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数学高二(上)沪教版(数列、等差数列(二))教师版


学员编号: 学员姓名:

年 级:高二 辅导科目:数学

课时数:3 学科教师:





数列、等差数列

授课日期及时段 1、 掌握数列的相关概念 2、 掌握等差数列的定义,同项公式,求和公式 3、 掌握等差数列各种性质 教学内容 本份讲义适合基础比较好

的学生, 选题相对来说比较有难度综合性比较强。 但是也可以作为一般学生的第二次复习提 高使用。

教学目的

【知识梳理】
1、 数列的定义 数列,是按照一定顺序排列而成的一列数,从函数角度看,这种顺序法则就是函数的对应法则,因此数列可以看作是 一个特殊的函数,其特殊性在于:第一,定义域是正整数集或其子集;第二,值域是有顺序的,不能用集合符号表示。 研究数列,首先研究对应法则——通项公式:an=f(n),n∈N+,要能合理地由数列前 n 项写出通项公式,其次研
n ?1 ?S1 究前 n 项和公式 Sn:Sn=a1+a2+?an,由 Sn 定义,得到数列中的重要公式: a n ? ? 。 ?S n ? S n ?1 n ? 2

一般数列的 an 及 Sn,,除化归为等差数列及等比数列外,求 Sn 还有下列基本题型:列项相消法,错位相消法。 2、等差数列 (1)定义,{an}为等差数列 ? an+1-an=d(常数) ,n∈N+ (2)通项公式:an=an+(n-1)d,an=am+(n-m)d; 前 n 项和公式: Sn ? na1 ?

n(a 1 ? a n ) n(n ? 1) ; d? 2 2

(3)性质: (先让学生总结,老师再进行补充) a.an=an+b,即 an 是 n 的一次型函数,系数 a 为等差数列的公差; b.Sn=an +bn,即 Sn 是 n 的不含常数项的二次函数; c.若{an},{bn}均为等差数列,则{an±bn},{kan+c}(k,c 为常数)均为等差数列; d.当 m+n=p+q 时,am+an=ap+aq,特例:a1+an=a2+an-1=a3+an-2=?;当 2n=p+q 时,2an=ap+aq; e.当 n 为奇数时,S2n-1=(2n-1)an;S 奇=
n ?1 n ?1 a 中,S 偶= a中; 2 2
2

f.若数列中含有偶数项(2n 项) ,则 s偶 ? s奇 ? nd ; g. sn , s2n ? sn , s3n ? s2n 成等差数列,且公差为 n d 。
2

(4)等差数列判断的方法: (先让学生总结,老师再进行补充) a.定义法:an+1-an=d(常数) ? {an}为等差数列;
1

b.中项公式法:2an=an-1+an+1(n≥2,n∈N+) ? {an}为等差数列; c.通项公式法:an=an+b,即 an 是 n 的一次型函数,则{an}为公差是 a 的等差数列; d.前 n 项和公式法: Sn=an +bn,即 Sn 是 n 的不含常数项的二次函数,则{an}为等差数列。
2

【典型例题分析】
例 1、已知数列 解析: 的前 项和 ,当 时, ,数列 的每一项都有 ,求数列 的前 项和 .

. 又当 ∴ 数列 , 的通项公式为 是首项为 9,公差为 的等差数列. . .

故数列 在 当 ∴

中. 由二次函数的性质知, 时, 最大(若令 则 ). 而 .

的前五项为正,

故 公差为 2 的等差数列,



从第 6 项起又组成一个首项为 1,

其和为 又 故当 时, . .

综合上述,可得数列 点评 和

的前 项和

为 的前五项为正,从第六项起为负,所以 的前 项

对于数列的问题要注意从函数的观点去认识.因为 只能用分段函数加以表述.

变式练习:已知数列{an}的前 n 项和 Sn=12n-n2,求数列{|an|}的前 n 项和 Tn.(只是数值上有所改变,让学生独立完
2

成) 解析:由 Sn=12n-n2 知 Sn 是关于 n 的无常数项的二次函数(n∈N*) ,可知{an}为等差数列,求出 an,然后再判断哪 些项为正,哪些项为负,最后求出 Tn. 解:当 n=1 时,a1=S1=12-12=11; 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=12n-n2-[12(n-1)-(n-1)2]=13-2n. ∵n=1 时适合上式, ∴{an}的通项公式为 an=13-2n. 由 an=13-2n≥0,得 n≤

13 , 2

即当 1≤n≤6(n∈N*)时,an>0;当 n≥7 时,an<0. (1)当 1≤n≤6(n∈N*)时, Tn=|a1|+|a2|+?+|an|=a1+a2+?+an=12n-n2. (2)当 n≥7(n∈N*)时, Tn=|a1|+|a2|+?+|an| =(a1+a2+?+a6)-(a7+a8+?+an) =-(a1+a2+?+an)+2(a1+?+a6) =-Sn+2S6=n2-12n+72. ∴Tn= ?
2 ? ?12n ? n 2 ? ?n ? 12n ? 72

(1 ? n ? 6, n ? N * ), (n ? 7, n ? N * ).

