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黑龙江省双鸭山一中2012-2013学年高二数学上学期期中试题 文(含解析)新人教A版


黑龙江省双鸭山一中 2012-2013 学年高二(上)期中 数学试卷(文科)
一、选择题(包括 1-12 题,每小题 5 分,共 60 分) 1. (5 分) (2011?福州模拟)某学校为了调查高三年级的 200 名文科学生完成课后作业所需 时间,采取了两种抽样调查的方式:第一种由学生会的同学随机抽取 20 名同学进行调查; 第二种由教务处对该年级的文科学生进行编号,

从 001 到 200,抽取学号最后一位为 2 的同 学进行调查,则这两种抽样的方法依次为( ) A.分层抽样,简单随机抽样 B.简单随机抽样,分层抽样 C.分层抽样,系统抽样 D.简单随机抽样,系统抽样 考点: 简单随机抽样;收集数据的方法.. 专题: 阅读型. 分析: 第一种由学生会的同学随机抽取 20 名同学进行调查,这是一种简单随机抽样,第二 种由教务处对该年级的文科学生进行编号,抽取学号最后一位为 2 的同学进行调查, 符合采用系统抽样. 解答: 解:第一种由学生会的同学随机抽取 20 名同学进行调查; 这是一种简单随机抽样, 第二种由教务处对该年级的文科学生进行编号, 从 001 到 200,抽取学号最后一位为 2 的同学进行调查, 对于个体比较多的总体,采用系统抽样, 故选 D. 点评: 本题考查简单随机抽样和系统抽样,对于同一总体采取的两种不同抽样方式,注意两 者的相同点和不同点,得到的样本可能不同,但不管用什么抽样方式,每个个体被抽 到的概率相等. 2. (5 分)圆 x +y +4x﹣6y﹣3=0 的圆心和半径分别为( ) A.(4,﹣6) ,r=16 B.(2,﹣3) ,r=4 C.(﹣2,3) ,r=4
2 2

D.(2,﹣3) ,r=16

考点: 圆的一般方程.. 专题: 计算题;直线与圆. 分析: 将圆的方程配方成标准形式,结合圆心和半径的公式,即可得到本题答案. 2 2 2 2 解答: 解:将圆 x +y +4x﹣6y﹣3=0 的方程化成标准形式,得(x+2) +(y﹣3) =16 2 2 ∴圆 x +y +4x﹣6y﹣3=0 的圆心为 C(﹣2,3) ,半径 r=4 故选:C 点评: 本题给出圆的一般式方程,求圆的圆心和半径,着重考查了圆的一般方程、标准方程 及其互化等知识,属于基础题. 3. (5 分) (2012?泸州二模)某单位有青年职工 160 人,中年职工人数是老年职工人数的 2 倍,老、中、青职工共有 430 人.为了解职工身体状况,现采用分层抽样方法进行调查,在 抽取的样本中有青年职工 32 人,则该样本中的老年职工人数为( ) A.16 B.18 C.27 D.36

1

考点: 分层抽样方法.. 专题: 计算题. 分析: 根据条件中职工总数和青年职工人数,以及中年和老年职工的关系列出方程,解出老 年职工的人数,根据青年职工在样本中的个数,算出每个个体被抽到的概率,用概率 乘以老年职工的个数,得到结果. 解答: 解:设老年职工有 x 人,中年职工人数是老年职工人数的 2 倍,则中年职工有 2x, ∵x+2x+160=430, ∴x=90, 即由比例可得该单位老年职工共有 90 人, ∵在抽取的样本中有青年职工 32 人, ∴每个个体被抽到的概率是 用分层抽样的比例应抽取 = , ×90=18 人.

