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平面向量知识点总结


平面向量知识点小结
一、向量的基本概念
1.向量的概念:既有大小又有方向的量,注意向量和数量的区别.向量常用有向线段来表示. 注意:不能说向量就是有向线段,为什么? 提示:向量可以平移. ??? ? ? 举例 1 已知 A(1,2) , B(4,2) ,则把向量 AB 按向量 a 结果: (3,0) ? (?1,3) 平移后得到的向量是_____. 2.零向量:长度为 0 的向量叫零向量,记作: 0 ,规定:零向量的方向是任意的;

?

??? ? ??? ? AB ? ) 3.单位向量:长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与 AB 共线的单位向量是 ? ??? ; | AB |
4.相等向量:长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量,相等向量有传递性; 5.平行向量(也叫共线向量) :方向相同或相反的非零向量 a 、 b 叫做平行向量,记作: a ∥ b , 规定:零向量和任何向量平行. 注:①相等向量一定是共线向量,但共线向量不一定相等; ②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念:两个向量平行包含两个向量共线,但两条直线平行不包 含两条直线重合; ? ③平行向量无传递性! (因为有 0 ); ??? ? ???? ④三点 A、B、C 共线 ? AB、 AC 共线. ? ? 6.相反向量:长度相等方向相反的向量叫做相反向量. a 的相反向量记作 ? a . ? ? ? ? 举例 2 如下列命题: (1)若 | a |?| b | ,则 a ? b . (2)两个向量相等的充要条件是它们的起点相同,终点相同. ??? ? ??? ? ? (3)若 AB ? DC ,则 ABCD 是平行四边形. ??? ? ??? ? ? (4)若 ABCD 是平行四边形,则 AB ? DC . ? ? ? ? ? ? (5)若 a ? b , b ? c ,则 a ? c . ? ? ? ? ? ? (6)若 a . 结果: (4) (5) / /b , b / /c 则 a / /c .其中正确的是 二、向量的表示方法 1.几何表示:用带箭头的有向线段表示,如 AB ,注意起点在前,终点在后; 2.符号表示:用一个小写的英文字母来表示,如 a , b , c 等;

?

?

?

?

??? ?

?

?

?

3.坐标表示:在平面内建立直角坐标系,以与 x 轴、 y 轴方向相同的两个单位向量 i , j 为基底,则平面内的任 一向量 a 可表示为 a ? xi ? yj ? ( x, y ) ,称 ( x, y ) 为向量 a 的坐标, a ? ( x, y ) 叫做向量 a 的坐标表示. 结论:如果向量的起点在原点,那么向量的坐标与向量的终点坐标相同. 三、平面向量的基本定理 ? ? ? 定 理 设 e1 , e2 同 一 平 面 内 的 一 组 基 底 向 量 , a 是 该 平 面 内 任 一 向 量 , 则 存 在 唯 一 实 数 对 (?1 , ?2 ) , 使

? ?
?

?

?

?

?

?

?

? ? ? a ? ?1 e1 ? ? 2 e 2.

? ? ? ? ? (1)定理核心: a (2)从左向右看,是对向量 a 的分解,且表达式唯一;反之,是对向量 a 的合成. ? λ1e1 ? λ2e2 ;
? ? ? ? ? ? (3)向量的正交分解:当 e 时,就说 a ? λ1e1 ? λ2e2 为对向量 a 的正交分解. 1 , e2

举例 3

? ? ? (1)若 a ? (1,1) , b ? (1, ?1) , c ? (?1,2) ,则 c ?

?

. B

? 3 结果: 1 a ? b. 2 2

?

(2)下列向量组中,能作为平面内所有向量基底的是
? A. e 1 ? (0,0) ? ,e 2 ? (1, ?2)
???? ??? ?

? ? B. e ,e 1 ? (?1,2) 2 ? (5,7)

? ? C. e ,e 1 ? (3,5) 2 ? (6,10)

? D. e , e2 ? ? ? 1 ? (2, ?3)
?
? ?

