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一次函数与方程、不等式


19.2.3 一次函数与 方程、不等式

2015年5月6日 第1页

学习目标:
1 .认识一次函数与一元(二元)一次方程(组)、
一元一次不等式之间的联系。会用函数观点解


方程和不等式及其解(解集)的意义。 2 .经历用函数图象表示方程、不等式解的过程, 进一步体会“以形表示数,以数解释形”的数形结 合思想。

重点:
理解一次函数与二元一次方程(组)的联系。
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提出问题
1号探测气球从海拔5 m 处出发,以1 m/min 的速度 上升.与此同时,2 号探测气球从海拔15 m 处出发,以 0.5 m/min 的速度上升.两个气球都上升了1 h. 请用解析式分别表示两个气 球所在位置的海拔 y(m)与气球 上升时间 x(min)的函数关系.
气球1 海拔高度:y =x+5; 气球2 海拔高度:y =0.5x+15.
h1 h2

二元一次方程与一次函数有 什么关系?
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分析问题
一次函数

用方程观点看

二元一次方程
y -0.5x =15

y =0.5x+15

用函数观点看

二元一次方程 y =0.5x+15

从式子(数)角度看:
一次函数 二元一次方程

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分析问题
从形的角度看,二元一次 方程与一次函数有什么关 系?
(1)在同一坐标系中 画出以 y =0.5x+15 的解为 坐标的点组成的图形和一
10 y y =0.5x+15

15

次函数y =0.5x+15 的图象,
你有什么发现?
-5

5

O

5

10

x

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分析问题
从形的角度看,二元一 次方程与一次函数有什么 关系?
(2)一般地,以方程
y

y =0.5x+15

15

10

y =kx+b(其中k,b 为常数,
k≠0)的解为坐标的点组 成的图形与一次函数 y =kx +b 的图象有什么关系?
-5 O 5 10 5

x

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分析问题
从形的角度看:
以二元一次方程 y =kx+b(其中k,b为 常数,k≠0)的解为 坐标的点组成的图形

一次函数 y =kx+b的 图象

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解决问题
二元一次方程与一次函数的关系
直线 y O y =0.5x+15 x 点的坐标满 足的方程



点的坐标满足 以数对(x,y) 的函数关系 为坐标画点



一次函数 y = 0.5x+15

用方程 观点看

二元一次方程 y -0.5x =15 二元一次方程 y = 0.5x+15
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用函数观点看

拓展问题
什么时刻,1 号气球的高度赶上2 号气球的高 度?大家会从数和形两方面分别加以研究吗?

从数的角度看:
就是求自变量为何值时,两个 一次函数 y =x+5,y =0.5x+15 的函 数值相等,并求出函数值.
解方程组
h1

h2

{

y =x+5
y =0.5x+15 气球1 海拔高度:y =x+5 气球2 海拔高度:y =0.5x+15
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拓展问题
从形的角度看,二元一次方程组与一次 函数有什么关系? y
30

二元一次方程
组的解就是相应的 两个一次函数图象 的交点坐标.

25 20 15 10 5 O

y =0.5x+15

A(20,25)

y = x+ 5

5

10

15

20

x

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用一用
1、 下面三个方程有什么共同特点?你能从函数 的角度对解这三个方程进行解释吗? (1)2x+1=3;(2)2x+1=0;(3)2x+1=-1.
y

用函数的观点看:

3

y =2x+1

解一元一次方程 1 ax +b =c 就是求当函 2x +1=0 的解 数值为c 时对应的自 -2 -1 O 变量的值. 2x +1=-1 的解 -1

2

2x +1=3 的解 x 3 2 1

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用一用
2、下面三个不等式有什么共同特点?你能从函 数的角度对解这三个不等式进行解释吗?能把你得到的 结论推广到一般情形吗? (1)3x+2>2;(2)3x+2<0;(3) 3x+2 <-1. y

不等式ax+b>c的解集就是
使函数y =ax+b 的函数值大于c 的对应的自变量取值范围;

3 2 1 -1 O -1 1 y =3x+2 y =2 2 y3 =0 y =-1
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不等式ax+b<c的解集就是
使函数y =ax+b 的函数值小于c -2

x

的对应的自变量取值范围.

想一想
(1)在什么时候,1 号气球 比2 号气球高? (2)在什么时候,2 号气球 比1 号气球高?
h1 h2

气球1 海拔高度:y =x+5 气球2 海拔高度:y =0.5x+15

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想一想
气球1 海拔高度:y =x+5 气球2 海拔高度:y =0.5x+15
y 30 25 20 15 10 5 O
y = x+ 5 y =0.5x+15 A(20,25)

5

10

15

20

x

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当堂检测
1、 以方程2x-3y=6的解(x,y)为坐标的所 有点组成的图形是函数 的图 象 ;以方程x+y=4的解(x,y)为坐标的所有 点组成的图形是函数 的图象; 用函数观点看,解方程组 {
的含义是解得当自变量x取 函数 和函数 相同的函数值。
2x-3y=6 x+y=4

时, 有

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当堂检测
2、函数y=-3x+6,当x为何值时,对 应的函数值y (1)等于5? (2)小于5? (3)大于5?

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当堂检测
3、在同一坐标系中画出函数 y=0.5x+4和y=x+1的图象,并回答下 面问题: (1)当x为何值时,这两个函数的 函数值相等? (2)当x在什么范围内时,y=0.5x+4 的函数值大于y=x+1的函数值?
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课堂小结
(1)请用函数的观点,从数形两方面说说你对二元一

次方程有什么新的理解;
(2)请用函数观点,从数和形两个角度说说对二元一

次方程组的认识;
(3)请用函数的观点,说说你对一元一次方程有什么

新的认识;
(4)请用函数的观点,说说一次函数与一元一次不等

式的联系.
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作 业
课本第99~100页 第8,10,11,13 题.
请同学们认真完成作业!!
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