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平面向量的数量积的物理背景及其含义(吴普林)


§2.4.1 平面向量的数量积的物理背景及其含义 吉 林 大 学 附 属 中学 吴 普 林
一、教材分析 本节课选自《普通高中课程标准实验教科书·必修 4》 (A 版)2.4.1 平面向量的数量积 的物理背影及其含义. 平面向量的数量积的是继向量的线性运算之后的又一重要运算, 是平面向量的核心内容。 向量的平行、垂直关系是向量间最基本、最重要的位置关系,而向量的夹角、距

离又是向量 的重要数量特征,向量的数量积恰好是解决问题的一个重要工具。 数量积既是对物理背景的抽象,又是研究性质和运算律的基础。同时也因为在这个概念 中,既有长度又有角度,既有形又有数,是代数、几何与三角的最佳结合点,不仅应用广泛, 而且很好的体现了数形结合的数学思想,使得数量积的概念成为本节课的核心概念,自然也 是本节课教学的重点之一。 二、学生学习情况分析 1.有利因素 学生在学习本节内容之前,已熟知了实数的运算体系,掌握了向量的概念及其线性运算, 具备了功等物理知识,并且初步体会了研究向量运算的一般方法:即先由特殊模型(主要是 物理模型)抽象出概念,然后再从概念出发,在与实数运算类比的基础上研究性质和运算律。 这为学生学习数量积做了很好的铺垫,使学生倍感亲切。 2.不利因素 一方面,相对于线性运算而言,数量积的结果发生了本质的变化,两个有形有数的向量 经过数量积运算后,形却消失了,学生对这一点是很难接受的;另一方面,由于受实数乘法 另 运算的影响,也会造成学生对数量积理解上的偏差,特别是对性质和运算律的理解。因而本 节课教学的难点之一也是数量积的概念。 三、教学目标设计 课标要求:通过物理中“功”等事例,理解平面向量数量积的含义及其物理意义;体会 平面向量的数量积与向量投影的关系. 1.知识与技能目标 ⑴了解平面向量数量积的物理背景,理解数量积的含义及其物理意义; ⑵体会平面向量的数量积与向量投影的关系,掌握数量积的性质和运算律,并能运用性 质和运算律进行相关的运算和判断. 2. 过程与发展目标 体会类比的数学思想和方法,进一步培养学生抽象概括、推理论证的能力。 3.情感、态度和价值观目标 感受数量积与物理学科和生活实的密切关系,增强应用意识和对数学的热爱. 四、教学重点、难点分析 重点:平面向量的数量积的概念和性质; 难点:平面向量的数量积的定义及对运算律的探究、理解. 从上面的教材分析可以看出,数量积的概念既是本节课的重点,也是难点。为了突破这 一难点,首先无论是在概念的引入还是应用过程中,物理中“功”的实例都发挥了重要作用。 其次,作为数量积概念延伸的性质和运算律,不仅能够使学生更加全面深刻地理解概念,同 时也是进行相关计算和判断的理论依据。最后,无论是数量积的性质还是运算律,都希望学 生在类比的基础上,通过主动探究来发现,因而对培养学生的抽象概括能力、推理论证能力 和类比思想都无疑是很好的载体。
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五、教法与学法分析 1.教法分析 注重知识的发生和发展过程的展现,从数学和物理两个角度创设问题情景,通过数量积 的几何意义使学生从代数和几何两个方面对数量积的“质变”特征有了更充分的认识。以问 题设计为导向,以知识为载体,引导学生积极思维,循循善诱,发展学生的思维能力。以探 究的方式概括出平面向量数量积的性质和运算律,体会其是实数乘积概念的延伸,培养了学 生由特殊到一般的思维品质和类比创新的意识。 2.学法分析 《高中数学课程标准》指出: “有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆,动手实 践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式” 为此,结合本节课的教学内容,教 , 学中注重过程、方法,注重引导学生自觉去看书,不断提出问题,研究问题,并解决问题。 重视在师生,生生互动、交流的过程中渗透情感态度与价值观。 六、教学用具分析 PPT 课件 七、教学过程分析 教学环节 设计意图 (一)创设情景,引出新课 1、请同学们回顾一下,我们已经研究了向量的哪些运算?这 些运算的结果是什么? 2、请同学们继续回忆,我们是怎么引入向量的加法运算的? 我们又是按照怎样的顺序研究了这种运算的? (物理模型→概念→性质→运算律→应用) 3、新课引入:本节课我们仍然按照这种研究思路来研究向量 的另外一种运算——平面向量数量积。 (二)探究数量积的概念 1.回忆物理中“功”的计算,若一个物体在力 F 的作用下产 生的位移为 S ,那么力 F 所做的功 W 等于多少?
W ? F s co s ?

1.明白新旧知识的联系 性。 2.明确研究向量的数量 积这种运算的途径。

1. 认 识 向 量 的 数 量 积 的实际背景。 2. 使 学 生 在 形 式 上 认 识数量积的定义。 3. 从 数 学 和 物 理 两 个

(其中 ? 是 F 和 S 的夹角)

2.功是一个矢量还是标量?它的大小由那些量来确定? 3.抽象概括出“数量积”的定义:
? ? 已知两个非零向量 a 与 b , 把数量 ? ? ? ? 积(或内积) ,记作: a ? b ,即 a ? b ?
? a ? a ? b co s ? ? b co s ?

? 叫做 a

? 与b

的数量 角度创设问题情景,使学 数
? ?