1

? (3 )已知 AD , BE 分别是 △ABC 的边 BC , AC 上的中线 , 且 AD ? a , BE ? b , 则 BC 可用向量 a , b 表示为

????

??? ? ?

??? ?

?2

3? ,? ? 4?

.

结果:

2? 4? a? b. 3 3

(4)已知 △ABC 中,点 D 在 BC 边上,且 CD ? 2DB , CD ? rAB ? sAC ,则 r ? s ? 的值是 四、实数与向量的积 ? ? 实数 ? 与向量 a 的积是一个向量,记作 ? a ,它的长度和方向规定如下: ? ? (1)模: | ? a |?| ? | ? | a | ;

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

????

.

结果:0.

? a 的方向与 a 的方向相同, ? a 的方向与 a 的方向相反, ?a ? 0 , (2 ) 方向: 当 ? ? 0 时, 当 ? ? 0 时, 当 ? ? 0 时, ? 注意: ?a ?0 . 五、平面向量的数量积
1.两个向量的夹角:对于非零向量 a , b ,作 OA ? a , OB ? b ,则把 ?AOB ? ? (0 ? ? ? ? ) 称为向量 a , b 的 夹角. 1

?

?

?

?

?

?

?

?

??? ?

?

??? ?

?

?

?

当 ? ? 0 时, a , b 同向;当 ? ? ? 时, a , b 反向;当 ? ?

?

?

?

?

?
2

时, a , b 垂直.

?

?

2.平面向量的数量积:如果两个非零向量 a , b ,它们的夹角为 ? ,我们把数量 | a || b | cos ? 叫做 a 与 b 的数量 积(或内积或点积) ,记作: a ? b ,即 a ? b ?| a | ? | b | cos ? . 规定:零向量与任一向量的数量积是 0. 注:数量积是一个实数,不再是一个向量. ??? ? ???? ???? ??? ? ??? ? 举例 4 (1) △ABC 中, | AB |? 3 , | AC |? 4 , | BC |? 5 ,则 AB ? BC ? _________.
? ? ? ? ? 1? ? ? ? ? ? ,b ?? ? 0, ? ? , c ? a ? kb , d ? a ? b , c 与 d 的夹角为 ,则 k ? 2? ? 4 ? ? ? ? ? ? (3)已知 | a 结果: 23 . |? 2 , | b |? 5 , a ? b ? ?3 ,则 | a ? b |? ____. ? ? ? ? ? ? ? ? ? (4)已知 a, b 是两个非零向量,且 | a |?| b |?| a ? b | ,则 a 与a ? b 的夹角为____. ? 1? (2)已知 a ? ? ?1, ? ? 2?

?

?

? ?

?

?

? ?

? ?

?

?

结果: ?9 . ____. 结果: 30? . 结果: 12 .
5

结果:1.

? ? ? 3.向量 b 在向量 a 上的投影: | b | cos? ,它是一个实数,但不一定大于 0.
举例 5
?

? ? ? 已知 | a |? 3 , | b |? 5 ,且 a ? b ? 12 ,则向量 a 在向量 b 上的投影为______.

?

?

4. a ? b 的几何意义:数量积 a ? b 等于 a 的模 | a | 与 b 在 a 上的投影的积. 5.向量数量积的性质:设两个非零向量 a , b ,其夹角为 ? ,则: (1 ) a ? b ? a ? b ? 0 ;

? ?

? ?

?

?

?

?

?

?

?

?