评述:此类求和问题先由 an 的正负去掉绝对值符号,然后分类讨论转化成{an}的求和问题. 例 2、等差数列{an}中,前 m 项的和为 77(m 为奇数) ,其中偶数项的和为 33,且 式。 解析: 利用前奇数项和和与中项的关系 令 m=2n-1,n∈N+

a1-am=18,求这个数列的通项公

?S 2n ?1 ? (2n ? 1)a n ? 77 2n ? 1 77 则 ? ∴ ∴ n=4∴ m=7 ? S ? ( n ? 1 ) a ? 33 n ? 1 33 n ? 偶
∴ an=11∴ a1+am=2an=22 又 a1-am=18∴ a1=20,am=2∴ d=-3∴ an=-3n+23 变式练习:已知一个等比数列首项为 1,项数是偶数,其奇数项之和为 85,偶数项之和为 170,求这个数列的公比和 项数。 解析:公比为 2,项数为 8 例 3、已知数列 ?an ? : 1, ? , ?
1 2 2 1 2 3 2 3 1 2 100 ? , ?, ? ??? , ? 3 3 100 100 100

求证:数列 ?an ? 为等差数列,并求它的公差
1 2 n 1? 2 ??? n ? 解析:①由条件, a n ? ? ? ? ? ? n n n 2 n?1 ? n ? n ?1 2 ? n 2

3

∴ a n?1 ?

n?2 n ? 2 n ?1 1 ;∴ an?1 ? an ? ? ? ?n ? 1? 2 2 2 2 1 2

故 ?an ? 为等差数列,公差 d ?

例 4、等差数列{an}中,a10<0,a11>0 且 a11>|a10|,Sn 为其前 n 项和,则 A.S1,S2,?,S10 都小于 0,S11,S12,?都大于 0 B.S1,S2,?,S19 都小于 0,S20,S21,?都大于 0 C.S1,S2,?,S5 都小于 0,S6,S7,?都大于 0 D.S1,S2,?,S20 都小于 0,S21,S22,?都大于 0

?a1 ? 9d ? 0, 解析:由题意知 ? ?a1 ? 10d ? 0,
可得 d>0,a1<0.又 a11>|a10|=-a10, ∴a10+a11>0.由等差数列的性质知 a1+a20=a10+a11>0, ∴S20=10(a1+a20)>0. 答案:B 例 5、 (1)设等差数列 {an } 的前 n 项和为 s n ,若 s4 ? 10,s5 ? 15, 则 a4 的最大值为 (2)设 s n 是数列 {an } 的前 n 项和,若

s3 1 s ? ,则 6 ? s6 3 s12
D





A

3 10

B

1 3

C

1 8

1 9

4?3 ? 3 5 4a1 ? d ? 10 ? ? ? ?a1 ? d ? 2 变形等 ? 解析: (1)设 {an } 公差为 d,则 ? 2 2 ,解得 d ? 1. 又因 s5 ? 5a3 ? 15得a3 ? 3 5 ? 4 ?5a ? ??a1 ? 2d ? ?3 d ? 15 ? 1 ? ? 2

由a4 ? a3 ? d ? 3 ? 1 ? 4 ,所以当 s4 ? 10,s5 ? 15时, a4取得最大值4
(2)解法一:设 sn ? an ? bn.则由
2

s3 9a ? 3b 1 ? ? , 得b ? 3a , s6 36a ? 6b 3

?

s6 36a ? 6b 54a 3 ? ? ? s12 144a ? 12b 180a 10 s3 1 s 3s 3 ? , 得 s6 ? 3s3 ,?d ? 3s3. 再由 6 ? 3 ? , s6 3 s12 10s3 10

解法二: s3 , s6 ? s3 , s9 ? s6 , s12 ? s9 成等差数列,设公差为 d,由

解法三: 设等差数列 {an } 的首项为 a 1 , 公差为 d,则由

s3 3a1 ? 3d 1 s 6a ? 15d 27d 3 ? ? ,? a1 ? 2d ,? 6 ? 1 ? ? s6 6a1 ? 15d 3 s12 12a1 ? 66d 90d 10

【课堂小练】
1、已知 S n 是 {an } 的前 n 项和,且有 S n ? 2an ? 1 ,则数列 {an } 的通项 an ? .

