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(教案)对数函数的定义、图象、性质[1]


一.课题:对数函数(1)——对数函数的定义、图象、性质 二.教学目标:1.要求学生了解对数函数的定义、图象及其性质以及它与指数函数间的关系 2.明确对数函数与指数函数的互为反函数,能利用其相互关系研究问题,会 求对数函数的定义域; 3.记住对数函数图象的规律,并能用于解题; 4.培养培养学生数形结合的意识用联系的观点研究数学问题的能力。 三.教学重点:对数函数的图象和性质,能熟练地求与对数函数有关的函数的定义域。 四.教学难点:对数函数与指数函数的关系,借助指数函数研究对数函数的图象和性质。 五.教学过程: (一)复习引入: 1.指数函数的定义、图象、性质。 2. 回忆学习指数函数时的实例——细胞分裂问题: 细胞的个数是分裂次数的指数函数 y = 2 x . 反之,细胞分裂的次数是细胞个数的函数,由对数定义: x = log 2 y , 即:次数 y 是个数 x 的函数 y = log 2 x . (二)新课讲解: 1.对数函数的定义:函数 y = log a x (a > 0且a ≠ 1) 叫做对数函数。 2.对数函数的性质: (1) 定义域、 值域: 对数函数 y = loga x ( a > 0且a ≠ 1) 的定义域为 (0,+∞) , 值域为 (?∞,+∞) . (2)图象:由于对数函数是指数函数的反函数,所以对数函数的图象只须由相应的指数函 数图象作关于 y = x 的对称图形,即可获得。 同样:也分 a > 1 与 0 <a <1两种情况归纳,以 y = log 2 x (图 1)与 y = log 1 x (图 2)为例。

y = 2x y=x

2

1 1

y = log2 x

1 y = ( )x 2
1 1

y=x

(图 1) (3)对数函数性质列表:

(图 2)

y = log1 x
2

a >1
x =1
图 象

0 < a <1
x =1 (1, 0)

y = loga x

(1, 0)

y = loga x
(1)定义域: (0, +∞ ) 性 质 (2)值域: R (3)过点 (1, 0) ,即当 x = 1 时, y = 0 (4)在(0,+∞)上是增函数 (4)在 (0, +∞ ) 上是减函数

对数函数(1)

2.例题分析: 例 1.求下列函数的定义域: (1) y = log a x ;
2
2

(2) y = log a ( 4 ? x) ;

(3) y = log a (9 ? x ) .
2

分析:此题主要利用对数函数 y = log a x 的定义域 (0, +∞ ) 求解。 解: (1)由 x >0 得 x ≠ 0 ,
2

∴函数 y = log a x 的定义域是 x x ≠ 0 ; (2)由 4 ? x > 0 得 x < 4 , (3)由 9- ? x > 0 得-3 < x < 3 ,
2 2

{

}

∴函数 y = log a ( 4 ? x ) 的定义域是 x x < 4 ; ∴函数 y = log a (9 ? x ) 的定义域是 x ? 3 < x < 3 . 说明:此题只是对数函数性质的简单应用,应强调学生注意书写格式。

{

}

{

}

?1? ?1? 例 2.求函数 y = ? ? ? 2 和函数 y = ? ? ?5? ?2?
?1? 解: (1) ? ? = y + 2 ?5? ?1 ∴ f ( x ) = log 1 ( x + 2)
5

x

x 2 +1

+ 2 ( x < 0) 的反函数。

x

( x > -2) ;

?1? (2) ? ? ?2?
-1

x2 +1

= y-2
5 (2 < x < ) . 2

∴ f ( x ) = ? log 1 ( x - 2)
2

例 3.作出下列函数的图象: (1) y = log 2 | x |

(2) y =| log 1 ( x ? 2) | .
2

分析:本题主要利用函数图象的平移、对称变换来作图(图略) 。 六.练习:P89 页,练习 1,2. 七.小结:对数函数定义、图象、性质。 八.作业:习题 2.8 第 1、2、4 题。

对数函数(1)


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