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正方形的典型例题[1]


正方形·典型例题 能力素质 例 1 如图 4.6-2,已知正方形 ABCD 中,E 为 AD 上一点,BF 平分∠EBC 交 DC 于 F,求证:BE=AE+CF. 解析 证 AE+CF=BE,可以把 AE 与 CF 相接,证其与 BE 相等. 证明 延长 EA 到 G,使 AG=CF,连结 BG. 在正方形 ABCD 中, AB=BC,∠BAG=∠C=90°. ∴△GAB≌△FCB. ∴∠GBA=∠FBC. ∠G=∠BFC. 又∵AB∥CD. ∴∠BFC=∠ABF=∠EBA+∠EBF. 又∵BF 平分∠EBC, ∴∠EBF=∠FBC. ∴∠GBA=∠EBF. ∴∠G=∠BFC=∠EBA+∠EBF =∠EBA+∠GBA =∠EBG. ∴BE=GE=AG+AE=CF+AE. 点击思维 例 2 如图 4.6-3,已知锐角△ABC 中,以 AB,AC 为边向外作正方 形 ABDE 和正方形 ACFG, 连结 CE、 BG, 交点为 O, 求证: (1)EC=BG; (2)EC ⊥BG. 解析 易证△EAC≌△BAG,可得 EC=BG,∠AEC=∠ABG,于是可证 ∠EOB=∠EAB 证明 (1)在正方形 ABDE 和正方形 ACFG 中, AE=AB,AC=AG, ∠EAB=∠GAC=90°, ∴∠EAB+∠BAC=∠GAC+∠BAC. 即∠EAC=∠BAG, ∴△EAC≌△BAG. ∴EC=BG. (2)由(1)知:△EAC≌△BAG, ∴∠AEC=∠ABG. 又∵∠1=∠2, ∴∠ABG+∠2=∠AEC+∠1=90°. ∴∠EOB=∠EAB=90°∴EC⊥BG. 点评 若把例题中,∠BAC 为锐角改为钝角,其余条件不变,上述 两结论仍能成吗?如果成立试证明之. 例 3 如图 4.6-4,以△ABC 的边 AB,AC 为边向形外作正方形 ABDE 和正方形 ACFG,AH⊥BC,交 EG 于 M,垂足为 H,求证:EM=MG.

解析 (思路一)过 E 作 AG 的平行线交 AM 延长线于 K,连接 KG,证 明四边形 KEAG 是平行四边形行即可. (思路二) 可证 E,G 到 AM 的距离相等即可 证法一 如图 4.6-4 过 E 作 EK∥AG,交 AM 的延长线于 K,连 结 GK. ∴∠KEA+∠EAG=180°. 在正方形 ABDE 和正方形 ACFG 中, AE=AB,∠EAB=∠GAC=90°. ∴∠EAG+∠BAC=180°. ∴∠KEA=∠BAC. ∵AH⊥BC. ∴∠BAH+∠ABC=90°. 又∵∠EAK+∠BAH=90°. ∴∠EAK=∠ABC. 又∵AB=AE, ∴△KEA≌△ABC. ∴EK=AC,又 AC=AG. ∴EK=AG. ∴四边形 EAGK 是平行四边形. ∴EM=MG. 证法二 分别过 E,G 作 AM 的垂线,垂足为 P、Q, 在正方形 GACF 中, AG=AC,∠GAC=90°. ∴∠GAQ+∠CAH=90°. 又 AH⊥BC. ∴∠CAH+∠ACH=90°. ∴∠GAQ=∠ACH. 又∠GQA=∠AHC=90°. ∴△GQA≌△AHC. ∴GQ=AH. 同理可证:EP=AH. ∴EP=GQ. 又∵∠PME=∠GMQ. ∠EPM=∠GQM=Rt∠. ∴△EPM≌△GQM. ∴EM=MG. 学科渗透 例 4 如图 4.6-6,已知 E 为正方形 ABCD 的边 BC 的中点,EF⊥AE, CF 平分∠DCG,求证:AE=EF. 解析 可取 AB 中点 M,连结 ME,证△AME≌△ECF 证明 取 AB 中点 M,连结 ME

在正方形 ABCD 中, AB=BC,∠B=∠DCB=90°. 又 E 为 BC 中点, ∴AM=BM=BE=EC. ∴∠BME=45°. ∴∠AME=135°. 又 CF 平分∠DCG. ∴∠ECF=135°. ∴∠AME=∠ECF. 又∵AE⊥EF, ∴∠FEC+∠AEB=90°. 又∵∠BAE+∠AEB=90°. ∴∠FEC=∠BAE. ∴△AME≌△ECF. ∴AE=EF. 中考巡礼 例 5 (2001 年江苏扬州中考题)如图 4.6-7,已知 P 点是正方形 ABCD 对角线 BD 上一点,PE⊥DC,PF⊥BC,E,F 分别是垂足,求证:AP=EF. 证明 连结 AC 交 BD 于 O,连结 PC. 在正方形 ABCD 中, BD⊥AC,BD 平分 AC. ∴PA=PC. 又∵PE⊥CD,PF⊥BC,∠DCB=90°. ∴四边形 PFCE 是矩形. ∴EF=PC. ∴PA=EF. 考点 正方形性质,矩形性质和判定 例 6 (2001 年江苏泰州中考题)如图 4.6-8 已 知,正方形 ABCD 的对角线交于 O,过 O 点作 OE⊥OF, 分别交 AB,BC 于 E,F,若 AE=4,CF=3,则 EF 等于 [ ] A.7 B.5 C.4 D.3 解 易证△AOE≌△BOF,△EOB≌△FOC. ∴AE=BF,BE=FC. ∴EF2=BE2+BF2=32+42. ∴EF=5. 故选 B. 考点 正方形性质,全等的判定和性质,勾股定理.


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