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吉林省长春外国语学校2016届高三数学上学期第二次质量检测试题 理


长春外国语学校 2015—2016 学年上学期高三第二次质量检测数学 (理 科)试题
本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 150 分,考试时间 120 分 钟。注意事项: 1.答题前,考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区 域内。 2.选择题必须使用 2B 铅笔填涂;非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写,

字体工 整、笔记清楚。 3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、 试题卷上答题无效。 4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱、不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。 第I卷(选择题 共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的) 1. 已知集合 A ? {?1, 0,1}, B ? {x|x ? |a ? 1|,a ? A} ,集合 A ? B 为( A. ?0? B. ?1? C. ?0,1? )

D. ?0,1, 2?

2 2.一个物体的运动方程为 s ? 1 ? t ? t 其中 s 的单位是米, t 的单位是秒,那么物体在 3 秒末 的瞬时速度是( )

A. 7 米/秒 3. 函数 f ? x ? ? A. ?2
x

B. 6 米/秒

C. 5 米/秒 )

D. 8 米/秒

2 +a 的零点为 1,则实数 a 的值为( 3 ?1
B. ?

1 2


C.

1 2

D. 2

4.设 f ( x) ? x ? sin x ,则 f ? x ? ( A.既是奇函数又是减函数 C.是有零点的减函数

B.既是奇函数又是增函数 D.是没有零点的奇函数
x

5. 已知函数 f ? x ? 是定义在 R 上的奇函数, 当 x ? 0 时, f ? x ? ? 2 ? 3 , 则 f ? ?2? ?( A.



1 4
2

B. ?

11 4


C. 1

D. ?1

6. 下列选项中,说法正确的是 (

A.命题“ ?x ? R , x ? x ? 0 ”的否定是“ ?x ? R , x ? x ? 0 ” B.命题“ p ? q 为真”是命题“ p ? q 为真”的充分不必要条件
2

2 2 C.命题“若 am ? bm ,则 a ? b ”是假命题

D.命题“在中 ?ABC 中,若 sin A ? 7.定积分 (2 x ? e )dx 的值为(
x 0

1 ? ,则 A ? ”的逆否命题为真命题 2 6


?

1

-1-

A. 2 ? e

B. ? e

C. e

D. 2 ? e

8 . 已 知 函 数 y ? f? x ? 的 图 像 在 点 1, f ?1? 处 的 切 线 方 程 是 x ? 2 y ? 1 ? 0 , 若

?

?

g ? x? ?
A.

x ,则 g ? ?1? ? ( f ? x?
B. ?



1 2

1 2

C. ?

3 2

D.2

9.若关于 x 的不等式 ax ? b ? 0 的解集是 ? ??, ?2? ,关于 x 的不等式 ( ) A. ? ?2,0? ? ?1, ??? C. ? ??, ?2? ? ? 0,1? B. ? ??,0? ? ?1,2? D. ? ??,1? ? ? 2, ???

ax 2 ? bx ? 0 的解集为 x ?1

10.若向量 a ? ? cos ?,sin ? ? ,b ? ? cos ? ,sin ? ? 则 a 与 b 一定满足( A. a 与 b 的夹角等于 ? ? ? C. a∥b 11.将函数 f ( x ) ? sin( 2 x ? 图象的解析式是( A. y ? ? cos2 x C. y ? sin( 2 x ? B.(a+b)⊥(a-b) D. a⊥b



?
6

) 的图象上所有的点向左平移

? 个单位(纵坐标不变) ,则所得 3

) B. y ? cos 2 x

5? ) 6

D. y ? sin( 2 x ?

?
6

)


12.函数 f ?x ? ? x ? 1 ? 2 sin ?x 的所有零点之和等于( A.4 B. 5 C. 6

D. 7

第Ⅱ卷(共 90 分) 二、填空题 (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.已知 tan x ? 3 ,则

sin x ? 3cos x ? 2sin x ? 3cos x
2



14.如图,圆 O : x ? y ?
2

?2
4

内的余弦函数 y ? cos x 的图像与 x

轴围成的区域记为 M (图中阴影部分),随机向圆内投一个点 A , 则点 A 落在区域 M 内的概率是 ;

?x ? 2 y ? 15.若实数 x, y 满足 ? y ? 2 ,则目标函数 z ? 的最大值是__________; x ?1 ?x ? y ? 2 ?
16 . 已知定义在 R 上的函数 f ? x ? 满足对于任意的 x ? R ,都有 f ? x ? 9? ? f ? x ? ? 1,且
-2-

x ? ?0,9? 时, f ? x ? ? x ? 2 ,则 f ? 2015? 的值为__________.
三、解答题(解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤,共 70 分) 17. (本题满分 10 分) 已知向量 a , b 满足: | a |? 1,| b |? 6, a ? (b ? a) ? 2 , (1)求向量 a 与 b 的夹角为; (2)求 | 2a ? b | 18. (本题满分 12 分) 设 y ? f ( x)是二次函数,方程f(x)=0 有两个相等的实根,且 f ' ( x) ? 2 x ? 2 (1)求 y ? f ( x) 的表达式; (2)求 y ? f ( x) 的图像与两坐标轴所围成图形的面积。 19. (本题满分 12 分) 已知在递增等差数列 ?an ? 中, a1 ? 2 , a3 是 a1 和 a9 的等比中项. (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ) 若 bn ?

1 ,S 为数列 ?bn ? 的前 n 项和,当 Sn ? m 对于任意的 n ? N+ 恒成立时, ? n+1? an n

求实数 m 的取值范围。 20. (本小题满分 12 分) ?ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ,且 b cos C ? c cosB ? 2a cos B . (1)求角 B 的大小; (2)若 b ? 13, a ? c ? 4 ,求 ?ABC 的面积.

