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抛物线的定义及标准方程 教案


2.3.1 抛物线的定义和标准方程
教学目标: 1.知识目标:理解抛物线的定义;明确焦点、准线的概念;了解用抛物线的定义,推导开口向右的抛 物线的标准方程。进一步得出开口向左、向上、向下的抛物线的标准方程,并熟练掌握抛物线的四种 标准方程及其所对应的开口方向、焦点坐标、准线方程之间的关系; 2.能力目标:让学生感知数学知识与实际生活的普遍联系,培养学生类比、数形结合的数

学思想方法, 提高学生的学习能力,同时培养学生运动、变化的辨证唯物主义观点; 3.情感目标:培养学生不怕困难、勇于探索的优良作风,增强学生审美体验,提高学生的数学思维的 情趣,给学生以成功的体验,形成学习数学知识的积极态度。 教学重点和难点: 重点:抛物线的定义;根据具体条件求出抛物线的标准方程;根据抛物线的标准方程求出焦点坐标、 准线方程。 难点:抛物线的标准方程的推导。 关键:创设具体的抛物线的直观情景,结合建立坐标系的一般原则,从“对 发作必要的点拨。 教学方法 启发、探索 教学手段 运用多媒体和实物辅助教学 教学过程: 一、新课引入: 1、实例引入:观察生活中的几个实例(1)截面图;(2)几幅生活实例照片 2、复习引入:在平面内到一定点的距离和到一条定直线距离的比是常数 e 的点的轨迹, 当 0〈e < 1 时是什么图形?(椭圆) 当 e > 1 时是什么图形?(双曲线) 当 e = 1 时它又是什么图形呢?(让学生大胆猜想,猜想后用画板演示动画,让学生认真观察动点所 满足的条件,让学生对抛物线由感性认识上升到理性认识) 教师指出:画出的曲线叫抛物线。 (类比:使学生看到曲线上任一点到定点和到定直线的距离之比等于常数是圆锥曲线的一个共同的本 质属性,明确抛物线与椭圆、双曲线之间的联系) 二、新课讲授: (一) 定义:(提问学生,由学生归纳出抛物线定义) 称美”和“简洁美”出

平面内到一定点和到一条不过此点的定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。 定点叫做抛物线 的焦点,定直线叫做抛物线的准线。 概念理解: 平面内有-—(1) 一定点 F——焦点 (2) 一条不过此点(给出的定点)的定直线 l ——准线 探究:若定点 F 在定直线 l 上,那么动点的轨迹是什么图形? (是过 F 点与直线 l 垂直的一条直线——直线 MF,不是抛物线) (3) 动点到定点的距离 |MF| (4) 动点到定直线的距离 d (5) | MF| = d

满足以上条件的动点 M 的轨迹——抛物线 (二)推导抛物线的标准方程(开口向右)(重点): 1、 要把抛物线上的点M的集合 P={M| |MF|=d}表示为集合Q={(x,y)|f(x,y)=0}。首先要建立坐标 系,为了使推导出的方程尽量简化,应如何选择坐标系? [教师引导]建立适当的直角坐标系应遵循的两点原则: ①若曲线是轴对称图形,则可选它的对称轴为坐标轴; ②曲线上的特殊点,可选作坐标系的原点。] 过焦点 F 作准线 l 的垂线交 l 于点 K,启发学生思考回答问题: (1)如何确定 x 轴(或 y 轴)?(以对称轴为坐标轴)由抛物线的几何特征知 KF 是抛物线的对称轴。 (2)如何确定坐标原点?(曲线上的特殊点,可作为坐标系的原点) 因为线段 KF 的中点适合条件——到点 F 的距离等于到直线 l 的距离,所以它又在抛物线上——以线 段 KF 的中点为坐标原点。 (3)怎样建立坐标系才使方程的推导简化? [教师引导]通过不同位置的二次函数解析式的对比,联想抛物线如何建系。 让学生大胆发言,谈谈自己的观点(教师要积极鼓励学生引导学生) 取经过焦点 F 且垂直于准线 l 的直线为 x 轴, x 轴与 l 相交于点 K,以线段KF的垂直平分线为 y 轴, 建立直角坐标系。 2、开口向右的抛物线标准方程的推导:(教师引导得出结论) 步骤:(投影展示) 过焦点 F 且垂直于准线 l 的直线为 x 轴, x 轴与直线 l 相交于点 K,以线段KF的垂直平分线为 y 轴, 建立直角坐标系。 设焦点到准线的距离|KF|= p(p>0)那么,焦点F的坐标为 (p / 2,0),准线 l 的方程为 x = - p / 2. 设抛物线上的任一点 M(x,y),点M到直线 l 的距离为 d 根据定义,抛物线就是点的集合 P={M| |MF|=d}

