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【步步高 学案导学设计】2014-2015学年高中数学(人教A版,必修一) 第三章函数的应用 3.1.2 课时作业]


3.1.2

用二分法求方程的近似解

课时目标 1.理解二分法求方程近似解的原理.2.能根据具体的函数,借助于学习工具, 用二分法求出方程的近似解.3.知道二分法是求方程近似解的一种常用方法,体会“逐步 逼近”的思想.

1.二分法的概念 对于在区间[a,b]上连续不断且____________的函数 y=f(x),通

过不断地把函数 f(x)的零 点所在的区间__________,使区间的两个端点 ______________,进而得到零点近似值的 方法叫做二分法.由函数的零点与相应方程根的关系,可用二分法来求 ________________________________________________________________________. 2.用二分法求函数 f(x)零点近似值的步骤: (1)确定区间[a,b],验证____________,给定精确度 ε; (2)求区间(a,b)的中点____; (3)计算 f(c); ①若 f(c)=0,则________________; ②若 f(a)· f(c)<0,则令 b=c(此时零点 x0∈________); ③若 f(c)· f(b)<0,则令 a=c(此时零点 x0∈________). (4)判断是否达到精确度 ε:即若|a-b|<ε,则得到零点近似值 a(或 b);否则重复(2)~(4).

一、选择题 1.用“二分法”可求近似解,对于精确度 ε 说法正确的是( ) A.ε 越大,零点的精确度越高 B.ε 越大,零点的精确度越低 C.重复计算次数就是 ε D.重复计算次数与 ε 无关 2.下列图象与 x 轴均有交点,其中不能用二分法求函数零点的是(

)

3. 对于函数 f(x)在定义域内用二分法的求解过程如下: f(2 007)<0, f(2 008)<0, f(2 009)>0, 则下列叙述正确的是( ) A.函数 f(x)在(2 007,2 008)内不存在零点 B.函数 f(x)在(2 008,2 009)内不存在零点 C.函数 f(x)在(2 008,2 009)内存在零点,并且仅有一个 D.函数 f(x)在(2 007,2 008)内可能存在零点

4.设 f(x)=3x+3x-8,用二分法求方程 3x+3x-8=0 在 x∈(1,2)内近似解的过程中得 f(1)<0,f(1.5)>0,f(1.25)<0,则方程的根落在区间( ) A.(1,1.25) B.(1.25,1.5) C.(1.5,2) D.不能确定 5.利用计算器,列出自变量和函数值的对应关系如下表: x 0.2 0.6 1.0 1.4 1.8 2.2 2.6 3.0 3.4 ? x y=2 1.149 1.516 2.0 2.639 3.482 4.595 6.063 8.0 10.556 ? 0.36 1.0 1.96 3.24 4.84 6.76 9.0 11.56 ? y=x2 0.04 x 2 那么方程 2 =x 的一个根位于下列哪个区间内( ) A.(0.6,1.0) B.(1.4,1.8) C.(1.8,2.2) D.(2.6,3.0) 1 x 6.已知 x0 是函数 f(x)=2 + 的一个零点.若 x1∈(1,x0),x2∈(x0,+∞),则( ) 1-x A.f(x1)<0,f(x2)<0 B.f(x1)<0,f(x2)>0 C.f(x1)>0,f(x2)<0 D.f(x1)>0,f(x2)>0 题 号 1 2 3 4 5 6 答 案 二、填空题 7.若函数 f(x)的图象是连续不间断的,根据下面的表格,可以断定 f(x)的零点所在的区间 为________.(只填序号) ①(-∞,1] ②[1,2] ③[2,3] ④[3,4] ⑤[4,5] ⑥[5,6] ⑦[6,+∞) x 1 2 3 4 5 6 f(x) 136.123 15.542 -3.930 10.678 -50.667 -305.678 8.用“二分法”求方程 x3-2x-5=0 在区间[2,3]内的实根,取区间中点为 x0=2.5,那么 下一个有根的区间是________. 9. 在用二分法求方程 f(x)=0 在[0,1]上的近似解时, 经计算, f(0.625)<0, f(0.75)>0, f(0.687 5)<0,即可得出方程的一个近似解为____________(精确度为 0.1). 三、解答题 10.确定函数 f(x)= log 1 x +x-4 的零点所在的区间.
2

11.证明方程 6-3x=2x 在区间[1,2]内有唯一一个实数解,并求出这个实数解.(精确度 0.1)

能力提升 12.下列是关于函数 y=f(x),x∈[a,b]的命题: ①若 x0∈[a,b]且满足 f(x0)=0,则(x0,0)是 f(x)的一个零点; ②若 x0 是 f(x)在[a,b]上的零点,则可用二分法求 x0 的近似值; ③函数 f(x)的零点是方程 f(x)=0 的根,但 f(x)=0 的根不一定是函数 f(x)的零点; ④用二分法求方程的根时,得到的都是近似值. 那么以上叙述中,正确的个数为( ) A.0 B.1 C.3 D.4 13.在 26 枚崭新的金币中,混入了一枚外表与它们完全相同的假币(重量稍轻),现在只 有一台天平,请问:你最多称几次就可以发现这枚假币?