故选 B. 点评: 本题是一个分层抽样问题,容易出错的是不理解分层抽样的含义或与其它混淆.抽样 方法是数学中的一个小知识点,但一般不难,故也是一个重要的得分点,不容错过.
2

4. (5 分) (2012?天津)设 x∈R,则“x> ”是“2x +x﹣1>0”的( A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件



考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断.. 专题: 计算题. 分析: 求出二次不等式的解,然后利用充要条件的判断方法判断选项即可. 解答: 2 解:由 2x +x﹣1>0,可知 x<﹣1 或 x> ; 所以当“x> ”? “2x +x﹣1>0”; 但是“2x +x﹣1>0”推不出“x> ”. 所以“x> ”是“2x +x﹣1>0”的充分而不必要条件. 故选 A. 点评: 本题考查必要条件、 充分条件与充要条件的判断, 二次不等式的解法, 考查计算能力. 5. (5 分) (2013?滨州一模)如图是 2007 年在广州举行的全国少数民族运动会上,七位评 委为某民族舞蹈打出的分数的茎叶统计图, 去掉一个最高分和一个最低分后, 所剩数据的平 均数和方差分别为( )
2 2 2

2

A.84,4.84

B.84,1.6

C.85,1.6

D.85,4

考 茎叶图;极差、方差与标准差.. 点: 专 压轴题;图表型. 题: 分 根据所给的茎叶图,看出七个数据,根据分数处理方法,去掉一个最高分 93 和一个最 析:低分 79 后,把剩下的五个数字求出平均数和方差. 解 解:由茎叶图知,去掉一个最高分 93 和一个最低分 79 后, 答: 所剩数据 84,84,86,84,87 的平均数为 ; 方差为

. 故选 C. 点 茎叶图、平均数和方差属于统计部分的基础知识,也是高考的新增内容,考生应引起足 评:够的重视,确保稳拿这部分的分数.

6. (5 分)已知回归方程 A.

,则(

) C.1.5 是回归系数 a D.x=10 时,y=0

B.15 是回归系数 a

考点: 线性回归方程.. 专题: 概率与统计. 分析: 根据回归直线必要样本中心点( , )点,代入可判断 A 的真假;根据回归直线方 程为 =bx+a 中,一次项系数是回归系数 b,常数项为回归系数 a,可判断 B,C 的真 假;根据回归直线的意义,可判断 D 的真假. 解答: 解:回归直线必要样本中心点( , )点,故

,即 A 正确;

回归直线方程为 =bx+a 中,一次项系数是回归系数 b,常数项为回归系数 a, 故﹣15 是回归系数 a,故 B 错误; 1.5 是回归系数 b,故 C 错误; x=10 时,y 的预报值为 0,但 y 值不一定为 0,故 D 错误 故选 A 点评: 本题考查的知识点是线性回归方程,熟练掌握线性回归方程的基本概念是解答的关 键. 7. (5 分) (2011?陕西)如图中,x1,x2,x3 为某次考试三个评阅人对同一道题的独立评分, P 为该题的最终得分.当 x1=6,x2=9,p=8.5 时,x3 等于( )

3

A.11

B.10

C.8

D.7

考点: 选择结构.. 专题: 创新题型. 分析: 利用给出的程序框图,确定该题最后得分的计算方法,关键要读懂该框图给出的循环 结构以及循环结构内嵌套的条件结构, 弄清三个分数中差距小的两个分数的平均分作 为该题的最后得分. 解答: 解:根据提供的该算法的程序框图,该题的最后得分是三个分数中差距小的两个分数 的平均分.根据 x1=6,x2=9,不满足|x1﹣x2|≤2,故进入循环体,输入 x3,判断 x3 与 x1,x2 哪个数差距小,差距小的那两个数的平均数作为该题的最后得分.因此由 8.5= ,解出 x3=8.

