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【数学】2015高考试题分类汇编:文科立体几何教师版


2015 全国高考数学试题汇编 文科立体几何
[2015· 安徽卷] 1 如图 1-4,ABEDFC 为多面体,平面 ABED 与平面 ACFD 垂直,点 O 在线段 AD 上,OA =1,OD=2,△OAB,△OAC,△ODE,△ODF 都是正三角形. (1)证明直线 BC∥EF; (2)求棱锥 F-OBED 的体积.

图 1-4 【解答】 (1)证明:设 G 是线段 DA 与 EB 延长线的交点,由于△OAB 与△ODE 都是正三角 1 形,OA=1,OD=2,所以 OB 綊 DE,OG=OD=2. 2 1 同理,设 G′是线段 DA 与 FC 延长线的交点,有 OC 綊 DF,OG′=OD=2,又由于 G 和 2 G′都在线段 DA 的延长线上,所以 G 与 G′重合. 1 1 在△GED 和△GFD 中, 由 OB 綊 DE 和 OC 綊 DF, 可知 B 和 C 分别是 GE 和 GF 的中点. 所 2 2 以 BC 是△GEF 的中位线,故 BC∥EF. (2)由 OB=1,OE=2,∠EOB=60° ,知 S△EOB= 3 . 2

而△OED 是边长为 2 的正三角形,故 S△OED= 3. 所以 SOBED=S△EOB+S△OED= 3 3 . 2

过点 F 作 FQ⊥DG, 交 DG 于点 Q, 由平面 ABED⊥平面 ACFD 知, FQ 就是四棱锥 F-OBED 1 3 的高,且 FQ= 3,所以 VF-OBED= FQ· S 四边形 OBED= . 3 2

2[2015· 北京卷]

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2 如图 1-4,在四面体 PABC 中,PC⊥AB,PA⊥BC,点 D,E,F,G 分别是棱 AP,AC, BC,PB 的中点. (1)求证:DE∥平面 BCP; (2)求证:四边形 DEFG 为矩形;

(3)是否存在点 Q,到四面体 PABC 六条棱的中点的距离相等?说明理由. 【解答】 (1)证明:因为 D,E 分别为 AP,AC 的中点,

图 1-5 所以 DE∥PC. 又因为 DE?平面 BCP,PC?平面 BCP, 所以 DE∥平面 BCP. (2)因为 D、E、F、G 分别为 AP、AC、BC、PB 的中点, 所以 DE∥PC∥FG, DG∥AB∥EF, 所以四边形 DEFG 为平行四边形. 又因为 PC⊥AB, 所以 DE⊥DG, 所以平行四边形 DEFG 为矩形. (3)存 在点 Q 满足条件,理由如下: 连接 DF,EG,设 Q 为 EG 的中点. 1 由(2)知,DF∩EG=Q,且 QD=QE=QF=QG= EG. 2 分别取 PC、AB 的中点 M,N,连接 ME、EN、NG、MG、MN. 与(2)同理,可证四边形 MENG 为矩形,其对角线交点为 EG 的中点 Q, 1 且 QM=QN= EG. 2 所以 Q 为满足条件的点.
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3 [2015· 江苏卷] 如图 1-2,在四棱锥 P-ABCD 中,平面 PAD⊥平面 ABCD,AB=AD,∠ BAD=60° ,E、F 分别是 AP、AD 的中点.

图 1-2 求证:(1)直线 EF∥平面 PCD; (2)平面 BEF⊥平面 PAD. 本题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系,考查空间想象能力和推理论证能力. 【解答】 证明:(1)在△PAD 中,因为 E,F 分别为 AP,AD 的中点,所以 EF∥PD.又因为 EF?平面 PCD,PD?平面 PCD,

图 1-3 所以直线 EF∥平面 PCD. (2)连结 BD,因为 AB=AD,∠BAD=60° ,所以△ABD 为正三角形,因为 F 是 AD 的中点, 所以 BF⊥AD. 因为平面 PAD⊥平面 ABCD,BF?平面 ABCD, 平面 PAD∩平面 ABCD=AD,所以 BF⊥平面 PAD. 又因为 BF?平面 BEF,所以平面 BEF⊥平面 PAD.

图 1-6

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4[2015· 课标全国卷] 如图 1-8,四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形,∠DAB =60° ,AB=2AD,PD⊥底面 ABCD.