4

解析: an ? 2 n?1 , n 为正整数 2、一次展览会上展出一套由宝石串联制成的工艺品,如图所示.若按 照 这 种 规 律 依 次 增 加 一 定 数 量 的 宝石, 则第

n 件 工 艺 品 所 用 的 宝石数 为

颗 (结果用 n 表示).

第1件 解析: 2n ? 3n ? 1
2

第2件

第3件

第4件

3、设 Sn 是等差数列 ?an ? 的前 n 项和,若 a7 ? 2, 则 S13 的值为 a4 S7 A. 13 14 B.2 C. 7
13

D. 26
7

4、如果一个数列 ?an ? 满足 an ? an?1 ? h ,其中 h 为常数, n ? N *, n ? 2. 则称数列 ?an ? 为等和数列, h 为公和.已知等 和数列 ?an ? 中 a1=1,h=-3,则 a2010 = -4

5、等差数列 ?an ? 的前 n 项和 S n (n ? 1, 2, 3 ? ??) 当首项 a1 和公差 d 变化时,若 a5 ? a8 ? a11 是一个定值,则下列各数 中为定值的是 A、 S16 ( B、 S15 ) C、 S17 D、 S18
2 an ?1 ,把数列 {a n } 的各项排成如右图的三角形状。记 A( m , n) 为 an

6、已知实数数列 {a n } 中, a1 =1, a6 =32, a n? 2 ? 第 m 行从左起 第 n 个数,则 (1) A(12,5) =

a1
2 125
; 11 。

a 2 a3 a4

(2)若 A(m, n) ? A(n, m) ? 250 ,则 m+n=

a5 a6 a7 a8 a9
???

7、在等差数列 {an } 中,若 a3 ? a5 ? a7 ? a9 ? a11 ? 100 , 则3a9 ? a13 的值为_______40 8、某地区有 1500 万互联网用户,该地区某用户感染了某种病毒,假设该病毒仅在被感染的第 1 小时内传染给另外 2 个 用 户 , 若 不 清 除 病 毒 , 则 在 第 ( 223 ? 1.5 ? 107 ? 224 ).
223 ? 1

22

小 时 内 该 地 区 感 染 此 病 毒 的 用 户 数 为

9、在等差数列 {an } 中,若 a4 ? a6 ? a10 ? a12 ? 90 ,则 a10 ?

1 a14 ? 3

15。

10、已知命题: “若数列 {an } 为等差数列,且 an ? a, an ? b, (m ? n, m, n ? N ? ) ,则 am? n ?

b· n ? a· m ” ,现已知数列 n?m

5

{bn } (bn ? 0, n ? N ? ) 为等比数列,且 bm ? a, bn ? b, (m ? n, m, n ? N ? ) ,若类比上述结论,则可得 bm?n ?
b a· ( ) n?m a
11、 S n 为等差数列 { an } 的前 n 项和,若 a2 n ? 4n ? 1 ,则 S 2 n =
an 2n ? 1
Sn
n





解析:答 由 a2 n ? 4n ? 1 ,即 an ? nd ? 4n ? 1 ,得 an ? 2n ? 1 d , a1 ? d . an 2n ? 1 an 2n ? 1 2 2
Sn ? n(a1 ? an ) n 2 d (2n) 2 d S , S2n ? ? ? 4 S n .故 2 n =4. 2 2 2 Sn

评析:本题采用基本量法来作,但显然运算量会大上许多,本题可用特殊法处理 12、等差数列有如下性质,若数列 {an } 是等差数列,则当 bn ? 上述性质,相应地 {cn } 是正项等比数列,当数列 d n ?

a1 ? a 2 ? ? ? a n 时, 数列{bn } 也是等差数列;类比 n
时,数列 {d n } 也是等比数列。 n C1C 2?Cn

13、设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a6 ? a14 ? 20 ,则 S19=______________.190 14、 已知等差数列{an},其中 a1 ?

1 , a 2 ? a5 ? 4, a n ? 33, 则 n 的值为 3

_ 50

15、 图(1) 、 (2) 、 (3) 、 (4)分别包含 1 个、5 个、13 个、25 个第二十九届北京奥运会吉祥物“福娃迎迎” ,按同 样 的 方 式 构 造 图 形 , 设 第 n 个 图 形 包 含 f (n) 个 “ 福 娃 迎 迎 ”, 则 f (5) ? ;

f (n) ? f (n ? 1) ?