故选 C. 点评: 本题考查学生对算法基本逻辑结构中的循环结构和条结构的认识, 考查学生对赋值语 句的理解和认识,考查学生对程序框图表示算法的理解和认识能力,考查学生的算法 思想和简单的计算问题. 8. (5 分)将二进制 110101(2)转化为十进制为( ) A.106 B.53 C.55

D.108

考点: 排序问题与算法的多样性.. 专题: 计算题. 分析: 本题的考查点为二进制与十进制数之间的转换, 只要我们根据二进制转换为十进制方 法逐位进行转换,即可得到答案. 2 4 5 解答: 解:110101(2)=1+1×2 +1×2 +1×2 =53, 故选 B. 点评: 二进制转换为十进制方法:按权相加法,即将二进制每位上的数乘以权(即该数位上 的 1 表示 2 的多少次方) ,然后相加之和即是十进制数.大家在做二进制转换成十进
4

制需要注意的是: (1)要知道二进制每位的权值; (2)要能求出每位的值. 9. (5 分) (2011?东城区一模)命题“? x0∈R,使 log2x0≤0 成立”的否定为( A.? x0∈R,使 log2x0>0 成立 B.? x0∈R,使 log2x0≥0 成立 C.? x0∈R,均有 log2x0≥0 成立 D.? x0∈R,均有 log2x0>0 成立 )

考点: 命题的否定.. 专题: 阅读型. 分析: 特称命题“? x0∈R,使 log2x0≤0 成立”的否定是:把? 改为? ,其它条件不变,然 后否定结论,变为一个全称命题.即“? x0∈R,均有 log2x0>0 成立”. 解答: 解: 特称命题“? x0∈R, 使 log2x0≤0 成立”的否定是全称命题“? x0∈R, 均有 log2x0 >0 成立”. 故选 D. 点评: 本题考查特称命题的否定形式. 10. (5 分) (2010?丹东一模)直线 A.1 B.2 被圆 x +y ﹣4y=0 所截得的弦长为( C. D.
2 2



考点: 直线和圆的方程的应用.. 专题: 计算题. 分析: 首先根据已知题意分析圆心与半径.通过直线与圆相交构造一个直角三角形.直角边 分别为半弦长,弦心距.斜边为半径.按照勾股定理求出半弦长,然后就能求出弦长. 2 2 解答: 解:根据题意,圆为 x +y ﹣4y=0 故其圆心为(0,2) ,半径为:2 圆心到直线的距离为: 由题意,圆的半径,圆心到直线的距离,以及圆的弦长的一半构成直角三角形 故由勾股定理可得:

解得:l=2 故答案为:2 点评: 本题考查直线与圆的方程的应用,首先根据圆分析出圆的要素,然后根据直线与圆相 交时构造的直角三角形按照勾股定理求出结果.属于基础题. 11. (5 分) (2005?广东)先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数 1、 2、3、4、5、6) ,骰子朝上的面的点数分别为 X、Y,则 log2XY=1 的概率为( ) A. B. C. D.

考点: 等可能事件的概率.. 专题: 计算题. 分析: 先转化出 X、Y 之间的关系,计算出各种情况的概率,然后比较即可. 解答: 解:∵log2XY=1
5

∴Y=2X,满足条件的 X、Y 有 3 对 而骰子朝上的点数 X、Y 共有 36 对 ∴概率为 =

故选 C. 点评: 如果一个事件有 n 种可能,而且这些事件的可能性相同,其中事件 A 出现 m 种结果, 那么事件 A 的概率 P(A)= .

12. (5 分) (2012?辽宁)在长为 12cm 的线段 AB 上任取一点 C.现作一矩形,邻边长分别等 2 于线段 AC,CB 的长,则该矩形面积大于 20cm 的概率为( ) A. B. C. D.

考点: 几何概型.. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 设 AC=x,则 BC=12﹣x,由矩形的面积 S=x(12﹣x)>20 可求 x 的范围,利用几何概 率的求解公式可求 解答: 解:设 AC=x,则 BC=12﹣x 矩形的面积 S=x(12﹣x)>20 2 ∴x ﹣12x+20<0 ∴2<x<10 由几何概率的求解公式可得,矩形面积大于 20cm 的概率 P= 故选 C
2

