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异面直线成角、距离


平面 α 同侧的两点 A 、 B 到 α 的距离分别为 4 和 6,则线段 AB 的中点 M 到 α 平面的距离 为 _______5_______ 已知 E、F 分别为棱长为 a 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱 BB1、 B1C1 的中点,则 A1 到 EF 的距离为

D1 A1 D B1 F E
A1
A1

C1

C

点 A、B 和平面α 的距离分别是 40 ㎝和 70 ㎝,P 为 AB 上一点,且 AP∶PB=3∶7,则 P 到平面α 的距离是___43 ㎝ 或 7 ㎝____。

A

B

若 a ? α, b ? β,α∩β=c,a∩b=M, ,则 A、M∈c B、M ? c C、M ? c

【答案】 ( A ) D、M ? β

已知 P 为△ABC 所在平面 α 外一点,PA=PB=PC,则 P 点在平面 α 内的射影一定是△ABC 的 A、内心 B、外心 C、垂心 D、重心 【答案】( B )

正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AC 与 B1D 所成的 角为( D ) A、

D1 A1 D
A1

C1 B1 C
A1

? ? B、 6 4

C、

? 3

D、

? 2

A
正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 为 A1C1 的中点, 则直线 CE 垂直于 A、直线 AC C、直线 A1D1 B、直线 B1D1 D、直线 A1A 【答案】( B )
A1

B D1
A1

A1 D
A1

E
A1

C1

B1 C
A1

A
在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M、N 分别是 A1A、 AB 上的点,若∠NMC1=90° ,则∠NMB1 A、小于 90° C、大于 90° B、等于 90° D、不能确定 【答案】( B )
A1

D1 B1 D N
A1

B
A1

A1 M
A1

C1

C B

A
已知 P 为△ ABC 所在平面外的一点,PC⊥AB,PC=AB =2,E、F 分别为 PA 和 BC 的中点 (1)求 EF 与 PC 所成的角; (2)求线段 EF 的长 解:设 PB 的中点为 G,连接 FG,EG

P E A F B C

则 FG∥PC 且 FG=

1 1 PC,EG∥AB 且 EG= AB 2 2
∴ ∠GFE=45° EF= 2
P E

故∠GFE 为 EF 与 PC 所成的角, ∠EGF 为 PC 与 AB 所成的角∵ PC⊥AB ∴ ∠EGF= 90° 又 EG=GF=1

在 P 是直角梯形 ABCD 所在平面外一点,PA⊥平面 ABCD, ∠BAD=90° ,AD∥BC,AB=BC=a,AD=2a, PD 与底 面成 30° 角,BE⊥PD 于 E (1)求直线 BE 与平面 PAD 所成的角; 解:1)∵ PA⊥平面 ABCD ∴ ∠PDA 为 PD 与底面所成的角,PA⊥AB ∵ ∠BAD=90° ∴ AB⊥AD ∴ AB⊥平面 PAD ∴ ∠BEA 为 BE 与平面 PAD 所成的角 ∵ BE⊥PD ∴ AE⊥PD 在 Rt△ PAD 中,∠PDA=30° AD=2a ∴ AE=a ∠BEA=45°

A

D C

B

正方形 ABCD 的边长为 a,MA⊥平面 ABCD,且 MA =a, 试求: (1)点 M 到 BD 的距离; (2)AD 到平面 MBC 的距离 解:1)连接 AC 交 BD 于 O,连接 MO,则 AC⊥BD ∵ MA⊥平面 ABCD ∴ MO⊥BD 即 MO 为点 M 到 BD 的距离 ∵ PA=a AO=

M

A

D

2 a 2



MO= 3 a

2)过 A 作 AH⊥PB 于 H,则 AH 为 AD 到平面 MBC 的 距离,在 Rt△ MAB 中,求得 AH=

B

C

2 a 2

A

如图,ABCD 是空间四边形,AB=AD,CB=CD 求证:AC⊥BD
证明:如图,取 BD 中点 E,连结 AE,CE 因为 AB=AD,CB=CD 所以△ABD 和△BCD 都是等腰三角形 又等腰三角形的中线与高重合所以 AE⊥BD,CE⊥BD 由三 垂线定理的逆定理可知 CE 即 AC 在面 BCD 上的射影因为 CE⊥BD,所以 AC⊥BD

B C

D

直角三角形 ABC 中,∠A=90?,AB=2AC,Q 为 AB 上一点,QB= 一点,且 PB=PC,求证:PQ⊥BC.
证明:取 BC 中点 M,连接 PM,QM,令 AC=1,则 BQ=

5 AC,P 为平面 ABC 外 4
P

5 , 4
2
B

5 ∵AB=2AC=2,∴QA=24


3 5 ?3? 2 2 = 。 ∴QC= QA ? AC ? ? ? ? 1 = 4 4 ?4?

M

C

Q A

∴QC=QB,∴QM⊥BC。又∵PM⊥BC,∴BC⊥平面 PMQ,∴BC⊥PQ.

ABCD 为直角梯形,∠DAB=∠ABC=90°,AB=BC=a,AD=2a,PA⊥平面 ABCD,PA=a, (1)求证:PC⊥CD; (2)求点 B 到直线 PC 的距离。
P
( 1 )连结 AC, 在直角梯形 ABCD 中易求 AC ? 2 a,CD ? 2 a ? AC ? CD ? AD ? AC ? CD 又PA ? 面 ABCD 于 A ? AC是PC在面ABC上的射影 ? CD ? PC 即 PC ? CD
(2)在Rt△PAB 中,PA ? AB ? a ? PB ? 2 a 在Rt△PAB 中,PA ? a,AC ? 2 a ? PC ? 3a 又 BC ? a ? PB 2 ? BC 2 ? PC 2 ? ?PBC ? 90? 令 B 到 PC 的距离为 h 则 1 1 PC ? h ? PB ? BC 2 2 2a ? a 3a ? 6 a 3 6 a. 3
2 2 2

A a B

2a C

D

? h?

即 B 到直线 PC 的距离为


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