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2011年中考数学试题汇编---圆的性质


?

选择题(每小题 x 分,共 y 分)

? (2011?安徽省)7. 如图,⊙半径是 1,A、B、C 是圆周上的三点,∠BAC=36°,则劣弧 BC
的长是???????????????????????????【 B 】 A.

? 5

B.

2? 5

C.

3? 5

D.

4? 5

第 7 题图 (2011?达州)6、如图3,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB,垂足为E,如果AB=10,CD=8, 那么线段 OE的长为C A、5 C、3 B、4 D、2

(2011?重庆市潼南县)3. 如图,AB 为⊙O 的直径,点 C 在⊙O 上,∠A=30° ,则∠B 的度 数为 D B. 30° C. 45° D. 60°
A
O C

A.15°

B

〔2011?芜湖市〕8.如图,直径为 10 的⊙A 山经过点 C(0,5)和点 0(0,0),B 3题图 是 y 轴右侧⊙A 优弧上一点,则∠OBC 的余弦值为 ( C ) A.
1 2

B.

3 4

C.

3 2

D.

4 5

(2011●嘉兴)6.如图, 半径为 10 的⊙O 中, AB 的长为 16, 弦 则这条弦的弦心距为( A )

(A)6

(B)8

(C)10

(D)12
O

A
(第 6 题)

B

(2011?乐山) 6.如图(3) ,CD 是⊙O 的弦,直径 AB 过 CD 的中点 M,若∠BOC=40°, 则∠ABD=C

(A) 40°

(B) 60° (C)70° (D)80°

(2011?泰安市)10.如图,⊙O 的弦 AB 垂直平分半径 OC,若 AB= 6 , 则⊙O 的半径为 A

(A) 2

(B) 2 2

(C)

2 2

(D)

6 2

〔2011?浙江省衢州〕10、如图,一张半径为 1 的圆形纸片 为 a( a ? 3 )的正方形内 任意移动,则该正方形内,这张圆形纸片“不能接触到的部分”的 面积是( D A、 a ? ?
2

在 边 长

) B、 (4 ? ?)a D、 4 ? ? y A
1
2

C、 ?

(第 10 题)

(2011?金华市)10.如图,在平面直角坐标系中,过格点 A,B,C 作一圆弧,点 B 与下列格点的连线中,能够与该 圆弧相切的是 ( C▲ ) A.点(0,3) B. 点(2,3) C.点(5,1) D. 点(6,1) (2011?茂名市)10、如图,正方形 ABCD 内接于⊙O, ⊙O 的直径为 2 分米,

B C

O

1 第 10 题图

x

第 10 题 图

若在这个圆面上随意抛一粒豆子,则豆子落在正方形 ABCD 内的概率是 A A.

2 ?

B.

? 2

C.

1 2?

D. 2?

〔2011?浙江省衢州〕8、一个圆形人工湖如图所示,弦 AB 是湖上的一座桥,已知桥 AB (第 8 题) 长 100m,测得圆周角∠ACB=45°,则这个人工湖的直径 AD 为( B ) C D A、 50 2m B、 100 2m C、 150 2m D、 200 2m O A B

〔2011?德州市〕 一个平面封闭图形内 7. (含边界) 任意两点距离的最大值称为该图形的 “直 径” 封闭图形的周长与直径之比称为图形的 , “周率” 下面四个平面图形 , (依次为正三角形、 正方形、正六边形、圆)的周率从左到右依次记为 a1 , a2 , a3 , a4 ,则下列关系中正确的 是B

(A) a4 > a2 > a1 (B) a4 > a3 > a2

(C) a1 > a2 > a3

(D) a2 > a3 > a4

〔2011?福州市〕7.如图,顺次连结圆内接矩形各边的中点,得 到菱形 ABCD, BD=6, 若 DF=4, 则菱形 ABCD 的边长为 ( A.4 2 B.3 2 C.5 D.7
E B O C D F

D )

A

(第 6 题) 〔2011?山东省烟台市〕11、如图,△ ABC 内接于⊙O,D 为线 段 AB 的中点,延长 OD 交⊙O 于点 E,连接 AE,BE,则下列五个结论①AB⊥DE,②AE=BE, ③OD=DE,④∠AEO=∠C,⑤

,正确结论的个数是 B D、5

A、2

B、3

C、4

?