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? (1)当 x ? ? ?

3 1 sin 2 x ? cos2 x ? ( x ? R) 2 2

? ? 5? ? , ? 时,求函数 f ( x ) 的最小值和最大值; ? 12 12 ?

( 2 )设 ?ABC 的内角 A, B, C 的对应边分别为 a, b, c ,且 c ? 3, f (C ) ? 0,若向量

m ? (1,sin A) 与向量 n ? (2,sin B) 共线,求 a , b 的值.
22.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? ln x , g ? x ? ? x ?1 .

-3-

(Ⅰ)求函数 y ? f ? x ? 图像在 x ? 1 处的切线方程; (Ⅱ)证明: f ? x ? ? g ? x ? ; (Ⅲ)若不等式 f ? x ? ? ag ? x ? 对于任意的 x ? ?1, ?? ? 均成立,求实数 a 的取值范围. 长春外国语学校 2015—2016 学年上学期 高三第二次质量检测数学(理科)参考答案 一.CCBBD 二.13. 2 CAABB BB 14.

8

?3

15.2

16. 233

17.

? ,2 7 3

18. 解: (1)由 y ? f ( x) 是二次函数且 f ' ( x) ? 2 x ? 2 ,则可设 f ( x) ? x2 ? 2x ? c

? 方程 f ( x) ? 0 由两个相等的实根,? ? ? 4 ? 4c ? 0 ,得到 c ? 1 ? f ( x) ? x2 ? 2 x ? 1
??????5 分

(2)由 f ( x) ? x2 ? 2 x ? 1 可知它的图像与 x 轴交于 (?1, 0) ,与 y 轴交于 (0,1) 记图像与两坐标轴所围成图形的面积为 s,则 S=

?

0

?1

1 (x 2 ? 2 x ? 1)dx = ( x 3 ? x 2 ? x) 3

0 ?1

=

1 3

1 ???10 分 ? y ? f ( x) 的图像与两坐标轴所围成图形的面积为 . 3 19. (Ⅰ)由 ?an ? 为等差数列,设公差为 d ,则 an ? a1 ? ?n ? 1? d ,? a3 是 a1 和 a9 的等比中
2 项,? a3 ? a1a9 即 ? 2 ? 2d ? ? 2 ? 2 ? 8d ? ,解得 d ? 0 (舍)或 d ? 2 ,
2

? an ? a1 ? ? n ?1? d ? 2n .
(Ⅱ) bn ?

1 1 1?1 1 ? , ? ? ? ? ? n+1? an 2n ? n ? 1? 2 ? n n ? 1 ? ?

1? 1 1 1 1 1 ? 1? 1 ? 1 Sn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 ? ?? , 2? 2 2 3 n n ?1 ? 2 ? n ?1 ? 2
,因为 Sn ? m 对于任意的 n ? N+ 恒成立,? m ?

1 2

20. 解(1) sin B cos C ? sin C cos B ? 2sin A cos B

-4-

sin A ? 2sin A cos B , sin A ? 0 ,所以 cos B ?
因为 0 ? B ? π ,所以 B ?
2 2 2

1 , 2

π ; 3
2 2 2

(2) b ? a ? c ? 2ac cos B ? a ? c ? ac ? (a ? c) ? 3ac 即 13 ? 16 ? 3ac , ac ? 1 ,所以 S?ABC ? 21.解: (1) f ( x) ?

1 3 ac sin B ? . 2 4

3 1 ? sin 2 x ? cos2 x ? 1 ? sin(2 x ? ) ? 1 2 2 6 ? ? 2? 由已知得 ? ? 2 x ? ? 3 6 3 3 ?1 2

? f ( x) 最大值为 0,最小值为 ?
(2)由 f (C ) ? 0 得 C=
2 2

? 3

由余弦定理的 a ? b ? ab ? 3 (9 分) 由 m , n 共线得 2 sin A ? sin B ,即 b ? 2a ? a ? 1, b ? 2 22. (Ⅰ)? f ? ? x ? ?

1 ,? f ? ?1? ? 1又由 f ?1? ? 0 , x

得切线 l : y ? f ?1? ? f ? ?1?? x ?1? ,即 y ? x ? 1 (Ⅱ)设 h ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? ? ln x ? x ?1,则 h? ? x ? ?

1 ? 1 ,令 h? ? x ? ? 0 得 x ? 1 . x

x
h ? x? h? ? x ?

? 0,1?
?
+

1 极大值 0

?1, ???
?

?

? h ? x ? ? h ? x ?max ? h ?1? ? 0 ,即 f ? x ? ? g ? x ? .
(Ⅲ) ?x ? ?1, ??? , f ? x ? ? 0 , g ? x ? ? 0 . 当 a ? 1 时, f ? x ? ? g ? x ? ? ag ? x ? ; 当 a ? 0 时, f ? x ? ? 0 , g ? x ? ? 0 不满足不等式; 当 0 ? a ? 1 时,设 ? ? x ? ? f ? x ? ? ag ? x ? ? ln x ? a ? x ?1? , ? ? ? x ? ?

1 ? a ,令 ?? ? x ? ? 0 , x
-5-

得x?

1 a

x

? 1? ? 0, ? ? a?
?
+

1 a
极大值 0

?1 ? ? , ?? ? ?a ?
?

? ? x?

?? ? x ?
?1? ? ? ? x ?max ? ? ? ? ? ? ?1? ? 0 ?a?
综上 a ? 1

?

-6-


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