=

点评: 本题主要考查了二次不等式的解法,与区间长度有关的几何概率的求解公式的应用, 属于基础试题 二、填空题(包括 13-16 题,每题 5 分,共 20 分) 2 2 2 2 13. (5 分)已知圆 C1: (x﹣2) +(y﹣1) =10 与圆 C2: (x+6) +(y+3) =50 交于 A、B 两 点,则 AB 所在的直线方程是 2x+y=0 . 考点: 相交弦所在直线的方程.. 专题: 计算题;方程思想. 分析: 所求 AB 所在直线方程,实际是两个圆交点的圆系中的特殊情况,方程之差即可求得 结果.
6

解答: 解:圆 C1: (x﹣2) +(y﹣1) =10 与圆 C2: (x+6) +(y+3) =50 相减就得公共弦 AB 所在的直线方程, 故 AB 所在的直线方程是﹣16x﹣8y﹣40=﹣40,即 2x+y=0 故答案为:2x+y=0 点评: 本题考查相交弦所在直线的方程,是基础题. 14. (5 分)阅读右面的算法程序,写出程序运行的结果. (1)该程序中使用的是 “IF﹣THEN﹣ELSE” 格式的条件语句; (2)若 x=6,则 p= 2.1 ;若 x=20,则 p= 10.5 .

2

2

2

2

考点: 伪代码.. 专题: 阅读型. 分析: (1)由已知中的伪代码,可以分析出程序的功能是利用双分支条件结构计算分段函 数的值,采用的是“IF﹣THEN﹣ELSE”格式的条件语句 (2)将 x=6 和 x=20 分别代入,先判断是否满足条件,进而选择对应的函数解析式, 代入可得答案. 解答: 解: (1)由已知中的伪代码,可得 这是一个双分支条件结构 采用的是“IF﹣THEN﹣ELSE”格式的条件语句 (2)若 x=6,满足条件 则 p=6×0.35=2.1 若 x=20,不满足条件 则 p=10×0.35+(20﹣10)×0.7=10.5 故答案为:“IF﹣THEN﹣ELSE”,2.1,10.5 点评: 本题考查的知识点是伪代码,其中分析出程序的功能,并能将其转化为对应的数学模 型是解答的关键. 15. (5 分)在下列四个结论中,正确的有 ①②④ (填序号) . ①若 A 是 B 的必要不充分条件,则?B 也是?A 的必要不充分条件; ②“
2

”是“一元二次不等式 ax +bx+c≥0 的解集为 R”的充要条件;

2

③“x≠1”是“x ≠1”的充分不必要条件; ④“x≠0”是“x+|x|>0”的必要不充分条件.

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考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断.. 专题: 计算题. 分析: 因为原命题与其逆否命题等价,所以①正确;“
2 2

”?“一元二次
2

不等式 ax +bx+c≥0 的解集为 R. 所以②成立; x≠1 推不出 x ≠1, 反例: x=﹣1? x =1, 所以③不成立.x≠0 推不出 x+|x|>0,但 x+|x|>0? x>0? x≠0,所以④成立. 解答: 解:①∵A 是 B 的必要不充分条件,∴B? A, ∴¬A? ¬B, ∴¬B 也是¬A 的必要不充分条件,故①正确; ②∵“ 件, ∴“ ”是“一元二次不等式 ax +bx+c≥0 的解集为 R”的充要条
2

