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新人教A版数学选修1-1《3.1.3导数的几何意义》导学案


河北省唐山市开滦第二中学高中数学 3.1.3 导数的几何意义学案 新人教 A 版选修 1-1
【学习目标】 1.了解平均变化率与割线斜率之间的关系; 2.理解曲线的切 线的概 念; 3.通过函数的图像直观地理解导数的几何意义,并会用导数的几何意义解题. 【重点难点】 曲线的切 线的概念、切线的斜率、导数的几何意义. 【学习内容】 一、创设情景 我们知道 , 导数表 示函数 y ? f ( x) 在 x ? x0 处的瞬时变化率 , 反映了函数 y ? f ( x) 在

x ? x0 附近的变化情况,导数 f ?( x0 ) 的几何意义是什么 呢?
二、学习新知 (一)曲线的切线及切线的斜率 如图,当 P n ( xn , f ( xn ))(n ? 1, 2,3, 4) 沿着 曲线 f ( x ) 趋近于点 P( x0 , f ( x0 )) 时 , 割线 PP n 的变化趋势是什么?

我们发现:

PT 的斜率 k 有什么关系? 问题: (1)割线 PP n 的斜率 kn 与切线
(2)切线 PT 的斜率 k 为多少? 说明: (1)设切线的倾斜角为 ? , 那么当 ?x ? 0 时,割线 PQ 的斜率,称为曲线在点 P 处的切线的斜率. 这个概念: ①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法; ②切线斜率的本质—函数在 x ? x0 处的导数. (2)曲线在某点处的切线: 1)与该点的位置有关;2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解 .如有极限,则在此点有 切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;3)曲线切线,并不一定与曲线只有一个

交点,可以有多个,甚至可以无穷多. ( 二)导数的几何意义 函数 y ? f ( x) 在 x ? x0 处的导数等于在该点 ( x0 , f ( x0 )) 处的切线的斜率, 即 f ?( x0 ) ? lim
?x ?0

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?k ?x

说明: 求曲线在某点处的切线 方程的基本步骤: ①求出 P 点的坐标; ②求出函数在点 x0 处的变化率 f ?( x0 ) ? lim
?x ?0

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ? k 得到曲线在点 ?x

( x0 , f ( x0 )) 的切线的 斜率;
③利用点斜式求切 线方程. (三)导函数 由函数 y ? f ( x) 在 x ? x0 处求导数的过程可以看到 ,当 x ? x0 时, f ?( x0 ) 是一个确定的 数,那么,当 x 变化时,便是 x 的一个函数,我们叫它为 f ( x) 的 导函数. 记作: f ?( x ) 或 y? ,即 f ?( x) ? y? ? lim
?x ?0

f ( x ? ?x) ? f ( x) . ?x

注: 在不致发生混淆时,导函数也简称导数. (四)函数 f ( x ) 在点 x0 处的导数 f ?( x0 ) 、导函数 f ?( x ) 、导数之间的区别与联系 (1)函数在一 点处的导数 f ?( x0 ) ,就是在该点的 函数的改变量与自变 量的改变量之比的极 限,它是一个常数,不是变数. (2)函数的导数,是指某一区间内任意点 x 而言的,就是函数 f ( x) 的导函数. (3)函数 f ( x ) 在点 x0 处的导数 f ' ( x0 ) 就是导函数 f ?( x ) 在 x ? x0 处的函数值,这也是求 函数在点 x0 处的导数的方法之一. 三、典例分析 例 1 (1)求曲线 y ? f ( x) ? x 2 ? 1 在点 P(1,2) 处的切线方程. (2)求函数 y ? 3x 2 在点 (1,3) 处的导数. 解:

例 2 如图,它表示跳水运动中高度随时间变化的函数 h( x) ? ?4.9x ? 6.5x ? 10 ,根据图像,
2

请描述、比较曲线 h(t ) 在 t 0 、 t1 、 t 2 附近的变化情况. 解:

例 3 如图,它表示人体血管中药物浓度 c ? f (t ) (单位: mg / mL )随时间 t (单位: min )变化 的图象.根 据图像,估计 t ? 0.2 , 0.4 , 0.6 , 0.8 时,血管中药物浓度的瞬时变化率(精确 到 0.1 )

解:

下表给出了药物浓度瞬时变化率的估计值:验证一下,这些值是否正确 。

t
药物浓度瞬时变化率 f (t )
'

0.2 0.4

0.4 0

0.6 -0.7

0.8 -1.4

四、课堂练习 1.求曲线 y ? f ( x) ? x 在点 (1,1) 处的切线.
3

2.求曲线 y ?

x 在点 (4, 2) 处的切线 .

五、 【课堂小结与反思】

六. 【课后作业与练习】 1.曲线 y ? x 2 在 x ? 0 处的( A C 切线斜率为 1 没有 切线 )

B 切线方程为 y ? 2 x D 切线方程为 y ? 0 )

2.已 知曲线 y ? 2 x 2 上的一点 A(2 ,8) ,则点 A 处的切线斜率为( A 4 B 16 C 8 D 2 )

3.函数 y ? f ( x) 在 x ? x0 处的导数 f / ( x 0 ) 的几何意义是( A B C D 在点 x ? x0 处的函数值 在点 ( x0 , f ( x0 )) 处的切 线与 x 轴所夹锐角的正切值 曲线 y ? f ( x) 在点 ( x0 , f ( x0 )) 处的切线的斜率 点 ( x0 , f ( x0 )) 与点(0,0)连线的斜率

3 4. 已知曲线 y ? x 上过点 (2, 8) 的切线方程为 12 x ? ax ? 16 ? 0 , 则实数 a 的值为 (



A C

-1 -2
/

B D

1 2

5.若 f ( x0 ) ? ?3 ,则 lim
h ?0

f ( x 0 ? h) ? f ( x 0 ? 3h) =( h



A C

-3 -9

B D

-6 -12

6.设 f ( x) 为可导函数,且满足条件 lim
x ?0

f (1) ? f (1 ? x) ? ?1 ,则曲线 y ? f ( x) 在点(1, 2x
-2

1)处的切线的斜 率为( A 2 B -1 C



1 2

D

7. 已知曲线 y ? x 2 ? 1 上的两点 A(2,3) , B(2 ? ?x,3 ? ?y) ,当 ?x ? 1 时,割线 AB 的 斜率 是__________,当 ?x ? 0.1 时,割线 AB 的斜率是__________,曲线在点 A 处的切线方 程是_____________ ___________。 8.在 曲线 y ? x 2 上过哪一点的切线, (1)平行 于直线 y ? 4 x ? 5 ; (2)垂直于直线 2 x ? 6 y ? 5 ? 0 ; (3 )与 x 轴成 135 的倾斜角; (4)求过点 R(1,-3)与曲线相切的直线。
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