(其中 ? 是 a 与 b

生明白为什么研究这种运 算,从而产生强烈的求知

的夹角) 4.定义剖析:

欲望. 4. 澄清实数运算与 “数 ⑴记法“ a · b ”中间的“· ”有特殊含义,特指“数量积” 量积”运算上的混淆,明 这种向量间的运算。不同于实数运算中的“·,一般不能省略, 确概念的含义与结构,以 ” 也不能写成“ ? ” ; 及结果的特征。 ⑵ a ? b 的结量还是向量,而 a · b 的结果是一个数; ⑶规定:零向量 0 与任何向量的数量积为实数零。
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?

?

?

这个问题教材是这样 ⑴向量的夹角:找向量的夹角时,应将两向量的起点平移到 安排的:在给出向量数量 夹 同一个点上。学生计论,并完成下表: 积的概念后,只介绍了向 量投影的定义,直到讲完 θ 的范围 0°≤θ <90° θ =90° 90°<θ ≤180° 例 1 后,为了证明运算律 的第三条才直接以结论的 a · b 的正负 形式呈现给学生。这里将 ⑵向量投影的概念:如图,我们把│ b │cosθ(│ a │cosθ) 数量积的几何意义提前, 叫做向量 b 在 a 方向上( a 在 b 方向上)的投影. 投 使学生从代数和几何两个 方面对数量积的特征有了 说明:投影是一个数,可以是正数、负数或零. ⑶数量积的几何意义: 数量积 a ·b 等于 a 的长度︱ a ︱与 b 在 更加充分的认识。
a

(三)数量积的几何意义

的方向上的投影︱ b ︱cosθ 的乘积. (四)数量积的性质(学生自学,归纳总结) ? ? ? ? ? ? 1. a ? b ? a ? b ? 0 ( a 与 b 都是非零向量) ; 思考:若 a ? b ? 0 ,能否得到 a ? 0或 b ? 0 ?
? ? ? ? ? ?

培养学生的阅读能力和 及时进行归纳小结的学习 ? ? ? ? ? ? ? ? 2.当向量 a 与 b 共线同向时,a ? b ? a b ;当向量 a 与 b 共线反 习惯。把课堂还给学生, 体现师生间的合作探究, ? ? ? ? 向时, a ? b ? ? a b . 不管是老师还是课件,都 是为学生服务的,都在同 ? ? ?2 ? 2 2 2 特别地 a ? a ? a ? a (类比: a ? a ) 类 ,这是求向量长度的 步配合学生的学习和探 索。 又一重要方法。
3. a ? b ? a ? b
? ? ? ?

(五)数量积的运算律
b c 1. 已知向量 a 、 、 和实数 ? , 则 ? ? ?

? ? ? ? (1) a ? b ? b ? a ? ? ? ? ? ? (2) (? a ) ? b ? ? (a ? b ) ? a ? (? b ) ? ? ? ? ? ? ? (3) ( a ? b ) ? c ? a ? c ? b ? c

2.证明运算律: 在证明的处理上,采用 ⑴⑵的证明交给学生完成。在证明⑵时,学生可能只考虑到 λ >0 的情况,为了帮助学生完善证明,提出以下问题:当λ <0 时, 有收有放的方式,使学生 在证明中熟练对数量积概 向量 与λ , 与λ 的方向 的关系如何?此时,向量λ 与 念的理解。 最后,通过“思考”的 及 与λ 的夹角与向量 与 的夹角相等吗? 设计,进一步澄清与“实 ⑶的证明对学生来说是比较困难的,为了节约课时,这个证明 数乘积”的区别,同事也 由师生共同完成,我想这也是教材的本意。 加深对“数量积”概念的 理解。 ? ? ? ? ? ? 思考:由 a ? b ? b ? c 能否推出 a ? c

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(六)例题教学,巩固反馈
b 1.已知︱ a ︱=5,︱ b ︱=4, a 与 b 的夹角 θ=120° ,求 a ·

2.我们知道:对任意的 a , b ? R ,恒有
( a ? b ) ? a ? 2 a b ? b , ( a ? b )( a ? b ) ? a ? b ? a , b 是否也有以下结论:
2 2 2 2 2

以定义和运算为主,同 时注意与实数积和实数运 算律相区分。

,对任意的向量

b ⑴( a + b )2= a 2+2 a · + b 2 ⑵( a + b )·a - b )= a 2- b 2 ( ? ? ? ? ? ? ? ? 3.已知 | a |? 6, | b |? 4, a 与 b 的夹角为 60°,求 ( a ? 2 b ) ? ( a ? 3 b )

(七)小结 1、本节课我们学习的主要内容是什么? 2、类比向量的线性运算,我们还应该怎样研究数量积? 3、数量积与实数乘积的区别,举例说明. (八)评价与作业 1.判断下列各题正确与否:
b ⑴若 a ≠ 0 ,则对任一非零向量 b ,有 a · ≠0.

?

引发学生的探究和思 考,使学生对本节课的知 识能灵知掌握。

c b ⑵若 a ≠ 0 , a · = a · ,则 b = c .
b 2. 思考: 已知△ABC 中,AB = a , AC = b , a · <0 或 a · 当 b

?

=0 时,试判断△ABC 的形状。 八、教学设计说明 本节课从总体上说是一节概念教学,从数学和物理两个角度创设问题情景来引入数量积 概念能激发学生的学习兴趣。通过安排学生讨论影响数量积结果的因素并完成表格和将数 量积的几何意义提前有助于学生更好理解数量积的结果是数量而不是向量。数量积的性质 和运算律是数量积概念的延伸,这两方面的内容按照创设一定的情景,让学生自己去探究、 去发现结论,教师明晰后,再由学生或师生共同完成证明。这样能更清楚地看到数学法则与 法则间的联系与区别,体会法则学习研究的重要性,例题和练习的选择都是围绕数量积的概 念和运算律展开的,这能使学生更好在掌握概念法则.

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