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辽宁省沈阳二中2014-2015学年高二数学下学期期中试题 文


沈阳二中 2014——2015 学年度下学期期中考试 高二(16 届)数学试题(文科)
说明:1.测试时间:120 分钟 总分:150 分

2.客观题涂在答题纸上,主观题答在答题纸的相应位置上. 第Ⅰ卷 (60 分)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的. 1.“金导电、银导电、铜导电、铁导电、锡导电,金、银、铜、铁、锡都是金属,所以一 切金属都导电”.此推理方法是( A.完全归纳推理 B.归纳推理
2

) C.类比推理
2

D.演绎推理 )

2. 设 i 是虚数单位,“ a ? 1 ”是“复数 (a ? 1) ? (a ? 3a ? 2)i 是纯虚数”的( A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

3.用反证法证明命题: “三角形的内角中至少有一个不大于 60 度”时,假设正确的是( A.假设三内角至多有一个大于 60 度 C.假设三内角至多有两个大于 60 度 B.假设三内角都大于 60 度 D.假设三内角都不大于 60 度 )

)

4. 已知 a ? 1? 7, b ? 3 ? 5, c ? 4 则 a,b,c 的大小关系为( A. c ? b ? a B. c ? a ? b C. a ? b ? c

D. b ? c ? a

5.某同学进入高三后,4 次月考的数学成绩的茎叶图如右图,则该同学 数学成绩的方差是( A.45 B.180 ) C. 6 5 D. 3 5 ) 2 2 2 3 1 3

6.某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的体积是(

8 A. 3
B. 4 C. 2 D.

正(主)视图

侧(左)视图

4 3
俯视图 1

? x ? y ? 1 ? 0, ? x?2 y 7.若实数 x , y 满足 ? x ? y ? 0, ,则 z ? 3 的最大值是( ? x ? 0, ?
A. 1 B. 2 C. 3 D. 9



8.函数 y ? f ( x) 的图象如图所示,则导函数 y ? f ?( x) 的图象可能是(



9.已知抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点 F 恰为双曲线 且两曲线交点的连线过点 F ,则双曲线的离心率为(

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右焦点, a 2 b2


A .2? 2

B. 2

C .2

D . 1? 2

10.已知 A, B, C 三点的坐标分别是 A(3, 0) , B(0,3) , C (cos ? ,sin ? ) , ? ? ( 若 AC ? BC ? ?1 ,则

? 3?
2 , 2

),

1 ? tan ? 的值为( ) 2sin 2 ? ? sin 2? 5 9 A. ? B. ? C.2 D. ? 2 9 5 1 1 1 11.已知 a ? 0, b ? 0, a, b 的等差中项为 ,且 M ? a ? , N ? b ? ,则 M ? N 的最小 2 a b
值为( A.3 ) B.4 C.5 D.6

??? ? ??? ?

12.已知函数 y ? f ? x ? 是定义在 R 上的奇函数,且当 x ? 0 时,不等式 f ( x ) ? xf ?( x ) ? 0 成 立, 若 a ? 3
0.3

1 1 f (30.3 ) , b ? (log? 3) f (log? 3) , c ? (log 3 ) f (log 3 ) ,则 a, b, c 的 9 9
B. c ? b ? a 第Ⅱ卷 C. c ? a ? b (90 分) D. a ? c ? b

大小关系( ) A. a ? b ? c

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中横线上.

13. 复数 z 满足 (?1 ? i) z ? (1 ? i) ,其中 i 为虚数单位,则在复平面上复数 z 的共轭复数 z
2

对应的点位于第

象限。

2

14.运行如图的程序框图,输出的结果是



15.已知结论: “在三边长都相等的 ?ABC 中,若 D 是 BC 的中点, G 是 ?ABC 外接圆的 圆心,则

AG ?2” .若把该结论推广到空间,则有结论: “在六条棱长都相等的四面体 GD

ABCD 中,若 M 是 ?BCD 的三边中线的交点, O 为四面体 ABCD 外接球的球心,则

AO ? OM

” 。

16.设 f ( x) ? ( x ? a)( x ? b)( x ? c) ( a, b, c 是两两不等的常数 ),则 的值是 。

a b c ? ? f ?(a ) f ?(b) f ?(c)

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

17.(本小题满分 10 分)

为了解某市民众对政府出台楼市限购令的情况,在该市随机抽取了 50 名市民进行调 查,他们月收人(单位:百元)的频数分布及对楼市限购令赞成的人数如下表:

将月收入不低于 55 的人称为“高收人族”,月收入低于 55 的人称为“非高收入族”. (Ⅰ)根据已知条件完成下面的 2x2 列联表,问赞成楼市限购令与收入高低是否有关?