”?“一元二次不等式 ax +bx+c≥0 的解集为 R”的充要条

2

件.故②正确; 2 2 2 ③“x≠1”不能推出“x ≠1”反例: x=﹣1? x =1, “x ≠1”? “x≠1, 或 x≠﹣1”, 2 故“x≠1”是“x ≠1”的不充分不必要条件,故③错误; x≠0 推不出 x+|x|>0,反例 x=﹣2? x+|x|=0. 但 x+|x|>0? x>0? x≠0, ∴“x≠0”是“x+|x|>0”的必要不充分条件.故④正确 故答案为:①②④ 点评: 本题考查必要条件、充分条件和充要条件的判断,解题时要认真审题,仔细解答. 16. (5 分) (2012?天津)设 m,n∈R,若直线 l:mx+ny﹣1=0 与 x 轴相交于点 A,与 y 轴相 2 2 交于点 B,且 l 与圆 x +y =4 相交所得弦的长为 2,O 为坐标原点,则△AOB 面积的最小值为 3 . 考点: 直线与圆相交的性质;直线的一般式方程.. 专题: 计算题. 分析: 由圆的方程找出圆心坐标和半径 r,由直线 l 被圆截得的弦长与半径,根据垂径定理 及勾股定理求出圆心到直线 l 的距离, 然后再利用点到直线的距离公式表示出圆心到 2 2 直线 l 的距离,两者相等列出关系式,整理后求出 m +n 的值,再由直线 l 与 x 轴交 于 A 点,与 y 轴交于 B 点,由直线 l 的解析式分别令 x=0 及 y=0,得出 A 的横坐标及 B 的纵坐标,确定出 A 和 B 的坐标,得出 OA 及 OB 的长,根据三角形 AOB 为直角三角 2 2 形,表示出三角形 AOB 的面积,利用基本不等式变形后,将 m +n 的值代入,即可求 出三角形 AOB 面积的最小值. 2 2 解答: 解:由圆 x +y =4 的方程,得到圆心坐标为(0,0) ,半径 r=2, 2 2 ∵直线 l 与圆 x +y =4 相交所得弦 CD=2, ∴圆心到直线 l 的距离 d= = ,

8

∴圆心到直线 l:mx+ny﹣1=0 的距离 d=

=



整理得:m +n = , 令直线 l 解析式中 y=0,解得:x= , ∴A( ,0) ,即 OA= 令 x=0,解得:y= , ∴B(0, ) ,即 OB=
2 2

2

2





∵m +n ≥2|mn|,当且仅当|m|=|n|时取等号, ∴|mn|≤ ,

又△AOB 为直角三角形, ∴S△ABC= OA?OB= ≥ =3,

则△AOB 面积的最小值为 3. 故答案为:3 点评: 此题考查了直线与圆相交的性质,涉及的知识有:点到直线的距离公式,垂径定理, 勾股定理,直线的一般式方程,以及基本不等式的运用,当直线与圆相交时,常常根 据垂径定理由垂直得中点,进而由弦长的一半,圆的半径及弦心距构造直角三角形, 利用勾股定理俩来解决问题. 三、解答题(包括 17-22 题,共 70 分) 17. (10 分) (2011?江西模拟)某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出 60 名学生,将 其成绩(均为整数)分成六段[40,50) ,[50,60)?[90,100]后画出如下部分频率分布直 方图.观察图形的信息,回答下列问题: (1)求第四小组的频率,并补全这个频率分布直方图; (2)估计这次考试的及格率(60 分及以上为及格)和平均分.

考点: 频率分布直方图..

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专题: 计算题;图表型. 分析: (1)在频率分直方图中,小矩形的面积等于这一组的频率,根据频率的和等于 1 建 立等式解之即可; (2)60 及以上的分数所在的第三、四、五、六组,从而求出抽样学生成绩的合格率, 再利用组中值估算抽样学生的平均分即可. 解答: 解: (Ⅰ)因为各组的频率和等于 1,故第四组的频率:f4=1﹣ (0.025+0.015*2+0.01+0.005)*10=0.3 (Ⅱ)依题意,60 及以上的分数所在的第三、四、五、六组, 频率和为(0.015+0.03+0.025+0.005)*10=0.75 所以,抽样学生成绩的合格率是 75% 利用组中值估算抽样学生的平均分 45?f1+55?f2+65?f3+75?f4+85?f5+95?f6 =45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.05=71 估计这次考试的平均分是 71.

