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【世纪金榜】人教版2016第一轮复习理科数学教师用书配套习题:课时提升作业(四十五) 7.6空间向量及其运算


课时提升作业(四十五)
空间向量及其运算 (25 分钟 一、选择题(每小题 5 分,共 35 分) 1.有下列 4 个命题: ①若 p=xa+yb,则 p 与 a,b 共面; ②若 p 与 a,b 共面,则 p=xa+yb; ③若 =x +y ,则 P,M,A,B 共面; =x ( ) C.3 D.4 +y . 50 分)

④若 P,M,A,B 共

面,则 其中真命题的个数是 A.1 B.2

【解析】 选 B.①正确.②中若 a,b 共线,p 与 a 不共线,则 p=xa+yb 就不 成立.③正确.④中若 M,A,B 共线,点 P 不在此直线上,则 不正确. 2.下列命题中,正确的是 ( ) =x +y

A.若 a 与 b 共线,则 a 与 b 所在直线平行 B.若 a∥平面β ,a 所在直线为 a,则 a∥β C. 若 {a,b,c} 为空间一个基底 , 则 {a-b,b-c,c-a} 构成空间的另一个基 底 D.若 = + ,则 P,A,B 三点共线

【解析】选 D.向量共线则其所在直线平行或重合,故 A 错误;向量平行 于平面,则向量所在直线在平面内或所在直线与平面平行,故 B 错误;取

-1-

λ1=λ2=λ3=1,则λ1(a-b)+λ2(b-c)+λ3(c-a)=0,即 a-b,b-c,c-a 是共 面向量,不能构成空间的基底,故 C 错. 3.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,给出以下向量表达式: ①( ③( ))-2 ;②( ;④( 相等的是 B.②③ = = = -2 + )= ≠ = = ; ; ≠ , + + ( ))+ ) C.③④ = ; D.①④ ; .

其中与向量 A.①②

【解析】选 A.①( ②( ③( ④( + + ))-2 )+

综上,①②符合题意. 4.平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中,向量 且| A.5 【解析】选 A.设 |=1,| |=2,| B.6 =a, =b, |=3,则| , , 两两的夹角均为 60°, ) D.8 =a+b+c,| |=5. ,且 a 与 |2=

|等于 ( C.4 =c,则

a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2c·a=25,因此|

5.(2015·抚州模拟)已知向量 a,b 满足条件:|a|=2,|b|= 2b-a 互相垂直,则 a 与 b 的夹角为 ( A.30° B.45° C.60° ) D.90°

【解析】选 B.因为 a 与 2b-a 垂直, 所以 a·(2b-a)=0,2a·b-a2=0,

-2-

即 2|a|·|b|·cos<a,b>=a2, 2×2× ·cos<a,b>=4,

cos<a,b>= ,<a,b>=45°, 故选 B. 6. 设 · A,B,C,D =0, · 是 空 间 不 共 面 的 四 个 点 , 且 满 足 =0, · =0,则△BCD 的形状是( )

A.钝角三角形 C.锐角三角形 【解题提示】通过 ·

B.直角三角形 D.无法确定 , · , · 的符号判断△BCD 各内角

的大小,进而确定出三角形的形状. 【解析】选 C. = · · · >0, · · =( · + )·( = >0, )

同理

>0.故△BCD 为锐角三角形. 上且

7.(2015·九江模拟)正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,点 M 在 = A. ,N 为 B1B 的中点,则| B. |为 ( C. ) D.

【解析】选 A.如图,



=a,

=b,

= c,

则 a·b=b·c=c·a=0.

-3-

由条件知

=

+

+

=- (a+b+c)+a+ c= a- b+ c, 所以 所以| = a2+ b2+ c2= , |= .

二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 8.已知 P 为矩形 ABCD 所在平面外一点,PA⊥平面 ABCD,M 在线段 PC 上,N 在 线 段 PD 上 , 且 PM=2MC,PN=ND, 若 x+y+z= 【解析】如图, . = = =x +y +z ,则

= ( =

-

)- ( +

+ - (

) + )=+ .

所以 x+y+z=- - + =- . 答案:9.(2015· 南昌模拟)已知空间四边形 OABC,点 M,N 分别是 OA,BC 的中点, 令 =a, =b, =c,用 a,b,c 表示向量 = .