(Ⅱ)现从月收入在[15, 25)的人中随机抽取两人, 所抽取的两人都赞成楼市限购令的概率. 附: x ?
2

n(n11n22 ? n12 n21 )2 p( x 2 ? k ) 0.05???0.01 ) , n1? n2? n?1n?2 k 3.841????????
3

18.(本小题满分 12 分)

己知函数 f ( x ) ? 2sin x cos (Ⅰ)求 ? 的值;

2

?
2

? cos x sin ? ? sin x(0 ? ? ? ? ) 在 x ? ? 处取最小值.

(Ⅱ)在△ABC 中,a、b、c 分别是 A、B、C 的对边,已知 a ? 1 , b ? 求角 C.

2 , f ( A) ?

3 , 2

19. (本小题满分 12 分)

?ACB ? 90 ,E 是棱 CC1 上的动点,F 是 AB 中点 , 如图, 在直三棱柱 ABC ? A 1B 1C1 中,
?

AC ? BC ? 2 , AA 1 ? 4.
(Ⅰ)求证: CF ? 平面 ABB1 ; (Ⅱ)试确定点 E 的位置,使得 CF ∥面 AEB1 .

20. (本小题满分 12 分)

x2 y2 6 平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C: 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )的离心率为 ,焦点为 F1 、 a b 3

F2 ,直线 l : x ? y ? 2 ? 0 经过焦点 F2 ,并与 C 相交于 A、B 两点.
(Ⅰ)求 C 的方程; (Ⅱ)在 C 上是否存在 C、D 两点,满足 CD ∥ AB , FC ? F1D ,若存在,求直线 CD 的方 1 程; 若不存在,说明理由.

4

21. (本小题满分 12 分)

已知数列 ?an ? , ?bn ? 满足 a1 ? (Ⅰ)求 b1 , b2 , b3 , b4 ; (Ⅱ)设 cn ?

1 bn . , an ? bn ? 1, bn?1 ? 4 (1 ? an )(1 ? an )

1 ,证明数列 ?cn ? 是等差数列; bn ? 1

(Ⅲ)设 Sn ? a1a2 ? a2a3 ? a3a4 ? ... ? anan?1 ,不等式 4aSn ? bn 恒成立时,求实数 a 的取 值范围.

22. (本小题满分 12 分)

已知 a ? 0 ,函数 f ( x ) ?

1 2 3 2 a x ? ax 2 ? , g ( x ) ? ?ax ? 1, x ? R. 3 3

(Ⅰ)当 a ? 1 时,求函数 f ( x ) 在点(1, f (1) )的切线方程; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 在[-1,1]的极值; (Ⅲ)若在 ? 0 ,

? ?

1? ? 上至少存在一个实数 x0,使 f ( x0 ) ? g( x0 ) 成立,求正实数 a 的取值范围. 2?

5

沈阳二中 2014——2015 学年度下学期期中考试 高二(16 届)数学试题(文科)答案 一.选择题 1 B 2 C 3 B 4 A 14.510 5 A 15. 3 6 B 7 D 16. 0 8 D 9 D 10 B 11 C 12 C

二.填空题 13. 一 三.解答题 17. 解(Ⅰ) 赞成 不赞成 总计
2

非高收入族 29 11 40

高收入族 3 7 10

总计 32 18 50

50 ? (29 ? 7 ? 11? 3) 2 ? ? ? 6.272 ? 3.841 32 ?18 ? 40 ?10
我们有 95%的把握认为赞成楼市限购令与收入高低有关 ???????5 分

(Ⅱ)月收入在[15,25)的人有 4 人赞成 1 人不赞成分别记为 A 1, A 2, A 3, A 4, a 从中选出两人有 10 种结果,分别为:

( A1, A2 ) ( A1, A3 ) ( A1, A4 ) ( A1 , a) ( A2 , A3 ) ( A2 , A4 ) ( A2 , a) ( A3 , A4 ) ( A3 , a) ( A4 , a)
两人都赞成楼市限购令的有 6 种可能 两人都赞成楼市限购令的概率为 18(Ⅰ) f ( x ) ? 2sin x ?