. (答案用数字或 n 的解析式表示) , 41 , 4( n ? 1)

16 、 定 义 运 算 符 号 : “

?

” ,这个符号表示若干个数相乘,例如:可将 1×2×3×?×n 记作

?i ,
i ?1

n

(n ? N ? ).记Tn ? ? ai ,其中 ai 为数列 {an }(n ? N ? ) 中的第 i 项.
i ?1

n

6

①若 an ? 2n ? 1 ,则 T4= ②若 Tn ? n 2 (n ? N ? ),则an ?

;105; .

n ? 1, a1 ? 1; n ? 2, a n ? (

n 2 ) n ?1

【课堂总结】
(1)数列的定义 (2)等差数列 (3)等差中项 (4)等差数列的通项公式,前 n 项和的求和公式 (5)等差数列的性质

【课后练习】
1、对数列 ?an ? ,若存在正常数 M,使得对任意正整数 n,都有 an ? M ,则称数列 ?an ? 是有界数列.下列三个数列:
n n 2n ? 3 1? ?1? 1 ; an ? ? an ? (1 ? 2 n ) ; an ? n ? ? ? ? ? 中,为有界数列的个数是 ????????????????(D ) 3 2 ?3 ?4? ?2?

(A)0

(B)1

(C)2

(D)3

2、在等差数列 ?an ? 中,若 a2 ? a4 ? a6 ? a8 ? a10 ? 80 ,则 a7 ? a8 的值为( A.4 B.6 C、8 D.10

1 2



由 a2 ? a4 ? a6 ? a8 ? a10 ? 80 ? 5a6 ? 80 ? a6 ? 16 , a7 ? 3、已知数列 {an } 的前 n 项和为 S n ?

1 1 1 a8 ? a6 ? d ? (a6 ? 2d ) ? a6 ? 8 ,故选 C. 2 2 2

1 n(5n ? 1) , n ? N ? ,现从前 m 项: a1 , a2 ,…, am 中抽出一项(不是 a1 , 2

也不是 am ) ,余下各项的算术平均数为 37,则抽出的是 A.第 6 项 B.第 8 项 C.第 12 项 D.第 15 项 (D )

4、在等比数列 {an }中, a5 a7 ? 6, a2 ? a10 ? 5, 则 A. ?

a18 ? a10
3 2

2 3 或? 3 2

B.

2 3

C.

D.

2 3 或 3 2

5、等差数列{an}共有 2n 项,其中奇数项的和为 90,偶数项的和为 72,且 a2n ? a1 ? ?33,则该数列的公差为 ( ) A.3 B.-3 C.-2 D.-1 )

6、 等差数列{an}、 {bn}的前 n 项和分别为 Sn、 Tn, 且 A.3 B.4 C.5

S n 7n ? 45 a , 则使得 n 为整数的正整数 n 的个数是 ( ? Tn n?3 bn
D.6

7

解析:

an (2n ? 1)an S2 n ?1 14n ? 38 7n ? 19 33 ? ? ? ? ? 7? bn (2n ? 1)bn T2 n ?1 2n ? 4 n?2 n?2
n ? 2 ? 1或3或11或33 ,
n ? 3或5或13或35 ;

7、已知首项为正数的等差数列{an}满足:a2005+a2006>0,a2005·a2006<0,则使前项 Sn>0 成立的最大自然数 n 是 A. 4009 B.4010 由 题 意 知 : 等 差 数 列 中 , 从 第 1 C. 4011 D.4012 项 到 第 2005 项 是 正 数 , 且 从 第 2006 项 开 始 为 负

4011(a1+a4011) 数,S4010=2005(a1+a4010)=2005(a2005+a2006)>0,S4011= =4011a2006<0, 故 n 的最大值为 4010. 2 另解:由题意可得:等差数列中,从第 1 项到第 2005 项是正数,且从第 2006 项开始是负数,则所有的正项的和为 Sn 的最大 值,即当 n=2005 时,取得最大值,显然 Sn 是关于 n 的缺常数项的二次函数,且开口向下,所以第 2005 项离对称轴最近,故其 对称轴介于 2005 到 2005.5 之间,又因为二次函数的图象与 x 轴的一个交点是(0,0),则设另一个交点(x,0),x 应介于 4010 到 4011 之间.所以使 Sn>0 的最大自然数是 4010,故选 B. 本小题结论可以推广成一般结论:等差数列中,a1>0,ak+ak+1>0,且 akak+1<0,则使前 n 项和 Sn>0 的最大自然数 n 是 2k.. 8、如图,在杨辉三角中,斜线 l 上方,从 1 开始箭头所示的数组成一个锯齿数列:1,3,3,4,6,5,10,?,记其前 n 项和为

Sn,则 S19 等于____________.