点评: 本题主要考查了频率及频率分布直方图,考查运用统计知识解决简单实际问题的能 力,数据处理能力和运用意识. 18. (12 分)已知圆 C:x +y ﹣4x﹣6y+12=0,求过点 A(3,5)的圆的切线方程. 考点: 直线与圆的位置关系.. 专题: 直线与圆. 分析: 由圆的方程求出圆心和半径,易得点 A 在圆外,当切线的斜率不存在时,切线方程为 x=3.当切线的斜率存在时,设切线的斜率为 k,写出切线方程,利用圆心到直线的距 离等于半径, 解出 k,可得切线方程. 2 2 2 2 解答: 解:圆 C:x +y ﹣4x﹣6y+12=0,即 (x﹣2) +(y﹣3) =1,表示以(2,3)为圆心, 半径等于 1 的圆. 由于点 A(3,5)到圆心的距离等于 = ,大于半径 1,
2 2

故点 A 在圆的外部. 当切线的斜率不存在时,切线方程为 x=3 符合题意. 当切线的斜率存在时,设切线斜率为 k,则切线方程为 y﹣5=k(x﹣3) ,即 kx﹣y﹣ 3k+5=0, 所以,圆心到切线的距离等于半径,即 =1,解得 k=﹣ ,此时,切

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线为 3x+4y+11=0. 综上可得,圆的切线方程为 x=3,或 3x+4y+11=0. 点评: 本题考查求圆的切线方程得方法,注意切线的斜率不存在的情况,属于中档题. 19. (12 分)若 a∈[﹣1,1],b∈[﹣1,1],求关于 x 的方程 x +ax+b =0 有实根的概率. 考点: 几何概型.. 专题: 计算题. 2 2 分析: 这是一个几何概型问题,关于 x 的方程 x +ax+b =0 有实根根据判别式大于等于零,可 以得到 a 和 b 之间的关系,写出对应的集合,做出面积,得到概率. 解答: 解:∵﹣1≤a≤1,﹣1≤b≤1, 事件对应的集合是 Ω ={(a,b)|﹣1≤a≤1,﹣1≤b≤1} 对应的面积是 sΩ =4, 2 2 ∵关于 x 的方程 x +ax+b =0 有实根, 2 2 ∴a ﹣4b ≥0 (a+2b) (a﹣2b)≥0, 事件对应的集合是 A={(a,b)|﹣1≤a≤1,﹣1≤b≤1, (a+2b) (a﹣2b)≥0} 对应的图形的面积是:sA=2× ×1×1=1 ∴P= , 故关于 x 的方程 x +ax+b =0 有实根的概率为: . 点评: 古典概型和几何概型是我们学习的两大概型, 古典概型要求能够列举出所有事件和发 生事件的个数,而不能列举的就是几何概型,概率的值是通过长度、面积、和体积的 比值得到. 20. (12 分)设命题 p:实数 x 满足 x ﹣4ax+3a <0,其中 a>0,命题 q:实数 x 满足 .若¬p 是¬q 的充分不必要条件,求实数 a 的取值范围.
2 2 2 2 2 2

考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断;命题的真假判断与应用.. 专题: 不等式的解法及应用. 2 2 分析: 由题意可得 q 是命题 p 的充分不必要条件,设 A={x|x ﹣4ax+3a <0,a>0}, B={x| },则由题意可得 B?A,化简 A、B,根据区间端点间的大小关

系, 求得实数 a 的取值范围. 解答: 解:若¬p 是¬q 的充分不必要条件,∴命题 q 是命题 p 的充分不必要条件. 设 A={x|x ﹣4ax+3a <0,a>0}={x|a<x<3a},B={x|
2 2

}={x|2<

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x≤3},则由题意可得 B?A. ∴ ,解得 1<a≤2,