1 ? cos ? ? cos x sin ? ? sin x 2

3 5

???????10 分

? sin x ? sin x cos ? ? cos x sin ? ? sin x ? sin( x ? ? ) ????????????3 分
因为 f ( x ) 在 x ? π 处取得最小值,所以 sin( x ? ? ) ? ?1 ,故 sin ? ? 1 , 又 0 ? ? ? π 所以 ? ?

π ?????6 分 2 π 2

(Ⅱ)由(1)知 f (x) ?sin( x ? ) ? cos x ,因为 f ( A) ? cos A ? 所以 A ?

3 ,且 A 为 ? ABC 内角, 2

b sin A 2 π π 3π ? 由正弦定理得 sin B ? ,所以 B ? 或 B ? .??????9 分 a 2 6 4 4 π 7π 3π π 当 B ? 时 C ? ? ? A? B ? ,当 B ? 时C ? π ? A? B ? . 4 12 4 12 7π π 综上, C ? ??????????????????????12 分 或C ? 12 12
19.(Ⅰ)证明:∵三棱柱 ABC ? A 1B 1C1 是直棱柱,∴ BB 1 ? 平面 ABC .

6

又∵ CF ? 平面 ABC ,∴ CF ? BB1 .
? ∵ ?ACB ? 90 , AC ? BC ? 2 , F 是 AB 中点,∴ CF ? AB .

又∵

BB1 ∩ AB ? B , ∴ CF ? 平面 ABB1 .

???6 分

(Ⅱ)点 E 为 CC1 的中点,证明如下。 取 A1B1 的中点,记为 M 。连接 FM , MC1 。设 AB1 ? FM ? N ∵ FM ∥ CC1 ,且 FM = CC1 ∴四边形 CC1MF 是平行四边形 ∵ CF ∥面 AEB1 ∴ CF ∥ EN ∵ N 是MF 的中点 ∴ E 是 CC1 的中点 ???12 分 ,

CF ? 面CC1MF , 面CC1MF ? 面 AEB1 =EN

20. (Ⅰ)依题意 F2 (2 , 0) , c ? 2 ??2 分,由 e ?

c 6 得 a ? 6 ??????3 分 ? a 3

b ? a2 ? c2 ? 2 ,椭圆的方程为

x2 y2 ? ? 1 ???????4 分 6 2

⑵(方法一)若存在满足条件的直线 CD ,∵ CD / / AB ,∴ kCD ? k AB ? ?1, 设直线 CD 的方程为 y ? ? x ? m ???????5 分

? x2 y2 ?1 ? ? 2 2 由? 6 ??6 分,得 4 x ? 6mx ? (3m ? 6) ? 0 ,???????7 分 2 ? ? y ? ?x ? m

? ? (?6m)2 ? 4 ? 4 ? (3m2 ? 6) ? 96 ? 12m2 ? 0 (*)???????8 分
设 C ( x1 , y1 ) , D( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? 若线段 CD 的中点为 E ,则 E (

3m 3m2 ? 6 , x1 x2 ? ???????9 分 2 4

x1 ? x2 y ? y2 3m m , 1 ) 即 E( , ) 2 2 4 4

7

由已知 FC 则 FE ? F1D , ? C D 1 1

, k F1E

m 1 4 ? 1, 由 k F1E ? ?? ? 1 ,F1 (?2 , 0) , 3m kCD ?2 4

解得 m ? ?4 ???????10 分

m ? ?4 时, 96 ? 12m2 ? ?96 ? 0 ,与(*)矛盾,∴不存在满足条件的直线 CD ?12 分
( 方 法 二 ) 假 设 存 在 C ( x1 , y1 ) , D( x2 , y2 ) , 线 段 CD 的 中 点 为 E ( x0 , y0 ) , 则

? x12 y12 ? ?1 ? x1 ? x 2 y 1? y 2 y1 ? y2 ? 6 2 x0 ? , y0 = , 两式相减得 ? ?1 由 ? 2 2 2 2 x1 ? x2 ? x2 ? y 2 ? 1 ? 2 ? 6
1 1 1 ( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ? 0 代入、化简得: x0 ? y0 ? 0 ① 6 2 3
由 FC ? F1D ,则 F1E ? CD , k F1E ? ? 1 由①②解得 x0 ? ?3,

1 y0 ? 1 由 k F1E ? ? 1得, y0 ? x0 ? 2 ② kCD x0 ? 2

1) 直线 CD 的方程为: y ? ?( x ? 4) ??10 分 y0 ? ?1,即 E (?3, ?