? ?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? a ? b ?| a | ? | b | 是 a 、 b 同向的充要分条件; ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 当 a 、 b 反向时, a ? b ? ? | a | ? | b | , a ? b ? ? | a | ? | b | 是 a 、 b 反向的充要分条件; ? ? ? ? ? ? 当 ? 为锐角时, a ? b ? 0 ,且 a 、 b 不同向, a ? b ? 0 是 ? 为锐角的必要不充分条件; ? ? ? ? ? ? 当 ? 为钝角时, a ? b ? 0 ,且 a 、 b 不反向; a ? b ? 0 是 ? 为钝角的必要不充分条件. ? ? ? ? a ?b ? ? ? ? (3)非零向量 a , b 夹角 ? 的计算公式: cos ? ? ? ? ;④ a ? b ?| a || b | . | a || b |
(2)当 a 、 b 同向时, a ? b ?| a | ? | b | ,特别地, a 2 ? a ? a ?| a |2 ?| a |? a 2 ;

?

?

? ?

?

?

六、向量的运算 1.几何运算 (1)向量加法 运算法则:①平行四边形法则;②三角形法则.

运算形式:若 AB ? a , BC ? b ,则向量 AC 叫做 a 与 b 的和,即 a ? b ? AB ? BC ? AC ; 作图:略. 注:平行四边形法则只适用于不共线的向量. (2)向量的减法 运算法则:三角形法则.

??? ?

?

??? ?

?

????

?

?

?

?

??? ? ??? ?

????

运算形式:若 AB ? a , AC ? b ,则 a ? b ? AB ? AC ? CA ,即由减向量的终点指向被减向量的终点. 作图:略. 注:减向量与被减向量的起点相同. ??? ? ???? ???? ???? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ???? ??? ? ? 举例 7 (1)化简:① AB ? BC ? CD ? ;② AB ? AD ? DC ? ;③ ( AB ? CD ) ? ( AC ? BD ) ? . ???? ??? ? ? ① AD ;② CB ;③ 0 ; ??? ? ? ??? ? ? ???? ? ? ? ? (2)若正方形 ABCD 的边长为 1, AB ? a , BC ? b , AC ? c ,则 | a ? b ? c |? . 结果: 2 2 ; (3)若 O 是 △ABC 所在平面内一点,且满足
??? ? ???? ??? ? ???? ??? ? OB ? OC ? OB ? OC ? 2OA

??? ?

?

????

?

?

?

??? ? ????

??? ?

结果:

,则 △ABC 的形状为.

结果: 直角三角形; , 则 ? 的值为 .

(4) 若 D 为 △ABC 的边 BC 的中点, △ABC 所在平面内有一点

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ? | AP | 满足 PA ? BP ? CP ? 0 , 设 ???? ? ? P, | PD |

结果:2; ??? ? ??? ? ??? ? ? (5)若点 O 是 △ABC 的外心,且 OA ? OB ? CO ? 0 ,则 △ABC 的内角 C 为

? ? 2.坐标运算:设 a ? ( x1 , y1 ) , b ? ( x2 , y2 ) ,则 ? ? ? ? (1)向量的加减法运算: a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) , a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) .
??? ? ??? ? ????

.

结果: 120? .

举例 8 (1)已知点 A(2,3) , B(5,4) , C(7,10) ,若 AP ? AB ? ? AC (? ? R ) ,则当 ? ? ____时,点 P 在第一、三象限的角 2

平分线上.

结果: 1 ;
2
??? ? 2 2 2

(2)已知 A(2,3) , B(1,4) ,且 1 AB ? (sin x,cos y) , x, y ? (? ? , ? ) ,则 x ? y ? (3)已知作用在点 A(1,1) 的三个力 果: (9,1) .
?? ? F1 ? (3, 4) ?? ? ?? ? , F2 ? (2, ?5) , F3 ? (3,1)

.结果: ? 或 ? ? ;
6 2

? ? ? ?? ? ?? ? ?? ? ,则合力 F ? F1 ? F2 ? F3

的终点坐标是

.



(2)实数与向量的积: ? a ? ? ( x1 , y1 ) ? (? x1 , ? y1 ) . (3)若 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,则 AB ? (x 2 ? x1 ,y 2 ? y 1 ) ,即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终 点坐标减去起点坐标. 举例 9 设 A(2,3) , B(?1,5) ,且 AC ? 1 AB , AD ? 3AB ,则 C, D 的坐标分别是__________.
???? ??? ?

