。 则三边边长比关系为: 1: 3 : 2 。 4、等腰三角形:有两个边的长度相等的三角形(或有两个内角相等的三角形) 。 5、等边三角形(正三角形) :三角形三个边长度都相等的三角形(或三个内角都为 60 的三 角形) 。 面积公式: S =

3 2 a ,其中 a 为边长。 4

【两三角形全等、相似】 1、两个三角形全等: ΔABC ? ΔA ' B ' C ' ,其含义为两三角形的大小与形状完全一致。 【性质】 (1)两全等三角形的对应边相等,对应角相等。 (2)判定两三角形全等的充分条件: ① 两三角形有 2 条边及其夹角对应相等; ② 两三角形有 2 只角及其夹边对应相等; ③ 两三角形的三条边对应相等。 2、两三角形相似: ΔABC ? ΔA ' B ' C ' ,其含义是两三角形的图形是放大、缩小关系。 【性质】 (1)以下都是相似三角形的性质 ① 两相似三角形对应边长成比例(称为相似比) ,对应角相等。 ② 两相似三角形的对应线段的比等于相似比 ③ 两相似三角形的周长比等于相似比 ④ 两相似三角形的面积比等于相似比的平方
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(2)以下都是两三角形相似的充分条件 ① 两三角形有一个内角对应相等,其两夹边对应成比例; ② 两三角形有 2 组内角对应相等; ③ 两三角形的 3 条边对应成比例。

三、四边形
1、平行四边形:两对对边分别平行的四边形称为平行四边形。 【性质】 (1)平行四边形的对边相等,对角相等,对角线互相平分。 (2)一对对边平行且相等的四边形是平行四边形。 (3)平行四边形的面积为底乘高: S ABCD = ah 特例:四边相等的四边形一定是四边相等的平行四边形, 即为菱形。 且菱形的对角线互相垂直、对角线平分顶角。 2、内角都是直角的四边形称为矩形(长方形) 。 【性质】 (1)两对角线相等且互相平分,即

AC = BD = 2 AE = 2 EC = 2 BE = 2 DE
(2)矩形的面积等于长乘宽,即 S ABCD = CD ? BC = ab . (3)四边相等的矩形称正方形, 则对角线相互垂直还平分顶角, S ABCD = a 2 . 3、只有一对对边平行的四边形称为梯形,平行的两边称为梯形的 上底与下底,梯形两腰中点的连线 MN 称为梯形的中位线。 【性质】 (1)梯形的中位线: MN =

1 ( a + b) 2

(2)梯形的面积等于中位线与高的乘积,即

S ABCD =

1 (a + b)h 2

四、圆
【角的弧度制】圆心角所对弧长与半径的比值叫该圆心角的弧度数。 即:圆心角弧度数 α =

l ,其中: l 为圆心角所对的弧长, r 为圆半径。 r

度数与弧度数的换算关系:

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1 弧度 =

180

π

1 =

π
180

弧度

常用的度与弧度的对照值: 角度 弧度

0

30

45

60

90

120

135

150

180

270

360

0

π
6

π
4

π
3

π
2

2π 3

3π 4

5π 6

π

3π 2



【定义】与定点 A 距离等于 r 的平面上动点的轨迹称为以 A 为圆心、半径为 r 的圆。 【性质】如图在圆 O 中,半径为 r ,线段 AB1 , AB2 是过圆外点 A 的两条切线,则 (1)半径为 r 的圆,面积等于 π r 2 ,圆周长等于 2π r . (2)直径所对的圆周角是直角 (3)弧所对应的圆周角是其所对应的圆心角的一半 (4)等弧对等角(圆周角、圆心角) (5)圆的切线在切点处与半径垂直。 (6)从圆外一点所作圆的两根切线相等。即: AB1 = AB2 . 五、扇形 扇形的弧长: l = α ? r =

θ
360

× 2π r

扇形的面积公式: S =

1 θ lr = ×π r2 2 360

【注】 α 为扇形圆心角的弧度数, θ 为圆心角的角度数。 弓形面积: S弓形ACB = S扇 ? S ΔAOB .

六、坐标 1、平面直角坐标系、象限及平面内点的坐标: 表示为: P ( x, y ) ,其中:

x 为点的横坐标, y 为点的纵坐标。
象限中的点坐标关系如右图所示。

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2、两点间距离公式: 两点 A( x A , y A ) 及 B ( xB , yB ) 间的距离 d 为

d = ( x A ? xB ) 2 + ( y A ? y B ) 2 .
特别地:点 P ( x, y ) 与坐标原点 O (0, 0) 的 距离 d 为 d =

x2 + y 2 .

3、中点公式: 设 A( x A , y A ) , B ( xB , yB ) ,则线段 AB 的中点 C ( xC , yC ) 的 坐标为:

xC =
4、定比分点:

1 1 ( x A + xB ) , yC = ( y A + yB ) . 2 2

设两点 A( x A , y A ) , B ( xB , yB ) ,点 P 是线段 AB 或其延长线的 一点,并且分 AB 的定比为 λ , AP = λ PB, 且λ ≠ ?1 则点 P 的坐标为: ?