故实数 a 的取值范围为(1,2]. 点评: 本题主要考查充分条件、必要条件、充要条件的定义,一元二次不等式的解法,体现 了等价转化的数学思想,属于基础题. 21. (12 分) (2011?安徽模拟)一个均匀的正四面体面上分别涂有 1、2、3、4 四个数字, 现随机投掷两次,正四面体面朝下的数字分别为 b、c. 2 2 (Ⅰ)记 z=(b﹣3) +(c﹣3) ,求 z=4 的概率; 2 (Ⅱ)若方程 x ﹣bx﹣c=0 至少有一根 a∈1,2,3,4,就称该方程为“漂亮方程”,求方 程为“漂亮方程”的概率. 考点: 等可能事件的概率.. 专题: 计算题. 分析: (I)由于我们要将均匀的面上分别涂有 1、2、3、4 四个数字的正四面体随机投掷两 次,故基本事件共有 4×4=16 个,然后求出 z=4 时,基本事件的个数,代入古典概型 公式即可得到结果. (II)分类讨论方程根分别为 1,2,3,5 时,基本事件的个数,然后代入古典概型 公式即可得到结果. 解答: 解: (Ⅰ)因为是投掷两次,因此基本事件(b,c)共有 4×4=16 个 当 z=4 时, (b,c)的所有取值为(1,3) 、 (3,1) 所以 (Ⅱ)①若方程一根为 x=1,则 1﹣b﹣c=0,即 b+c=1,不成立. ②若方程一根为 x=2,则 4﹣2b﹣c=0,即 2b+c=4,所以 ③若方程一根为 x=3,则 9﹣3b﹣c=0,即 3b+c=9,所以 ④若方程一根为 x=4,则 16﹣4b﹣c=0,即 4b+c=16,所以 . . .

综合①②③④知, (b,c)的所有可能取值为(1,2) 、 (2,3) 、 (3,4) 所以,“漂亮方程”共有 3 个,方程为“漂亮方程”的概率为

点评: 本题考查的知识是等可能性事件的概率, 求出基本事件的总数和满足某个事件的基本 事件个数是解答本题的关键.
12

22. (12 分) (2012?株洲模拟)在直角坐标系 xOy 中,以坐标原点 O 为圆心的圆与直线: 相切. (1)求圆 O 的方程; (2)若圆 O 上有两点 M、N 关于直线 x+2y=0 对称,且

,求直线 MN 的方程;

(3) 圆 O 与 x 轴相交于 A、 B 两点, 圆内的动点 P 使|PA|、 |PO|、 |PB|成等比数列, 求 的取值范围. 考点: 直线与圆的位置关系;等比数列的性质;向量在几何中的应用.. 专题: 直线与圆. 分析: (1)利用点到直线的距离公式求出半径 r,从而求得圆 O 的方程. (2)用点斜式设出 MN 的方程为 y=2x+b,由条件求出圆心 O 到直线 MN 的距离等于 =1,由 1= ,

求出 b 的值,即可得到 MN 的方程. 2 2 2 (3)由题意可得|PA|?|PB|=|PO| ,设点 P(x,y) ,代入化简可得 x =y +2.由点 P 在圆内可得 x +y <4,可得 0≤y <1.化简 取值范围. 解答: 解: (1)半径 r=
2 2 2

=2(y ﹣1) ,从而求得

2



=2,故圆 O 的方程为 x +y =4.

2

2

(2)∵圆 O 上有两点 M、N 关于直线 x+2y=0 对称,故 MN 的斜率等于直线 x+2y=0 斜 率的负倒数,等于 2, 设 MN 的方程为 y=2x+b,即 2x﹣y+b=0. 由弦长公式可得,圆心 O 到直线 MN 的距离等于 =1.

由点到直线的距离公式可得 1=

,b=±

,故 MN 的方程为 2x﹣y±

=0.

(3)圆 O 与 x 轴相交于 A(﹣2,0) 、B(2,0)两点,圆内的动点 P 使|PA|、|PO|、 |PB|成等比数列, 2 ∴|PA|?|PB|=|PO| ,设点 P(x,y) , 则有
2

?
2 2

=x +y ,化简可得 x =y +2.

2

2

2

2

由点 P 在圆内可得 x +y <4,故有 0≤y <1. ∵ 即 =(﹣2﹣x,﹣y)?(2﹣x,﹣y)=x +y ﹣4=2(y ﹣1)∈[﹣2,0) . 的取值范围是[﹣2,0) .
2 2 2

点评: 本题主要考查等比数列的定义和性质,直线和圆的位置关系,两个向量的数量积的定 义,属于中档题.

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