?

??? ?

????

??? ?

(4)平面向量数量积: a ? b ? x1 x2 ? y1 y2 . 举例 10
?

? ?

3

结果: (1, 11),(?7,9) .
3

? ? 已知向量 a ? (sin x,cos x) , b ? (sin x,sin x) , c ? (?1,0) .
3

? ? (1)若 x ? ? ,求向量 a 、c 的夹角;

(2)若 x ?[? 3? , ? ] ,函数
8 4
? ?

? ? f ( x) ? ? a ? b

的最大值为 1 ,求 ? 的值.结果: (1) 150? ; (2 ) 1 或 ? 2 ? 1 .
2 2
?

? ? ? (5)向量的模: a 2 ?| a |2 ? x2 ? y 2 ?| a |? x2 ? y 2 .
举例 11
?

已知 a , b 均为单位向量,它们的夹角为 60? ,那么 | a ? 3b |? =
2

.

结果: 13 .
2

(6)两点间的距离:若 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,则 | AB |? ( x2 ? x1 ) ? ( y2 ? y1 ) . 举例 12 如图,在平面斜坐标系 xOy 中, ?xOy ? 60? ,平面上任一点 P 关于斜坐标系 y ??? ? ? ? ? ? 的斜坐标是这样定义的:若 OP ? xe1 ? ye2 ,其中 e 分别为与 x 轴、 y 轴同方向的单 1 , e2 位向量,则 P 点斜坐标为 ( x, y) . (1)若点 P 的斜坐标为 (2, ?2) ,求 P 到 O 的距离 | PO | ; 60? (2)求以 O 为圆心,1 为半径的圆在斜坐标系 xOy 中的方程. O 结果: (1)2; (2) x 2 ? y 2 ? xy ? 1 ? 0 . 七、向量的运算律 1.交换律: a ? b ? b ? a , ? ( ? a ) ? (?? )a , a ? b ? b ? a ;

x

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2.结合律: a ? b ? c ? (a ? b ) ? c , a ? b ? c ? a ? (b ? c ) , (? a)b ? ? (a ? b ) ? a ? (?b ) ; ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3.分配律: (? ? ? )a ? ? a ? ? a , ? (a ? b ) ? ? a ? ?b , (a ? b ) ? c ? a ? c ? b ? c . ? ?

?

?

?

?

? ?

举例 13 ④

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? a ? (b ? c ) ? (a ? b ) ? c ;③ ( a ? b ) 2 ?| a |2 ?2 | a || b | ? | b |2 ; ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? a ?b b ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 若a 则a ⑤若 a ⑥ | a |2 ? a 2 ; ⑦ ?2 ? ? ; ⑧ (a ? b )2 ? a 2 ? b 2 ; ⑨ ( a ? b ) 2 ? a 2 ? 2a ? b ? b 2 ?b ?0 , ?0 或 b ?0 ; ?b ?c ?b 则 a ? c ; a a

给出下列命题:①

? ? ? ? ? ? ? a ? (b ? c ) ? a ? b ? a ? c

;②

.

其中正确的是 . 结果:①⑥⑨. 说明: (1)向量运算和实数运算有类似的地方也有区别:对于一个向量等式,可以移项,两边平方、两边同乘以 一个实数,两边同时取模,两边同乘以一个向量,但不能两边同除以一个向量,即两边不能约去一个向量,切记两向 量不能相除(相约); ? ? ? ? ? ? (2)向量的“乘法”不满足结合律,即 a ? (b ? c ) ? (a ? b ) ? c ,为什么? 八、向量平行(共线)的充要条件
? ? 举例 14 (1)若向量 a 结果:2. ? ( x,1) , b ? (4, x ) ,当 x ? _____时, a 与 b 共线且方向相同. ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (2)已知 a ? (1,1) , b ? (4, x ) , u ? a ? 2b , v ? 2a ? b ,且 u / /v ,则 x ? . 结果:4. ??? ? ??? ? ???? (3)设 PA ? (k ,12) , PB ? (4,5) , PC ? (10, k ) ,则 k ? _____时, A, B,C 共线. 结果: ?2 或 11. 九、向量垂直的充要条件

? ? ? ? ? ? ? ? a / /b ? a?b ? (a ? b )2 ? (| a || b |)2 ? x1 y2 ? y1 x2 ? 0 .
?