p? p ? 2 因为 MF ? ? x ? ? ? y , d ? x ? ,所以 2? 2 ? p? p ? 2 ?x ? ? ? y ? x ? 2? 2 ?
将上式两边平方并化简,得
2

2

y 2 ? 2 px( p ? 0) (1)

方程(1)的推导过程表明,抛物线上的点的坐标都是这个方程式的解。还可以证明,以方程(1) 的解为坐标的点都在此抛物线上。我们把方程 y ? 2 px( p ? 0) 叫做抛物线的标准方程。
2

3、(引导分析)标准方程 y = 2px (p>0)的特点:(用代数方法——几何问题) p 的几何意义:焦点到准线的距离 焦 准 顶 点:(p/2 ,0)在 x 轴的正半轴上 线:x = - p/2 点:坐标原点(0,0)

2

开口方向:向右 4、让同学们类比写出不同位置的抛物线的标准方程、焦点坐标、准线方

5、让学生对这抛物线和它们的标准方程进行对比分析,辨认异同: 相同点: 1、原点在抛物线上;2、对称轴为坐标轴 2、3、p 值的意义:(重点) (1)表示焦点到准线的距离;(2)p>0 为常数;(3)p 值等于一次项系数绝对值的一半;

4、准线与对称轴垂直,垂足与焦点关于原点对称,它们与原点的距离等于一次项系数的绝对值的

1 4



2p p ? 4 2

不同点:

方程
2

对称轴

开口方向

焦点位置

X =2py (p>0)
2

x轴

向右

X 轴正半轴上

X = -2py (p>0)
2

x轴

向左

X 轴负半轴上

Y =2px (p>0)
2

y轴

向上

Y 轴正半轴上

Y = -2px (p>0)

y轴

向下

Y 轴负半轴上

三、例题讲解: 例 1.(1)已知抛物线的标准方程是 y =6x,求它的焦点坐标和准线方程; (2)已知抛物线的焦点是 F(0,-2),求它的标准方程 解:(1)p=3,所以抛物线的焦点坐标是(3/2,0),准线方程是 x=-3/2. (2)因为抛物线的焦点在 y 轴的负半轴上,且 所以抛物线的标准方程是 x ? ?8 y
2
2

p ? 2,? p ? 4 , 2

例 2(选用).求分别满足下列条件的抛物线的标准方程: (1)焦点坐标是 F(-5,0) (2)经过点 A(2,-3) 解:(1)焦点在 x 轴负半轴上, 的标准方程是 y ? ?20 x .
2

p =5,所以所求抛物线 2

(2)经过点 A(2,-3)的抛物线可能有两种标准形式: y ? 2 px, x ? ?2 py
2 2

点 A(2,-3)坐标代入,即 9=4p,得 2p=
2

9 2 4 3

点 A(2,-3)坐标代入 x =-2py,即 4=6p,得 2p=
2

∴所求抛物线的标准方程是 y =

4 9 x 或 x2=- y。 3 2

四、课堂练习: 1、根据下列条件,写出抛物线的标准方程:(投影展示) (1)焦点是 F(3,0); (2)准线方程 是 x = ?

1 ; 4

(3)焦点到准线的距离是 2。 2、根据下列抛物线的焦点坐标和标准方程、准线方程:(投影展示) (1)y =20x
2

(2)x =1/2y

2

(3) 2y +5x=0

2

(4) x +8y=0

2

向学生指出,本题是求抛物线的标准方程,所求抛物线的顶点在原点,对称轴是坐标轴 总结:要确定抛物线的标准方程,关键在于确定 p 值及抛物线开口方向;反之亦然。 五、课堂小结:(提学生归纳总结) 1.椭圆、双曲线与抛物线的定义的联系及其区别; 2.会运用抛物线的定义、标准方程求它的焦点坐标、准线方程; 3.注重类比及数形结合的思想。 六、作业布置: 课本 P69 1、2


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