(1)证明:PA⊥BD ; (2)设 PD=AD=1,求棱锥 D-PBC 的高. 图 1-8

【解答】 (1)证明:因为∠DAB=60° ,AB=2AD,由余弦定理得 BD= 3AD, 从而 BD2+AD2=AB2,故 BD⊥AD. 又 PD⊥底面 ABCD,可得 BD⊥PD, 所以 BD⊥平面 PAD,故 PA⊥BD. (2)如图,作 DE⊥PB,垂足为 E. 已知 PD⊥底面 ABCD,则 PD⊥BC. 由(1)知 BD⊥AD,又 BC∥AD,所以 BC⊥BD.

图 1-9 故 BC⊥平面 PBD,BC⊥DE. 则 DE⊥平面 PBC. 由题设知 PD=1,则 BD= 3,PB=2. 根据 DE· PB=PD· BD 得 DE= 即棱锥 D-PBC 的高为 3 . 2 3 . 2

5. [2015· 陕西卷] 如图 1-8,在△ABC 中,∠ABC=45° ,∠BAC=90° ,AD 是 BC 上的高, 沿 AD 把△ABD 折起,使∠BDC=90° . (1)证明:平面 ADB⊥平面 BDC; (2)若 BD=1,求三棱锥 D-ABC 的表面积.

图 1-8 【解答】 (1)∵折起前 AD 是 BC 边上的高, ∴当△ABD 折起后,AD⊥DC,AD⊥DB. 又 DB∩DC=D.
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∴AD⊥平面 BDC. ∵AD?平面 ABD, ∴平面 ABD⊥平面 BDC. (2)由(1)知,DA⊥DB,DB⊥DC,DC⊥DA, DB=DA=DC=1. ∴AB=BC=CA= 2. 1 1 从而 S△DAB=S△DBC=S△DCA= ×1×1= . 2 2 1 3 S△ABC= × 2× 2×sin60° = . 2 2 1 3 3+ 3 ∴表面积 S= ×3+ = . 2 2 2 6. [2015· 江苏卷] 如图 1-2,在四棱锥 P-ABCD 中,平面 PAD⊥平面 ABCD,AB=AD,∠ BAD=60° ,E、F 分别是 AP、AD 的中点.

图 1-2 求证:(1)直线 EF∥平面 PCD; (2)平面 BEF⊥平面 PAD. 本题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系,考查空间想象能力和推理论证能力. 【解答】 证明:(1)在△PAD 中,因为 E,F 分别为 AP,AD 的中点,所以 EF∥PD.又因为 EF?平面 PCD,PD?平面 PCD,

图 1-3 所以直线 EF∥平面 PCD. (2)连结 BD,因为 AB=AD,∠BAD=60° ,所以△ABD 为正三角形,因为 F 是 AD 的中点, 所以 BF⊥AD. 因为平面 PAD⊥平面 ABCD,BF?平面 ABCD,

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平面 PAD∩平面 ABCD=AD,所以 BF⊥平面 PAD. 又因为 BF?平面 BEF,所以平面 BEF⊥平面 PAD.

7. [2015· 辽宁卷] 如图 1-8,四边形 ABCD 为正方形,

图 1-8 1 QA⊥平面 ABCD,PD∥QA,QA=AB= PD. 2 (1)证明:PQ⊥平面 DCQ; (2)求棱锥 Q-ABCD 的体积与棱锥 P-DCQ 的体积的比值. 【解答】 (1)由条件知 PDAQ 为直角梯形. 因为 QA⊥平面 ABCD,所以平面 PDAQ⊥平面 ABCD,交线为 AD. 又四边形 ABCD 为正方形,DC⊥AD, 所以 DC⊥平面 PDAQ,可得 PQ⊥DC. 在直角梯形 PDAQ 中可得 DQ=PQ= 所以 PQ⊥平面 DCQ. (2)设 AB=a. 1 由题设知 AQ 为棱锥 Q-ABCD 的高,所以棱锥 Q-ABCD 的体积 V1= a3. 3 由(1)知 PQ 为棱锥 P-DCQ 的高,而 PQ= 2a,△DCQ 的面积为 1 所以棱锥 P-DCQ 的体积 V2= a3. 3 故棱锥 Q-ABCD 的体积与棱锥 P-DCQ 的体积的比值为 1. 2 2 a, 2 2 PD,则 PQ⊥QD. 2

图 1-6

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8.[2015· 湖南卷] 如图 1-5,在圆锥 PO 中,已知 PO= 2,⊙O 的直径 AB=2,点 C 在 AB 上,且∠CAB=30° ,D 为 AC 的中点. (1)证明:AC⊥平面 POD; (2)求直线 OC 和平面 PAC 所成角的正弦值.