?

? ? ? ? ? ? ? ? a ? b ? a ? b ? 0 ?| a ? b |?| a ? b |? x1 x2 ? y1 y2 ? 0 .
??? ? ??? ?

举例 15 (1)已知 OA ? ( ?1, 2) , OB ? (3, m) ,若 OA ? OB ,则 m ?

??? ?

??? ?

.结果: m ? 3 ;
2

(2)以原点 O 和 A(4,2) 为两个顶点作等腰直角三角形 OAB ,?B ? 90? ,则点 B 的坐标是 -1) ) ; ? ? ? ? ? ? (3)已知 n ? (a, b) 向量 n .结果: (b, ?a) 或 (?b, a) . ? m ,且 | n |?| m | ,则 m ? 的坐标是 十、线段的定比分点 3

.结果:(1,3)或(3,

???? ? ???? ? P 分有向线段 P1 P2 所成的比 ? , P 点叫做有向线段 P1 P2 的以定比为 ? 的定比分点. 2. ? 的符号与分点 P 的位置之间的关系 ???? ? (1) P 内分线段 P 1P 2 上 ?? ? 0 ; 1P 2 ,即点 P 在线段 P ???? ? ( 2 ) P 外分线段 P 1 ,②点 P 在线段 P1 P2 的反向延长线上 1P 2 的延长线上 ? ? ? ? 1P 2 时,①点 P 在线段 P ??1 ? ? ? 0 .
注:若点 P 分有向线段 P1 P2 所成的比为 ? ,则点 P 分有向线段 P2 P1 所成的比为 1 .
?
???? ? ???? ?

1.定义:设点 P 是直线 P ? ? PP2 ,则实数 ? 叫做点 1P 2 上异于 P 1 、 P2 的任意一点,若存在一个实数 ? ,使 PP 1

??? ?

????

举例 16

??? ? 若点 P 分 AB 所成的比为 3 4

,则

??? ? A 分 BP 所成的比为

.

结果: ? 7 .
3

3.线段的定比分点坐标公式: 设 P 1 ( x1 , y1 ) , P 2 ( x2 , y2 ) , 点 P( x, y )分 有 向 线 段 P 1P 2 所 成 的 比 为

???? ?

? ,则定比分点坐标公式为

? x? ? ? ? ?y ? ? ?

x1 ? ? x2 , 1? ? (? ? ?1) . y1 ? ? y2 . 1? ?

x ?x ? x? 1 2, ? ? 2 特别地,当 ? ? 1 时,就得到线段 P 1P 2 的中点坐标公式 ? y ? y ? 1 ? y2 . ? ? 2
说明: (1)在使用定比分点的坐标公式时,应明确 ( x, y) , (x1, y1) 、 (x2 , y2 ) 的意义,即分别为分点,起点,终点的 坐标. (2)在具体计算时应根据题设条件,灵活地确定起点,分点和终点,并根据这些点确定对应的定比 ? . 举例 17 (1)若 M (?3, ?2) , N (6, ?1) ,且 MP ? ? 1 MN ,则点 P 的坐标为
3 ???? ? ???? ?

.

结果: (?6, ? 7 ) ;
3

(2)已知 A(a,0) , B(3,2 ? a) ,直线

1 y ? ax 与线段 AB 交于 M 2

???? ? ??? ? ? ? ,且 AM ? 2MB ,则 a ?