二、填空题(每小题 x 分,共 y 分)

(2011?安徽省)13.如图,⊙O 的两条弦 AB、CD 互相垂直,垂足为 E,且 AB=CD,已知 CE=1, ED=3,则⊙O 的半径是___ 5 ______.

第 13 题图 (2011?天津)(1S) 如图,AD,AC 分别是⊙O 的直径和弦.且∠CAD=30°.OB⊥AD, 交 AC 于点 B.若 OB=5,则 BC 的长等于_____5____。

(2011?威海市)15.如图,⊙O 的直径 AB 与弦 CD 交于点 E,AE=5,BE=1,CD=4 2 ,则 ∠AED=____30____。
A D

O

?E

B C

(第 15 题图)

〔2011?温州市〕14、如图,AB 是⊙O 的直径,点 C,D 都在⊙O 上,连结 CA,CB,DC,DB.已知 ∠D=30°,BC=3,则 AB 的长是 6 ;

(2011●嘉兴)16.如图,AB 是半圆直径,半径 OC⊥AB 于点 O,AD 平分∠CAB 交弧 BC 于 点 D, 连结 CD、 OD, 给出以下四个结论: C ①AC∥OD; CE ? OE ; ② ③△ ODE∽△ ADO; ④ 2CD 2 ? CE ? AB .其中正确结论的序号是 ①④▲ D. E

A

O
(第 16 题)

B

(2011?黄石市)14.如图(5) ,△ ABC 内接于⊙ O ,若 ?B =30°, AC ? 3 ,则⊙ O 的 直径为

2 3

.

C A B O

图(5)

(2011●河北省)16.如图 7,点 O 为优弧 ACB 所在圆的心,∠AOC=108°,点 D 在 AB 的延 长线上,BD=BC,则∠D=___27_________.
C

O A 图7 B D

2011?芜湖市〕16.如图,在正方形 ABCD 内有一折线段, 其中 AE⊥EF,EF⊥FC,并且 AE=6, EF=8,FC=10,则正方形与其外接圆之间形成的阴影部分 的面积为_____80π -160 ___。
〔2011?日照市〕14. 如图,在以 AB 为直径的半圆中,有一个边

长为 1 的内接正方形 CDEF,则以 AC 和 BC 的长为两根 二次方程是 如:x2- 5 x+1=0; .

的 一 元

〔2011?南京市〕13.如图,海边有两座灯塔 A、B,暗礁分布在经过 A、B 两点的弓形(弓
P

O A 形的弧是⊙O 的一部分)区域内 B ,∠AOB=80°,为了避免触礁,轮船

(第 12 题)

P 与 A、B 的张角∠APB 的最大值为__40____°. 〔2011?福建省泉州市〕16. 已知三角形的三边长分别为 3,4,5,则它的边与半径为 1 的 圆的公共点个数所有可能的情况是 2 .(写出符合的一种情况即可)

?

三、解答题: (共 x 分)

(2011?潜江市)20. (满分 8 分)如图,BD 是⊙O 的直径, A、C 是⊙O 上的两点,且 A D AB=AC,AD 与 BC 的延长线交于点 E. (1)求证:△ABD∽△AEB; (2)若 AD=1,DE=3,求 BD 的长. B
?

E

O
C

20.(1)证明:∵AB=AC, ∴ ? ? ? . ∴∠ABC=∠ADB. ???????? 2 分 AB AC 又∠BAE=∠DAB,∴ △ABD∽△AEB. ????????????? 4 分 (2)解:∵△ABD∽△AEB, ∴

AB AD . ? AE AB

∵ AD=1, DE=3, ∴AE=4. ∴ AB2=AD· AE=1× 4=4. ∴ AB=2. ??????????????????????????6 分 ∵ BD 是⊙O 的直径, ∴∠DAB=90° . 2 2 2 2 在 Rt△ABD 中,BD =AB +AD =2 +12=5, ∴BD= 5 .????????????????????????? 8 分

(2011?宁波)25. (本题 10 分)阅读下面的情景对话,然后解答问题: 老师:我们新定义一种三角形, 两边平方和等于第三边平方的 2 倍的三角形叫做奇异三角形. 小明: 那直角三角形 中是否存在奇异三 角形呢?

小华:等边三角形一 定是奇异三角形!