图 1-5 【解答】 (1)因为 OA=OC,D 是 AC 的中点,所以 AC⊥OD. 又 PO⊥底面⊙O,AC?底面⊙O,所以 AC⊥PO. 而 OD,PO 是平面 POD 内的两条相交直线, 所以 AC⊥平面 POD. (2)由(1)知,AC⊥平面 POD,又 AC?平面 PAC, 所以平面 POD⊥平面 PAC. 在平面 POD 中,过 O 作 OH⊥PD 于 H,则 OH⊥平面 PAC.

图 1-6 连结 CH,则 CH 是 OC 在平面 PAC 上的射影, 所以∠OCH 是直线 OC 和平面 PAC 所成的角. 1 在 Rt△ODA 中,OD=OA· sin30° = . 2 在 Rt△POD 中, PO· OD = PO2+OD2 1 2× 2 2 = . 1 3 2+ 4

OH=

OH 2 在 Rt△OHC 中,sin∠OCH= = . OC 3 故直线 OC 和平面 PAC 所成角的正弦值为 2 . 3

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图 1-7 9. [2015· 浙江卷] 如图 1-7,在三棱锥 P-ABC 中,AB=AC,D 为 BC 的中点,PO⊥平面 ABC,垂足 O 落在线段 AD 上. (1)证明:AP⊥BC; (2)已知 BC=8,PO=4,AO=3,OD=2,求二面角 B-AP-C 的大小. 【解答】 (1)证明:由 AB=AC,D 是 BC 中点,得 AD⊥BC,

又 PO⊥平面 ABC,得 PO⊥BC, 因为 PO∩AD=O,所以 BC⊥平面 PAD,故 BC⊥AP. (2)如图,在平面 APB 内作 BM⊥PA 于 M,连 CM. 因为 BC⊥PA,得 PA⊥平面 BMC,所以 AP⊥CM. 故∠BMC 为二面角 B-AP-C 的平面角. 在 Rt△ADB 中,AB2=AD2+BD2=41,得 AB= 41. 在 Rt△POD 中,PD2=PO2+OD2, 在 Rt△PDB 中,PB2=PD2+BD2, 所以 PB2=PO2+OD2+BD2=36,得 PB=6. 在 Rt△POA 中,PA2=AO2+OP2=25,得 PA=5. PA2+PB2-AB2 1 又 cos ∠BPA= = , 2PA· PB 3 2 2 从而 sin∠BPA= . 3 故 BM=PBsin∠BPA=4 2. 同理 CM=4 2.因为 BM2+MC2=BC2, 所以∠BMC=90° , 即二面角 B-AP-C 的大小为 90° .

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10.[2015· 福建卷] 如图 1-5,四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥底面 ABCD,AB⊥AD,点 E 在线 段 AD 上,且 CE∥AB. (1)求证:CE⊥平面 PAD; (2)若 PA=AB=1,AD=3,CD= 2,∠CDA=45° ,求四棱锥 P-ABCD 的体积. 【解答】 (1)证明:因为 PA⊥平面 ABCD,CE?平面 ABCD,

图 1-6 所以 PA⊥CE. 因为 AB⊥AD,CE∥AB, 所以 CE⊥AD. 又 PA∩AD=A, 所以 CE⊥平面 PAD. (2)由(1)可知 CE⊥AD. 在 Rt△ECD 中,DE=CD· cos45° =1,CE=CD· sin45° =1. 又因为 AB=CE=1,AB∥CE, 所以四边形 ABCE 为矩形. 1 1 5 所以 S 四边形 ABCD=S 矩形 ABCE+S△ECD=AB· AE+ CE· DE=1×2+ ×1×1= . 2 2 2 又 PA⊥平面 ABCD,PA=1, 1 1 5 5 所以 V 四棱锥 P-ABCD= S 四边形 ABCD· PA= × ×1= . 3 3 2 6 π 11.[2015· 江西卷] 如图 1-7,在△ABC 中,∠B= ,AB=BC=2,P 为 AB 边上一动点, 2 PD∥BC 交 AC 于点 D,现将△PDA 沿 PD 翻折至△PDA′,使平面 PDA′⊥平面 PBCD. (1)当棱锥 A′-PBCD 的体积最大时,求 PA 的长; (2)若点 P 为 AB 的中点,E 为 A′C 的中点,求证:A′B⊥DE.