? x2 y2 ?1 ? ? 2 2 联立 ? 6 得 4 x ? 24 x ? 42 ? 0 ,∵ ? ? 24 ? 4 ? 4 ? 42 ? ?96 ? 0 , 2 ? ? y ? ?x ? 4
方程组无解,∴不存在满足条件的直线 CD ???????12 分

bn?1 ?
21. 解: (1)

bn bn 1 1 3 ? ? a ? ,b ? (1 ? an )(1+an ) bn (2 ? bn ) 2 ? bn ∵ 1 4 1 4 ∴

b2 ?

4 5 6 , b3 ? , b4 ? 5 6 7 ??3 分

bn ?1 ? 1 ?
(Ⅱ)∵ ∴数列{ ∴

1 1 2 ? bn 1 ?1 ? ? ?1 ? 2 ? bn b ? 1 bn ? 1 bn ? 1 ∴ n ?1

cn }是以-4 为首项,-1 为公差的等差数列.

cn ? ?4 ? (n ? 1) ? (?1) ? ?n ? 3 .?????6 分
cn ? 1 1 n?2 ? ?n ? 3 bn ? an ? 1 ? bn ? bn ? 1 n ? 3 ,从而 n ? 3 ????7 分 ,所以

(Ⅲ)由于

8

Sn ? a1a2 ? a2a3 ? ??? ? an an ?1 ?


1 1 1 1 1 n ? ? ??? ? ? 4 ?5 5?6 (n ? 3)(n ? 4) 4 n ? 4 4(n ? 4)

an n ? 2 (a ? 1)n2 ? (3a ? 6)n ? 8 4aSn ? bn ? ? ? n?4 n?3 (n ? 3)(n ? 4) ∴ ?????8 分
由条件可知 (a ? 1)n ? (3a ? 6)n ? 8 ? 0 恒成立即可满足条件,设
2

f (n) ? (a ? 1)n 2 ? (3a ? 6)n ? 8
当 a ? 1 时, f (n) ? ?3n ? 8 ? 0 恒成立,当 a ? 1 时,由二次函数的性质知不可能成立,

3 a?2 3 ? ? (1 ? 当 a ? 1 时, 对称轴 n ? ? ? 2 a ?1 2

1 ) ? 0 , f (n) 在 (1, ??) 为单调递减函数. a ?1
a? 15 4
∴a ? 1

f (1) ? (a ?1)n2 ? (3a ? 6)n ? 8 ? (a ?1) ? (3a ? 6) ? 8 ? 4a ?15 ? 0 ,∴


4aSn ? bn 恒成立。综上知: a ? 1 时, 4aSn ? bn 恒成立?????12 分

22.

2 ?1 当a 即 0 ? a ? 2 时, f ( x) 在(-1,0)上递增,在(0,1)上递减,则 f ( x) 的极大值
为 f (0) ?

2 2 0 ? a ? 2 时,极大值为 f (0) ? ,无极小值 ,无极小值。综上所述 3 3 2 a ? 2 时 极大值是 ,极小值是 2a ? 4 ?????8 分 3 3a
1 2 3 1 1? a x ? ax 2 ? ax ? , x ? ? ? 0 , ? , 对 F ? x? 求 导 , 3 3 ? 2?

( Ⅲ ) 设 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ?

1? F ?( x ) ? a 2 x 2 ? 2ax ? a ? a 2 x 2 ? a (1 ? 2 x ) ∵ x ? ? ?0 , ?,a ? 0 ? 2?

F ?( x) ? a 2 x 2 ? a (1 ? 2 x) ? 0 ∴ F ( x ) 在区间 ? 1 ? 上为增函数,则 F ( x ) ? F ( 1 ) max ?0 , ? 2 ? 2?
1 2

依题意,只需 F ( x ) max ? F ( ) ? 0 ,即 a 2 ? 6a ? 8 ? 0 解得 a ? ?3 ? 17 或 a ? ?3 ? 17 (舍去) 则正实数 a 的取值范围是( ?3 ? 17 , ?? )?????12 分

9


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