(1)根据“奇异三角形”的定义,请你判断小华提出的命题:“等边三角形一定是奇异三角 形”是真命题还是假命题? (2)在 Rt△ABC 中,∠ACB=90° ,AB= c ,AC= b ,BC= a ,且 b ? a ,若 Rt△ABC 是

奇异三角形,求 a : b : c ; (3)如图,AB 是⊙O 的直径,C 是⊙O 上一点(不与点 A、B 重合),D 是半圆 ADB 的中 点, C、D 在直径 AB 两侧,若在⊙O 内存在点 E,使得 AE=AD,CB=CE. ① 求证:△ACE 是奇异三角形; ② 当△ACE 是直角三角形时,求∠AOC 的度数. O E C

A

B

D 25.解:(1) 真命题 (2) 在 Rt△ABC 中, a ? b ? c
2 2 2

(第 25 题)2 分

∵ c?b?a?0 ∴ 2c ? a ? b , 2a ? b ? c
2 2 2 2 2 2 2 2 2

∴若 Rt△ABC 为奇异三角形,一定有 2b ? a ? c ∴ 2b ? a ? (a ? b )
2 2 2 2

3分

∴ b ? 2a
2 2 2

2

得b ?
2

2a
2

∵ c ? b ? a ? 3a ∴c ?

3a ∴ a : b : c ? 1: 2 : 3
(3) ①∵AB 是⊙O 的直径 ∴∠ACB=∠ADB=90° 在 Rt△ACB 中, AC 2 ? BC 2 ? AB 2 在 Rt△ADB 中, AD 2 ? BD 2 ? AB 2 ∵点 D 是半圆 ADB 的中点 ∴AD= BD ∴AD=BD ∴ AB ? AD ? BD ? 2AD
2 2 2 2

5分

6分 7分

∴ AC 2 ? CB 2 ? 2AD 2 又∵ CB ? CE, AE ? AD ∴ AC 2 ? CE 2 ? 2AE 2 ∴△ ACE 是奇异三角形 ②由①可得△ ACE 是奇异三角形 ∴ AC 2 ? CE 2 ? 2AE 2 当△ ACE 是直角三角形时 由(2)可得 AC : AE : CE ? 1 : 2 : 3 或 AC : AE : CE ? 3 : 2 : 1 (Ⅰ)当 AC : AE : CE ? 1 : 2 : 3 时,

8分

AC : CE ? 1 : 3
∵ ?ACB ? 90? ∴ ?ABC ? 30?

即 AC : CB ? 1 : 3

∴ ?AOC ? 2?ABC ? 60? (Ⅱ)当 AC : AE : CE ? 3 : 2 : 1 时,

9分

AC : CE ? 3 : 1
∵ ?ACB ? 90? ∴ ?ABC ? 60?

即 AC : CB ? 3 : 1

∴ ?AOC ? 2?ABC ? 120? ∴ ?AOC 的度数为 60?或120 ? .

10 分

〔2011?大理〕23. 分)如图,点 A、B、D、E 在⊙O 上,弦 AE、BD 的延长线相交于点 (8 C.若 AB 是⊙O 的直径,D 是 BC 的中点. (1)试判断 AB、AC 之间的大小关系,并给出证明; (2)在上述题设条件下,ΔABC 还需满足什么条件,点 E 才一定是 AC 的中点?(直接 写出结论) .

A

O

E

B
第 23 题

D

C

23.解:(1)AB=AC A 【证法一】连结 AD,∵AB 是⊙O 的直径 ∴∠ADB=90° 即 AD⊥BC ∵ AD 公用,BD=DC,∴ Rt△ ABD≌Rt△ ACD O ∴ AB=AC 【证法二】连结 AD,则 AD⊥BC 又 BD=DC,∴ AD 是线段 BD 的中垂线 B D ∴ AB=AC (2) △ ABC 为正三角形,或 AB=BC,或 AC=BC,或∠A=∠B,或∠A=∠C 第 23 题 (2011 江西省)22.图甲是一个水桶模型示意图, 水桶提手结构的平面图是轴对称图形, 当点 O 到 BC(或 DE)的距离大于或等于⊙O 的半径时(⊙O 是桶口所在圆,半径为 OA) ,提 手才能从图甲的位置转到图乙的位置,这样的提手才合格.现用金属材料做了一个水桶提