.

结果:2或 ?4 .

十二、向量中一些常用的结论 1.一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量,要注意运用; 2.模的性质: | a | ? | b | ?| a ? b |?| a | ? | b | .

?

?

?

?

?

?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? b 反向或 a、 b 中有 0 ?| a ? b |?| a | ? | b | ; (2)左边等号成立条件: a、 ? ? ? ? ? ? ? ? b 不共线 ? | a | ? | b | ?| a ? b |?| a | ? | b | . (3)当 a、 b 同向或 a、 b 中有 0 ?| a ? b |?| a | ? | b | ; (1)右边等号成立条件: a、
3.三角形重心公式 在 △ABC 中,若 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , C ( x3 , y3 ) ,则其重心的坐标为 G( 举例 19

x1 ? x2 ? x3 y1 ? y2 ? y3 , ). 3 3
.结果: ? ??
2 4? , ? ? 3 3?

若 △ABC 的三边的中点分别为 A(2,1) 、 B(?3,4) 、 C(?1, ?1) ,则 △ABC 的重心的坐标为

.

5.三角形“三心”的向量表示

??? ? ??? ? ??? ? ? ? ??? ? ??? ? 1 ??? ( PA ? PB ? PC ) ? G 为△ ABC 的重心,特别地 PA ? PB ? PC ? 0 ? G 为△ ABC 的重心. 3 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? (2) PA ? PB ? PB ? PC ? PC ? PA ? P 为△ ABC 的垂心. ??? ? ???? ???? ? ??? ? ???? ? ??? ? ???? ? ??? ? ? AB AC ? ? ????? ? (? ? 0) 所在直线过 ( 3 ) | AB | PC ? | BC | PA ? | CA | PB ? 0 ? P 为△ ABC 的内心;向量 ? ? ???? ? | AB | ? | AC | ? ? ? △ ABC 的内心. ???? ? 6.点 P 分有向线段 P 1P 2 所成的比 ? 向量形式
(1) PG ? 4

??? ?

MP ? 设点 P 分有向线段 P 1P 2 所成的比为 ? ,若 M 为平面内的任一点,则
段P 1P 2 的中点 ? MP ?

???? ?

????

???? ?

????

7. 向量 PA, PB, PC 中三终点 A, B, C 共线 ? 存在实数 ? , ? ,使得 PA ? ? PB ? ? PC 且 ? ? ? ? 1 . 举例 20 平面直角坐标系中, O 为坐标原点,已知两点 A(3,1) , B(?1,3) ,若点 C 满足 OC ? ?1 OA ? ?2 OB ,其中 ?1,?2 ?R 且 ?1 ? ?2 ?1 ,则点 C 的轨迹是 . 结果:直线 AB . 十一、平移公式 如果点 P( x, y ) 按向量 a ? ( h, k ) 平移至 P ( x ?, y ?) ,则 ? ?
???? ??? ? ??? ?

??? ? ??? ? ??? ?

???? ? ???? ? MP 1 ? MP 2 . 2

???? ? ???? ? MP 1 ? ? MP 2 ,特别地 P 为有向线 1? ?

??? ?

??? ?

??? ?

?

? x? ? x ? h, ;曲线 f ( x, y ) ? 0 按向量 a ? (h, k ) 平移得曲线 ? y ? y ? k . ?

f ( x ? h, y ? k ) ? 0 .
说明: (1)函数按向量平移与平常“左加右减”有何联系?(2)向量平移具有坐标不变性,可别忘了啊! ? ? 举例 18 (1)按向量 a 把 (2, ?3) 平移到 (1, ?2) ,则按向量 a 把点 (?7,2) 平移到点______. 结果: (?8,3) ;
? ? (2)函数 y ? sin2x 的图象按向量 a 平移后,所得函数的解析式是 y ? cos2x ?1 ,则 a ? ________.

结果:(? ? ,1) .
4

5


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