(

)

? x A + λ xB y A + λ y B ? , ? . 1+ λ ? ? 1+ λ

七、平面直线 1、直线的倾斜角与斜率: 直线的倾斜角:直线与 x 轴正方向的夹角,记为: α 且 0 ≤ α ≤ 180 。 直线的斜率:反映直线的倾斜程度,记为: k = tan α , ( α ≠ 90 ) 。 常见直线倾斜角所对应的直线斜率值:

α
tan α

0
0

30
1 3

45 1

60 3

120
? 3

135

150
? 1 3

?1

2 、 斜 率 计 算 公 式 : 经 过 点 A( x A , y A ) 和 B ( xB , yB ) 的 直 线 L 的斜率为 k = tan α =

yB ? y A . xB ? x A

3、直线方程的常见形式:
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1、 水平直线与竖直直线: 过点 ( x0 , y0 ) 的水平直线为 y = y0 ;竖直线为 x = x0 。

2、 直线的点斜式: y ? y0 = k ( x ? x0 ) 表示:斜率为 k 且过点 ( x0 , y0 ) 的一条直线。

3、 直线的斜截式: y = kx + b 表示:斜率为 k 且与 y 轴相交于点 (0, b) 的直线, 其中称 b 为直线的纵截距。

4、 直线的两点式:

y ? yA x ? xA = y B ? y A xB ? x A

求过点 A( x A , y A ) 与 B ( xB , yB ) 的直线方程 因为直线 AB 的斜率为 k =

yB ? y A , xB ? x A yB ? y A 直线, xB ? x A

把直线 AB 看做经过点 ( x A , y A ) 且斜率为 k = 按直线的点斜式,则方程为

y ? yA =

yB ? y A ( x ? x A ), xB ? x A

常把这一方程写成关于 A 和 B 的对称形式:

y ? yA x ? xA ,此时为直线的两点式。 = y B ? y A xB ? x A x y + = 1. a b 表示:直线与 x 轴及 y 轴都相交且直线与

5、 直线的截距式:

x 轴交于点 (a, 0) ,与 y 轴交于点 (0, b) ,
称 a 为直线的横截距, b 为直线的纵截距。
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6、 直线的一般方程: Ax + By + C = 0 ( A 与 B 不全为 0)

C ; B C 若 B = 0 ,方程则为竖直直线 x = ? ; A
若 A = 0 ,方程则为水平直线 y = ? 若 C = 0 ,直线经过点 (0, 0) ;

A C x ? ,此时: B B A C C 直线的斜率为 k = ? ,纵截距为 y = ? ,横截距为: x = ? . B B A
若 B ≠ 0 ,则方程可改写为 y = ? 4、两直线的夹角公式: 设直线 L1 和直线 L2 的斜率分别为 k1 和 k2 , 记 θ 是两直线夹出的锐角,则

tan θ =

k1 ? k2 . 1 + k1k2

【推论】倒角公式(逆时针) : 如上图,直线 L1 到直线 L2 的角为

tan θ =

k1 ? k2 . 1 + k1 ? k2

【性质】两直线 L1 与 L2 平行(含重合)的充要条件是 k1 = k2 ; 两直线 L1 与 L2 互相垂直的充要条件是 k1k2 = ?1 . 【推论】对于两直线 L1 : A1 x + B1 y + C1 = 0 和 L2 : A2 x + B2 y + C2 = 0 , 若 L1 // L2 ? A1 B2 ? A2 B1 = 0 ;若 L1 ⊥ L2 ? 5、点到直线的距离公式: 设点 ( x0 , y0 ) 是直线 L : Ax + By + C = 0 外的一个点,则它到直线的距离 d 的计算公式为

A1 A2 + B1 B2 = 0 .

d=

Ax0 + By0 + C A2 + B 2 y0 ? kx0 ? b
.



如果 L 取 y = kx + b 形式,则 d =

1+ k 2

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【推论】两平行直线 Ax + By + C1 = 0 与 Ax + By + C2 = 0 间距离为 d =

C1 ? C2 A2 + B 2



两平行直线 y = kx + b1 与 y = kx + b2 间距离为 d = 八、圆的方程 1、圆的标准方程

b1 ? b2

1+ k 2

.

以 O ( a, b ) 为圆心, r 为半径的圆的方程为 ( x ? a ) + ( y ? b) = r .
2 2 2

形如 x + y + Dx + Ey + F = 0 的方程,称为圆的一般方程。
2 2

(以上 D, E , F 必须使方程能化为圆的标准方程,

D2 + E 2 ? 4F D? ? E? D2 + E 2 ? 4F ? > 0 ). 即: ? x + ? + ? y + ? = ,当且仅当: 4 2? ? 2? 4 ?
2、直线与圆的位置

2

2

方法:通过圆心到直线的距离 d 与圆半径 r 的关系判断 (1)相交 ? d < r (2)相切 ? d = r (3)想离 ? d > r 3、圆与圆的位置

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方法:通过两圆心的距离 d 与两圆半径间的关系判断 (1) 包含 ? 0 < d < R ? r (2) 内切 ? d = R ? r (3) 相交 ? R ? r < d < R + r (4) 外切 ? d = R + r (5) 相离 ? d > R + r 九、常用的对称关系: 设点坐标为 ( x, y ) ① 关于 X 轴对称的对称点的坐标为 ( x, ? y ) ② 关于 Y 轴对称的对称点的坐标为 ( ? x, y ) ③ 关于原点对称的对称点坐标为 ( ? x, ? y ) ④ 关于点 ( a, b) 对称的对称点坐标为 (2a ? x, 2b ? y ) ⑤ 关于直线 y = x 对称的对称点坐标为 ( y , x ) ⑥ 关于直线 y = ? x 对称的对称点坐标为 ( ? y , ? x ) ⑦ 关于直线 y = x + m 对称的对称点坐标为 ( y ? m, x + m ) ⑧ 关于直线 y = ? x + m 对称的对称点坐标为 ( m ? y , m ? x ) 【注】一般的对称,抓住两个条件:垂直及平分,列出方程组求解即可。

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