1 1 1 1 1 1 ? 283 5 4 10 3 6 10 2 3 4 5 1 1 1 1 1

? ? ? ? ? ? [ 解 析 ] 由 条 件 知 道 : 该 数 列 的 奇 数 项 分 别 为 1,3,6,10,15,21,28,36,45,55, ? , 偶 数 项 分 别 为 3,4,5,6,7,8,9,10,11,?,把奇数项的前 10 项与偶数项的前 9 项相加即得 S19=283.

9、下图是用同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设的若干图案,则按此规律第 n 个图案中需用黑色瓷砖___________ 块. (用含 n 的代数式表示)

解析:第(1) 、 (2) 、 (3)?个图案黑色瓷砖数依次为:15-3=12;24-8=16;35-15=20;? 由此可猜测第(n)个图案黑色瓷砖数为:12+(n-1)×4=4n+8 10、已知等差数列{an}中,a2+a8=8,则该数列前 9 项和 S9 等于( A.18 B.27 C.36 D.45 ) 。

C 解:在等差数列{an}中,a2+a8=8,∴ a1 ? a9 ? 8 ,则该数列前 9 项和 S9=

9(a1 ? a9 ) =36, 2

8

故选择答案 C 11、探索以下规律: 0 1 3 2 4 5 7 6 8 9 ) 11 10 ?? ,

则根据规律, 从 2006 到 2008,箭头的方向依次是(

A

B

C

D

12、 设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn (n ? N * ) ,关于数列 {an } 有下列三个命题: ①若数列 {an } 既是等差数列又是等比数列,则 an ? an?1 ; ②若 S n ? an2 ? bn (a, b ? R) ,则数列 {an } 是等差数列; ③若 Sn ? 1 ? (?1)n ,则数列 {an } 是等比数列. 这些命题中,真命题的个数是 A.0 B.1 解析:D C.2 D.3

2 2 2 ①不妨设数列 {a n } 的前三项为 a ? d , a, a ? d ,则其又成等比数列,故 a ? a ? d ,∴ d ? 0 ,即

an ? an?1 ;②由 Sn 的公式,可求出 an ? (2n ? 1)a ? b ,故 {an } 是等差数列;③由 Sn 可求由 an ? 2(?1)n?1 ,故
数列 {an } 是等比数列. 故选 D . 【总结点评】本题主要考查等差、等比数列的概念, Sn 与 an 的关系,思维的灵活性. 13、数列 {an } 满足: a1 ? 1, an?1 ?

2an (n ? N ) . an ? 2

(1)求证:数列 {

1 (2)求 {an } 的通项公式. } 是等差数列; an

分析:注意是到证明数列 {

a ?2 1 1 1 1 1 1 1 是常数.而 ,所以 } 是等差数列,则要证明 ? ? ? .即 ? n an a n ?1 a n a n ?1 a n 2 a n ?1 2a n

数列 {

2 1 1 n ?1 1 1 } 是等差数列.又 ? 1 ,则 ? 1 ? (n ? 1) ? ,所以 a n ? . n ?1 an 2 2 an a1

14、数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? na ? n(n ?1)b (n ? N ) ,a,b 是常数,且 b ? 0.
*

⑴证明:

?an ? 是等差数列;

9

⑵证明以 (an ,

Sn ? 1) 为坐标的点 Pn 都落在同一条直线上,并求出此直线的方程. n

⑴证明:∵a1=S1=a,∵当 n ≥ 2 时, an ? Sn ? Sn?1 =[ na+n(n-1)b]-[(n-1)a+(n-1)(n-2)b]= a+(n-1) 2b(a1 也符合此形式) ∴数列{an}是以 a 为首项,公差为 2b 的等差数列. ⑵证明: ∵b ? 0, ?an ? 是等差数列,当 n≥2 时, Pn (an , ∵ kPn P1 ? n ∴以 Pn (an ,
( Sn ? 1) ? ( S1 ? 1) an ? a1

Sn ? 1) , P1 (a1, S1 ?1) 即 P1 (a, a ? 1) n

na ? n(n ? 1)b ? na n(n ? 1)b 1 = Sn ? nS1 = = = . n[a ? (n ? 1) ? 2b ? a] 2n(n ? 1)b 2 n(an - a1 )

1 Sn ? 1) 为坐标的点都在过点 (a, a ? 1) ,斜率为 的直线上, 2 n 此直线的方程为:x-2y+a-2=0.

10


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