图 1-7 【解答】 (1)令 PA=x(0<x<2), 则 A′P=PD=x, BP=2-x.因为 A′P⊥PD, 且平面 A′PD ⊥平面 PBCD,故 A′P⊥平面 PBCD.
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1 1 1 所以 VA′-PBCD= Sh= (2-x)(2+x)x= (4x-x3). 3 6 6

图 1-8 1 1 2 令 f(x)= (4x-x3),由 f′(x)= (4-3x2)=0,得 x= 3. 6 6 3 2 0, 3?时,f′(x)>0,f(x)单调递增; 当 x∈? ? 3 ? 2 ? 当 x∈? ?3 3,2?时,f′(x)<0,f(x)单调递减, 2 所以,当 x= 3时,f(x)取得最大值, 3 2 3 即:当 VA′-PBCD 最大时,PA= . 3 1 1 (2)证明:设 F 为 A′B 的中点,连接 PF,FE.则有 EF 綊 BC,PD 綊 BC,所以 EF 綊 PD, 2 2 四边形 DEFP 为平行四边形, 所以 DE∥PF,又 A′P=PB, 所以 PF⊥A′B, 故 DE⊥A′B.

12. [2015· 山东卷] 如图 1-5, 在四棱台 ABCD-A1B1C1D1 中, D1D⊥平面 ABCD, 底面 ABCD 是平行四边形,AB=2AD,AD=A1B1,∠BAD=60° . (1)证明:AA1⊥BD; (2)证明:CC1∥平面 A1BD.

图 1-5 【解答】 证明:(1)证法一: 因为 D1D⊥平面 ABCD,且 BD?平面 ABCD,

图 1-6
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所以 D1D⊥BD. 又因为 AB=2AD,∠BAD=60° , 在△ABD 中,由余弦定理得 BD2=AD2+AB2-2AD· ABcos60° =3AD2. 所以 AD2+BD2=AB2, 所以 AD⊥BD. 又 AD∩D1D=D, 所以 BD⊥平面 ADD1A1. 又 AA1?平面 ADD1A1, 所以 AA1⊥BD. 证法二: 因为 D1D⊥平面 ABCD,且 BD?平面 ABCD,

图 1-7 所以 BD⊥D1D. 取 AB 的中点 G,连接 DG. 在△ABD 中,由 AB=2AD 得 AG=AD, 又∠BAD=60° ,所以△ADG 为等边三角形. 因此 GD=GB. 故∠DBG=∠GDB, 又∠AGD=60° , 所以∠GDB=30° , 故∠ADB=∠ADG+∠GDB=60° +30° =90° , 所以 BD⊥AD. 又 AD∩D1D=D, 所以 BD⊥平面 ADD1A1, 又 AA1?平面 ADD1A1, 所以 AA1⊥BD. (2)连接 AC,A1C1.

图 1-8
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设 AC∩BD=E,连接 EA1. 因为四边形 ABCD 为平行四边形, 1 所以 EC= AC, 2 由棱台定义及 AB=2AD=2A1B1 知, A1C1∥EC 且 A1C1=EC, 所以四边形 A1ECC1 为平行四边形. 因此 CC1∥EA1, 又因为 EA1?平面 A1BD,CC1?平面 A1BD, 所以 CC1∥平面 A1BD. 13. [2015· 四川卷] 如图 1-5,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,∠BAC=90° ,AB=AC=AA1 =1,延长 A1C1 至点 P,使 C1P=A1C1,连结 AP 交棱 CC1 于点 D. (1)求证:PB1∥平面 BDA1; (2)求二面角 A-A1D-B 的平面角的余弦值.

图 1-5 【解答】 解法一: (1)连结 AB1 与 BA1 交于点 O,连结 OD. ∵C1D∥AA1,A1C1=C1P, ∴AD=PD, 又 AO=B1O,∴OD∥PB1.

图 1-6 又 OD?平面 BDA1,PB1?平面 BDA1, ∴PB1∥平面 BDA1. (2)过 A 作 AE⊥DA1 于点 E,连结 BE. ∵BA⊥CA,BA⊥AA1,且 AA1∩AC=A, ∴BA⊥平面 AA1C1C. 由三垂线定理可知 BE⊥DA1. ∴∠BEA 为二面角 A-A1D-B 的平面角.
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在 Rt△A1C1D 中,A1D=

?1?2+12= 5, ?2? 2

1 1 5 又 S△AA1D= ×1×1= × ×AE, 2 2 2 2 5 ∴AE= . 5 在 Rt△BAE 中,BE= AE 2 ∴cos∠BEA= = . BE 3 2 故二面角 A-A1D-B 的平面角的余弦值为 . 3 12+? 2 5?2 3 5 = , 5 ? 5 ?

14. [2015· 天津卷] 如图 1-7,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形,∠ADC =45° ,AD=AC=1,O 为 AC 的中点,PO⊥平面 ABCD,PO=2,M 为 PD 的中点. (1)证明 PB∥平面 ACM; (2)证明 AD⊥平面 PAC; (3)求直线 AM 与平面 ABCD 所成角的正切值.