【解析】连接 MB,MC,则

= (

+

)

-4-

= [(

-

)+(

-

)]= (

+

-2

)= (

+

-

)= (b+c-a).

答案: (b+c-a) 10.(2015·合肥模拟 )空间四边形 OABC 中,OA=8,AB=6,AC=4,BC=5, ∠ OAC=45°,∠OAB=60°,则 OA 与 BC 所成角的余弦值等于 .

【解题提示】先求出 【解析】由题意知

· · =

,再利用定义求解. ·( )= · · =8×4×

cos45°-8×6×cos60° =16 -24. , >= = = ,故 OA 与 BC 所成角的余弦值为

所以 cos< . 答案:

【方法技巧】用向量法求异面直线所成角的方法 1.基向量法 :先选一组基向量 ,将其他向量都用基向量表示出来 ,然后 根据向量的运算求解. 2.坐标法 :根据条件建立适当的空间直角坐标系 ,求出相关点的坐标 , 根据向量的坐标运算求解. (20 分钟 40 分)

1.(5 分 )(2015 · 九 江 模 拟 ) 如 图 , 在 底 面 为 平 行 四 边 形 的 四 棱 柱 ABCD-A1B1C1D1 中,M 是 AC 与 BD 的交点,若 =a, =b, =c,则下列

-5-

向量中与 是 ( )

相等的向量

A.- a+ b+c C. a- b+c 【解析】选 A. + (+ =

B. a+ b+c D.- a- b+c + = + = + ( + )=

)=c- a+ b,即

=- a+ b+c.

2.(5 分)(2015· 咸阳模拟)已知二面角α -l-β 为 60°,动点 P,Q 分别在 面α ,β 内,P 到β 的距离为 离的最小值 为 ( A. ) B.2 C.2 D.4 ,Q 到α 的距离为 2 ,则 P,Q 两点之间距

【解析】选 C.如图,

PB,QD 分别垂直于平面β,α,B,D 为垂足, 过 B,D 作 BA,DC 与两平面的交线垂直, 连接 PA,QC,易求得 PA=2,CQ=4, | |= =

-6-

= = 故选 C. 3.(5 分 )(2015 · 新 余 模 拟 ) 已 知 |a|=3 b,<a,b>= 135°,m⊥n,则λ = . ,|b|=4,m=a+b,n=a+ λ ≥2 .

【解析】由 m⊥n 得(a+b)·(a+λb)=0, a2+λ a·b+a·b+λ b2=0, 18+λ ·3 ×4·cos135°+3 ×4×cos135°+16λ =0,

4λ +6=0,λ =- . 答案:4.(12 分)如图所示,已知空间四边形 ABCD 中,向量 =a, =b, =c,

若 M 为 BC 中点,G 为△BCD 的重心,试用 a,b,c 表示下列向量:

(1)

.(2)

. = = ( =-c. + + , )= (a+b),

【解析】(1)在△ADM 中, 由线段中点的向量表示知 由相反向量的概念知 所以 = + =-

= (a+b)-c

-7-

= (a+b-2c). (2)由三角形重心的性质,得 = =c+ =c+ = (a+b+c). 5.(13 分)(能力挑战题)如图所示,已知四边形 ABCD 是平行四边形,P 点 是四边形 ABCD 所在平面外一点,连接 PA,PB,PC,PD.设点 E,F,G,H 分别 为△PAB,△PBC, △PCD,△PDA 的重心.试判断平面 EFGH 与平面 ABCD 的位置关系,并用向 量方法证明你的判断. =c+ (a+b-2c) + =c+

【解析】平面 EFGH∥平面 ABCD.分别连接 PE,PF,PG,PH 并延长交对边 于 M,N,Q,R 点.因为 E,F,G,H 分别是所在三角形的重心,

所以 M,N,Q,R 为所在边的中点,顺次连接 M,N,Q,R 得到的四边形为平行 四边形,且有: = , = , = , = .

-8-

连接 MQ,EG, 因为 所以 = ∥ . = = ,

又因为 EG?平面 ABC,MQ 平面 ABC, 所以 EG∥平面 ABC. 因为 = = = ,

所以 MN∥EF, 又因为 EF?平面 ABC,MN 平面 ABC, 所以 EF∥平面 ABC. 又 EG∩EF=E,所以平面 EFGH∥平面 ABCD.

-9-


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