E

C

? 其余是线段) O 是 AF 的中点, 手 (如图丙 A-B-C-D-E-F, C-D 是 CD , , 桶口直径 AF =34cm,
AB=FE=5cm,∠ABC =∠FED =149° .请通过计算判断这个水桶提手是否合格. (参考数据: 314 ≈17.72,tan73.6°≈3.40,sin75.4°≈0.97.) D C B A E F

A B C

O

O

F E

C

D

D

B

E

22.解法一 连接 OB,过点 O 作 OG⊥BC 于点 G. 在 Rt△ABO 中,AB=5,AO=17, ∴ tan∠ABO=
AO 17 ? ? 3.4 , AB 5

………………1 分

∴∠ABO=73.6° ,………………4 分 ………………5 分 ………………6 分

∴∠GBO=∠ABC-∠ABO=149° -73.6°=75.4°. 又 ∵ OB ? 52 ? 172 ? 314 ? 17.72 , ∴在 Rt△OBG 中,

……………8 分 OG ? OB ? sin ?OBG ? 17.72 ? 0.97 ? 17.19 ? 17 . ∴水桶提手合格. ……………9 分 解法二 连接 OB,过点 O 作 OG⊥BC 于点 G. ……………1 分 在 Rt△ABO 中,AB=5,AO=17, ∴ tan∠ABO=
AO 17 ? ? 3.4 , AB 5

∴∠ABO=73.6°. ………………4 分 要使 OG≥OA,只需∠OBC≥∠ABO, ∵∠OBC=∠ABC-∠ABO=149° -73.6° =75.4° >73.6° ,……8 分 ∴水桶提手合格. ………………9 分 (2011 江西省)21.如图,已知⊙O 的半径为 2,弦 BC 的长为 2 3 ,点 A 为弦 BC 所对优弧上 D C 任意一点(B,C 两点除外). (1)求∠BAC 的度数; G (2)求△ABC 面积的最大值. E B 3 3 3 O ? A (参考数据: sin 60? ? , tan 30? ? F .) A, cos 30 ? 2 2 3 34 图丙 O B 21.解:(1) 解法一 连接 OB,OC,过 O 作 OE⊥BC 于点 E. ∵OE⊥BC,BC= 2 3 , ∴ BE ? EC ? 3 . ………………1 分 在 Rt△OBE 中,OB=2,∵ sin ?BOE ? ∴ ?BOE ? 60? , ∴ ?BOC ? 120? ,
BE 3 , ? OB 2

C

A D O B C

1 ∴ ?BAC ? ?BOC ? 60? . ………………4 分 2 解法二 连接 BO 并延长,交⊙O 于点 D,连接 CD. ∵BD 是直径,∴BD=4, ?DCB ? 90? .

BC 2 3 3 , ? ? BD 4 2 ∴ ?BDC ? 60? ,∴ ?BAC ? ?BDC ? 60? .………………4 分

在 Rt△DBC 中, sin ?BDC ?

(2) 解法一 因为△ABC 的边 BC 的长不变,所以当 BC 边上的高最大时,△ABC 的面积最 大,此时点 A 落在优弧 BC 的中点处. ………………5 分 过 O 作 OE⊥BC 于 E, 延长 EO 交⊙O 于点 A, A 为优弧 BC 的中点.连接 AB, 则
1 AC,则 AB=AC, ?BAE ? ?BAC ? 30? . 2

A

在 Rt△ABE 中,∵ BE ? 3, ?BAE ? 30 ,
?

∴ AE ?

BE ? tan 30?

3 3 3

?3,

O B E C

1 ∴S△ABC= ? 2 3 ? 3 ? 3 3 . 2

答:△ABC 面积的最大值是 3 3 . ………………8 分 解法二 因为△ABC 的边 BC 的长不变,所以当 BC 边上的高最大时,△ABC 的面积最 大,此时点 A 落在优弧 BC 的中点处. ………………5 分 过 O 作 OE⊥BC 于 E, 延长 EO 交⊙O 于点 A, A 为优弧 BC 的中点.连接 AB, 则 AC,则 AB=AC. ∵ ?BAC ? 60? , ∴△ABC 是等边三角形. ………………6 分

在 Rt△ABE 中,∵ BE ? 3, ?BAE ? 30? , ∴ AE ?
BE ? tan 30? 3 3 3 ?3,

1 ∴S△ABC= ? 2 3 ? 3 ? 3 3 . 2

答:△ABC 面积的最大值是 3 3 .

………………8 分

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M C D E F A B 26 题) (第22 题图 第

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