图 1-7 课标文数 17.G12[2015· 天津卷]

图 1-8 【解答】 (1)证明:连接 BD,MO.在平行四边形 ABCD 中,因为 O 为 AC 的中点,所以 O 为 BD 的中点.又 M 为 PD 的中点,所以 PB∥MO.因为 PB?平面 ACM,MO?平面 ACM, 所以 PB∥平面 ACM. (2)证明:因为∠ADC=45° ,且 AD=AC=1,所以∠DAC=90° ,即 AD⊥AC.又 PO⊥平面 ABCD,AD?平面 ABCD,所以 PO⊥AD.而 AC∩PO=O,所以 AD⊥平面 PAC.
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1 (3)取 DO 中点 N,连接 MN,AN.因为 M 为 PD 的中点,所以 MN∥PO,且 MN= PO=1. 2 由 PO⊥平面 ABCD, 得 MN⊥平面 ABCD, 所以∠MAN 是直线 AM 与平面 ABCD 所成的角. 在 1 5 1 5 Rt△DAO 中,AD=1,AO= ,所以 DO= .从而 AN= DO= .在 Rt△ANM 中,tan∠ 2 2 2 4 MN 1 4 5 4 5 MAN= = = ,即直线 AM 与平面 ABCD 所成角的正切值为 . AN 5 5 5 4 15.(本小题满分 13 分) 《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马,将四个面 都为直角三角形的四面体称之为鳖臑. 在如图所示的阳马 P ? ABCD 中,侧棱 PD ? 底面 ABCD ,且 PD ? CD ,点 E 是 PC 的 中点,连接 DE , BD, BE .

(Ⅰ)证明: DE ? 平面 PBC . 试判断四面体 EBCD 是 否为鳖臑,若是,写出其每个面的直角(只需 写出结论) ;若不是,请说明理由; (Ⅱ)记阳马 P ? ABCD 的体积为 V1 ,四面体 EBCD 的 体积为 V 2 ,求
V1 的值. V2

【答案】 (Ⅰ) 因为 PD ? 底面 ABCD , 所以 PD ? BC . 由底面 ABCD 为长方形, 有 BC ? CD , 而 PD ? CD ? D ,所以 BC ? 平面 PCD . DE ? 平面 PCD ,所以 BC ? DE . 又因为
PD ? CD ,点 E 是 PC 的中点,所以 DE ? PC . 而 PC ? BC ? C ,所以 DE ? 平面 PBC .四

面体 EBCD 是一个鳖臑; (Ⅱ) 【解析】

V1 ? 4. V2

试题分析: (Ⅰ)由侧棱 PD ? 底面 ABCD 易知, PD ? BC ;而底面 ABCD 为长方形,有
BC ? CD ,由线面垂直的判定定理知 BC ? 平面 PCD ,进而由线面垂直的性质定理可得 BC ? DE ; C D 中, 在 ?P 易得 DE ? PC , 再由线面垂直的判定定理即可得出结论.由 BC ? 平

面 PCD , DE ? 平面 PBC ,进一步可得四面体 EBCD 的四个面都是直角三角形,即可得出
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结论; (Ⅱ)结合(Ⅰ)证明结论,并根据棱锥的体积公式分别求出 V1 ,V2 ,即可得出所求结 果. 试题解析: (Ⅰ)因为 PD ? 底面 ABCD ,所以 PD ? BC . 由底面 ABCD 为长方形,有
BC ? CD ,而 PD ? CD ? D ,所以 BC ? 平面 PCD . DE ? 平面 PCD ,所以 BC ? DE . 又

因为 PD ? CD , 点 E 是 PC 的中点, 所以 DE ? PC . 而 PC ? BC ? C , 所以 DE ? 平面 PBC . 由 BC ? 平面 PCD , DE ? 平面 PBC ,可知四面体 EBCD 的四个面都是直角三角形,即四面 体 EBCD 是一个鳖臑,其四个面的直角分别是 ?BCD, ?BCE , ?DEC , ?DEB.

1 1 (Ⅱ)由已知, PD 是阳马 P ? ABCD 的高,所以 V1 ? S ABCD ? PD ? BC ? CD ? PD ;由(Ⅰ) 3 3 1 1 知, DE 是鳖臑 D ? BCE 的高, BC ? CE ,所以 V2 ? S?BCE ? DE ? BC ? CE ? DE .在 Rt △ 3 6
PDC 中,因为 PD ? CD ,点 E 是 PC 的中点,所以 DE ? CE ?

2 CD ,于是 2

1 BC ? CD ? PD V1 3 2CD ? PD ? ? ? 4. 1 V2 BC ? CE ? DE CE ? DE 6

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