1.能使用二分法求方程近似解的方法仅对函数的变号零点适用,对函数的不变号零点不 适用. 2.二分法实质是一种逼近思想的应用.区间长度为 1 时,使用“二分法”n 次后,精确 1 度为 n. 2 3.求函数零点的近似值时,所要求的精确度不同,得到的结果也不相同.精确度为 ε, 是指在计算过程中得到某个区间(a,b)后,若其长度小于 ε,即认为已达到所要求的精确 度,可停止计算,否则应继续计算,直到|a-b|<ε 为止.

3.1.2

用二分法求方程的近似解

知识梳理 1.f(a)· f(b)<0 一分为二 逐步逼近零点 方程的近似解 2.(1)f(a)· f(b)<0 (2)c (3)①c 就是函数的零点 ②(a,c)

③(c,b) 作业设计 1.B [依“二分法”的具体步骤可知,ε 越大,零点的精确度越低.] 2.A [由选项 A 中的图象可知,不存在一个区间(a,b),使 f(a)· f(b)<0,即 A 选项中的 零点不是变号零点,不符合二分法的定义.] 3.D 1+1.5 4.B [∵f(1)· f(1.5)<0,x1= =1.25. 2 又∵f(1.25)<0,∴f(1.25)· f(1.5)<0, 则方程的根落在区间(1.25,1.5)内.] 5.C [设 f(x)=2x-x2,根据列表有 f(0.2)=1.149-0.04>0, f(0.6)>0,f(1.0)>0,f(1.4)>0,f(1.8)>0,f(2.2)<0,f(2.6)<0,f(3.0)<0,f(3.4)<0.因此方程的 一个根在区间(1.8,2.2)内.] 1 1 6.B [∵f(x)=2x- ,f(x)由两部分组成,2x 在(1,+∞)上单调递增,- 在(1,+ x-1 x-1 ∞)上单调递增,∴f(x)在(1,+∞)上单调递增.∵x1<x0,∴f(x1)<f(x0)=0, 又∵x2>x0,∴f(x2)>f(x0)=0.] 7.③④⑤ 8.[2,2.5) 解析 令 f(x)=x3-2x-5,则 f(2)=-1<0,f(3)=16>0, f(2.5)=15.625-10=5.625>0. ∵f(2)· f(2.5)<0,∴下一个有根的区间为[2,2.5). 9.0.75 或 0.687 5 解析 因为|0.75-0.687 5|=0.062 5<0.1, 所以 0.75 或 0.687 5 都可作为方程的近似解. 10.解 (答案不唯一) 设 y1= log 1 x ,y2=4-x,则 f(x)的零点个数即 y1 与 y2 的交点个数,作出两函数图象,如
2

图.

由图知,y1 与 y2 在区间(0,1)内有一个交点, 当 x=4 时,y1=-2,y2=0,f(4)<0, 当 x=8 时,y1=-3,y2=-4,f(8)=1>0, ∴在(4,8)内两曲线又有一个交点. 故函数 f(x)的两零点所在的区间为(0,1),(4,8). 11.证明 设函数 f(x)=2x+3x-6, ∵f(1)=-1<0,f(2)=4>0, 又∵f(x)是增函数, ∴函数 f(x)=2x+3x-6 在区间[1,2]内有唯一的零点, 则方程 6-3x=2x 在区间[1,2]内有唯一一个实数解. 设该解为 x0,则 x0∈[1,2], 取 x1=1.5,f(1.5)≈1.33>0,f(1)· f(1.5)<0, ∴x0∈(1,1.5), 取 x2=1.25,f(1.25)≈0.128>0, f(1)· f(1.25)<0,∴x0∈(1,1.25), 取 x3=1.125,f(1.125)≈-0.444<0, f(1.125)· f(1.25)<0,∴x0∈(1.125,1.25),

取 x4=1.187 5,f(1.187 5)≈-0.16<0, f(1.187 5)· f(1.25)<0, ∴x0∈(1.187 5,1.25). ∵|1.25-1.187 5|=0.062 5<0.1, ∴1.187 5 可作为这个方程的实数解. 12.A [∵①中 x0∈[a,b]且 f(x0)=0,∴x0 是 f(x)的一个零点,而不是(x0,0),∴①错误; ②∵函数 f(x)不一定连续,∴②错误;③方程 f(x)=0 的根一定是函数 f(x)的零点,∴③错 误;④用二分法求方程的根时,得到的根也可能是精确值,∴④也错误.] 13.解 第一次各 13 枚称重,选出较轻一端的 13 枚,继续称; 第二次两端各 6 枚,若平衡,则剩下的一枚为假币,否则选出较轻的 6 枚继续称; 第三次两端各 3 枚,选出较轻的 3 枚继续称; 第四次两端各 1 枚,若不平衡,可找出假币;若平衡,则剩余的是假币. ∴最多称四次.


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